1.4无穷小与无穷大
1-4 无穷小与无穷大
f (x) .
2
2
0, 当0
x x0
时
2
g(x)
2
0, 取 min1,2, 当 0 x x0 时
f (x) g(x) f (x) g(x)
lim f ( x) g( x) 0. x x0
2.无穷大与无穷小的关系: 定理2. lim f ( x) lim 1 0;
f (x) lim f ( x) 0 且f ( x) 0 lim 1
f (x)
3.无穷大与无界: 无穷大 无界 (反之,不一定)
例.试证: y x cos x在(, )内无界,但当x 时不是无穷大.
则称f ( x)在x x0时为无穷小.
注 : (1)无穷小与“当 x x0时"密切有关. 如 : f ( x) x 1 x 1时 f ( x)是无穷小
x 0时 f ( x)不是无穷小
f ( x) 1 当x 时为无穷小, 当x 0时不是无穷小 x
(2)不能把无穷小与绝对值很小的数混为一谈. 如 108(很小的数)不是无穷小, 但"0"是无穷小.
2. 无穷小与函数极限的关系
定理1. lim f (x) A f (x) A (x),其中 lim( x) 0.
3..无穷小的运算性质
性质1. 有限个无穷小的和也是无穷小.
证. 设 lim f ( x) 0 lim g( x) 0
x x0
0,
x x0
1 0, 当0 x x0 1时
则称f ( x)当x
x0时为无穷大,
记作
lim
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13
四、小结与判断题
注意：无穷小与无穷大是相对于过程而言的。 内容: 无穷小量和无穷大量及其倒数关系。 判断题： （1） 无穷小是变量，零是唯一的无穷小的数； （2） 无界变量是无穷大. 作业：P41 2（2）、4（1）
17.09.2019
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14
谢谢你的阅读
知识就是财富 丰富你的人生
x2
M
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8
取 m i,n }{ 因 , ,当 此 x 时 , M
2 M x2
所以，
2x lim
x2 x 2
注5：无穷大量一定是无界量；但是无界量不一定是 无穷大量。
例３：证明函数 yxsinx在 (0,)是无界的，但 x 时，不是无穷大量。
第一章
一、无穷小量 二、无穷大量 三、无穷小量与无穷大量的关系 四、小结与思考判断题
17.09.2019
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1
一、无穷小量
1、定义：如果函数 f (x) 当 x→x0 (或x→∞) 时 的极限为零，那么，称函数 f (x) 为 x→x0 (或x→∞) 时的无穷小。
注1：不要认为无穷小量是一个很小很小的数；
比如 lim , lim
x x
x x
例2 证明
2x
lim
x2 x 2
证： x 2 ,取 1 ,x ( 3 , 1 ) 即 , x 2 1
M0, 2x 2 x 2 x2 x2 x2
要使
2x M x2
只须
2 M,也就 ,x是 22
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
(完整版)无穷小量与无穷大量
第周第学时教案授课教师：贾其鑫第周第学时教案授课教师：贾其鑫第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 1.3.2 无穷大量定义：1.13 如果在x 的某一变化过程中，1()y f x =是无穷小量，则在该变化过程中，()f x 为无穷大量，简称无穷大，记作：lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大（函数）, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ⇔∀M >0, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有|f (x )|>M .正无穷大与负无穷大:+∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→11lim 1x x . 证 因为∀M >0, ∃M 1=δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11|, 所以∞=-→11lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-|1|1|11|, 只要M x 1|1|<-.第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 铅直渐近线:如果∞=→)(lim 0x f x x , 则称直线0x x =是函数y =f (x )的图形的铅直渐近线.例如, 直线x =1是函数11-=x y 的图形的铅直渐近线. 定理2 (无穷大与无穷小互为倒数关系)在自变量的同一变化过程中, 如果f (x )为无穷大,则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f (x )为无穷小, 且f (x )≠0, 则)(1x f 为无穷大.简要证明:如果0)(lim 0=→x f x x , 且f (x )≠0, 那么对于M 1=ε, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时,有M x f 1|)(|=<ε, 由于当0<|x -0x |<δ时, f (x )≠0, 从而 M x f >|)(1|, 所以)(1x f 为x →x 0时的无穷大. 如果∞=→)(lim 0x f x x , 那么对于ε1=M , ∃δ>0,当0<|x -0x |<δ时, 有ε1|)(|=>M x f , 即ε<|)(1|x f , 所以为x →x 时的无穷小. 简要证明:如果f (x )→0(x →x 0)且f (x )≠0, 则∀ε >0, ∃δ>0,当0<|x - x 0|<δ时, 有|f (x )|<ε , 即, 所以f (x )→∞(x →x 0). 如果f (x )→∞(x →x 0), 则∀M >0, ∃δ>0,当0<|x - x 0|<δ时,有|f (x )|>M , 即, 所以f (x )→0(x →x 0).1.3.3无穷小量的性质第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 性质1.1 有限个无穷小的和也是无穷小，性质1.2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小，性质1.3 常数与无穷小的乘积是无穷小，性质1.4 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
1-4无穷小与无穷大精品PPT课件
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小,
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
例1
记作：lim f ( x) ()
lim 1
y
x x0
lim 1 x x 0 lim 1 x x 0
o
x
例2 lim e x x lim e x 0 x
例3
1
lim e x
x0
1
lim e x 0
x0
y
o
x
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
➢推论3 某过程中的无穷小的正整数次乘幂 仍为该过程中的无穷小.
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
经济数学1.4两个重要极限
三.无穷小量的等价代换
tan x sin x （3） lim x 0 tan 3 3 x
sin 2 x （4）lim x 0 (1 cosx )arctan x 2
tan x(1 cos x) tan x sin x lim lim 解（3） 3 x 0 x 0 tan 3 3 x tan 3 x 1 2 x x 1 2 lim 3 x0 (3 x ) 54
n
ESC
二.第一个重要 极限
sin x 1 1. lim x 0 x
(1.4.1)
因为 sin( x) sin x sin x ，所以 x x x 只讨论 x 由正值趋于零的情形． 证
作单位园O， 设圆心角 AOB x ,延长 OB 交过 A点的切线于于 D ， 则 AOB 面积＜扇形 AOB 面积＜ AOD 面积．即 ESC
1 x 3 1 5 lim(1 ) (1 ) e 1 e x x 3 x 3 2 2 x2 x2 x x 2 lim ( ) lim (1 ) e （4） x2 2 2 x2
ESC
三.无穷小量的等价代换
1.无穷小的比较（复习） 一般的, 设 ， 是同一极限过程中的两个无穷小， 1）若 lim 0 ，则称 是比 高阶的无穷 小，也可以称 是比 低阶的无穷小； 2）若 lim c （c为非零常数），则称 与 是同阶的无穷小； 特殊地，若 lim 1 ，则称 与 是等价的无 ESC 穷小， 记为 ～ .
1 2 x 5 1 2x 1 5 lim(1 ) lim(1 ) lim(1 ) x x x x x x 1 x 2 [lim(1 ) ] e 2 x x
无穷大与无穷小的关系定理
无穷大与无穷小的关系定理
无穷大与无穷小是数学中极为重要的概念，它们在分析学、微积分、数论等领域中被广泛运用。
无穷大和无穷小是相对的，它们之间存在一定的关系，本文将介绍无穷大与无穷小的关系定理。
首先，我们来定义无穷大和无穷小。
无穷大是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于正无穷或负无穷的函数。
无穷小是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于0的函数。
这里需要注意的是，无穷大和无穷小并不是一种具体的数，而是一种趋近的状态。
1.乘积关系定理
如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty$，$\lim\limits_{x\to
x_0}g(x)=a(a\neq 0)$，那么$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=+\infty$；
这个定理的含义是，无穷大和有限数相乘的结果还是无穷大。
而无穷大和无穷小相乘的结果趋近于0。
无穷小和有限数相乘的结果还是无穷小。
这个定理的含义是，当一个函数的极限趋近于0，而除数的极限趋近于无穷大时，被除数的极限趋近于0。
当一个函数的极限存在且不为0，而除数的极限趋近于无穷大时，被除数的极限趋近于被除数的极限乘以无穷大。
这个情况也可以理解为当一个函数在无穷远处变化非常缓慢并趋近于某个有限数时，它就相当于是某个数乘以无穷大的大小。
通过上述三个定理，我们可以看出无穷大和无穷小之间存在一定的关系。
在实际问题中，我们可以通过这些定理帮助我们求解复杂的极限问题。
大学 高等数学 “无穷小与无穷大” 课件
当
所以
时 ,
不是无穷大 !
例2 . 证明
证: 任给正数 M ,
要使
即
只要取
则对满足
的一切 x , 有
所以
若
则直线
为曲线
的铅直渐近线 .
渐近线
说明:
三、无穷小与无穷大的关系
若
为无穷大,
为无穷小 ;
若
为无穷小, 且
则
为无穷大.
则
据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
利用定理 2 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
二、 无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 ,
一切满足不等式
的 x , 总有
则称函数
当
时为无穷大,
使对
若在定义中将 ①式改为
①
则记作
(正数 X ) ,
记作
总存在
注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
第一章
二、 无穷大
三 、 无穷小与无穷大的关系
一、 无穷小
第四节
无穷小与无穷大
当
一、 无穷小
例如 :
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
函数
当
时为无穷小.
说明:
除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
因为
当
时,
显然 C 只能是 0 !
C
C
无穷小是一个以0为极限的函数。 注意：区分 无穷小 与 很小的数 区分 无穷小 与 负无穷大
高等数学第七版教材目录
高等数学第七版教材目录第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的概念与性质1.3 极限运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 极限存在准则1.6 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 导数的计算2.3 高阶导数与导数的应用2.4 微分的概念与性质2.5 微分中值定理2.6 隐函数与参数方程的求导第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 函数的单调性与曲线的凸凹性3.3 泰勒公式与函数的近似计算3.4 误差估计与导数的应用3.5 函数的图形与曲线的切线与法线第四章：积分与微分方程4.1 不定积分与定积分4.2 定积分的应用4.3 定积分的计算4.4 定积分中值定理与变限积分4.5 微积分基本定理4.6 微分方程的基本概念第五章：多元函数微分学5.1 二元函数的极限与连续性5.2 偏导数与全微分5.3 多元复合函数的求导法则5.4 隐函数与参数方程的求导5.5 多元函数的极值问题5.6 条件极值与拉格朗日乘数法第六章：重积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算6.3 二重积分的应用6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算6.6 三重积分的应用第七章：曲线与曲面积分7.1 曲线积分的概念与性质7.2 曲线积分的计算7.3 曲线积分的应用7.4 曲面积分的概念与性质7.5 曲面积分的计算7.6 曲面积分的应用第八章：无穷级数8.1 数项级数的收敛性与敛散性8.2 正项级数的审敛法8.3 一般级数的审敛法8.4 幂级数与幂函数8.5 傅里叶级数的概念与性质8.6 傅里叶级数的计算第九章：常微分方程9.1 微分方程的基本概念9.2 一阶微分方程的解法9.3 高阶微分方程的解法9.4 变量可分离方程与齐次方程9.5 常系数线性微分方程9.6 非齐次线性微分方程的特解第十章：数值计算方法10.1 插值多项式与拉格朗日插值10.2 牛顿插值与分段插值10.3 数值积分与复化公式10.4 数值微分与数值解微分方程10.5 常微分方程的数值解法10.6 线性方程组的数值解法通过以上目录，我们可以清楚地了解到高等数学第七版教材涵盖的知识内容。
无穷小与无穷大的概念
快些, x 比 x2 慢些, sin x 与 x 大致相同. 即无
穷小之比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的
快慢程度不同.
定义3 设 , 是同一过程中的两个无穷小,
且 0.
(1)
如果
lim
0,
称 是比 高阶的无穷小,
无穷小比较的概念
定义3 设 , 是同一过程中的两个无穷小,
且 0.
中, 用任意一个无穷小 ( x) 代替 x, 等价关系依
然成立.
例如, x 1 时,有 ( x 1)2 0,从而 sin( x 1)2 ~ ( x 1)2 ( x 1).
完
例 5 证明：e x 1 ~ x( x 0).
证 令 y e x 1, 则 x ln(1 y), 且 x 0 时， y 0, 因此
又 lim(4x 1) 3 0, 故 x1
lim
x1
x2 2x 4x 1
3
0 3
0.
由无穷小与无穷大的关系, 得
lim
x1
4x 1 x2 2x
3
.
完
例3
求
lim
x
2x2 7x2
3 4
x2 x2
5 1
.
解 当 x 时, 分子和分母的极限都是无穷大,
此时可采用所谓的无穷小因子分出法, 即以分母
而
lim x2 0, x0 x
lim
x0
x x2
,
lim
x0
sin x
x
1,
从中可看出各无穷小趋于0的快慢程度: x2 比 x
快些, x 比 x2 慢些, sin x 与 x 大致相同. 即无
穷小之比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的
无穷小与无穷大可编辑全文
绝 对 值 f ( x) 无 限 增 大 ， 就 称f ( x)是 该 变 化 过
程 中 的 无 穷 大 ， 并 记 作（ 以x x0为 例 ）
lim f ( x) 或
x x0
f ( x) ( x x0 ).
例 如, 当x 0时, y 1 是 无 穷 大. x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则
可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无
穷小代换，而不会改变原式的极限．
例４ 求 lim ( x 1)sin x . x0 arcsin x
解 当x 0时, sin x ~ x, ar多;
察
各 极
lim sin x 1, x0 x
sin x与x大致相同;
限 （ 0 型）lxim0
0
x 2 sin x2
1 x
lim sin
x0
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义2: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小,
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x
lim (1)n 0, (1)n 是当n 时的无穷小.
n n
n
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
2、无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
lim sin x 1， x0 x