北师大版数学必修一第1章 1

第一章 §1
A级 基础巩固
1．下列对象能构成集合的是导学号 00814017( D )
A．江西某中学所有有爱心的女生
B．青岛某中学部分特长生
C．中国的著名歌唱家
D．大于π的自然数
[解析] A中“有爱心”的标准不明确，B中“部分”不明确，C中“著名歌唱家”的
标准不明确，D中π≈3.14，所以大于π的自然数为4,5,6，….
2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是
导学号 00814018( D )
A．5∈M B．0∉M
C．1∈M D．－π2∈M

[解析] 5>1，故A错；－2<0<1，故B错；1不小于1，故C错；－2<－π2<1，故D
正确．
3．由x2，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值可以是导学号 00814019
( B )
A．0 B．－1
C．1 D．－1或1
[解析] 验证法：若x＝0时，x2＝0，不合题意；
若x＝1时，x2＝1，不合题意；
若x＝－1时，x2＝1，符合题意，故选B．
4．给出下列语句：
①N中最小的元素是1；
②若a∈N，则－a∉N；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；
④0∈∅.
其中正确语句的个数为导学号 00814020( A )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 自然数集中最小的元素是0，故①③不正确；对于②，若a∈N，即a是自然数，
当a＝0时，－a仍为自然数，所以②也不正确；空集不含有任何元素，所以④不正确．故
选A．
5．若集合{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是导学号 00814021
( B )
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
[答案] B
[解析] 根据集合中元素的互异性，可知三角形的三边长不相等，故选B．

6．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝导学号 00814022( A )
A．4 B．2
C．0 D．0或4
[解析] 本题考查分类讨论思想及一元二次方程问题．若a＝0，则有1＝0显然不成立；
若a≠0，则有a2－4a＝0即a＝0或a＝4，所以a＝4.
7．用符号“∈”或“∉”填空：导学号 00814023
(1)3_∈__R; (2)14_∈__Q；
(3)2_∈__N＋； (4)0.3_∉__Z.
[解析] (1)∵3是实数，∴3∈R；

(2)∵14是有理数，∴14∈Q；
(3)∵N＋是正整数集，∴2∈N＋；
(4)∵0.3是小数，∴0.3∉Z.
8．方程ax2＋5x＋c＝0的解集是{12，13}，则a＝_－6__，c＝_－1__.导学号 00814024
[解析] 依题意得－5a＝12＋13且ca＝12×13，解得a＝－6，c＝－1.
9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列
举法表示集合A．导学号 00814025
[解析] 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，
解得x＝2.
此时集合A＝{2}．
当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实根，只需Δ＝64－64k
＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.
当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
10．设A＝{2,3，a2＋2a－3}，B＝{|a＋3|,2}，已知5∈A，且5∉B，求a的
值.导学号 00814026
[解析] ∵5∈A，∴a2＋2a－3＝5.
∴a＝2或a＝－4.
又∵5∉B，∴|a＋3|≠5.
∴a≠2且a≠－8.
∴a＝－4.
B级 素养提升
1．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是
导学号 00814027( C )
A．1 B．－2
C．6 D．2
[解析] 解法1：验证法：若a＝1时，a2＝1,2－a＝1，不满足集合中元素的互异性；若
a＝－2或2时，a2＝4，也不满足集合中元素的互异性，故a＝6，选C．
解法2：直接法：由集合中元素的互异性可知，a2≠4，
∴a≠±2.
又a2≠2－a，∴a2＋a－2≠0，
∴a≠1且a≠－2，故选C．
2．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是
导学号 00814028( C )
A．1 B．3
C．5 D．9
[解析] ∵x∈A，y∈A，
当x＝0时，由y＝0,1,2得，x－y＝0，－1，－2；
当x＝1时，由y＝0,1,2得，x－y＝1,0，－1；
当x＝2时，由y＝0,1,2得，x－y＝2,1,0.
由集合中元素的互异性可知，B＝{－2，－1,0,1,2}中共5个元素．
3．集合{14，25，12，47，58}可用特征性质描述法表示为__{x|x＝nn＋3，n∈N＋，
n≤5}__.导学号 00814029
[解析] 将分母改写为连续自然数，考虑分子与分母间的关系.14、25、36、47、58，可得nn＋3，

n∈N＋，n≤5.
4．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为
_2__.导学号 00814030
[解析] ∵－5是方程x2－ax－5＝0的根，
∴25＋5a－5＝0，
∴a＝－4，
∴x2－4x－a＝x2－4x＋4＝0，
∴x＝2，∴该集合中所有元素之和为2.
5．用另一种方法表示下列集合.导学号 00814031
(1){－3，－1,1,3,5}；
(2){x||x|≤3，x∈Z}；
(3){1,22,32,42，…}；
(4)已知M＝{2,3}，P＝{(x，y)|x∈M，y∈M}，写出集合P；
(5)集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{x2－1|x∈A}，写出集合B．
[解析] (1){x|x＝2k－1，k∈Z且－1≤k≤3}．
(2){－3，－2，－1,0,1,2,3}．
(3){x|x＝n2，n∈N＋}．
(4)P＝{(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)}．
(5)A＝{－2，－1,0,1,2}，
所以B＝{3,0，－1}．
6．下列三个集合：导学号 00814032
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们的各自含义是什么？
[解析] (1)它们是不相同的集合．
(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，
所以{x|y＝x2＋1}＝R.
集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．
由二次函数图像知y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③是函数y＝x2＋1图像上所有点的坐标组成的集合．
C级 能力拔高
集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n＋3，n∈
Z}.导学号 00814033
(1)若c∈C，是否存在a∈A，b∈B，使c＝a＋b成立？
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定有(a＋b)∈C？请证明你的结论．
[解析] (1)令c＝6m＋3，则c＝3m＋1＋3m＋2(m∈Z)．令a＝3m＋1，b＝3m＋2，则c
＝a＋b，故若c∈C，一定有a∈A，b∈B，使c＝a＋b成立．
(2)不一定有(a＋b)∈C．证明如下：
设a＝3m＋1，b＝3n＋2，m，n∈Z，则a＋b＝3(m＋n)＋3，因此当m＋n＝2k(k∈Z)时，
a＋b＝6k＋3∈C；当m＋n＝2k＋1(k∈Z)时，a＋b＝6k＋6∉C．