初中数学鲁教版(五四制)九年级下册第五章 圆2 圆的对称性-章节测试习题

章节测试题

1.【题文】用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．

【答案】20㎝．

【分析】连接OA、OE，设OE与AB交于点P，根据题意得出四边形ABCD为矩形，根据垂径定理得出PA=8cm，PE=4cm，然后根据Rt△AOP的勾股定理求出OA的值，从而得出圆的直径.

【解答】解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图

∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD

∴四边形ACDB是矩形

∵CD=16cm，PE=4cm

∴PA=8cm，BP=8cm，

在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2

即OA2=82+（OA﹣4）2

解得：OA=10．

答：这种铁球的直径为20cm．

2.【题文】如图，已知在⊙O中，AB,CD两弦互相垂直，E为垂足，AB被分成4cm和10cm两段.

（1）求圆心O到CD的距离；

（2）若⊙O的半径为8cm，求CD的长.

【答案】（1）3（2）

【分析】根据垂径定理解答即可.

【解答】（1）根据垂径定理，得AM=7，因为AE=4，所以EM=ON=3

（2）连接OD,ND=，所以CD=

3.【题文】如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，

∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为M．

（1）求OM的长；

（2）求弦CD的长．

【答案】（1）OM=1；（2）CD=

【分析】（1）作辅助线；首先根据题意求出ON，根据30°角的直角三角形的性质即可求得OM；

（2）借助勾股定理求出CM的长度，即可解决问题．

【解答】解：

∵AB=10，

∴OA=5，

∵ON：AN=2：3，

∴ON=2，

∵∠ANC=30°，

∴∠ONM=30°，

∴OM=ON=1；

（2）如图，连接OC，

由勾股定理得：

CM2=CO2-OM2

=25-1=24，

∴CM=2，

∴CD=2CM=4．

4.【题文】如右图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，?是否采取紧急措施？（）

【答案】不采取紧急措施,理由见解析.

【分析】连接OA′，OA．设圆的半径是R，则ON=R-4，OM=R-18．根据垂径定理求得AM的长，在直角三角形AOM中，根据勾股定理求得R的值，在直角三角形

A′ON中，根据勾股定理求得A′N的值，再根据垂径定理求得A′B′的长，从而作出判断．

【解答】解:不采取紧急措施。

其理由如下：设半径OA=x ∵AB=60 PM=18,

∴AM=30 OM=,

∴在Rt△AOM中，由勾股定理，得：,

解得：x=34 即：OA=34,OM=16

ON=(PM―PN)+OM=(18―4)+16=30

∴在Rt△A ON中，由勾股定理得：

解得：A N=16 则：=32>30

所以不采取紧急措施。

5.【题文】如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为P， BP＝2cm，CD＝6 cm，求直径AB的长．

【答案】

【分析】连接OC，由垂径定理求得CP的长，在Rt△OCP中，由勾股定理得半径的长，即可得直径AB的长.

【解答】解：连接OC

∵OP⊥CD，O为圆心

∴

设，∴

在Rt△OCP中，由勾股定理得：

∴,

∴直径cm.

6.【题文】如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点P.（1）PA与PB相等吗？请说明理由；

（2）若，求圆环的面积.

【答案】（1）相等，证明见解析；（2）圆环的面积为

【分析】（1）PA=PB，连接OP，在大圆中利用垂径定理即可证明，

（2）连接OA，根据切线的性质和勾股定理可得：OA2﹣OP2=AB2，写出环形的面积表达式，把数值代入即可．

【解答】解：（1）PA=PB，理由如下：

连接OP，

∵大圆的弦AB切小圆于点P，

∴OP⊥AB，

∴PA=P B，

（2）接OA，

∵大圆中长为8的弦AB与小圆相切，

∴OP⊥AB，AP=4，

∴OA2﹣OP2=16，

∴πOA2﹣πOP2=（OA2﹣OP2）π，

∴圆环的面积=16π．

7.【题文】如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE ， AB=12，求△ACD的周长。

【答案】.

【分析】连接OC，利用垂径定理构造直角三角形分别求得三角形的三边长，然后相加即可得到△ACD的周长．

【解答】解：连接OC．

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD．

∵AB=12cm，∴AO=BO=CO=6cm．

∵BE=OE，∴BE=OE=3cm，AE=9cm．

在Rt△COE中，∵CD⊥AB，∴OE2+CE2=OC2，∴CE==，

∴CD=2CE=cm．

同理可AC=AD=cm，∴△ACD的周长为cm．

8.【题文】如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m.

(1)求拱桥的半径；

(2)现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？

【答案】（1）拱桥的半径为3.9 m；（2）此货船能顺利通过拱桥．

【分析】（1）连接OB，根据垂径定理求出BD，设OB＝OC＝r，再在Rt△BOD中利用勾股定理求出r；

（2）作出拱桥下的矩形，交拱桥于M，N，交CD于E，连接ON，通过求距离水面2米高处即ED长为2时，桥有多宽，即MN的长，当货船顶部宽度大于MN则货船不能通过，当货船顶部宽度小于等于MN则货船能通过．

【解答】解：(1)连接OB.

∵OC⊥AB，∴D为AB的中点．

∴BD＝AB＝3.6(m).

设OB＝OC＝r，则OD＝(r－2.4)m.

在Rt△BOD中，OB2=OD2+BD2，即r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9.

∴拱桥的半径为3.9 m.

(2)作出拱桥下的矩形，交拱桥于M，N，交CD于E，连接ON.

∵CD＝2.4 m，DE=2 m，

∴CE＝CD－DE＝0.4(m)．

∴OE＝OC－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)．

在Rt△OEN中，EN＝＝＝(m2)，

∵OD⊥MN，

∴MN＝2EN＝2×≈3.44 m＞3 m.

∴此货船能顺利通过拱桥．

9.【题文】如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB。

【答案】.

【分析】因为圆柱形油槽装入油后形成弓形，可以考虑用垂径定理解答．

【解答】解：连接OA，故OC⊥AB于点D，由垂径定理知，点D为AB的中点，

AB=2AD，∵OA=25cm，∴OD=OC﹣CD=25﹣15=10（cm），由勾股定理知，

AD===（cm），故油面宽度AB=cm．

10.【题文】如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．

【答案】证明见解析.

【分析】根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧得到OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，由于AB=CD，则AE=CF，然后根据“HL”可判断Rt△AEO≌Rt△COF，于是得到OE=OF．

【解答】证明：连结OA、OC，如图，

∵E、F分别为弦AB、CD的中点，

∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，

∵AB=CD，

∴AE=CF，

在Rt△AEO和Rt△COF中，

，

∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL），

∴OE=OF．

11.【题文】如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,OD∥BC 交⊙O于点D,交AC 于点E,连接AD、BD、CD,求证：AD＝CD．

【答案】见解析.

【分析】因为AB 为直径,所以=90°，又因OD∥BC，所以DO AC,根据垂径定理得DO垂直且平分AC，根据垂直平分线的性质得AD＝CD．

【解答】证明:连接OC，

∵OD∥BC，

∴∠ODB＝∠CBD，

又OB＝OD，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠OBD＝∠CBD,

∵∠AOD＝2∠OBD，∠DOC＝2∠CBD,

∴∠AOD＝∠DOC，

∴AD＝CD．

12.【题文】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接BC．若AB＝6，∠B ＝30°，求弦CD的长．

【答案】

【分析】连接AC,求出∠ACB=90°，求出AC和BC的长，根据三角形的面积公式求出CM，根据垂径定理求出CD=2CE，代入求出即可．

【解答】解：如图，连接AC

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠B=30°，

∴AC=AB=3，

由勾股定理得：BC=，

∵在Rt△ACB中，由面积公式得：×AB×CE=×AC×BC，∴6×CE=3×3，

∴CE=，

∵CD⊥AB，AB过圆心O，

∴由垂径定理得：CD=2CE=2×=3.

故CD的长是3.

13.【题文】如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，他们之间距离为7，AB=6求：弦CD的长．

【答案】8.

【分析】如图所示：过O作OE⊥AB，交CD于F点，连接OB，OD，可得出

OB=OD=5，在直角三角形OBE中，利用勾股定理求出OE的长，从而得到OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理分别求出FD，即可得到结论．

【解答】解：过O向AB作垂线，垂足为E，根据垂径定理可以得到BE=3，连接OB，

在直角三角形BOE中，根据勾股定理可以得到OE= =4．

同样过O点想CD作垂线，垂足为F，

因为弦AB和弦CD之间的距离为7，

那么OF=3，

连接OD，在直角三角形ODF中DF= =4．

根据垂径定理可以知道点F为CD的中点，即CD=8．

14.【题文】已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC 的长。

【答案】.

【分析】画出图形，根据垂径定理及勾股定理解答即可．

【解答】解：如图，由垂径定理知，∵点C是AB的中点，AC=AB=5，

∴OC===．

15.【题文】如图，在⊙O中，AB为直径，点B为的中点，直径AB交弦CD 于E，CD＝2，AE＝5.

（1）求⊙O半径r的值；

（2）点F在直径AB上，连接CF，当∠FCD＝∠DOB时，求AF的长．

【答案】（1）3；（2） .

【分析】（1）先根据垂径定理得出E为CD的中点，再由勾股定理即可得出结论；

（2）先由锐角三角函数的定义求出EF的长，再分点F在线段CD的上方与下方两种情况进行讨论即可．

【解答】解：

(1)∵AB为直径，点B是弧CD的中点，CD＝2，

∴AB⊥CD，DE＝CD＝.

在Rt△ODE中，∵OD＝r，OE＝5－r，DE＝，

∴r2＝(5－r)2＋()2，解得r＝3.

(2)∵由(1)知，OE＝AE－AO＝5－3＝2，

∴tan∠FCE＝tan∠DOB＝.

在Rt△FCE中，∵，

∴EF＝ .

∴AF＝AE－EF＝5－＝.

16.【题文】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题.

【答案】直径AB的长26寸．

【分析】连接OC．先根据垂径定理求出CE=CD，设半径为r，则OE =r-1，在

Rt中，

根据勾股定理求得r的长，即可求解．

【解答】解：连接OC，

∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，

∴∠BEC＝90°，，

设OC=r，则OA=r，∴OE= ，

在Rt中，

∵，

∴，∴，

∴AB = 2r= 26（寸），

答：直径AB的长26寸．

17.【题文】如图，在⊙中，，圆心到弦的距离，求弦的长．