2.1.3两条直线的位置关系 学案(高中数学必修2北师版)

1．3 两条直线的位置关系 课标解读 1.能根据斜率判定这两条直线平行或垂直(重点)． 2．能根据直线平行或垂直，求直线方程(重点).

两条直线平行、垂直的判定 【问题导思】 1．直线y＝x＋1与y＝x－1，它们的斜率分别是多少？它们有什么位置关系？ 2．直线y＝－x与y＝x的斜率是什么？它们有什么位置关系？ 3．直线x＝3和y＝3，有什么位置关系？ 【提示】 1.斜率均为1，平行.2.斜率分别为－1,1，垂直.3.垂直．

l1∥l2 l1⊥l2 l1、l2的倾斜角α1、α2间的关系 α1＝α2 |α2－α1|＝90°

图示 斜率间的关系(若l1、l2的斜率都存在，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2)

若l1、l2的斜率都存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2(如图①所示)， 若l1、l2的斜率都不存在，则l1∥l2(如图②所示)或l1与l2重合 若l1、l2的斜率都存在，则l1

⊥l2⇔k1k2＝－1(如图③所

示)， 若l1、l2有一条直线的斜率不存在，则l1⊥l2⇔另一条直线

的斜率为0(如图④所示) 两直线平行、垂直的判定 判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由． (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0； (3)l1：x＝2，l2：x＝4； (4)l1：y＝－3，l2：x＝1. 【思路探究】 利用两直线斜率和在坐标轴上截距的关系来判断．

【自主解答】 (1)将两直线方程各化为斜截式：l1：y＝－35x＋65，l2：y＝－35x－310.

则k1＝－35，b1＝65，k2＝－35，b2＝－310. ∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2. (2)l1：y＝12x＋73，l2：y＝－2x＋2.

则k1＝12，k2＝－2， ∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2. (3)直线l1、l2的斜率均不存在，且2≠4. ∴l1∥l2. (4)直线l1的斜率k1＝0，直线l2斜率不存在． ∴l1⊥l2.

1．判断两直线位置关系应注意斜率不存在的情况． 2．判断两直线平行、垂直的方法

已知点A(2,2＋22)，B(－2,2)和C(0,2－22)可组成三角形，求证：△ABC为直角三角形．

【证明】 ∵kAB＝2－2＋22－2－2＝22，

kBC＝2－22－20－－2＝－2， ∴kAB·kBC＝－1， ∴AB⊥BC， ∴△ABC为直角三角形． 利用两直线平行、垂直求直线方程 已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求： (1)过点A和直线l平行的直线方程； (2)过点A和直线l垂直的直线方程． 【思路探究】 利用两条直线的位置关系，设出直线的方程，然后由另一条件确定直线方程． 【自主解答】 法一 ∵直线l的方程为3x＋4y－20＝0，

∴kl＝－34. (1)设过点A与直线l平行的直线为l1， ∵kl＝kl1，∴kl1＝－34.

∴l1的方程为y－2＝－34(x－2)， 即3x＋4y－14＝0. (2)设过点A与直线l垂直的直线为l2，

∵kl·kl2＝－1，∴(－34)·kl2＝－1，∴kl2＝43.

∴l2的方程为y－2＝43(x－2)，即4x－3y－2＝0. 法二 (1)设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0， ∵点(2,2)在直线上， ∴3×2＋4×2＋C＝0，∴C＝－14. ∴所求直线方程为3x＋4y－14＝0. (2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0， ∵点(2,2)在直线上， ∴4×2－3×2＋λ＝0， ∴λ＝－2，即所求直线方程为4x－3y－2＝0.

1．根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，点斜式求解；或利用待定系数法求解． 2．直线方程的常用设法 ①过定点P(x0，y0)，可设点斜式y－y0＝k(x－x0)； ②知斜率k，设斜截式y＝kx＋b； ③与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0； ④与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0.

本例中条件“l：3x＋4y－20＝0”改为“l：x＝1”，求相应的直线方程． 【解】 (1)设x－m＝0，则m＝2，∴所求直线方程为x－2＝0； (2)易知l：x＝1的斜率不存在，∴所求直线的斜率k＝0， 所以，所求直线方程为y＝2， 即y－2＝0.

利用两直线的平行、垂直求参数 若直线l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求：a取何值时，(1)l1∥l2，(2)l1

⊥l2.

【思路探究】 由于l2的斜率未必存在，故应从l2的斜率存在与不存在两种情况入手，分a＝0和a≠0讨论．

【自主解答】 将直线l1化成斜截式方程为y＝－a4x＋12， 当a＝0时，l2的方程为x＝－1， l1的方程为y＝12，此时l1⊥l2； 当a≠0时，l2的斜截式方程为y＝－1ax－1a. 若 －a4＝－1a，12≠－1a， 即a＝2时，l1∥l2； 若－a4·(－1a)＝－1，即14＝－1，矛盾，故l1与l2在a≠0时不垂直． 综上，当a＝2时，l1∥l2； 当a＝0时，l1⊥l2.

1．利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论． 2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系： 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0. ①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)； ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4)． (1)若l1∥l2，求a的值； (2)若l1⊥l2，求a的值．

【解】 kl1＝kAB＝a－13－1＝a－12， (1)若l1∥l2，则3＋a≠2， 且kl2＝kMN＝4－2a＋3－2＝2a＋1＝a－12， 即a≠－1且a＝5， ∴a＝±5. (2)当a＋3＝2即a＝－1时，l2无斜率， 此时kl1＝－1，所以l1与l2不垂直，

当a＋3≠2即a≠－1时，kl2＝2a＋1，

由l1⊥l2得，kl1·kl2＝a－12×2a＋1＝－1.

即a＝0.

忽视斜率不存在的情形致误 已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值． 【错解】 由斜率公式

kAB＝4－2－2m－4－－m－3＝2－m＋1， kCD＝3m＋2－m3－－m＝2m＋1m＋3. ∵AB⊥CD， ∴kAB·kCD＝－1，

即2－m＋1·2m＋1m＋3＝－1， 解得m＝1，∴m的值为1. 【错因分析】 两直线垂直⇔k1k2＝－1的前提条件是k1、k2均存在且不为零，本题出错的原因正是忽视了前提条件，这类问题的解决方式应分斜率存在和不存在两种情况讨论． 【防范措施】 遇到垂直、平行的判断时一定要考虑到直线斜率不存在的情况． 【正解】 ∵A、B两点纵坐标不等， ∴AB与x轴不平行． ∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3. ①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4， 解得m＝－1.而m＝－1时C、D纵坐标均为－1， ∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意． ②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式

kAB＝4－2－2m－4－－m－3＝2－m＋1，

kCD＝3m＋2－m3－－m＝2m＋1m＋3. ∵AB⊥CD， ∴kAB·kCD＝－1，

即2－m＋1·2m＋1m＋3＝－1， 解得m＝1， 综上m的值为1或－1.

1．判断两条直线平行的一般性结论是：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2的斜率均不存在． 2．判断两条直线垂直的一般结论是：l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0. 3．根据两条直线的平行或垂直关系求直线方程时，可根据两直线的位置关系求出直线的斜率再求解；也可利用待定系数法求解．

1．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是( ) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．ax－ay－a＝0 D．x－y＋1＝0或ax－ay－a＝0 【解析】 显然B中直线与x－y－1＝0斜率相等但不重合． 【答案】 B 2．已知直线l1的斜率k1＝1，直线l2的斜率k2＝－1，则l1与l2的位置关系是( ) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不确定 【解析】 ∵k1·k2＝－1，

∴l1⊥l2. 【答案】 B 3．若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝________.

【解析】 －2m＝3，

∴m＝－23. 【答案】 －23 4．已知直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求实数a. 【解】 由题意得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， ∴a＝±1.

一、选择题 1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0

【解析】 过点(1,0)且斜率为12的直线方程为y＝12(x－1)即x－2y－1＝0. 【答案】 A 2．两直线2x－a2y－3＝0与ax－2y－1＝0互相垂直，则( ) A．a＝0 B．a＝－1 C．a＝0或a＝－1 D．不存在 【解析】 由2·a＋(－a2)·(－2)＝0得a2＋a＝0， ∴a＝0或a＝－1. 【答案】 C 3．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为( ) A．0 B．－8 C．2 D．10 【解析】 因为直线2x＋y－1＝0的斜率是－2，

所以，若两直线平行，则有－2＝4－mm－－2， 解得m＝－8. 【答案】 B 4．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2过点A(1,2)，B(－5，－4)，则l1与l2的位置关系是( ) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．平行或重合 【解析】 ∵l1的倾斜角为45°，∴k1＝tan 45°＝1， 又∵l2过点A(1,2)，B(－5，－4)，