高考数学讲义双曲线.板块二.双曲线的离心率.学生版

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离心率(高中数学课件)

离心率
（第一课时）
一，复习回顾：
c
e 1.离心率定义：
a
2.离心率范围：0<e<1 3.意义：e越接近1时，椭圆越扁平。
e越接近0是，椭圆越接近圆。
e b 4.离心率与
a
b
关系：
=
1 2
a
二.研究离心率问题。 1.用公式求离心率。
例1.求 x2 y2 1的离心率。 25 9
例2.求9 x2 36 y2 144的离心率
3,用几何法求离心率
1.椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的两焦点为F1, F2 ,以F1F2为边作
正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则此椭圆
的离心率为_______
y
F1
o
F2
x
课后练习：
1.椭圆
x a
பைடு நூலகம்
2 2
y2 b2
1(a
b
0)的两焦点为F1, F2, P是椭圆上的点，
PF2 F1F2, PF1F2 30,则此椭圆的离心率为________
例3.已知椭圆长轴上是短轴长的2倍，求离心率
2,用代数法2 求离心2率
ax by 1.椭圆 2 2 1(a b 0)的左右顶点分别是A, B。
F F AF 左右焦点分别是 , .若
1
2
1 , F1F2 , F1B 成等比数列，
则此椭圆的离心率为_______
若将此题中的“等比”改为“等差”，求此椭圆的离心率______
y
P
F1
o
F2
x

高三数学知识点椭圆双曲线

高三数学知识点椭圆双曲线高三数学知识点：椭圆与双曲线椭圆与双曲线是高中数学中重要的几何概念之一，它们在代数几何中有着广泛的应用。

本文将重点介绍椭圆和双曲线的基本定义和性质，并讨论它们的图像、方程和几何意义。

一、椭圆的定义和性质椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个给定点称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距。

椭圆还有一个重要的性质，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

椭圆的标准方程为：(x-a)²/b² + (y-c)²/d² = 1，其中(a, c)为椭圆的中心坐标，b和d分别为短轴和长轴长度。

根据椭圆的方程，我们可以确定椭圆的图像和位置。

椭圆还有其他一些重要的性质，如离心率和焦半径等。

离心率是一个表示椭圆形状的重要指标，它的值介于0和1之间。

当离心率接近0时，椭圆形状趋近于圆形；当离心率接近1时，椭圆形状趋近于长条形。

二、双曲线的定义和性质双曲线是平面上满足一点到两个给定点的距离之差等于常数的点的集合。

这两个给定点称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离称为双曲线的焦距。

双曲线还有一个重要的性质，即双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于双曲线的常数项。

双曲线的标准方程有两种形式：(x-a)²/b² - (y-c)²/d² = 1 和 (y-c)²/d² - (x-a)²/b² = 1，其中(a, c)是双曲线的中心坐标，b和d分别为短轴和长轴长度。

根据双曲线的方程，我们可以确定双曲线的图像和位置。

双曲线也有离心率和焦半径等重要性质。

与椭圆不同的是，双曲线的离心率大于1，表明双曲线的形状更加扁平。

双曲线还有两条渐近线，它们与双曲线的曲线趋势完全相同。

三、椭圆和双曲线的几何意义椭圆和双曲线有着重要的几何意义和应用。

在椭圆和双曲线的研究中，我们可以探索许多有趣的性质和结论。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解67---双曲线

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第67讲双曲线考向预测核心素养考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，双曲线的离心率和渐近线是高考命题热点；直线与双曲线是高考新的命题点.直观想象、数学运算一、知识梳理1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．(3)焦点：两个定点F1，F2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abxa，b，c关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2.常用结论1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2 a2 .2．巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 解析：选D.由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A ，C.又由题意可知焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3，所以b ＝c 2－a 2＝4，故点M 的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．2．(人A 选择性必修第一册P 127习题3.2 T 6改编)经过点A (4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (4，1)代入，得a 2＝15(舍负)，故所求方程为x 215－y 215＝1.答案：x 215－y 215＝13．(人A 选择性必修第一册P 120例1改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得焦点为(－1，0)，(1，0)，顶点为(－2，0)，(2，0)．所以双曲线的顶点为(－1，0)，(1，0)，焦点为(－2，0)，(2，0)．所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )(3)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与x2b2－y2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1 e21＋1e22＝1.( )答案：(1)×(2)×(3)√二、易错纠偏1．(多选)(曲线方程中参数意义不明致误)若方程x23－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是( )A．若C为椭圆，则1<t<3B．若C为双曲线，则t>3或t<1C．曲线C可能是圆D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<2解析：选AD.若t>3，则方程可变形为y2t－1－x2t－3＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为x23－t－y21－t＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2<t<3，则0<3－t<t－1，故方程x23－t＋y2t－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆；若1<t<2，则0<t－1<3－t，故方程x23－t ＋y2t－1＝1表示焦点在x轴上的椭圆；若t＝2，方程x23－t＋y2t－1＝1即为x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选AD.2．(忽视双曲线上的点的特征致误)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________．解析：设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 答案：63．(忽视焦点的位置致误)坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为________．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，有ba＝3，则c ＝2a ，此时e ＝2. 若双曲线的焦点在y 轴上，有a b ＝3，则c ＝233a ，此时e ＝233. 综上，e ＝2或e ＝233. 答案：2或233考点一双曲线的定义及标准方程(多维探究)复习指导：了解双曲线的定义及几何图形；会求双曲线的标准方程，理解两种类型的标准方程的差异．角度1 双曲线的定义(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1 B.x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D.x 2－y 28＝1(x ≥1)(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．【解析】 (1)设动圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (2)不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝8，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.【答案】 (1)C (2)2 3在本例(2)中，若将“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积为________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.答案：2双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．角度2 双曲线的标准方程(一题多解)已知双曲线过点(2，3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 【解析】方法一：若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，b a＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，该方程组无解．综上，所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.方法二：设双曲线的方程为x 2m －y2n ＝1(mn >0)，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4m －9n ＝1，nm ＝3，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.方法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为3x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由双曲线过点(2，3)，可得λ＝3×22－32＝3，故双曲线的方程为3x 2－y 2＝3，其标准方程为x 2－y 23＝1.【答案】 C若本例中“双曲线过点(2，3)”变为“焦距为2”，其他条件不变，则双曲线的标准方程为________．解析：由例题方法三知所求双曲线方程可设为3x 2－y 2＝λ(λ≠0)即x 2λ3－y 2λ＝1.又双曲线焦距为2，所以c ＝1.若λ>0，方程化为x 2λ3－y 2λ＝1，所以λ3＋λ＝1，所以λ＝34.此时方程为x 214－y 234＝1；若λ<0，方程化为y 2－λ－x 2－λ3＝1，所以－λ－λ3＝1，所以λ＝－34.此时方程为y 234－x 214＝1.故所求双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1或y 234－x 214＝1.答案：x 214－y 234＝1或y 234－x 214＝1求双曲线标准方程的常用方法(1)定义法：根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x 轴还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x 2m2－y 2n2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)，再根据条件求解． (3)常用设法：①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．|跟踪训练|1．(多选)(2022·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的条件是( ) A ．双曲线的离心率为54B ．双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫5，94C ．双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0D ．双曲线的实轴长为4解析：选ABC.由题意可得焦点在x 轴上，且c ＝5，A 选项，若双曲线的离心率为54，则a ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故A 正确；B 选项，若双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94，则⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－8116b 2＝1，a 2＋b 2＝25，得⎩⎨⎧a 2＝16，b 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，可设双曲线的方程为x 216－y 29＝m (m >0)，所以c 2＝16m ＋9m ＝25，解得m ＝1，所以此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故C正确；D 选项，若双曲线的实轴长为4，则a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝21，此时双曲线的方程为x 24－y 221＝1，故D 错误．故选ABC.2．经过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，因为所求双曲线经过点P (3，27)，Q (－62，7)，所以⎩⎨⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线的标准方程为y 225－x275＝1.答案：y 225－x 275＝1考点二双曲线的几何性质(多维探究)复习指导：了解双曲线的几何性质．角度1 渐近线和离心率(1)(2021·高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )A.72B.132C.7D.13(2)(2021·高考全国卷乙)已知双曲线C：x2m－y2＝1(m>0)的一条渐近线为3x＋my＝0，则C的焦距为________．【解析】(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝m2＋9m2－2×3m×m×cos 60°＝7m，所以C的离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|－|PF2|＝7m2m＝72.(2)双曲线x2m－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±1mx，即x±my＝0，又双曲线的一条渐近线为3x＋my＝0，即x＋m3y＝0，联立两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2a2＋b2＝4.【答案】(1)A (2)4角度2 双曲线性质的综合应用(1)(2022·潍坊模拟)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝2π3，则S△AF1F2S△ABF2＝( )A．1 B.12C.13D.23(2)(2022·合肥市名校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.53C.2D.73(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5【解析】 (1)如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a . 又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ，因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2，所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12.故选B.(2)设P (x P ，y P )，则双曲线的焦半径|PF 1|＝ex P ＋a ， |PF 2|＝ex P －a ，由|PF 1|＝4|PF 2|可得ex P ＋a ＝4(ex P －a )，即3ex P ＝5a ，所以x P ＝5a 3e. 由于点P 在双曲线的右支上，则x P ＝5a3e≥a ，从而e ≤53，即此双曲线的离心率e 的最大值为53.(3)依题意，记F (c ，0)，则以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24，将圆⎝⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24与圆x 2＋y 2＝a 2的方程相减得cx ＝a 2，即x ＝a 2c ，所以点P ，Q 的横坐标均为a 2c .由于PQ 是圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|PQ |22＝a 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，即c 24＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2c 2＝a 2b 2c 2，所以c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ，因此C 的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选A. 【答案】 (1)B (2)B (3)A双曲线的几何性质(1)求双曲线的渐近线或离心率的方法：①求出a ，b ，c 直接求离心率e ，写渐近线方程．②列出a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等关系．|跟踪训练|1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为42，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为( )A ．2 B.4 C ．6D.8解析：选B.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线为y ＝±ba x ，两条渐近线互相垂直，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝－1，得a ＝b .因为双曲线的焦距为42，所以c ＝22，由c 2＝a 2＋b 2可知2a 2＝8，所以a ＝2，所以实轴长2a ＝4.故选B.2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5解析：选D.由题意，可得F (1，0)，直线l 的方程为x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .将x ＝－1代入y ＝±b a x ，得y ＝±b a ，所以点A ，B 的纵坐标的绝对值均为b a.由|AB |＝4|OF |可得2b a ＝4，即b ＝2a ，b 2＝4a 2，故双曲线的离心率e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝5.3．(2022·济宁模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为________．解析：因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点 A (a ，b )，c ＝4且（4－a ）2＋b 2＝4，又a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝1考点三直线与双曲线(综合研析)(2021·新高考卷Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【解】 (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2<|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1)．(2)设T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，t ，由题意可知直线AB ，PQ 的斜率均存在且不为0，设直线AB 的方程为y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k 2⎝⎛⎭⎪⎫x －12(k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x 2－y216＝1，得(16－k 21)x 2－2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－16＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，易知16－k 21≠0，则x A x B ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21，x A ＋x B ＝2k 1⎝⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21，所以|TA |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x A －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12， |TB |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x B －12＝1＋k 21⎝⎛⎭⎪⎫x B －12，则|TA |·|TB |＝(1＋k 21)⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x A x B －12（x A ＋x B ）＋14 ＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k21－12·2k 1⎝⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21＋14 ＝（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16.同理得|TP |·|TQ |＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16.因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16，所以k 22－16＋k 21k 22－16k 21＝k 21－16＋k 21k 22－16k 22，即k 21＝k 22，又k 1≠k 2，所以k 1＝－k 2，即k 1＋k 2＝0. 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.(1)判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)弦长公式设直线y ＝kx ＋b 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.|跟踪训练|已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1.(1)求与双曲线C 1有相同的焦点且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程； (2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A ，B 两点．当OA →·OB →＝3时，求实数m 的值．解：(1)双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＝5，16a 2－3b2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)双曲线C 1的渐近线方程为y ＝2x ，y ＝－2x ，设A (x 1，2x 1)，B (x 2，－2x 2)．由⎩⎨⎧x 2－y 24＝0，y ＝x ＋m ，消去y 化简得3x 2－2mx －m 2＝0.由Δ＝(－2m )2－4×3×(－m 2)＝16m 2＞0，得m ≠0.因为x 1x 2＝－m 23，OA →·OB →＝x 1x 2＋(2x 1)·(－2x 2)＝－3x 1x 2，所以m 2＝3，即m ＝± 3.[A 基础达标]1．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．11 B.9 C.5D.3解析：选 B.根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．2．已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( )A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 28＝1 C ．x 2－y 28＝1D.x 22－y 28＝1 解析：选D.由题意，得2m ＝m ＋6，解得m ＝2，所以双曲线的标准方程x 22－y 28＝1.故选D.3．设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积为( )A ．10 3B.8 3C.8 5D.16 5解析：选C.依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2，因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，所以S △PF 1F 2＝12×8×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝8 5.4．(2022·长春市质量监测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，B 外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2＝3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±x B.y ＝±2x C ．y ＝±3xD.y ＝±2x解析：选C.设点P (x ，y )，由题意知k 1·k 2＝yx －a ·yx ＋a ＝y 2x 2－a 2＝y 2a 2y 2b 2＝b 2a 2＝3，所以其渐近线方程为y ＝±3x ，故选C.5．(2020·高考天津卷)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 2－y 24＝1C.x 24－y 2＝1 D.x 2－y 2＝1解析：选D.方法一：由题知y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b )的直线方程为x ＋y b ＝1，而x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x a ＋y b ＝0和x a －yb ＝0，由l 与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，得a ＝1，b ＝1，故选D.方法二：由题知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则a ＝b ，即渐近线方程为x ±y ＝0，排除B ，C.又知y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，l 过点(1，0)，(0，b )，所以b －00－1＝－1，b ＝1，故选D.6．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32 B.16 C.84D.4解析：选B.由题意知F 2(c ，0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知|F 2M |＝bc a 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，ca ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B. 7．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nxD ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线解析：选ACD.对于A ，若m ＞n ＞0，则mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m＋y 21n＝1，因为m >n >0，所以0<1m ＜1n，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若m ＝n >0，则mx 2＋ny 2＝1可化为x 2＋y 2＝1n，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；对于C，若mn<0，则mx2＋ny2＝1可化为x21m＋y21n＝1，此时曲线C表示双曲线．由mx2＋ny2＝0可得y＝± －mnx，故C正确；对于D，若m＝0，n>0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝1 n ，y＝±nn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．故选ACD.8．(2021·高考全国卷乙)双曲线x24－y25＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________．解析：由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝|3－8|12＋22＝ 5.答案： 59．已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．解析：双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±bax，一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得ba＝2，即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，可得a＝32，b＝3，即有c＝a2＋b2＝94＋9＝352，即焦距为2c＝3 5.答案：3 510．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．因为MF 1→·MF 2→<0，所以(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线C 上，所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20<0，所以－33<y 0<33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33[B 综合应用]11．(多选)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其中一条渐近线上的一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1C ．点P 的横坐标为±1D ．△PF 1F 2的面积为 2解析：选ACD.等轴双曲线C ：y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，故A 正确；由双曲线的方程可知|F 1F 2|＝22，所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，故B 错误；点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上，不妨设点P (x 0，y 0)在直线y ＝x 上，所以⎩⎨⎧x 20＋y 20＝2，y 0＝x 0，解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得S△PF1F2＝12×22×1＝2，故D正确．故选ACD.12.如图，F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为________．解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C的方程，可得x＝±a2b2b2－a2，所以2·a2b2b2－a2＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e>1，所以e2＝2＋2，所以e＝2＋ 2.答案：2＋ 213．(2022·陕西榆林二模)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为12，则C的离心率为________．解析：把x＝c代入双曲线：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)得y＝b2a，所以B⎝⎛⎭⎪⎫c，b2a，又A(－a，0)，直线AB的斜率为12，所以b2aa＋c＝12，可得a2＋ac＝2c2－2a2，即2c2－3a2－ac＝0，即2e2－3－e＝0，因为e >1，所以e ＝32.答案：3214．(2022·临川一中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，A 1，A 2是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i ＝1，2)，使得P i A 1→·P i A 2→＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：设c 为半焦距，则F (c ，0)，又B (0，b )，所以BF ：bx ＋cy －bc ＝0，以A 1A 2为直径的圆的方程为⊙O ：x 2＋y 2＝a 2，因为P i A 1→·P i A 2→＝0，i ＝1，2，所以⊙O 与线段BF 有两个交点(不含端点)，所以⎩⎨⎧bc b 2＋c 2<a ，b >a ，即⎩⎨⎧c 4－3a 2c 2＋a 4<0，c 2>2a 2，故⎩⎨⎧e 4－3e 2＋1<0，e 2>2，解得2<e <5＋12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5＋12 [C 素养提升]15．(2022·安徽皖南名校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其右支上存在一点M ，使得MF 1→·MF 2→＝0，直线MF 2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5解析：选D.由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2.不妨设直线MF 2平行于双曲线的渐近线l ：bx ＋ay ＝0，如图所示，从而得l 是线段MF 1的垂直平分线，且直线MF 1的方程为y ＝ab(x ＋c )．设MF 1与l 相交于点N (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a b（x ＋c ），y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a 2c ，y ＝abc ，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，ab c .又F 1(－c ，0)，由中点坐标公式，得M ⎝⎛⎭⎪⎫c －2a 2c ，2ab c ，将点M 的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫c －2a 2c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab c 2b2＝1，化简得c 2＝5a 2，则离心率e ＝ca＝ 5.故选D.16．(2022·长沙雅礼中学模拟)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A (0，66)，当△APF 周长最小时，则点P 的坐标为________．解析：如图，由双曲线C的方程可知c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，所以c＝3，所以左焦点E(－3，0)，右焦点F(3，0)，因为|AF|＝（－3）2＋（66）2＝15，所以当△APF的周长最小时，|PA|＋|PF|最小．由双曲线的性质得|PF|－|PE|＝2a＝2，所以|PF|＝|PE|＋2，又|PE|＋|PA|≥|AE|＝|AF|＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，所以△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝15＋|PE|＋|AP|＋2≥15＋15＋2＝32.直线AE的方程为y＝26x＋66，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x＝－2，由x＝－2，得y＝26(负值已舍)，所以点P的坐标为(－2，26)．答案：(－2，26)17．(2021·上海春季高考卷节选)(1)某团队在基地O点西侧、东侧20千米处分别设有A，B两站点，测量距离发现一点P满足|PA|－|PB|＝20千米，可知P在以点A，B 为焦点的双曲线上．以O点为坐标原点，正东方向为x轴正半轴方向，正北方向为y轴正半轴方向，建立平面直角坐标系，点P在基地O点北偏东60°处，求双曲线的标准方程和P点的坐标．(2)该团队又在基地O点南侧、北侧15千米处分别设有C，D两站点，测量距离发现一点Q满足|QA|－|QB|＝30千米，|QC|－|QD|＝10千米，求|OQ|(精确到1千米)．解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a ＝10，c ＝20，所以b 2＝c 2－a 2＝300，所以双曲线的标准方程为x 2100－y 2300＝1. 由题意可得直线OP ：y ＝33x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2100－y 2300＝1，y ＝33x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1522，y ＝562，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1522，562. (2)①由|QA |－|QB |＝30可得点Q 在以A ，B 为焦点，实轴在x 轴上且实轴长为30的双曲线右支上，设双曲线方程为x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)，则a 1＝15，c 1＝20，所以b 21＝175，双曲线的方程为x 2225－y 2175＝1；②由|QC |－|QD |＝10可得点Q 在以C ，D 为焦点，实轴在y 轴上且实轴长为10的双曲线上支上，设双曲线方程为y 2a 22－x 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，则a 2＝5，c 2＝15，所以b 22＝200，双曲线的方程为y 225－x 2200＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2225－y 2175＝1，y 225－x 2200＝1，可得Q ⎝⎛⎭⎪⎫14 40047， 2 97547，所以经计算器计算得，|OQ|≈19(千米)．。

第二章 2.3 2.3.2 双曲线的简单几何性质

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人教A版数学·选修2-1
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直线与双曲线的位置关系 [典例] (本题满分 12 分)设双曲线 C：xa22－y2＝1(a＞0)与直线 l：x＋y ＝1 相交于两个不同的点 A，B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围． (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且P→A＝152P→B，求 a 的值．
人教A版数学·选修2-1
[解析] (1)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则4298mm＋＋792nn＝＝11，，解得nm＝＝－2157，15，所求双曲线方程为2x52－7y52 ＝1. (2)设所求双曲线方程为 16x2－9y2＝λ(λ≠0)，将 M8，1313代入，得 λ＝16×82－9×13132＝－576，所求双曲线方程为 16x2－9y2＝－576，即6y42 －3x62＝1.
D．y＝±2x
解析：y2－x2＝2 的渐近线方程为 y＝±x.
答案：A
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2．若双曲线1y62 －xm2＝1 的离心率 e＝2，则 m＝________. 解析：a2＝16，b2＝m，c2＝16＋m， ∴1＋1m6＝4，∴1m6＝3，m＝48. 答案：48
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求双曲线的离心率的方法技巧 (1)若可求得 a，c，则直接利用 e＝ac得解； (2)若已知 a，b，可直接利用 e＝ 1＋ba2得解； (3)若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r 为常数，且 p≠0)，则转化为关于 e 的方程 pe2＋q·e＋r＝0 求解．

高中数学选修2-1人教A版：2.3.1双曲线及其标准方程及其性质课件

A.双曲线
B.双曲线的一支
C.两条射线
D.一条射线
c
)
跟踪检测
下列方程分别表示什么曲线?
(1)
( x 3) y ( x 3) y 10 椭圆
( 2)
( x 3) y ( x 3) y 5 双曲线的右支
(3)
( x 3) 2 y 2 ( x 3) 2 y 2 4 双曲线
＝2|F2A|，则 cos∠AF2F1＝(
) A
1
1
2
2
A.4 B.3 C. 4 D. 3
焦点三角形基本思路：
1.曲线定义；
2.余弦定理；
3.面积公式.
4.双曲线的焦点三角形面积： S b cot
2

2
双曲线的性质
x2 y2
研究双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的简单几何性质
b
b
共渐近线的双曲线方程
x2 y 2
与 2 2 1有相同渐近线的双曲线方程我
a b
们可以假设为：
2
其中：
2
x
y
2 ( 0，为参数)
2
a
b
为什么可以这样做？
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
跟踪检测
x2 y 2
求与 1 有相同渐近线，且过点 (3,2
y
顶点是A1 ( a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1 A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a，a叫
做实半轴长；线段 B1 B2 叫做
B2
b
o
A1 -a
-b

2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第九章第六节双曲线 Word版含答案

第六节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F 1F 2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. 2．双曲线的标准方程和几何性质若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．设双曲线上的点M 到两焦点F 1，F 2的距离之差的绝对值为2a ，则0＜2a ＜|F 1F 2|，这一条件不能忽略．①若2a ＝|F 1F 2|，则点M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线； ②若2a ＞|F 1F 2|，则点M 的轨迹不存在；③若2a ＝0，则点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( ) (4)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e22＝1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√二、选填题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2 2C．4 D．4 2解析：选C双曲线2x2－y2＝8的标准方程为x24－y28＝1，故实轴长为4.2．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D．(3，0)解析：选C∵原方程可化为x21－y212＝1，∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.3．若方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________.解析：因为方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)4．若双曲线x2－y2m＝1的离心率为3，则实数m＝________.解析：由已知可得a＝1，c＝1＋m，所以e＝ca＝1＋m＝3，解得m＝2.答案：25．双曲线C的焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则该双曲线的标准方程为____________________．解析：由题意得2a＝|(－5＋6)2＋22－(－5－6)2＋22|＝45，所以a＝25，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.答案：x 220－y 216＝1考点一双曲线的标准方程[基础自学过关][题组练透]1．(2019·绵阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B 由题意得b a ＝34，c 2＝a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线标准方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线标准方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1＜λ＜4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为x 22－y 2＝1.3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：选A 因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.4．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝15．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ＞0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝1[名师微点]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． [提醒] 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．(如第4题)考点二双曲线的定义及其应用 [师生共研过关][典例精析](1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.(3)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．[解析] (1)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ，根据两圆外切的充要条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |. 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2＜6.这表明动点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数2且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义知，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小)，且a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， |PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.(3)因为F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，所以F (－4,0)，设其右焦点为H (4,0)，则由双曲线的定义可得|PF |＋|PA |＝2a ＋|PH |＋|PA |≥2a ＋|AH |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9.[答案] (1)x 2－y 28＝1(x ≤－1) (2)34(3)9[解题技法]双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a ＜|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．[过关训练]1．(2019·唐山模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为( )A ．1 B.52C ．2D. 5解析：选A 不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝|m －n |＝4.又因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝20，即m 2＋n 2＝20.又||PF 1|－|PF 2||2＝|m －n |2＝16，所以mn ＝2.所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn ＝1，故选A.2．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24－y 221＝1(x ＞2) B.y 24－x 221＝1(y ＞2) C.x 221－y 24＝1 D.y 24－x 22＝1解析：选A 如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F . |AG |＝|AE |＝7，|BF |＝|BG |＝3，|CE |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x 24－y 221＝1(x ＞2)．考点三双曲线的几何性质[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[例1] (1)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)(2)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，|OP |＝|OF |，则双曲线C 的离心率为( )A ．5 B. 5 C.53D.54[解析] (1)若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac ＞0，则e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，则1＜e ＜2，故选B.(2)根据直线4x －3y ＋20＝0与x 轴的交点F 为(－5,0)，可知半焦距c ＝5，设双曲线C 的右焦点为F 2，连接PF 2，根据|OF 2|＝|OF |且|OP |＝|OF |可得，△PFF 2为直角三角形，如图，过点O 作OA 垂直于直线4x －3y ＋20＝0，垂足为A ，则易知OA 为△PFF 2的中位线，又原点O 到直线4x －3y ＋20＝0的距离d ＝4，所以|PF 2|＝2d ＝8，|PF |＝|FF 2|2－|PF 2|2＝6，故结合双曲线的定义可知|PF 2|－|PF |＝2a ＝2，所以a ＝1，故e ＝ca＝5.[答案] (1)B (2)A考法(二) 求双曲线的渐近线[例2] (2019·武汉调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0[解析] 由题意知，椭圆中a 2＝25，b 2＝16，∴椭圆的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝35， ∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.[答案] A考法(三) 求双曲线的方程[例3] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 [解析] 由离心率为2，可知a ＝b ，c ＝2a ，所以F (－2a ,0)，由题意知k PF ＝4－00－(－2a )＝42a ＝1，所以2a ＝4，解得a ＝22，所以双曲线的方程为x 28－y 28＝1.[答案] B[规律探求][过关训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：选A ∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝3， ∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .2．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5B.2C. 3D. 2解析：选C 不妨设一条渐近线的方程为y ＝ba x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b . 在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－ac ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.3．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1―→·MF 2―→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎫－233，233解析：选A 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1―→＝(－3－x 0，－y 0)， MF 2―→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1―→·MF 2―→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线C 上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴－33＜y 0＜33.。

专题8.7 双曲线及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)

第八篇平面解析几何专题8.07双曲线及其几何性质【考试要求】了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 【知识梳理】1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2【微点提醒】1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a .2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±yn＝0.( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√【解析】 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线. 【教材衍化】2.(选修2－1P62A6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________. 【答案】 x 28－y 28＝1【解析】设双曲线方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 28＝1.3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________. 【答案】 6【解析】设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6.【真题体验】4.(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)【答案】 B【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，又c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.【答案】 5【解析】由题意可得3a ＝35，所以a ＝5.6.(2018·北京卷)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.【答案】 4【解析】由题意可得，a 2＋4a 2＝⎝⎛⎭⎫522，即a 2＝16，又a >0，所以a ＝4.【考点聚焦】考点一双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45(2)(2019·济南调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________. 【答案】 (1)C(2)x 2－y 28＝1(x ≤－1) 【解析】 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1). 【规律方法】 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； 2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.【训练1】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2D.15a 2(2)(2019·杭州质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( ) A.8B.10C.4＋37D.3＋317【答案】 (1)B (2)B【解析】 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ，∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14.又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154， ∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2.(2)由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△PAF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|PA |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|PA |有最小值，为|AF ′|＝3，故△PAF 的周长的最小值为10. 考点二双曲线的标准方程【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 (2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1 【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.【规律方法】 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).【训练2】 (1)(2019·海南二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1B.x 29－y 23＝1 C.x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1 (2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为 ________________.【答案】 (1)C (2)y 243－x 23＝1【解析】 (1)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得⎩⎨⎧2a 2－3b 2＝1，b a＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1. (2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.考点三双曲线的性质角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±3xC.y ＝±22xD.y ＝±32x【答案】 A【解析】法一由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .法二由e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x . 角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D. 2(2)(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，233B.⎝⎛⎭⎫233，＋∞ C.(1，2)D.(2，＋∞)【答案】 (1)C (2)A【解析】 (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，233.角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎫－233，233 【答案】 A【解析】因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. 【规律方法】 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【训练3】 (1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( ) A.43B.54C.169D.2516(2)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)(0，2)【解析】 (1)双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0，又圆心坐标为(2，1)，则|b －2a |a 2＋b 2＝1，得3a ＝4b ，所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，则e 2＝2516，又e >1，故e ＝54.(2)对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的一个焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2). 【反思与感悟】1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程.【易错防范】1.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±ab x .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±12xB.y ＝±22xC.y ＝±2xD.y ＝±2x【答案】 B【解析】因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .2.双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.62【答案】 A【解析】由题易知双曲线C 的一条渐近线与x 轴的夹角为π4，故双曲线C 的离心率e ＝⎝⎛⎭⎫cos π4－1＝ 2.3.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2B.2C.322D.2 2【答案】 D【解析】法一由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 法二离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.4.(2019·天津和平区一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A.x 2－4y 25＝1 B.x 22－2y 25＝1 C.x 24－y 25＝1D.x 216－y 220＝1 【答案】 C【解析】由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取一条渐近线为y ＝bax ，可得F 到渐近线y ＝b a x 的距离d ＝bca 2＋b2＝b ，在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得12ab ＝5，联立⎩⎨⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1.5.已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22xC.y ＝±6xD.y ＝±66x【答案】 D【解析】根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∵△ABF 2为等边三角形，∴|BF 2|＝|AB |，∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ，又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×⎝⎛⎭⎫－12＝28a 2，亦即c 2＝7a 2，则b ＝c 2－a 2＝6a 2＝6a ，由此可得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±66x . 二、填空题6.直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_________________________________.【答案】 x 25－y 220＝1 【解析】由题意得一个焦点为F (－5，0)，c ＝5，b a＝2，又a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线方程为x 25－y 220＝1. 7.设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________.【答案】 3215【解析】 a 2＝9，b 2＝16，故c ＝5.∴A (3，0)，F (5，0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B ⎝⎛⎭⎫175，－3215.∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215. 8.(2019·梅州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的离心率为________. 【答案】 3【解析】由题意，|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1O |＝|F 2O |，|PO |＝|MO |，得四边形PF 1MF 2为平行四边形，又∠MF 2N ＝60°，可得∠F 1PF 2＝60°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos 60°，即4c 2＝20a 2－8a 2，c 2＝3a 2，可得c ＝3a ，所以e＝c a ＝ 3. 三、解答题9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10).(1)求双曲线的方程；(2)(一题多解)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.【答案】见解析【解析】(1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1. (2)证明法一由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m 3－23， k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.法二由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.10.设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标.【答案】见解析【解析】(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3.又OM →＋ON →＝tOD →，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝t (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，其中Δ＝(163)2－4×84>0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3).【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·河南适应测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2xB.y ＝±12xC.y ＝±22x D.y ＝±2x【答案】 D【解析】不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .12.已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.[2，2＋6]B.[2，3＋1]C.[2，2＋6]D.[2，3＋1]【答案】 D【解析】如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β， ∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎡⎦⎤12，32， ∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2]. 又e >1，∴e ∈[2，3＋1].13.(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________.【答案】 3－1 2【解析】设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或 e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1.∵双曲线的渐近线过点A ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，∴渐近线方程为y ＝3x ，∴n m ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2. 14.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1. 【新高考创新预测】15.(多填题)已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________. 【答案】 0 3【解析】由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 22＝1＋n ，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ，即m ＋n ＝3，则4e 21－e 22＝4×4－m 4－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0. 不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，则|PF 1|·|PF 2|＝3.。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解59---双曲线

高考数学复习考点知识与题型专题讲解双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称对称轴：坐标轴；对称中心：原点性顶点A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴实轴：线段A 1A 2，长：2a ；虚轴：线段B 1B 2，长：2b ，实半轴长：a ，虚半轴长：b离心率 e ＝ca ∈(1，＋∞)渐近线y ＝±b a xy ＝±a b xa ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2 (c >a >0，c >b >0)常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a .(4)若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2. (5)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)(3)双曲线x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是xm±yn＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.(√) 教材改编题1．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5B．5C.2D．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝ 5.2．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上均不对答案B解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|等于1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.3．(2022·汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为3的双曲线方程________．答案y2－x22＝1(答案不唯一，符合要求就可以)解析取c＝3，则e＝ca＝3，可得a＝1，∴b＝c2－a2＝2，因此，符合条件的双曲线方程为y2－x22＝1(答案不唯一，符合要求就可以).题型一双曲线的定义及应用例1(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆答案B解析如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM || ＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为______．答案2 3解析不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝2 3.延伸探究在本例(2)中，若将“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1—→·PF 2—→＝0”，则△F 1PF 2的面积为________．答案2解析不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，∵PF 1—→·PF 2—→＝0，∴PF 1—→⊥PF 2—→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.教师备选1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为() A ．x 2－y 28＝1B.x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1)答案C解析设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ， |MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3,0)和C 2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．2．(2022·长春模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为() A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋317 答案B解析由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时， |PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10.思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1(1)双曲线x 24－y 2b 2＝1(0<b ≤42)上一点P 到右焦点的距离为8，则点P 到左焦点的距离为() A ．12或6B ．2或4 C ．6或4D ．12或4 答案D解析设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，由题意知|PF 2|＝8，所以||PF 1|－|PF 2||＝4，解得|PF 1|＝12或|PF 1|＝4，故点P 到左焦点的距离为4或12.(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．答案9解析设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|P A |最小时满足|PF |＋|P A |最小．由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|＋4即|PF |＋|P A |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9. 题型二双曲线的标准方程例2(1)(2021·北京)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1C ．x 2－3y 23＝1D.3x 23－y 2＝1答案A解析∵e ＝ca ＝2，则c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3a ，则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝3，因此，双曲线的方程为x 2－y23＝1.(2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________．答案y 2－x29＝1解析设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1.教师备选1．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为() A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1 答案A解析因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.2．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________．答案y 225－x 275＝1解析设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a ,2b 或2c ，从而求出a 2，b 2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2(1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是() A.7x 216－y 212＝1B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 答案C解析因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)(2022·佛山调研)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为()A.x 24－y 22＝1B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 28＝1D ．x 2－y 22＝1答案D解析由题意可知|PF 1|＝43c 3，|PF 2|＝23c 3，2b ＝22，由双曲线的定义可得43c 3－23c 3＝2a ，即c ＝3a .又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1. 题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例3由伦敦著名建筑事务所SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为()A.y 212－x 24＝1B.3y 24－x 24＝1 C.x 24－y 24＝1D.y 216－x 24＝1答案B解析由题意知，b ＝2，又因为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，解得a 2＝43，所以双曲线的方程为3y 24－x 24＝1.思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＝±b a x . (2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a ，满足关系式e 2＝1＋k 2.命题点2离心率例4(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13答案A解析设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ，在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝m 2＋9m 2－2×3m ×m ×cos60°＝7m ，所以C 的离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2| ＝7m 2m ＝72.高考改编已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝2|AF1|，则双曲线E的离心率为() A.3B. 5C.7D．7答案C解析点A在双曲线E的左支上，左、右焦点分别为F1，F2，设|AF1|＝m，由|AF2|＝2|AF1|知|AF2|＝2m，由双曲线定义得|AF2|－|AF1|＝2m－m＝m＝2a，在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，由余弦定理知，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos120°＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，∴|F1F2|＝27a，又|F1F2|＝2c，∴27a＝2c，e＝ca＝7.(2)若双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的斜率大于233，则双曲线离心率的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫213，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，213 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫1，72 答案D解析因为双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的斜率大于233，所以a b >233，即3a >23b ，也即3a 2>4b 2，所以3a 2>4(c 2－a 2)，所以7a 2>4c 2，所以e <72，又因为双曲线的离心率e >1，所以1<e <72，双曲线离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，72. 教师备选1．(2022·济南模拟)已知双曲线x 2m ＋1－y 2m＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m 等于() A.12B.3－1 C.3＋12D ．2答案A解析由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ，所以b a ＝33，则b 2a 2＝13，即m m ＋1＝13，m ＝12. 2．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为()A.2B. 3C ．2D. 5答案A解析令双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c ,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2， ∴c a ＝2，即离心率e ＝ 2.思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝c a 转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是()A ．2B.3C.2D.32答案C解析由题意可知直线y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·b a ＝－1，则a ＝b .由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以e ＝ 2.(2)已知F 为双曲线M ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左焦点，圆Q ：(x －3)2＋y 2＝6与双曲线M 的渐近线有且仅有2个不同的公共点，则下列说法正确的是()A．点F到渐近线的距离为 6B．双曲线M的渐近线方程为x±2y＝0C．双曲线M的虚轴长为2D．双曲线M的离心率为 3答案D解析因为圆Q与双曲线M的渐近线有且仅有2个不同的公共点，所以圆Q与渐近线bx±y＝0相切，则有|3b|b2＋1＝6，解得b＝2，则双曲线M的方程为x2－y22＝1，所以a＝1，b＝2，c＝3，其渐近线方程为2x±y＝0，故B选项错误；左焦点F(－3，0)到渐近线的距离为|2×(－3)|2＋1＝2，故A选项错误；双曲线M的虚轴长为2b＝22，故C选项错误；双曲线M的离心率为e＝ca ＝31＝3，故D选项正确．课时精练1．双曲线9x 2－16y 2＝1的焦点坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫±512，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±512 C ．(±5,0) D ．(0，±5)答案A解析将双曲线的方程化为标准形式为x 219－y 2116＝1，所以c 2＝19＋116＝25144，所以c ＝512，所以两焦点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫±512，0. 2．已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为() A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 28＝1C ．x 2－y 28＝1D.x 22－y 28＝1 答案D解析由题意，得2m ＝m ＋6，解得m ＝2，所以双曲线的标准方程为x 22－y 28＝1.3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于()A ．11B ．9C ．5D ．3答案B解析方法一依题意知，点P 在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2×3＝6，所以|PF 2|＝6＋3＝9.方法二根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．4．(2022·大连模拟)若双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33，则C 的离心率为()A ．2B.3C.43D.233答案A解析双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点坐标为(9＋b 2，0)，渐近线方程为y ＝±b 3x ，即bx ±3y ＝0， ∵双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33，∴b 9＋b 2b 2＋9＝33，解得b ＝33，∴c ＝9＋b 2＝9＋(33)2＝6，∴离心率e ＝c a ＝63＝2.5．已知双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1，则下列说法不正确的是() A ．双曲线C 的实轴长为8B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±34xC ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94答案D解析因为a 2＝16，所以a ＝4,2a ＝8，故A 正确；因为a ＝4，b ＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x ，故B 正确；因为c ＝a 2＋b 2＝16＋9＝5，所以两焦点坐标分别为(－5,0)，(5,0)，焦点(5,0)到渐近线3x －4y ＝0的距离为|15|32＋(－4)2＝3，故C 正确；双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为c －a ＝1，故D 错误．6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x －c ＝0与双曲线C 的一个交点为点P ，与双曲线C 的一条渐近线交于点Q ，O 为坐标原点，若OP→＝13OF 2—→＋23OQ →，则双曲线C 的离心率为() A.2B.355 C.5D. 3答案B解析因为OP →＝13OF 2—→＋23OQ →，所以OP →－OF 2—→＝23(OQ →－OF 2—→)，所以F 2P —→＝23F 2Q —→，所以b 2a ＝23×bc a ，得2c ＝3b ，故e ＝c a ＝3b2⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 22－b 2＝355. 7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，则该双曲线C 的渐近线方程为________．答案y ＝±3x解析因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x . 8．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．答案3215解析因为a 2＝9，b 2＝16，所以c ＝5.所以A (3,0)，F (5,0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12×2×3215＝3215.9．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1—→·MF 2—→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同的焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解(1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，∵MF 1—→·MF 2—→＝0，∴MF 1⊥MF 2.设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线的定义知m －n ＝2a ＝8.①在Rt △F 1MF 2中，由勾股定理得m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8.∵12MF F S △＝12mn ＝4＝12×2ch ，∴h ＝255.即M 点到x 轴的距离为255.(2)设双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的其中一个焦点坐标为(5，0)，一条渐近线方程为2x －y ＝0.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知倾斜角为3π4的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程．解(1)由焦点坐标可知c ＝5，又一条渐近线方程为2x －y ＝0，所以b a ＝2，由c 2＝a 2＋b 2可得5＝a 2＋4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，故双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点的坐标为(x 0,4)，直线AB 的斜率为k ，则x 21－y 214＝1，① x 22－y 224＝1，② ②－①得x 22－x 21＝y 224－y 214，即k ＝4x 04＝x 0，又k ＝tan 3π4＝－1，所以x 0＝－1，所以直线l 的方程为y －4＝－(x ＋1)，即x ＋y －3＝0.11．已知P 是双曲线C ：x 216－y 29＝1右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，O 为坐标原点，|OP →＋OF 1—→|＝94，则下列结论中错误的是() A ．双曲线C 的离心率为54B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±34x C ．点P 到双曲线C 的左焦点距离是234D ．△PF 1F 2的面积为454答案C解析在双曲线C ：x 216－y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，该双曲线的左焦点为F 1(－5,0)．设P (x ，y )，则OP →＋OF 1—→＝(x －5，y )，由|OP →＋OF 1—→|＝94，可得(x －5)2＋y 2＝8116，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x －5)2＋y 2＝8116，x 216－y 29＝1，x ≥4，解得⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝±94，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，±94. 对于A 选项，双曲线C 的离心率为e ＝c a ＝54，A 对；对于B 选项，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±34x ，B 对；对于C 选项，点P 到双曲线C 的左焦点距离是|PF 1|＝102＋8116＝414，C 错；对于D 选项，△PF 1F 2的面积为S ＝12×2×5×94＝454，D 对．12．(2022·湖南师大附中模拟)已知双曲线C: x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，132 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫ 32，132D ．(1，13) 答案B解析由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y ＝b 2x ，即bx －2y ＝0，又该圆的圆心为(c ,0)，故圆心到渐近线的距离为bcb 2＋4，则由题意可得bcb 2＋4<3，即b 2c 2<9(b 2＋4)，又b 2＝c 2－a 2＝c 2－4，则(c 2－4)c 2<9c 2，解得c 2<13，即c <13，则e ＝c a ＝c 2<132，又e >1，故离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，132. 13．已知A ，B 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)实轴的两个端点，M ，N 是双曲线上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若双曲线的离心率为2，则|k 1|2＋|k 2|的最小值为()A.12B ．1C.2D. 6答案D解析由题意可设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，A (－a ,0)，B (a ,0)，则k 1＝y 1x 1＋a ，k 2＝－y 1x 1－a，故k 1k 2＝y 1x 1＋a ·－y 1x 1－a ＝y 21a 2－x 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21a 2－1a 2－x 21＝－b 2a 2，因为双曲线的离心率为2，故e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝4，故k 1k 2＝－3，由基本不等式可得|k 1|2＋|k 2|≥232＝6，当且仅当|k 1|＝6，|k 2|＝62时等号成立，故|k 1|2＋|k 2|的最小值为 6.14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为原点，若以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且|F 1P |＝3|OP |，则C 的渐近线方程为________．答案y ＝±3x解析根据双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，O 为原点，以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，如图所示，则|F 1O |＝|OP |＝c ，|F 1P |＝3|OP |＝3c ，所以在△POF 1中，由余弦定理可得cos ∠POF 1＝|OP |2＋|OF 1|2－|PF 1|22|OP |·|OF 1|＝c 2＋c 2－()3c 22×c ×c ＝－12. 所以∠POF 1＝2π3，则∠POF 2＝π3，所以tan ∠POF 2＝tan π3＝3，则渐近线方程为y ＝±3x .15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支上一点M 关于原点的对称点为点N ，F为双曲线的右焦点，若MF →·NF →＝0，设∠FMN ＝θ，且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12，则双曲线C 的离心率e 的最大值为()A.2B. 3C.2＋1D.3＋1 答案D解析设双曲线的左焦点为F 1，由已知得点N 在双曲线的左支上，连接MF 1，NF 1(图略)，根据双曲线的定义，|NF |－|NF 1|＝2a ，由已知得四边形MFNF 1为平行四边形，所以|NF 1|＝|MF |，所以|NF |－|MF |＝2a ，又MF →·NF→＝0，所以四边形MFNF 1是矩形，得|F 1F |＝|MN |＝2c ，所以|NF |＝2c sin θ，|MF |＝2c cos θ，所以2c sin θ－2c cos θ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝1sin θ－cos θ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12，得θ－π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，所以当θ－π4＝π12，即θ＝π3时，e 取得最大值为12sin π12，又sin π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝6－24，所以e 的最大值为3＋1.16．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |.(1)求C 的离心率；(2)若B 在第一象限，证明：∠BF A ＝2∠BAF .(1)解设双曲线的半焦距为c ，则F (c ,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，因为|AF |＝|BF |，所以b 2a ＝a ＋c ，所以c 2－a 2a ＝a ＋c ，所以c －a ＝a ，即c ＝2a ，所以e ＝2.(2)证明设B (x 0，y 0)，其中x 0>a ，y 0>0.因为e ＝2，故c ＝2a ，b ＝3a ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以∠BAF ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∠BF A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3. 当∠BF A ＝π2时，由题意易得∠BAF ＝π4，此时∠BF A ＝2∠BAF .当∠BF A ≠π2时，因为tan ∠BF A ＝－y 0x 0－c ＝－y 0x 0－2a ， tan ∠BAF ＝y 0x 0＋a，所以tan 2∠BAF ＝2y 0x 0＋a 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0x 0＋a 2＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－y 20 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20a 2－1＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20a 2－1 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3(x 20－a 2) ＝2y 0(x 0＋a )－3(x 0－a )＝－y 0x 0－2a ＝tan ∠BF A ，因为2∠BAF ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，故∠BF A ＝2∠BAF . 综上，∠BF A ＝2∠BAF .。

2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件3.2.2双曲线的简单几何性质

5
由题意知 2b=12, = 4且 c2=a2+b2,
2
=1
2
2
或 2
2
− 2 =1(a>0,b>0).
∴b=6,c=10,a=8.
2
∴双曲线的标准方程为64
−
2
=1
36
2
或64
2
− 36 =1.
2
(2)设所求双曲线的方程为 4
∵点
4
M(3,-2)在双曲线上,∴4
2
∴双曲线的标准方程为 6
又4|PF1|·|PF2|=9ab,所以9b2-4a2=9ab,
即(3b-4a)(3b+a)=0,解得3b=4a(3b=-a舍去),
则双曲线的离心率为

e=
=
1+
2

=
5
.
3
5
3
.
规律方法求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法:若已知 a,c

可直接利用 e= 求解,若已知
a,b,可利用 e= 1 +
−
2
=λ(λ>0),将点(2,0)的坐
16
探究点三双曲线的离心率的求法
角度1求离心率的值
【例3】(1)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该
双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率e=
解析当焦点在 x
当焦点在 y
-0
轴时,由题意可得0-
-0
轴时,由题意可得0-
−
−
2
=λ(λ≠0).
3
9
− 3=λ,即
2
=1.
8
λ=-2.

人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件第2章平面解析几何 2.6.2 双曲线的几何性质

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故 e2-2e-1<0,解得-√2+1<e<√2+1.
又 e∈(1,+∞),故双曲线的离心率 e∈(1,√2+1).
答案:(1,√2+1)
随堂练习
1.双曲线y2-2x2=1的渐近线方程为(
A.y=±2x
B.y=±√2x
1
C.y=± x
2
√2
D.y=± x
2
答案:B
)
2.在平面直角坐标系
2
=1.
49
7
b= 或
2
3
b= (舍去).
2
解析几何中的面积、距离、范围等问题,往往可以转化为函数问题求解,这
样能使解题思路更清晰.
【变式训练】
2
已知双曲线 2

2
− 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为

F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在一点
的取值范围是
.
sin∠ 1 2
(2)双曲线在无穷远处可与渐近线相交.( × )
(3)双曲线的实轴比虚轴长.( × )
(4)双曲线的离心率e的取值范围为(0,1).( × )
合作探究释疑解惑
探究一
双曲线的几何性质
【例1】求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、
离心率和渐近线方程.
解:将 9y2-4x2=-36
2
解:设双曲线的方程为 2

2
− 2 =1(a>0,b>0).因为离心率

2 2
所以双曲线的方程为 -x =b2.设
4
意,|PQ|=
2

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1
【例1】下列曲线中离心率为62的是（）
A．22124xy B．22142xy
C．22146xy D．221410xy

【例2】若双曲线2222103xyaa的离心率为2，则a等于（）
A．2 B．3 C．32 D．1
【例3】若双曲线的实轴长为2，焦距为6，则该双曲线的离心率为（）
A．13 B． 23 C． 32 D． 3

【例4】设12FF，分别是双曲线22221xyab的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使
1290FAF°且12
||3||AFAF
，则双曲线的离心率等于（）
A．52 B．102 C．152 D．5

【例5】下列曲线中离心率为62的是（）
A．22124xy B．22142xy
C．22146xy D．221410xy

【例6】设1a，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是（）
A．22， B．25， C．25， D．25，

【例7】双曲线2214xyk的离心率(1,2)e，则k的取值范围是（）
A．(,0) B．(3,0) C．(12,0) D．(60,12)

典例分析
板块二.双曲线的离心率
2

【例8】设ABC是等腰三角形，120ABC，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离
心率为（）

A．122 B．132 C．12 D．13

【例9】双曲线22221xyab00ab，的两个焦点为1F、2F，若P为其上一点，且
12
2PFPF
，则双曲线离心率的取值范围为（）
A．13， B．13， C．3， D．3，

【例10】已知双曲线22219xya0a的中心在原点，右焦点与抛物线216yx的焦点重
合，则该双曲线的离心率等于（）
A．45 B．85555 C．54 D．477

【例11】已知点1F、2F分别是双曲线22221xyab的左、右焦点，过1F且垂直于x轴的直线
与双曲线交于A、B两点，若2ABF为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值
范围是（）
A．(1,) B．(1,3) C．(1,2) D．(1,12)

【例12】双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点分别是12FF，，过1F作倾斜角为
30
o
的直线交双曲线右支于M点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）

A．6 B．3 C．2 D．33

【例13】设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条
渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）

A．2 B．3 C．312 D．
512

【例14】已知双曲线22221xyab(0,0)ab的左右焦点分别为1F，2F，点A在双曲线上，
且2AFx轴，若1253AFAF，则双曲线的离心率等于（）
A．2 B．3 C．2 D．3

【例15】已知双曲线22221(00)xyabab，的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直
线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）
A．(12]， B．(12)， C．[2)， D．(2)，
3

【例16】若点(20)P，到双曲线22221xyab的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率
为（）
A．2 B．3 C．22 D．23

【例17】过双曲线22221(00)xyabab，的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲
线的两条渐近线的交点分别为B，C．若12ABBCuuuruuur，则双曲线的离心率是（）
A．2 B．3 C．5 D．10

【例18】设双曲线22221xyab的一条渐近线与抛物线21yx只有一个公共点，则双曲线
的离心率为（）
A．54 B．5 C．52 D．5

【例19】过双曲线22221(00)xyabab，的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线
的两条渐近线的交点分别为BC，．若12ABBCuuuruuur，则双曲线的离心率是（）
A．2 B．3 C．5 D．10

【例20】如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD∥，且2ABAD．设DAB，π0,2，
以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为1e，以C，D为焦点且过点A的椭
圆的离心率为2e，则（）

D
C

B
A
θ
A．随着角度的增大，1e增大，12ee为定值
B．随着角度的增大，1e减小，12ee为定值
C．随着角度的增大，1e增大，12ee也增大
D．随着角度的增大，1e减小，12ee也减小

【例21】已知双曲线221yxm的离心率2e，则m ．
【例22】两个正数a、b的等差中项是5，等比中项是4．若ab，则双曲线221xyab的
离心率e等于．
4

【例23】直线xt过双曲线22221xyab(0,0)ab的右焦点且与双曲线的两条渐近线分
别交于A，B两点，若原点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围
是．

【例24】
已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角
为60，则双曲线C的离心率为_________．

【例25】以双曲线两焦点为直径端点的圆与双曲线的四个交点连同双曲线的焦点恰好构成
一个正六边形，则该双曲线的离心率为．

【例26】斜率为2的直线l过双曲线22221xyab(00)ab，的右焦点，且与双曲线的左、
右两支分别相交，则双曲线的离心率的取值范围是_______．

【例27】双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为12FF，，12120FMF，则双曲线的离
心率为_____．

【例28】椭圆22221(0)xyabab的离心率为32，则双曲线22221xyab的离心率为
_______．

【例29】双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点分别是12FF，，过1F作倾斜角为
30
的直线交双曲线右支于M点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为
_______
；

【例30】
过双曲线2222:1(00)xyCabab，的一个焦点作圆222xya的两条切线，切
点分别为A， B．若120AOB（O是坐标原点），则双曲线C的离心率
为．

【例31】已知双曲线22221(00)xyabab，的左，右焦点分别为12FF，，点P在双曲线的
右支上，且12||4||PFPF，则此双曲线的离心率e的最大值为．