2016年秋华师大版九年级数学上典中点第二十四章阶段强化专训三.doc
2020华师大版数学九年级上册24章强化训练试题及答案
阶段强化专训一：求锐角三角函数值的常用方法名师点金锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．直接用锐角三角函数的定义(第1题)1．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若CD ＝5，AC ＝6，则tan B 的值是()A.45B.35C.34D.432．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．(第2题)3．如图，直线y ＝12x ＋32与x 轴交于点A ，与直线y ＝2x 交于点B.(1)求点B 的坐标；(2)求sin ∠BAO 的值．(第3题)利用同角或互余两角三角函数间的关系4．若∠A 为锐角，且sin A ＝32，则cos A ＝()A ．1 B.32 C.22 D.125．若α为锐角，且cos α＝1213，则sin(90°－α）＝()A.513B.1213C.512D.1256．若α为锐角，且sin 2α＋cos 230°＝1，则α＝______．巧设参数7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝45，则tan B 的值为()A.43B.34C.35D.458．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且a ，b ，c 满足b 2＝(c ＋a)(c －a)．若5b －4c ＝0，求sin A ＋sinB 的值．利用等角来替换9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E且AH＝2CH，求sin B的值．(第9题)阶段强化专训二：同角或互余两角的三角函数关系的应用名师点金：1.同角三角函数关系：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα；2．互余两角的三角函数关系：sinα＝cos(90°－α），cosα＝sin(90°－α），tan α·tan(90°－α）＝1.)同角间的三角函数的应用1．已知sin Acos A＝4，求sin A－3cos A4sin A＋cos A的值．2．若α为锐角，sinα－cosα＝22，求sinα＋cosα的值．余角间的三角函数的应用3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是() A．sin(45°－α）＝sin(45°＋α）B．sin2(45°－α）＋cos2(45°＋α）＝1C．sin2(45°－α）＋sin2(45°＋α）＝1D．cos2(45°－α）＋sin2(45°＋α）＝14．计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用5．已知sinα·cosα＝1225(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sinα和cosα．6．已知α为锐角且sinα是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，求1－2sinαcosα的值．阶段强化专训三：解直角三角形的几种常见类型名师点金：解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．已知两直角边解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝23，b＝6，解这个直角三角形．(第1题)已知一直角边和斜边解直角三角形2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC 的值和点B到直线MC的距离．(第2题)已知一直角边和一锐角解直角三角形3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长．(第3题)4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D为AC边上一点，∠BDC＝45°，求AD的长．(第4题)已知斜边和一锐角解直角三角形5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形．(第5题)6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝43，求AD的长．(第6题)已知非直角三角形中的边和角解直角三角形类型1化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)7．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD＝1 3，求∠A的三角函数值．(第7题)类型2化解四边形问题为解直角三角形问题8．(中考·北京)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC ＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝2 2.求CD的长和四边形ABCD的面积．(第8题)类型3化解方程问题为解直角三角形问题9．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．阶段强化专训四：利用三角函数解实际问题中的几种数学模型名师点金：利用锐角三角函数解决实际问题，关键是构造．．直角三角形，在构造时依据角(视角和方位角)或线进行构造，一般都是作垂线．．．构造一个甚至几个直角三角形．“背靠背”型(第1题)1．(2014·襄阳)如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为________ m(结果保留根号)．2．(2014·资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C 处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离．(第2题)“母抱子”型3．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：如图，先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD 的长等于21米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.(1)求AB的长；(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)(2)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？请说明理由．(第3题)“拥抱”型4．如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A 是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45 °，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE＝21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD(结果保留根号)．(第4题)“斜截”型5．某片绿地的形状如图，其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200 m，CD＝100 m．求AD，BC的长(结果精确到 1 m，3≈1.732)．(第5题)11。
华师大版九年级数学上册 第24章单元知识梳理
的高度（tan35°≈0.7，结果保留整数）;
（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP的长为am（
如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题
：
①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是
；
②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？
跟踪训练
• 【分析】
首先要明确水平距离指的是什么，弄 清之后，作DF⊥AB交AB于F，FD不难 求出.
• 【解答】
名师讲解
跟踪训练
12.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动 ，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°， 然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水 平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比） i=1∶2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：
• 【例3】在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙 面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅 顶端A的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°.问张明同学是在离该单位办 公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米，参考数据： sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin30°=0.50， cos30°≈0.87，tan30°≈0.58, ≈1.732）
跟踪训练
名师讲解
• 要点二：解直角三角形
• 【例2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5， tanC= ．
• （1）求点D到BC边的距离；（2）求点B到CD边的距离．
• 【解答】 （1）作DE⊥BC于E，易知四边形ABED是矩形．
华师版九年级数学上册作业课件(HS)第24章 解直角三角形 第3课时 利用坡度、坡角解直角三角
5．(2020·自贡)如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD， DC∥AB.BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD的长为 __6__2______米(结果保留根号).
6．(2020·十堰)如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端， 梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6 m的梯 子，当梯子底端离墙面2 m时，此时人是否能够安全使用这架梯子(参考 数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 75°≈0.97，cos 75°＝0.26)?
7．(2020·湘潭)为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路 段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝ 1∶ 3 ，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1∶4，求斜坡AF的 长度．(结果精确到0.01 m，参考数据： 3 ≈1.732， 17 ≈4.122)
8．(重庆中考)如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的 俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的 坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据： sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)( A) A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米
解：作DF⊥AE于点F，DG⊥AB于点G，CH⊥AB于H，如图所示：则 DF＝GA，DC＝GH＝2，AF＝DG＝CH，
由题意得：∠EDF＝30°，∴EF＝12 DE＝12 ×4＝2，DF＝ 3 EF＝2 3 ， ∵AE＝5，∴CH＝AF＝AE－EF＝5－2＝3，∵斜面BC的坡度为1∶4， ∴CBHH ＝14 ，∴BH＝4CH＝12，∴AB＝AG＋GH＋BH＝2 3 ＋2＋12＝ 2 3 ＋14≈17.5(m)，答：处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5 m
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E
A
证明：延长CD至点E,使DE= CD，连结AE、BE
∵CD是斜边AB上的中线，
D
∴AD = DB.
又∵ DE = CD, ∴四边形ACBE是平行四边形.
B
C
┐
又∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴ CE = AB,
∴
CD
=
1
2 CE
=
1 2
AB.
直角三角形的性质之(3)
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
OB=40米,AA'=0.0015米,求小明射击到的点B'偏离目标点B的距离
BB'.由题意可知,AA'∥ BB,'所以△ AOA∽' △ BOB'.根据相似三角形的
对应边 成比例,可得= OA = AA, 即'
OB BB '
0.2 = 0.001,5解，得BB'=
40 BB '
0(.米3 ).
3.在同一时刻,测得小华和旗杆的影长分别为1 m和6 m,小华的身高
直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半
直角三角形30⁰角所对直角边等 于斜边的一半
第一课时
我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为 Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表 示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、 b表示.
图 19.3.1
如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜. ∠P的对边是_____,∠P的邻边是______; ∠M的对边是____ ,∠M的邻边是______;
D 30°
∵ ∠A=30°
对此，你
∴ ∠B=60°
能得出什
华师大版九年级数学上典中点第二十四章整合提升专训二
解码专训二：巧用三角函数解学科内综合问题名师点金：锐角三角函数体现着一种新的数量关系——边角关系，锐角三角函数解直角三角形，既是相似三角形及函数的延续，又是继续学习三角形的基础，利用三角函数可解决与学科内的一次函数、反比例函数、相似三角形，一元二次方程等综合问题，也会应用到后面学习的圆的内容中，它的应用很广泛．)利用三角函数解与函数的综合问题1．如图，直线y ＝kx －1与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，tan ∠OCB ＝12. (1)求点B 的坐标和k 的值；(2)若点A(x ，y)是第一象限内的直线y ＝kx －1上的一个动点，在点A 的运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式．(第1题)2．如图，反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象经过线段OA 的端点A ，O 为原点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，点B 的坐标为(2，0)，tan ∠AOB ＝32. (1)求k 的值；(2)将线段AB 沿x 轴正方向平移到线段DC 的位置，反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象恰好经过DC 的中点E ，求直线AE 对应的函数关系式；(3)若直线AE 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，请你探索线段AN 与线段ME 的数量关系，写出你的结论，并说明理由．(第2题)3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．4．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连接FE并延长交BC的延长线于点G，连接BF，BE，且BE⊥FG.(1)求证：BF＝BG；(2)若tan∠BFG＝3，S△CGE＝63，求AD的长．(第4题)解码专训二1．解：(1)把x ＝0代入y ＝kx －1，得y ＝－1，∴点C 的坐标是(0，－1)，∴OC ＝1.在Rt △OBC 中，∵tan ∠OCB ＝OB OC ＝12，∴OB ＝12.∴点B 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，0. 把B ⎝⎛⎭⎫12，0的坐标代入y ＝kx －1，得12k －1＝0.解得k ＝2. (2)由(1)知直线AB 对应的函数关系式为y ＝2x －1，所以△AOB 的面积S 与x 的函数关系式是S ＝12OB·y ＝12×12(2x －1)＝12x －14. 2．解：(1)∵点B 的坐标为(2，0)，tan ∠AOB ＝32，∴A 点的坐标为(2，3)，∴k ＝6. (2)易知点E 的纵坐标为32，代入y ＝6x中，得点E 的横坐标为4，即点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫4，32，∵直线AE 过点A(2，3)，E ⎝⎛4，32，∴易得直线AE 对应的函数关系式为y ＝－34x ＋92. (3)结论：AN ＝ME.理由：在y ＝－34x ＋92中，令y ＝0可得x ＝6，令x ＝0可得y ＝92. ∴点M(6，0)，N ⎝⎛⎭⎫0，92. 方法一：延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF ＝2，OF ＝3，∴NF ＝ON －OF ＝32.根据勾股定理可得AN ＝52. ∵CM ＝6－4＝2，EC ＝32， ∴根据勾股定理可得EM ＝52， ∴AN ＝ME.方法二：连接OE ，延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF ＝2，∵S △EOM ＝12OM·EC ＝12×6×32＝92，S △AON ＝12ON·AF ＝12×92×2＝92，∴S △EOM ＝S △AON . ∵AN 和ME 边上的高相等，∴AN ＝ME.3．解：∵a ，b 是方程x 2－mx ＋2m －2＝0的根，∴a ＋b ＝m ，ab ＝2m －2.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得a 2＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2＝52.∴a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝25，即m 2－2(2m －2)＝25.解得m 1＝7，m 2＝－3.∵a ，b 是Rt △ABC 的两条直角边的长，∴a ＋b ＝m ＞0.即m ＝－3不合题意，舍去．∴m ＝7.当m ＝7时，原方程为x 2－7x ＋12＝0.解得x 1＝3，x 2＝4.不妨设a ＝3，b ＝4，则∠A 是最小的锐角，∴sin A ＝a c ＝35. 即Rt △ABC 中较小锐角的正弦值为35. 4．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠DCG ＝90°，∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE.∵∠DEF ＝∠CEG ，∴△EDF ≌△ECG ，∴EF ＝EG.∵BE ⊥FG ，∴BE 是FG 的中垂线，∴BF ＝BG .(2)解：∵BF ＝BG ，∴∠BFG ＝∠G ，∴tan ∠BFG ＝tan G ＝3，设CG ＝x ，则CE ＝3x ，∴S △CGE ＝32x 2＝63，解得x ＝23(负值舍去)， ∴CG ＝23，CE ＝6，又易得EC 2＝BC·CG ，∴BC ＝63，∴AD ＝6 3.。
华师大版九年级数学上典中点第二十四章阶段强化专训五
阶段强化专训五：作辅助线构造直角三角形的方法名师点金：锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解．无直角、无等角的三角形作高1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋3，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．(第1题)有直角、无三角形的图形延长某些边2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．(第2题)有三角函数值不能利用时作垂线3．如图，在△ABC 中，点D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，sin ∠BCD ＝13，求tan A 的值．(第3题)求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12∠BAC ，求tan ∠BPC 的值．(第4题)阶段强化专训五1．解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D.设BD ＝x ，在Rt △ABD 中，AD ＝BD·tan B ＝x·tan 60°＝3x.在Rt △ACD 中，∵∠C ＝45°，∴∠CAD ＝90°－∠C ＝45°，∴∠C ＝∠CAD ，∴CD ＝AD ＝3x.∵BC ＝1＋3，∴3x ＋x ＝1＋3，解得x ＝1，即BD ＝1.在Rt △ABD 中，∵cos B ＝BD AB， ∴AB ＝BD cos B ＝1cos 60°＝2. 2．解：延长BC ，AD ，相交于点E.∵∠A ＝60°，∠B ＝90°，∴∠E ＝30°.在Rt △ABE 中，BE ＝AB tan E ＝2tan 30°＝23， 在Rt △CDE 中，EC ＝2CD ＝2，∴DE ＝EC·cos 30°＝2×32＝ 3. ∴S 四边形ABCD ＝S Rt △ABE －S Rt △ECD ＝12AB·BE －12CD·ED ＝12×2×23－12×1×3＝332. 点拨：本题看似是四边形问题，但注意到∠B ＝90°，∠A ＝60°，不难想到延长BC ，AD ，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决．3．解：过点B 作BE ⊥CD ，交CD 的延长线于点E.∵点D 是AB 的中点，∴AD ＝DB.又∵∠ACD ＝∠BED ＝90°，∠ADC ＝∠BDE ，∴△ACD ≌△BED ，∴CD ＝DE ，AC ＝BE.在Rt △CBE 中，sin ∠BCE ＝BE BC ＝13，∴BC ＝3BE. ∴CE ＝BC 2－BE 2＝22BE ，∴CD ＝12CE ＝2BE ＝2AC. ∴tan A ＝CD AC ＝2AC AC＝ 2. 方法点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键．4．解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，(第4题)∵AB ＝AC ＝5，∴BE ＝12BC ＝12×8＝4， ∠BAE ＝12∠BAC. ∵∠BPC ＝12∠BAC ， ∴∠BPC ＝∠BAE.在Rt △BAE 中，由勾股定理得 AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3， ∴tan ∠BPC ＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝43.。
2016年秋北师大版九年级数学上典中点第三章整合提升专训二.doc
专训二：利用概率揭示游戏规则的公平性名师点金：通过计算概率判断游戏是不是公平的是概率知识的一个重要应用，也是中考考查的热点．解决游戏问题要先计算游戏双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平．利用概率判断摸球游戏的公平性1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验前先搅拌均匀．(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？(2)若从中任取一球(不放回)，再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1时甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案对甲、乙双方公平吗？利用概率判断转盘游戏的公平性2．如图，有A，B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后(当指针指在边界线上时视为无效，重转)，若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为(x，y)．记S ＝x＋y.(1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标．(2)李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S<6时甲获胜，否则乙获胜，你认为这个游戏公平吗？若不公平，对谁有利？(第2题)利用概率判断掷骰子游戏的公平性3．“五一”假期，某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票．如图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：(1)若去D地的车票占全部车票的10%，请求出D地车票的数量，并补全统计图．(2)若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？(3)若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李”．试用列表法或画树状图法分析，这个规则对双方是否公平？(第3题)专训二1．解：(1)∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为24＝12.(2)画树状图如图：(第1题)∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情况，∴两个球上的数字之和为偶数的概率为412＝13.(3)∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共6种情况，∴P(甲胜)＝612＝12，P(乙胜)＝612＝12.∴P(甲胜)＝P(乙胜)．∴这种游戏方案对甲、乙双方公平． 2．解：(1)列表如下：B 转盘A 转盘 2461 (1，2) (1，4) (1，6) 2(2，2)(2，4)(2，6)3 (3，2) (3，4) (3，6) 4(4，2)(4，4)(4，6)由表格可知P 点坐标有12种可能，分别如表格所示．(2)由表格可知，S ＝x ＋y 的值有12种等可能结果，其中S ＜6的情形有4种，故P(甲获胜)＝412＝13，所以乙获胜的概率为23，因此这个游戏不公平，对乙有利．3．解：(1)设D 地车票有x 张，则x ＝(x ＋20＋40＋30)×10%，解得x ＝10，即D 地车票有10张，补全统计图如图所示：[第3(1)题](2)小胡抽到去A 地的概率为2020＋40＋30＋10＝15.(3)列表如下：小李掷得数字小王掷得数字12341 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4)2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) 4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)或画树状图如图：[第3(3)题]可知共有16种等可能的结果．其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)；所以小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为616＝38.则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为1－38＝58，因为38≠58，所以这个规则对双方不公平．。
(华师大版)九年级数学上册课件：第24章单元复习
9．如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，D 是 AC 上一 点，若 tan∠DBA＝15，则 AD 的长为__ __2．
10．如图，一轮船由西向东航行到 O 处时，发现 A 岛在北偏东 60 °方向，轮船继续前行 20 海里到达 B 处发现 A 岛在北偏东 45°方向， 该轮船若不改变航向继续前进，则轮船离 A 岛最近为__2_7_.3_2__海里．(参 考数据： 3≈1.732)
14．(2015·昆明)如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD， AB＝15 m，CD＝20 m，AB和CD之间有一景观池，小南在A点测得池 中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°(点B，E，D 在同一直线上)，求两幢建筑物之间的距离BD.(结果精确到0.1 m，参 考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)
A．20 B．12 C．14 D．13
5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝12，D 是 AC 上一点， ∠CBD＝∠A，则 sin∠ABD＝( A )
3 10 3 3 10 A.5 B. 5 C.10 D. 10
二、填空题 6．计算：csoins4455°°－tan245°＝__0__． 7．在△ABC 中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则 BC＝___6_． 8．如图，在平面直角坐标系中，△ABO 为等腰三角形，底角等于 30°，OA＝AB＝4，O 为坐标原点，点 B 在 x 轴上，点 P 在直线 AB 上运动，则线段 OP 最短为___2__3___．
13．已知 sinA，sinB 是一元二次方程 4x2－2mx＋m－1＝0 的两 个实数根，且∠A，∠B 是 Rt△ABC 的两个锐角．
人教版九年级数学上典中点第二十四章阶段强化专训二(含答案)
阶段强化专训二：垂径定理的四种应用技名师点金：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出另外一个．巧用垂径定理求点的坐标1．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．(第1题)巧用垂径定理解决最值问题(转化思想)2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN 于点E，CD⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．(第2题)巧用垂径定理证明3．如图，M为⊙O内任意一点，AB为过M点且与OM垂直的一条弦．求证：AB是⊙O内过M点的所有弦中最短的一条．(第3题)巧用垂径定理解决实际问题(转化思想)4．某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？阶段强化专训二(第1题)1．解：如图，连接CM ，作MN ⊥CD 于N ，CH ⊥OA 于H.∵四边形OCDB 为平行四边形，∴CD ＝OB ＝8，CN ＝MH ，CH ＝MN.又∵MN ⊥CD ，∴CN ＝DN ＝12CD ＝4. ∵OA ＝10，∴半圆M 的半径MO ＝MC ＝5.在Rt △MNC 中，MN ＝CM 2－CN 2＝52－42＝3.∴CH ＝3，又OH ＝OM －MH ＝5－4＝1.∴点C 的坐标为(1，3)．(第2题)2．解：如图，易知点C 关于MN 的对称点为点D ，连接AD ，交MN 于点P ，连接PC ，易知此时PA ＋PC 最小且PA ＋PC ＝AD.过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OA ，OC.易知AE ＝4，CF ＝3，由勾股定理易得OE ＝3，OF ＝4，∴DH ＝EF ＝7，又AH ＝AE ＋EH ＝4＋3＝7.∴AD ＝7 2.即PA ＋PC 的最小值为7 2.点拨：本题运用了转化思想，将分散的线段转化为同一直线上的一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度．(第3题)3．证明：过M 点任意画一条不与AB 重合的弦CD ，作ON ⊥CD ，垂足为点N ，连接OB ，OC ，如图所示，则AB ＝2BM ，CD ＝2CN.设OB ＝OC ＝R ，在Rt △BOM 中，BM ＝OB 2－OM 2＝R 2－OM 2，在Rt △CON 中，CN ＝OC 2－ON 2＝R 2－ON 2.∵OM 是Rt △MON 的斜边，ON 是Rt △MON 的直角边，∴OM>ON.∴R 2－OM 2<R 2－ON 2，即BM<CN.∴AB<CD ，即AB 是⊙O 内过M 点的所有弦中最短的一条．(第4题)4．解：如图，延长ME 交⊙O 于G.∵E 、F 为AB 的三等分点，∠MEB ＝∠NFB ，∴FN＝EG ，过点O 作OH ⊥MG 于H.连接MO ，可得OE ＝13OA ＝1，又∵∠MEB ＝60°，∴OH ＝32OE ＝32，∴MH ＝OM 2－OH 2＝332，∴EM ＋FN ＝MG ＝2MH ＝33.(第5题)5．解：如图，设弧形拱桥AB 所在圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，作OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，交MN 于点H ，由垂径定理可知，D 为AB 的中点．设OA ＝r 米，则OD ＝OC －DC ＝(r －2.4)米，AD ＝12AB ＝3.6米． 在Rt △AOD 中，OA 2＝AD 2＋OD 2，即r 2＝3.62＋(r －2.4)2，解得r ＝3.9.在Rt △OHN 中，OH ＝ON 2－NH 2＝ 3.92－1.52＝3.6(米)．所以FN ＝DH ＝OH －OD ＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(米)．因为2.1米＞2米，所以此货船能顺利通过这座拱桥．。
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阶段强化专训三： 解直角三角形的几种常见类型
名师点金：解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直
角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若
求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．
已知两直角边解直角三角形
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝23，
b＝6，解这个直角三角形．
(第1题)
已知一直角边和斜边解直角三角形
2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点
B到直线MC的距离．
(第2题)
已知一直角边和一锐角解直角三角形
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.
(1)求AC的长；
(2)求BC的长．
(第3题)
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D为AC边上一点，∠BDC
＝45°，求AD的长．
(第4题)
已知斜边和一锐角解直角三角形
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对
边，c＝10，解这个直角三角形．
(第5题)
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于
点D，且AB＝43，求AD的长．
(第6题)
已知非直角三角形中的边和角解直角三角形
类型1 化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)
7．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan ∠BCD＝13，求∠A的三
角函数值．
(第7题)
类型2 化解四边形问题为解直角三角形问题
8．(中考·北京)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，
∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22.求CD的长和四边形ABCD的面积．
(第8题)
类型3 化解方程问题为解直角三角形问题
9．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1
－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求sin A＋sin B的值．
阶段强化专训三
1．解：∵a＝23，b＝6，
∴c＝a2＋b2＝12＋36＝48＝43.
∵tan A＝ab＝236＝33，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°.
2．解：∵AB＝13，AC＝12，∠ACB＝90°，
∴BC＝AB2－AC2＝169－144＝25＝5.
∴sin ∠BAC＝BCAB＝513.
设点B到直线MC的距离为d，
∵∠BCM＝∠BAC，∴sin ∠BAC＝sin ∠BCM.
∵sin ∠BCM＝dBC＝513，
即d5＝513，∴d＝2513.
即点B到直线MC的距离为2513.
3．解：(1)由题意知sin C＝ABAC，即12＝3AC，则AC＝6.
(2)由题意知tan C＝ABBC，即33＝3BC，则BC＝33.
4．解：∵∠BDC＝45°，BC＝3，
∴CD＝3.
∵∠A＝30°，BC＝3，∴tan A＝BCAC＝3AC＝33，
即AC＝33.
∴AD＝AC－CD＝33－3.
5．解：∵∠B＝45°，∠C＝90°，c＝10，
∴∠A＝45°.a＝b＝52.
6．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝43，
∴∠CAB＝60°，AC＝AB·sin 30°＝43×12＝23.
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝30°.
∵cos ∠CAD＝ACAD＝32＝23AD，
∴AD＝4.
(第7题)
7．解：过点D作CD的垂线交BC于点E，如图．
在Rt△CDE中，
∵tan ∠BCD＝13＝DECD，∴可设DE＝x，则CD＝3x.
∵CD⊥AC，∴DE∥AC.
又∵点D为AB的中点，∴点E为BC的中点．
∴DE＝12AC.
∴AC＝2DE＝2x.
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝2x，CD＝3x，
∴AD＝AC2＋CD2＝4x2＋9x2＝13x.
∴sin A＝CDAD＝3x13x＝31313，
cos A＝ACAD＝2x13x＝21313，
tan A＝CDAC＝3x2x＝32.
方法技巧：本题中出现tan ∠BCD＝13，由于∠BCD所在的三角形并非直角三角形，
因此应用正切函数的定义，构造出一个与之相关的直角三角形进行求解．
(第8题)
8．解：如图，过点D作DH⊥AC于H.
∵∠CED＝45°，
DH⊥EC，DE＝2，
∴EH＝DE·cos 45°＝2×22＝1，
∴DH＝1.
又∵∠DCE＝30°，
∴HC＝DHtan 30°＝3，CD＝DHsin 30°＝2.
∵∠AEB＝45°，∠BAC＝90°，BE＝22，
∴AB＝AE＝2，
∴AC＝2＋1＋3＝3＋3，
∴S四边形ABCD＝12×2×(3＋3)＋12×1×(3＋3)＝33＋92.
方法技巧：题目中所给的有直角和30°，45°角，因此我们可以通过构造另一个直角三角
形，然后运用特殊角的三角函数值求出某些边的长，进而求出四边形的面积．
9．解：(1)将方程整理，得(c－a)x2＋2bx＋(a＋c)＝0，则
Δ＝(2b)
2－4(c－a)(a＋c)＝4(b2＋a2－c2
)．
∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即b2＋a2＝c2.
∴△ABC为直角三角形．
(2)由3c＝a＋3b，得a＝3c－3b.①
将①代入a2＋b2＝c2，得(3c－3b)2＋b2＝c2.
∴4c2－9bc＋5b2＝0，即(4c－5b)(c－b)＝0.
由①可知，b≠c，∴4c＝5b.∴b＝45c.②
将②代入①，得a＝35c.
∴在Rt△ABC中，sin A＋sin B＝ac＋bc＝35＋45＝75.
点拨：解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于a，b，c的
等式．从解题过程可以看出，求三角函数时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求
出其值．