向量五种“变身”玩转圆锥曲线
高中数学圆锥曲线与向量的交汇(解析版)
圆锥曲线与向量的交汇一、考情分析平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平面向量作为工具可以处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中.二、解题秘籍(一)圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略1.设u 为直线l 的方向向量,若u =1,k ,则l 斜率为k ；若u =m .n (m ≠0),则l 斜率为n m；2.A 、B 、C 是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A 、B 、C 共线:①AB =λAC ;②OC=λOA +μOB 且λ+μ=1;③OC =(OA +λOB)/(1+λ)；④AB ∥AC .3.A 、B 、C 是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C 为线段AB 的中点:①AC =CB ;②OC =12(OA +OB ).4.在四边形ABCD 中,若AB ∙AC =0,则AB ⊥AC ;若∣AB +AD ∣=∣AB -AD ∣,则AB ⊥AD ;若AB∙AC =AD ∙AC,则AC ⊥BD .5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量a=x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 共线⇔x 1y 2-x 2y 1=0转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.6.圆锥曲线中两直线垂直问题,通常转化为两直线的方向向量的数量积为零,这样做可避免讨论直线的斜率是否存在.7.圆锥曲线中涉及数量积问题,通常利用数量积的坐标运算把所给条件转化为关于横(纵)坐标的表达式.【例1】(2023届黑龙江省鸡西市鸡东县高三上学期月考)已知两点M 0,-4 ,N 0,4 ,动点P 在x 轴的投影为Q ,且PM ⋅PN=3PQ 2,记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程.(2)过点F 26,0 的直线与曲线C 在y 轴右侧相交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点H ,试问ABFH是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.【解析】(1)设P x ,y ,则Q x ,0 ,PM =-x ,-4-y ,PN=-x ,4-y ,PQ =0,-y .因为PM ⋅PN=3PQ 2,所以x 2+y 2-16=3y 2,故C 的方程为x 216-y 28=1.(2)由题可知直线AB 的斜率一定存在,且不为0,不妨设直线AB 的方程为y =k x -26 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立方程组y =k (x -26)x 216-y 28=1,消去y 整理得1-2k 2 x 2+86k 2x -48k 2-16=0,则Δ=384k 4+1-2k 2 192k 2+64 >0x 1+x 2=-86k 21-2k 2>0x 1x 2=-48k 2-161-2k 2>0 ,整理得k 2>12.x 1+x 22=-46k 21-2k 2,y 1+y 22=-26k1-2k 2,则线段AB 的垂直平分线的方程为y +26k 1-2k 2=-1k x +46k 21-2k 2,令y =0,得x =-66k 21-2k 2,则H -66k 21-2k 2,0,FH =26+66k 21-2k 2=261+k 2 1-2k 2.AB =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅-86k 21-2k 2 2-4⋅-48k 2-161-2k 2=1+k 2⋅384k 41-2k 2 2+192k 2+64 1-2k 21-2k 22=81+k 21-2k 2则AB FH =826=263.故AB FH是定值,该定值为263.(二)把点共线问题转化为向量共线此类问题通常是把点A ,B ,C 共线转化为AB =λBC,或点C 在直线AB 上.【例2】(2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右顶点分別为A 1,A 2,右焦点为F (1,0),且椭圆C 的离心率为12,M ,N 为椭圆C 上任意两点,点P 的坐标为(4,t )(t ≠0),且满足A 1M =λ1MP ,A 2N =λ2NP.(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：M ,F ,N 三点共线.【解析】(1)椭圆C 的右焦点为F (1,0),且离心率为12,∴a =2,c =1,则b 2=a 2-c 2=3,∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知,A 1,A 2的坐标分别为(-2,0),(2,0),设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,∴A 1M =(x 1+2,y 1),A 1P =(6,t ),A 2N =(x 2-2,y 2),A 2P=(2,t ),∵A 1M =λ1MP ,A 2N =λ2NP ,∴A 1,M ,P 三点共线,A 2,N ,P 三点共线,即6y 1=t x 1+2 2y 2=t x 2-2 ,整理得3y 1y 2=x 1+2x 2-2,两边平方得9y 21y 22=x 1+2 2x 2-2 2,①又M ,N 在椭圆上,则y 21=3-34x 21y 22=3-34x 22,代入①并化简得2x 1x 2-5x 1+x 2 +8=0,又FM =(x 1-1,y 1),FN=(x 2-1,y 2),∴要证M ,F ,N 三点共线,只需证y 2x 1-1 =y 1x 2-1 ,即y 1y 2=x 1-1x 2-1,只需证x 1+23x 2-2=x 1-1x 2-1,整理得2x 1x 2-5x 1+x 2 +8=0,∴M ,F ,N 三点共线.(三)利用向量共线求双变量的关系式此类问题一般是给出形如b =λa ,d =μc的条件,确定关于λ,μ的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标与纵坐标分别相等(注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等,使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一个),把λ,μ用其他变量(若点的横坐标或纵坐标)表示,再利用题中条件消去其他变量.【例3】(2023届甘肃省张掖市高三上学期检测)椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ,过椭圆左焦点F 1且垂直于x 轴的直线在第二象限与椭圆相交于点P ,椭圆的右焦点为F 2,已知tan ∠PF 2F 1=312,椭圆过点A 3,12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 2作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,交y 轴于M 点,若MA =λ1AF 2 ,MB =λ2BF 2,求证：λ1+λ2为定值．【解析】(1)依题可知：PF 1=b 2a ,tan ∠PF 2F 1=b 2a2c =a 2-c 22ac =312,所以12a 2-12c 2=23ac ,即6c a 2+3ca-6=0,解得c a =32又∵椭圆C 过点A 3,12 ,则3a 2+14b2=1联立a 2=b 2+c 2c a =323a 2+14b 2=1可得a =2b =1c =3,椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ,F 3,0 ,由题意可知,直线l 的斜率存在,可设直线l 的方程为y =k x -3 ,联立y =k x -3 x 24+y 2=1,可得4k 2+1 x 2-83k 2x +12k 2-4=0,由于点F 2在椭圆C 的内部,直线l 与椭圆C 必有两个交点,由韦达定理可得x 1+x 2=83k 24k 2+1,x 1⋅x 2=12k 2-44k 2+1,∵MA =λ1AF 2 ,MB =λ2BF 2,M 0,y 0 ,得x 1,y 1-y 0 =λ13-x 1,-y 1 ,x 2,y 2-y 0 =λ23-x 2,-y 2 ,∴λ1=x 13-x 1,λ2=x 23-x 2,∴λ1+λ2=x 13-x 1+x 23-x 2=3x 1+x 2 -2x 1x 23-3x 1+x 2 +x 1x 2=24k 2-212k 2-44k 2+13+12k 2-4 -24k24k 2+1=-8．(四)利用向量加法的几何意义构造平行四边形若点A ,B ,C .D 满足AB +AD =AC,则四边形ABCD 是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.【例4】(2023届四川省广安市岳池县高三上学期10月月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点M 3,12,左焦点F 1-3,0 .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点D 0,3 作直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,点N 满足ON =OA+OB (O 为原点),求四边形OANB 面积的最大值.【解析】(1)设椭圆的焦距为2c ,则c =3,又因为椭圆经过点M 3,12 ,所以3a 2+14b2=1,又a 2-b 2=3 2∴c 2=3,a 2=4,b 2=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)因为ON =OA+OB ,所以四边形OANB 为平行四边形,当直线l 的斜率不存在时,显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx +3,l 与椭圆交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,由y =kx +3x 24+y 2=1⇒(1+4k 2)x 2+24kx +32=0.由Δ=242k 2-128(1+4k 2)>0⇒k 2>2.x 1+x 2=-24k 1+4k 2,x 1x 2=321+4k 2,∵S △OAB =12|OD ||x 1-x 2|=32|x 1-x 2|,∴S ▱OANB =2S △OAB =3|x 1-x 2|=3(x 1+x 2)2-4x 1x 2=3-24k 1+4k 2 2-4×321+4k 2=3242k 2-128(1+4k 2)(1+4k 2)2=24k 2-2(1+4k 2)2,令k 2-2=t ,则k 2=t +2(由上式知t >0),∴S ▱OANB =24t (4t +9)2=24172+16t +81t≤241144=2,当且仅当t =94,即k 2=174>2时取等号.∴当k =±172时,平行四边形OANB 的面积最大值为2.(五)把向量的数量积转化为代数式若圆锥曲线问题有用向量数量积给出的条件,通常是利用向量数量积的坐标运算进行转化.【例5】(2023届广东省荔湾区高三上学期10月调研)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F 2,0 ,O 为坐标原点,双曲线C 的两条渐近线的夹角为π3．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点F 作直线l 交C 于P ,Q 两点,在x 轴上是否存在定点M ,使MP ⋅MQ为定值？若存在,求出定点M 的坐标及这个定值；若不存在,说明理由．【解析】(1)双曲线x 2a 2-y 2b2=1的渐近线为y =±ba x ,又a >b >0,0<b a <1,故其渐近线y =b a x 的倾斜角小于π4,而双曲线C 的两条渐近线的夹角为π3,则渐近线的y =b a x 的倾斜角为π6,则b a =33,即a =3b ．又a 2+b 2=2,则a =3,b =1．所以双曲线C 的方程是x 23-y 2=1．(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =ty +2,代入x 23-y 2=1,得(ty +2)2-3y 2=3,即t 2-3 y 2+4ty +1=0．设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,则y 1+y 2=-4t t 2-3,y 1y 2=1t 2-3．设点M m ,0 ,则MP ⋅MQ=x 1-m x 2-m +y 1y 2=ty 1+2-m ty 2+2-m +y 1y 2=t 2+1 y 1y 2+t 2-m y 1+y 2 +(2-m )2=t 2+1t 2-3-4t 22-m t 2-3+(2-m )2=m 2-3 t 2-3m 2-12m +11 t 2-3令3m 2-12m +11=3m 2-3 ,得m =53,此时MP ⋅MQ =m 2-3=-29．当直线l 与x 轴重合时,则点P ,Q 为双曲线的两顶点,不妨设点P -3,0 ,Q 3,0 ．对于点M 53,0 ,MP ⋅MQ =-3-53,0 ·3-53,0 =-29．所以存在定点M 53,0 ,使MP ⋅MQ =m 2-3=-29为定值．(六)把垂直问题转化为向量的数量积为零求解圆锥曲线中的垂直问题,通常可转化为向量的数量积为零,然后利用向量数量积的坐标运算进行转化,这种转化可避免讨论直线的斜率是否存在.【例6】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ,椭圆C 上的点到F 的距离的最大值和最小值分别为2+3和2-3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若圆O :x 2+y 2=r 2的切线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,是否存在正数r ,使得OA ⊥OB ？若存在,求出r 的值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)由题意可得,a +c =2+3a -c =2-3 ,解得a =2,c =3,则b 2=4-3=1,所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)假设存在正数r ,使得OA ⊥OB ,即使得OA ⋅OB=0,当直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为x=t ,可得A t ,4-t 22 ,B t ,-4-t 22,因为OA ⋅OB =0,则有t 2-4-t 24=0,解得t =±255,又直线l 为圆O :x 2+y 2=r 2的切线,所以r =255；当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx +m (m ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立y =kx +m x 24+y 2=1,可得(1+4k 2)x 2+8km x +4(m 2-1)=0,则Δ=64k 2m 2-16(1+4k 2)(m 2-1)=16(4k 2-m 2+1)>0,所以4k 2-m 2+1>0,且x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4(m 2-1)1+4k 2,所以y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=kx 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2,因为OA ⋅OB =0,则y 1y 2x 1x 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2x 1x 2=-1,所以(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,整理可得4k 2+4=5m 2,则m 21+k 2=45,所以|m |1+k 2=255,因为直线l 为圆O :x 2+y 2=r 2的切线,故原点(0,0)到y =kx +m 的距离为r =|m |1+k2=255,所以存在正数r =255,使得OA ⊥OB ．三、跟踪检测1.(2023届重庆市第八中学校高三上学期月考)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)一个顶点为A -2,0 ,直线l 过点Q 3,0 交双曲线右支于M ,N 两点,记△AMN ,△AOM ,△AON 的面积分别为S ,S 1,S 2.当l 与x 轴垂直时,S 1的值为152.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若l 交y 轴于点P ,PM =λMQ ,PN=μNQ ,求证：λ+μ为定值；(3)在(2)的条件下,若1625S =μS 1+mS 2,当5<λ≤8时,求实数m 的取值范围.【解析】(1)由题意得a =2,OA =2,则当l 与x 轴垂直时,不妨设M 3,y 1 ,由S 1=12OA ⋅y 1 =152,得y 1 =152,将M 3,y 1 代入方程x 24-y 2b 2=1,得94-154b2=1,解得b 2=3,所以双曲线E 的方程为x 24-y 23=1．(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,P 0,y 0 ,由PM=λMQ 与Q 3,0 ,得x 1,y 1-y 0 =λ3-x 1,-y 1 ,即x 1=3λ1+λ,y 1=y 01+λ,将M 3λ1+λ,y 01+λ代入E 的方程得：3λ1+λ 24-y 01+λ 23=1,整理得：15λ2-24λ-4y 20-12=0①,同理由PN =μNQ 可得15μ2-24μ-4y 20-12=0②．由①②知,λ,μ是方程15x 2-24x -4y 20-12=0的两个不等实根．由韦达定理知λ+μ=2415=85,所以λ+μ为定值．(3)又1625S =μS 1+mS 2,即1625⋅12⋅AQ ⋅y 1-y 2 =μ12⋅2⋅y 1 +m ⋅12⋅2⋅y 2 ,整理得：85y 1-y 2 =μy 1 +m y 2 ,又y 1y 2<0,不妨设y 2<0<y 1,则85y 1-y 2 =μy 1-my 2,整理得m =85-85-μ y 1y 2,又λ+μ=85,故m =85-λy 1y 2,而由(2)知y 1=y 01+λ,y 2=y 01+μ,故y 1y 2=1+μ1+λ,代入m =85-λ⋅1+μ1+λ=85-λ135-λ 1+λ,令1+λ=t t ∈6,9 ,得m =85-t -1 185-t t =-3+t +185t,由双勾函数y =t +185t 在6,9 上单调递增,得m =-3+t +185t ∈185,325 ,所以m 的取值范围为185,325．2.(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ,B 1,0 ,一个焦点为F 0,1 .(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ,D 两点,当CD =322时,求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ,D 两点,并与x 轴交于点P ,直线AD 与直线BC 交于点Q ,当点P 异A ,B 两点时,试问OP ⋅OQ是否是定值？若是,请求出此定值,若不是,请说明理由.【解析】(1)∵椭圆的焦点在y 轴上,设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0),由已知得b =1,c =1,所以a =2,椭圆的方程为y 22+x 2=1,当直线l 与x 轴垂直时与题意不符,设直线l 的方程为y =kx +1,C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ,将直线l 的方程代入椭圆的方程化简得k 2+2 x 2+2kx -1=0,则x 1+x 2=-2k k 2+2,x 1⋅x 2=-1k 2+2,∴CD =1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2⋅-2k k 2+2 2+4⋅1k 2+2=22(k 2+1)k 2+2=322,解得k =±2.∴直线l 的方程为y =±2x +1；(2)当l ⊥x 轴时,AC ⎳BD ,不符合题意,当l 与x 轴不垂直时,设l ：y =kx +t ,则P -tk,0 ,设C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ,联立方程组y =kx +tx 2+y 22=1得2+k 2 x 2+2ktx +t 2-2=0,∴x 1+x 2=-2kt 2+k 2,x 1x 2=t 2-22+k 2,又直线AD ：y =y 2x 2+1(x +1),直线BC ：y =y 1x 1-1(x -1),由y =y 2x 2+1(x +1)y =y 1x 1-1(x -1)可得y 2x 2+1(x +1)=y 1x 1-1(x -1),即kx 2+t x 2+1(x +1)=kx 1+t x 1-1(x -1),kx 2+t x 1-1 (x +1)=kx 1+t x 2+1 (x -1),kx 1x 2-kx 2+tx 1-t x +1 =kx 1x 2+kx 1+tx 2+t x -1 ,k x 1+x 2 +t x 2-x 1 +2t x =2kx 1x 2-k x 2-x 1 +t x 1+x 2 ,k ⋅-2kt 2+k 2+t x 2-x 1 +2t x =2k ⋅t 2-22+k 2-k x 2-x 1 +t ⋅-2kt 2+k 2,4t 2+k 2+t x 2-x 1 x =-4k 2+k2-k x 2-x 1 ,即t 42+k 2+x 2-x 1 x =-k 42+k 2+x 2-x 1 ,得x =-kt,∴Q 点坐标为Q -kt,y Q ,∴OP ⋅OQ =-t k ,0 ⋅-k t ,y Q =-t k-kt +0⋅y Q =1,所以OP ⋅OQ=1为定值.3.(2023届四川省成都市郫都区高三上学期检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,短轴长为4．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点P 0,1 的直线交椭圆C 于A ,B 两点,求OA ⋅OB的取值范围．【解析】(1)∵e =c a =32,2b =4,∴b =2,又a 2=b 2+c 2,即a 2=4+34a 2,解得：a =4,c =23,∴椭圆的标准方程为x 216+y 24=1；(2)当直线AB 的斜率不存在时,AB :x =0,不妨设A 0,2 ,B 0,-2 ,则OA ⋅OB=-4当直线AB 的斜率存在时,设AB ：y =kx +1,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由x 216+y 24=1y =kx +1得4k 2+1 x 2+8kx -12=0,Δ=64k 2+484k 2+1 >0恒成立,故x 1+x 2=-8k 4k 2+1,x 1x 2=-124k 2+1,∴OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+1 kx 2+1=k 2+1 x 1x 2+k x 1+x 2 +1=k 2+1 -124k 2+1 -8k 24k 2+1+1=-12k 2-12-8k 2+4k 2+14k 2+1=-16k 2-114k 2+1=-4-74k 2+1∈-11,-4 ,综上：OA ⋅OB ∈-11,-4 ,故OA ⋅OB的取值范围为-11,-4 ．4.(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期9月诊断测试)已知点B 、A 分别是椭圆Γ:x 24+y 23=1的左、右顶点,过Γ的右焦点F 作直线l 交Γ于M ,N 两点,(1)设直线AM ,AN ,BM 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,求k 1k 2和k2k 3的值；(2)若直线AM ,AN 分别交椭圆Γ的右准线于P ,Q 两点,证明：以PQ 为直径的圆经过定点.【解析】(1)由已知F (1,0),A (2,0),B (-2,0),直线l 的斜率不存在时,方程为x =1,不妨设M 1,32 ,N 1,-32,k 1=321-2=-32,同理k 2=32,k 3=321-(-2)=12,k 1k 2=-94,k2k 3=3,直线l 斜率存在时,设直线方程为y =k (x -1),设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由x 24+y 23=1y =k (x -1),得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0,x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2,k 1=y 1x 1-2,k 2=y 2x 2-2,k 3=y 1x 1+2,k 1k 2=y 1y 2(x 1-2)(x 2-2)=k 2(x 1-1)(x 2-1)(x 1-2)(x 2-2)=k 2(x 1x 2-x 1-x 2+1)x 1x 2-2(x 1+x 2)+4=k 24k 2-123+4k 2-8k 23+4k 2+1 4k 2-123+4k 2-16k 23+4k 2+4=k 2(4k 2-12-8k 2+3+4k 2)4k 2-12-16k 2+12+16k 2=-94,k 2k 3=y 2(x 1+2)y 1(x 2-2)=k (x 2-1)(x 1+2)k (x 1-1)(x 2-2)=x 1x 2-x 1+2x 2-2x 1x 2-2x 1-x 2+2因为2x 1x 2-5(x 1+x 2)+8=2(4k 2-12)3+4k 2-40k 23+4k 2+8=0,所以x 1x 2-x 1+2x 2-2=3(x 1x 2-2x 1-x 2+2),所以k2k 3=3,综上,k 1k 2=-94,k2k 3=3；(2)由已知a =2,b =3,c =1,右准线方程为x =a 2c=4,由(1)知直线AM 方程为y =y 1x 1-2(x -2),令x =4得y P =2y 1x 1-2=2k 1,同理y Q =2y 2x 2-2=2k 2,由椭圆的对称性知,以PQ 为直径的圆有一个圆心x 轴上方的圆,则必定也有一个与之关于x 轴对称的圆,这两个圆的交点在x 轴上,以PQ 为直径的圆经过定点,这个定点必在x 轴上,设定点为G (t ,0),则GP ⋅GQ =0,由(1)得GP ⋅GQ=(4-t ,2k 1)⋅(4-t ,2k 2)=(4-t )2+4k 1k 2=(4-t )2-9=0,t =7或t =1,所以以PQ 为直径的圆经过定点(1,0),(7,0)．5.(2023届湖南省部分校高三上学期9月月考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为62,点A 6,4 在C 上.(1)求双曲线C 的方程.(2)设过点B 1,0 的直线l 与双曲线C 交于D ,E 两点,问在x 轴上是否存在定点P ,使得PD ⋅PE为常数？若存在,求出点P 的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为双曲线C 的离心率为62,所以62 2=1+b 2a2,化简得a 2=2b 2.将点A 6,4 的坐标代入x 22b 2-y 2b 2=1,可得18b 2-16b2=1,解得b 2=2,所以C 的方程为x 24-y 22=1.(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =k (x -1),联立方程组y =k x -1 ,x 24-y 22=1,消去y 得(1-2k 2)x 2+4k 2x -2k 2-4=0,由题可知1-2k 2≠0且Δ>0,即k 2<23且k 2≠12,所以x 1+x 2=-4k 21-2k 2,x 1x 2=-2k 2+41-2k 2.设存在符合条件的定点P t ,0 ,则PD =x 1-t ,y 1 ,PE=x 2-t ,y 2 ,所以PD ⋅PE=x 2-t x 1-t +y 1y 2=k 2+1 x 1x 2-t +k 2 x 1+x 2 +t 2+k 2.所以PD ⋅PE =k 2+1 -2k 2-4 +4k 2t +k 2 +t 2+k 2 1-2k 2 1-2k 2,化简得PD ⋅PE =k 2-2t 2+4t -5 +t 2-4-2k 2+1.因为PD ⋅PE 为常数,所以-2t 2+4t -5-2=t 2-41,解得t =134.此时该常数的值为t 2-4=10516,所以,在x 轴上存在点P 134,0 ,使得PD ⋅PE 为常数,该常数为10516.6.(2023届广东省茂名市高三上学期9月联考)如图,平面直角坐标系xOy 中,点Q 为x 轴上的一个动点,动点P 满足PO =PQ =32,又点E 满足PE =12EQ .(1)求动点E 的轨迹Γ的方程；(2)过曲线Γ上的点A x 0,y 0 (x 0y 0≠0)的直线l 与x ,y 轴的交点分别为M 和N ,且NA =2AM,过原点O 的直线与l 平行,且与曲线Γ交于B 、D 两点,求△ABD 面积的最大值.【解析】(1)由题意,设E x ,y ,P 12x ,y,由PO =PQ =32得Q x,0 ,且x 24+y 2=94,由PE =12EQ 得E 23x ,23y ,则x =23x y =23y ,得x =32x y =32y,代入x 24+y 2=94整理得x 24+y 2=1,故动点E 的轨迹Γ的方程为x 24+y 2=1.(2)如图,设A x 0,y 0 (x 0y 0≠0),又直线l 的斜率存在且k ≠0,∴设直线l 为：y -y 0=k x -x 0 ,可得：M x 0-y 0k,0 ,N 0,y 0-kx 0 ,由NA =2AM ,则x 0,kx 0 =2-y 0k ,-y 0 ,故x 0=-2y 0k,kx 0=-2y 0,联立x 204+y 20=1x 0=-2y 0k,可得：y 20=k 21+k 2,即y 0 =k 1+k 2,又BD ⎳l ,故直线BD 的方程为y =kx ,联立x 24+y 2=1y =kx,得：x 2=41+4k 2,即B 、D 的横坐标为±21+4k 2,∴BD =1+k 2x B -x D =41+k 21+4k 2,∵点A 到直线BD 的距离d =kx 0-y 0 1+k 2=3y 01+k 2=3k 1+k 2,∴S △ABD =12BD ⋅d =6k 1+4k 21+k 2=61+k 2 1+4k 2k 2=64k 2+1k2+5≤624k 2×1k2+5=2,当且仅当4k 2=1k2,即k =±22时等号成立,∴△ABD 面积的最大值为2.7.(2023届福建师范大学附属中学高三上学期月考)在平面直角坐标系xOy 中, 设点P -13,0 ,Q 13,0 ,点G 与P ,Q 两点的距离之和为43,N 为一动点, 点N 满足向量关系式：GN +GP +GQ =0 ．(1)求点N 的轨迹方程C ；(2)设C 与x 轴交于点A ,B (A 在B 的左侧), 点M 为C 上一动点(且不与A ,B 重合)．设直线AM ,x 轴与直线x =4分别交于点R ,S ,取E (1,0),连接ER ,证明：ER 为∠MES 的角平分线．【解析】(1)设点N (x ,y ),G (x ,y ),则由点G 与P ，Q 两点的距离之和为43>|PQ |=23,可得点G 的轨迹是以P ，Q 为焦点且长轴长为43的椭圆,其轨迹方程为94x 2+3y 2=1,由GN +GP +GQ =0 ,可得x =x 3，y =y 3,代入点G 的轨迹方程,可得：94x 3 2+3y 32=1,所以点N 的轨迹方程C ：x 24+y 23=1；(2)设点M (x 0，y 0),则ME :y =y 0x 0-1(x -1),即y 0x -(x 0-1)y -y 0=0,MA :y =y 0x 0+2(x +2),令x =4,得y =6y 0x 0+2,∴R 4，6y 0x 0+2,则点R 到直线ME 的距离为：d =4y 0-6y 0(x 0-1)x 0+2-y 0y 20+(x 0-1)2=|3y 0(4-x 0)|(x 0+2)y 20+(x 0-1)2=(12-3x 0)|y 0|(x 0+2)y 20+(x 0-1)2,要证ER 为∠MES 的角平分线,只需证d =|RS |,又|RS |=|y R |=6|y 0|x 0+2,∵y 0≠0,所以d =|RS |,当且仅当4-x 0y 20+(x 0-1)2=2,即(4-x 0)2=4[y 20+(x 0-1)2]时,又(x 0，y 0)在C 上,则x 204+y 203=1,即4y 20=12-3x 20,代入上式可得16-8x 0+x 20=12-3x 20+4x 20-8x 0+4恒成立,∴ER 为∠MES 的角平分线．8.(2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断)如图,椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1((a >b >0),|A 1B 1|=7,F 1是椭圆C 的左焦点,A 1是椭圆C 的左顶点,B 1是椭圆C 的上顶点,且A 1F 1 =F 1O,点P (n ,0)(n ≠0)是长轴上的任一定点,过P 点的任一直线l 交椭圆C 于A ,B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在定点Q (x 0,0),使得QA ⋅QB为定值,若存在,试求出定点Q 的坐标,并求出此定值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知知a 2+b 2=7a -c =c a 2=b 2+c 2 ,解得a =2b =3c =1,所以椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)假设存在Q (x 0,0)满足题意,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),QA =(x 1-x 0,y 1),QB=(x 2-x 0,y 2),①当直线l 与x 轴不垂直时,设l ：y =k (x -n ),代入x 24+y 23=1并整理得(4k 2+3)x 2-8k 2nx +4k 2n 2-12=0∴x 1+x 2=8k 2n 4k 2+3,x 1x 2=4k 2n 2-124k 2+3QA ⋅QB=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+y 1y 2=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+k 2(x 1-n )(x 2-n )=(k 2+1)x 1x 2-(k 2n +x 5)(x 1+x 2)-x 20+k 2n 2=k 2+1 4k 2n 2-124k 2+3-k 2n +x 0 8k 2n 4k 2+3-x 20+k 2v 2=7n 2-8nx 0+4x 20-12 k 2+3x 20-124k 2+3 (*)(*)式是与k 无关的常数,则3(7n 2-8nx 0+4x 20-12)=4(3x 20-12)解得x 0=12n +7n 8,此时QA ⋅QB =x 20-4=12n +7n 82-4为定值；②当直线l 与x 垂直时,l :x =n ,A n ,31-n 24 ,B n ,-31-n 24,QA ⋅QB =(n -x 0)2-31-n 24 =x 20-4=12n +7n 82-4也成立,所以存在定点Q 12n +7n 8,0 ,使得QA ⋅QB =12n +7n 82-4为定值．9.(2023届北京市第四中学高三上学期开学测试)已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 过点1,32,离心率为32,点A 为其右顶点.过点B 1,0 作直线l 与椭圆C 相交于E 、F 两点,直线AE 、AF 与直线x =3分别交于点M 、N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求EM ⋅FN的取值范围.【解析】(1)由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由题意,得1a 2+34b 2=1c a =32a 2=b 2+c 2,解得a 2=4,b 2=1,即椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)得A (2,0),设l :x =ty +1,E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),联立x =ty +1x 2+4y 2-4=0,得(ty +1)2+4y 2-4=0,即(t 2+4)y 2+2ty -3=0,则y 1+y 2=-2t t 2+4,y 1y 2=-3t 2+4,直线AE ,AF 的方程分别为y =y 1x 1-2(x -2),y =y 2x 2-2(x -2),令x =3,则M 3,y 1x 1-2 ,N 3,y 2x 2-2,则EM =3-x 1,y 13-x 1 x 1-2 =2-ty 1,y 12-ty 1 ty 1-1,FN =3-x 2,y 23-x 2 x 2-2 =2-ty 2,y 22-ty 2 ty 2-1,所以EM ⋅FN =2-ty 1 2-ty 1 +y 1y 22-ty 1 2-ty 2 ty 1-1 ty 2-1 =t 2y 1y 2-2t y 1+y 2 +4 1+y 1y 2t 2y 1y 2-t y 1+y 2 +1=-3t 2t 2+4+4t 2t 2+4+4 1+-3t 2+4-3t 2t 2+4+2t 2t 2+4+1 =5t 2+164(t 2+4)=5(t 2+4)-44(t 2+4)=54-1t 2+4因为t 2+4≥4,所以0<1t 2+4≤14,1≤54-1t 2+4<54,即EM ⋅FN 的取值范围为1,54 .10.(2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试)已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线,且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知D (2,0),E ,F 是双曲线C 上不同于D 的两点,且DE ⋅DF=0,DG ⊥EF 于G ,证明：存在定点H ,使|GH |为定值.【解析】(1)因为双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线,设双曲线C 的标准方程为x 2-4y 2=λ代入点A 坐标,解得λ=4所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 2=1(2)(i )当直线EF 斜率存在时,设EF :y =kx +m ,设E x 1,y 1 F x 2,y 2 ,联立y =kx +m 与双曲线x 24-y 2=1,化简得4k 2-1 x 2+8km x +4m 2+1 =0,Δ=(8km )2-44m 2+4 4k 2-1 >0,即4k 2-m 2-1<0,则有x 1+x 2=-8km4k 2-1x 1x 2=4m 2+44k 2-1,又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2,因为DE ⋅DF=x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0,所以k 2+1 ⋅x 1x 2+km -2 ⋅x 1+x 2 +m 2+4=0,所以k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+km -2 ⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0,化简,得3m 2+16km +20k 2=0,即3m +10k m +2k =0,所以m 1=-2k ,m 2=-103k ,且均满足4k 2-m 2-1<0,当m 1=-2k 时,直线l 的方程为y =k x -2 ,直线过定点2,0 ,与已知矛盾,当m 2=-103k 时,直线l 的方程为y =k x -103,过定点103,0 (ii )当直线EF 斜率不存在时,由对称性不妨设直线DE ：y =x -2,与双曲线C 方程联立解得x E =x F =103,此时EF 也过点M 103,0 ,综上,直线EF 过定点M 103,0 .由于DG ⊥EF ,所以点G 在以DM 为直径的圆上,H 为该圆圆心,GH 为该圆半径,所以存在定点H 83,0,使GH 为定值23.11.(2023届四川省达州市开江县高三上学期考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，F 1、F 2为椭圆C 的左、右焦点,过点F 1的任意直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为8,椭圆C 的离心率为12.(1)椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的任一点,PM 、PN 为过焦点F 1、F 2的弦,且PF 1 =λ1F 1M ，PF 2 =λ2F 2N,求λ1+λ2的值.【解析】(1)由题意可知, △ABF 2的周长为AF 1+AF 2+BF 1+BF 2=4a =8.所以a =2,又c a =12,所以c =1,则b =3,所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)不妨令P x 0，y 0 ，M x 1，y 1 ，N x 2，y 2 .所以x 204+y 203=1,即3x 20+4y 20=12.当y 0≠0时,不妨设直线PM 为x =m 1y -1,其中m 1=x 0+1y 0.直线PN 为x =m 2y +1,其中m 2=x 0-1y 0.联立方程3x 2+4y 2=12x =m 1y -1 ,得3m 21+4 y 2-6m 1y -9=0.所以y 0y 1=-93m 21+4,即1y 1=3m 21+4 y 0-9.同理可得：1y 2=3m 22+4 y 0-9.又PF 1 =λ1F 1M ，PF 2 =λ2F 2M .所以λ1y 1+y 0=0λ2y 2+y 0=0.则λ1+λ2=-y 01y 1+1y 2=y 2093m 21+m 22 +8 =y 203m 21+m 22 +8y 209=13m 1y 0 2+m 2y 0 2+8y 209=13x 0+1 2+x 0-1 2+8y 209=293x 20+4y 20 +23=103,综上所述,λ1+λ2=103.12.(2022届上海市普陀区高三一模)已知点M x ,y 与定点F 1,0 的距离是点M 到直线x -2=0距离的22倍,设点M 的轨迹为曲线Γ,直线l :x +my +1=0m ∈R 与Γ交于A 、B 两点,点C 是线段AB 的中点,P 、Q 是Γ上关于原点O 对称的两点,且PO =λOCλ>0 .(1)求曲线Γ的方程；(2)当λ=3时,求直线l 的方程；(3)当四边形PAQB 的面积S =6时,求λ的值.【解析】(1)由题意可得x -12+y 2x -2=22,化简可得x 22+y 2=1,因此,曲线Γ的方程为x 22+y 2=1.(2)设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ,联立x +my +1=0x 22+y 2=1,可得m 2+2 y 2+2my -1=0,Δ=4m 2+4m 2+2 =8m 2+1 >0,由韦达定理可得y 1+y 2=-2m m 2+2,y 1y 2=-1m 2+2,则y 1+y 22=-m m 2+2,x 1+x 22=-m ⋅y 1+y 22-1=-2m 2+2,所以点C 的坐标为-2m 2+2,-mm 2+2,因为PO =3OC =-23m 2+2,-3m m 2+2,可得点P 23m 2+2,3m m 2+2 ,将点P 的坐标代入曲线Γ的方程得6+3m 2m 2+22=3m 2+2=1,解得m =±1,因此,直线l 的方程为x ±y +1=0.(3)由(2)可得PO =λOC =-2λm 2+2,-λm m 2+2 ,则点P 2λm 2+2,λmm 2+2,则点Q -2λm 2+2,-λmm 2+2,因为点P 在曲线Γ上,则2λ2+λ2m 2m 2+22=1,可得λ2=m 2+2,因为λ>0,则λ=m 2+2≥2,点P 到直线l 的距离为d 1=2λ+λm 2m 2+2+1m 2+1=λ+1m 2+1,点Q 到直线l 的距离为d 2=-2λ+λm 2m 2+2+1m 2+1=λ-1m 2+1,AB =1+m 2⋅y 1+y 2 2-4y 1y 2=1+m 2⋅-2m m 2+2 2+4m 2+2=22m 2+1 m 2+2,所以,S =12AB ⋅d 1+d 2 =12×22m 2+1 m 2+2×2λm 2+1=22⋅λ2-1λ=6,因为λ>0,解得λ=2.13.(2022届内蒙古赤峰市高三上学期11月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦点恰为椭圆D :x 24+y 23=1长轴的端点,且C 的短轴长为2(1)求椭圆C 的方程．(2)若直线l 与直线y =2x -1平行,且l 与C 交于A ,B 两点,M 1,0 ,求MA ⋅MB的最小值．【解析】(1)由椭圆D :x 24+y 23=1,可得其长轴的端点分别为(-2,0),(2,0),根据题意,可得a 2-b 2=42b =2 ,解得a 2=5,b 2=1,故C 的方程为x 25+y 2=1．(2)设直线l 的方程为y =2x +m m ≠-1 ,联立方程组x 25+y 2=1y =2x +m,整理得21x 2+20mx +5m 2-5=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=-20m 21,x 1x 2=5m 2-521,且Δ=400m 2-845m 2-5 =2021-m 2 >0,解得m 2<21且m ≠-1所以MA ⋅MB=x 1-1 x 2-1 +y 1y 2=x 1x 2-x 1+x 2 +1+2x 1+m 2x 2+m=5x 1x 2+(2m -1)x 1+x 2 +m 2+1=25m 2-25-40m 2+20m +21m 2+2121=6m 2+20m -421因为6m 2+20m -4=6m +53 2-623,其中m 2<21且m ≠-1,所以当m =-53时,6m 2+20m -4取得最小值,且最小值为-623,故MA ⋅MB 的最小值为-6263．14.(2022届辽宁省大连市高三上学期期中)在平面直角坐标系xOy 中,点D ,E 的坐标分别为-2,0 ,2,0 ,P 是动点,且直线DP 与EP 的斜率之积等于-14.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知直线y =kx +m 与椭圆：x 24+y 2=1相交于A ,B 两点,与y 轴交于点M ,若存在m 使得OA +3OB =4OM,求m 的取值范围.【解析】(1)设P x ,y ,则k EP ⋅k DP =y x -2⋅y x +2=-14x ≠±2 ,所以可得动点P 的轨迹C 的方程为x24+y 2=1x ≠±2 .(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又M 0,m ,由OA +3OB =4OM得x 1+3x 2,y 1+3y 2 =0,4m ,x 1=-3x 2联立y =kx +m x 24+y 2=1可得4k 2+1 x 2+8km x +4m 2-4=0∵Δ=(8km )2-4×(4k 2+1)×(4m 2-4)>0,即64k 2-16m 2+16>0∴4k 2-m 2+1>0,且x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-44k 2+1, 又x 1=-3x 2∴x 2=4km 4k 2+1,则x 1⋅x 2=-3x 22=4km 4k 2+1 2=4m 2-44k 2+1,∴16k 2m 2-4k 2+m 2-1=0,∴k 2=m 2-14-16m 2代入4k 2-m 2+1>0得m 2-11-4m 2+1-m 2>0,14<m 2<1,解得m ∈-1,-12 ∪12,1 .∴m 的取值范围是-1,-12 ∪12,1 15.(2022届河北省邢台市“五岳联盟”部分重点学校高三上学期12月联考)已知点F 1,F 2是已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,点P 在椭圆上,当∠PF 1F 2=π3时,△PF 1F 2面积达到最大,且最大值为3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过F 2的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,且两点与左右顶点不重合,若F 1M =F 1A +F 1B,求四边形AMBF 1面积的取值范围.【解析】(1)由题可知,当点P 在短轴端点时,△PF 1F 2的面积最大,且为正三角形,∴bc =3,b =3c ,又a 2=b 2+c 2,由bc =3b =3c a 2=b 2+c 2,解得a =2b =3c =1,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,AB :x =my +1,则由x =my +1x 24+y 23=1,可得3(my +1)2+4y 2=12,即3m 2+4 y 2+6my -9=0,Δ=36m 2+363m 2+4 =144m 2+1 >0,又因为F 1M =F 1A +F 1B,所以四边形AMBF 1是平行四边形,设平面四边形AMBF 1的面积为S ,则S =2S △ABF 1=2×12F 1F 2 ×y 1-y 2 =2×12F 1F 2 ×y 1+y 22-4y 1y 2=2×144m 2+13m 2+4=24×m 2+13m 2+4.设t =m 2+1,则m 2=t 2-1(t ≥1),所以S =24×t 3t 2+1=24×13t +1t 因为t ≥1,而对勾函数y =3t +1t 在[1,+∞)上单调递增,所以3t +1t≥4,所以S ∈(0,6].所以四边形AMBF 1面积的取值范围为(0,6].16.(2022届四川省成都市高三上学期期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ,右焦点为F ,过点A 作斜率为33的直线与C 相交于A ,B ,且以AO 为直径的圆过点B ,其中O 为坐标原点.(1)求椭圆的离心率e ；(2)若b =1,过点F 作与直线AB 平行的直线l ,l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点.①求k OP ⋅k OQ 的值；②点M 满足2OM =OP ,直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ,求NMNQ的值.【解析】(1)依题意,如图,△ABO ,∠ABO =π2,OA =a ,∠BAO =π6,OB =a 2,则B -a 4,3a4,而点B 在椭圆C 上,于是得：a 216a 2+3a 216b 2=1,整理得a 2=5b 2,即a =5b ,c =a 2-b 2=2b ,所以椭圆的离心率e =c a =255.(2)①由(1)及b =1得,a =5,椭圆C 的方程为x 25+y 2=1,而直线l 与直线AB 平行,则直线l 的方程为x =3y +2,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,由x =3y +2x 2+5y 2=5消去x 得：8y 2+43y -1=0,显然�>0于是得y 1+y 2=-32,y 1y 2=-18,x 1x 2=(3y 1+2)(3y 2+2)=3y 1y 2+23(y 1+y 2)+4=58,所以k OP ⋅k OQ =y 1y 2x 1x 2=-15.②因2OM =OP ,由①得M x 12,y 12 ,设N x 3,y3 ,NM NQ=λ(0<λ<1),则NM =λNQ ,NM =x 12-x 3,y 12-y 3 ,NQ =x 2-x 3,y 2-y 3 ,x 12-x 3=λx 2-x 3 y 12-y 3=λy 2-y 3 ,即x 1-2λx 2=2(1-λ)x 3y 1-2λy 2=2(1-λ)y 3 ,解得x 3=12(1-λ)x 1-2λx 2 y 3=12(1-λ)y 1-2λy 2,而P ,Q ,N 都在椭圆上,即x 21+5y 21=5,x 22+5y 22=5,x 23+5y 23=5,x 1-2λx 2 24(1-λ)2+5⋅y 1-2λy 2 24(1-λ)2=5,整理得：x 21+5y 21+4λ2x 22+5y 22 -4λx 1x 2+5y 1y 2 =20(1-λ)2,由①可知x 1x 2+5y 1y 2=0,则有1+4λ2=4(1-λ)2,解得λ=38,所以NM NQ 的值是38.17.(2022届广东省江门市高三上学期10月月考)设i ,j分别是平面直角坐标系中x ,y 轴正方向上的单位向量,若向量a =(x +2)i +yj ,b =(x -2)i +yj ,且a+b =8,其中x ,y ∈R .(1)求动点M (x ,y )的轨迹E 的方程；(2)过点(3,0)作直线l 与轨迹E 交于A ,B 两点,设OP =OA+OB ,是否存在直线l ,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,试说明理由.【解析】(1)由题意得a=(x +2,y ),b =(x -2,y ),∴a+b =8,∴(x +2)2+y 2+(x -2)2+y 2=8,设F 1(-2,0),F 2(2,0),则动点M 满足MF 1 +MF 2 =8>F 1F 2 =4,由椭圆的定义可知动点M 的轨迹是以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆,设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则2a =8,2c =4,∴a =4,c =2,b 2=42-22=12,故轨迹E 的方程为x 216+y 212=1(2)存在满足条件的直线l .设直线l 的方程为x =ky +3,由方程组x =ky +3x 216+y 212=1,消去x ,整理得：(3k 2+4)y 2+18ky -21=0则Δ=(18k )2+84(3k 2+4)>0恒成立,即直线l 与椭圆E 恒有两个不同的交点,设交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=-18k 3k 2+4①,y 1⋅y 2=-213k 2+4②由OP =OA +OB 得OP -OA=OB ,即AP =OB ,∴四边形OAPB 为平行四边形若存在直线l 使四边形OAPB 为矩形,则OA ⊥OB ,OA⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=0即(ky 1+3)(ky 2+3)+y 1y 2=(k 2+1)y 1y 2+3k (y 1+y 2)+9=0③将①､②代入③式得：-18k (k 2+1)3k 2+4-54k 23k 2+4+9=0,解得k =±54,所以直线l 的方程为x =±54y +3,此时四边形OAPB 为矩形.18.过双曲线Γ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F 1的动直线l 与Γ的左支交于A ,B 两点,设Γ的右焦点为F 2.(1)若△ABF 2是边长为4的正三角形,求此时Γ的标准方程；(2)若存在直线l ,使得AF 2⊥BF 2,求Γ的离心率的取值范围.【解析】(1)依题意,结合双曲线的对称性得AF 1 =2,AF 2 =4,F 1F 2 =23,所以2a =|AF 2|-|AF 1|=2,a =1,2c =F 1F 2 =23,c =3,b 2=c 2-a 2=2,此时Γ的标准方程为x 2-y 22=1.(2)依题意知直线l 的斜率不为0,设l 的方程为x =my -c ,联立x =my -c x 2a 2-y 2b2=1,消去x ,得(b 2m 2-a 2)y 2-2b 2cm y +b 4=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=2b 2cm b 2m 2-a 2,y 1y 2=b 4b 2m 2-a 2, 由AF 2⊥BF 2得AF 2 ⋅BF 2=0,故(x 1-c )(x 2-c )+y 1y 2=0,即(my 1-2c )(my 2-2c )+y 1y 2=0,整理得m 2+1 y 1y 2-2cm y 1+y 2 +4c 2=0,即(m 2+1)b 4-4m 2c 2b 2+4c 2(b 2m 2-a 2)=0,则(m 2+1)b 4=4a 2c 2,所以m 2+1=4a 2c 2b4≥1,故4a 2c 2≥(c 2-a 2)2,所以c 4+a 4-6a 2c 2≤0,两边除以a 4,得e 4-6e 2+1≤0,解得3-22≤e 2≤3+22,又因为e >1,所以1≤e 2≤1+2 2,故1≤e ≤1+2,又A ,B 在左支且l 过F 1,所以y 1y 2<0,即b 4b 2m 2-a 2<0,故m 2<a 2b2,所以m 2+1=4a 2c 2b 4<a2b2+1,所以4a 2c 2<a 2b 2+b 4=b 2a 2+b 2 =b 2c 2,即4a 2<b 2=c 2-a 2,则5a 2<c 2,故e 2>5,即e >5,综上：5<e ≤1+2,即e ∈5,1+2 .。
收藏：圆锥曲线综合五个类型
（一）求圆锥曲线方程求圆锥曲线方程分为五个类型，求解策略一般有以下几种： ①几何分析+方程思想； ②设而不求+韦达定理 ③定义+数形结合； ④参数法+方程思想 类型1——待定系数法待定系数法本质就是通过对几何特征进行分析，利用图形，结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中已知量与未知量之间的关系，列出含有待定系数的方程，解出待定的系数即可。
例1.2014年全国Ⅱ卷（理科20）设 F 1 、 F 2 分别是椭圆 C :x 2a 2+y 2b 2=1 a >b >0 的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF 2 与 x 轴垂直，直线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N ．Ⅰ 若直线 MN 的斜率为 34，求 C 的离心率；Ⅱ 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ∣MN ∣=5∣F 1N ∣，求 a ，b ．【解法分析】第Ⅱ小题利用试题提供的几何位置关系和数量关系，结合椭圆的几何性质和方程思想，通过待定系数法进行求解。
着重考查椭圆的几何性质，将几何特征转化为坐标表示，突显数形结合的思想。
.21∴.2102-32.,4321∴4322222211的离心率为解得，联立整理得：且由题知，C e e e c b a c a b F F MF ==++==•=72,7.72,7.,,1:4:)23-(,:.23-,,.4,.42222211111122====+===+=+====•=b a b a c b a ace NF MF c e a NF ec a MF c c N M m MF m N F ab MF 所以，联立解得，且由焦半径公式可得两点横坐标分别为可得由两直角三角形相似，由题可知设，即知，由三角形中位线知识可类型2——相关点法求轨迹方程动点P(x ，y)依赖与另一个动点Q(x 0，y 0)变化而变化，并且动点Q(x 0，y 0)又在另一个已知曲线上，则可先用x ，y 表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线，可得到所求动点的轨迹方程。
圆锥曲线解法
圆锥曲线解法哎，你知道吗？数学里头有个挺有意思的东西，叫做圆锥曲线。
听起来是不是挺高大上的？其实啊，它就像是咱们生活中的一些老朋友，时不时地在咱们眼前晃悠，只不过咱们没意识到罢了。
想象一下，太阳的光线照过来，你手里头拿着个圆锥形的冰淇淋，那光线在冰淇淋表面滑过，留下一道道优美的曲线。
嘿，这不就是圆锥曲线嘛！虽然咱们平时吃的冰淇淋不会真的在太阳底下画出数学公式，但这种感觉，就像是数学和日常生活悄悄打了个照面，挺有意思的。
圆锥曲线啊，其实有三种主要类型：椭圆、双曲线、抛物线。
咱们一个一个来说。
先说椭圆吧。
椭圆啊，就像是咱们平时画的鸡蛋，不过呢，它更匀称，两边都是圆的。
想象一下，你拿着个绳子，一头绑在墙上，另一头绑在铅笔上，然后把绳子拉直，铅笔绕着走一圈，画出来的就是个椭圆。
椭圆就像是爱情，有时候它圆圆的，像满月，有时候它扁扁的，像新月，但不管怎样，它总是围着那个中心点，不离不弃。
再来说说双曲线。
双曲线啊，就像是两个对称的喇叭，一边大一边小，中间还有个细细的腰。
想象一下，你站在火车站的月台上，看着火车从远处开来，越来越近，然后又越来越远，那火车头和火车尾在你眼里形成的轨迹，就像是双曲线。
双曲线就像是人生，有时候你觉得自己离目标越来越近，有时候又觉得自己离它越来越远，但不管怎样，你总是在不断地前行。
最后说说抛物线。
抛物线啊，就像是咱们小时候玩的滑梯，一边高一边低，滑下来的时候，那叫一个刺激。
想象一下，你手里拿着个篮球，往篮筐里一扔，那篮球飞出去的轨迹，就是个抛物线。
抛物线就像是梦想，有时候你得努力攀爬，才能到达那个高高的起点，但只要你勇敢地跳出去，你就能享受到滑下来的那种畅快淋漓。
圆锥曲线啊，就像是数学世界里的魔术师，它能把简单的线条变成复杂的图案，把抽象的概念变成生动的形象。
它就像是咱们生活中的调味剂，让咱们在平淡的日子里，也能找到一丝丝乐趣和惊喜。
所以啊，下次当你看到太阳照在冰淇淋上，或者看到火车开来开去，或者拿起篮球往篮筐里扔的时候，不妨想一想，这些看似平常的场景里，其实都藏着圆锥曲线的秘密呢！数学啊，它不只是书本上的数字和公式，它更是咱们生活中的点点滴滴，是咱们对这个世界的感知和理解。
圆锥曲线中向量乘积过定点问题
圆锥曲线中向量乘积过定点问题《圆锥曲线中向量乘积过定点问题》简介：圆锥曲线是数学中非常重要和广泛应用的一类曲线。
其中的一个有趣问题是在圆锥曲线上通过两个给定点的向量乘积是否会经过一个固定点。
本文将介绍圆锥曲线、向量乘积以及相关定点问题的解答。
一、圆锥曲线的定义和特点圆锥曲线是平面上的一条曲线，其形状可以是椭圆、双曲线或抛物线。
圆锥曲线的定义可以由焦点和准线（或直角）进行描述。
其中，焦点是曲线上的一个点，准线是与曲线相切且通过焦点的直线。
椭圆和双曲线有两个焦点，而抛物线只有一个焦点。
圆锥曲线具有许多有趣的性质和特点，比如在椭圆中任意两点的向量乘积永远过椭圆的焦点，而在双曲线中通过焦点的向量乘积则不会在曲线上，而是在双曲线的准线上。
这些性质使得圆锥曲线在数学中有广泛的应用。
二、向量乘积的概念在二维空间中，向量可以表示为具有两个分量（x，y）的有序对。
向量乘积是指两个向量按照一定规则进行乘法运算后得到的结果。
在圆锥曲线中，我们可以通过向量乘积来研究向量在曲线上的变化情况。
具体而言，对于给定的曲线上的两个点P和Q，其向量分别为→P和→Q。
那么向量乘积的结果为→P × →Q，其结果是一个新的向量。
根据向量乘积的定义，向量乘积的长度表示P和Q之间的距离，而向量乘积的方向则表示了P和Q之间的夹角。
三、乘积过定点的问题在圆锥曲线中，一个有趣的问题是，如果在曲线上选择两个点P和Q，那么它们的向量乘积是否会通过一个固定的点O（定点）？答案是：对于椭圆，通过焦点O的向量乘积一定会经过点O；对于双曲线，通过焦点O的向量乘积则不会经过点O，而是将焦点O延伸到曲线的准线。
这个结论可以通过几何和向量运算来证明。
通过几何推导，我们可以发现在椭圆中，任意两点的向量乘积都会经过焦点O。
而在双曲线中，由于焦点在准线上，所以通过焦点的向量乘积将延伸到双曲线的准线。
结论：通过两个给定点的向量乘积是否经过一个固定点是圆锥曲线中一个有趣的问题。
齐次化解决圆锥曲线题目
齐次化解决圆锥曲线题目
圆锥曲线是高中数学中常见的一类曲线，其中包括了直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等多种类型。
在解题过程中，齐次化是一种常用的技巧，能够有效地简化计算和推导。
齐次化的基本思想是将曲线上的点表示为一个有理数向量$(x,y,z)^T$，其中 $T$ 表示转置。
对于曲线上的同一点，其坐标不唯一，但是向量 $(x,y,z)^T$ 的比例是唯一的。
因此，我们可以将向量 $(x,y,z)^T$ 乘以一个非零数 $k$，得到 $(kx,ky,kz)^T$，这两个向量代表的是同一点，因此称为等价向量。
利用齐次化，我们可以将曲线上的点表示成一个齐次坐标$(x,y,z,w)^T$，其中 $w$ 表示一个非零的参数。
这样，我们就可以将曲线上的每个点表示为一个等价的向量 $(x/w,y/w,z/w)^T$，并且可以将 $w$ 消掉，得到 $x,y,z$ 的关系式，从而得到曲线的方程。
以圆为例，设圆心坐标为 $(a,b)$，半径为 $r$，则圆的方程可以表示成 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
我们将其齐次化，得到
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2z^2$，再将 $z$ 消掉，得到
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，即圆的方程。
同样地，我们可以将其他类型的圆锥曲线进行齐次化，从而得到其方程。
在解题过程中，利用齐次化可以简化计算，推导过程也更加清晰和简单。
因此，掌握齐次化技巧对于解决圆锥曲线题目非常有帮助。
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圆锥曲线范围问题含详解
圆锥曲线取值范围问题一、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.二、解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．三、例题．设C 为椭圆22184x y +=的左焦点，直线1y kx =+与椭圆交于A ，B 两点. （1）求CA CB +的最大值；（2）若直线1y kx =+与x 轴、y 轴分别交于M ，N ，且以MN 为直径的圆与线段MN 的垂直平分线的交点在椭圆内部（包括在边界上），求实数k 的取值范围。
【分析】（1）联立直线和椭圆方程，利用焦半径公式，结合韦达定理得到|CA |+|CB |关于k 的表达式，进而利用基本不等式求得最大值；（2）先根据直线的方程求得M ,N 的坐标，进而得到以线段MN 为直径的圆的方程和线段MN 的垂直平分线方程，解方程组求得圆与垂直平分线的交点坐标，利用点在椭圆内的条件得到不等式组求解即得k 的取值范围. 【详解】（1）22184x y +=的半长轴a =半短轴2,b =半焦距2,c =离心率c e a == 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221280y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，可得()2212460k x kx ++-=， 所以122412kx x k +=-+，112,CA a ex CB =+==,则)1221212CA CB x x k +=+=≤+； （2）依题意可知1,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,1)N ，所以圆的方程为1(1)0x x y y k ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭①，垂直平分线为11122y x k k ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭②，联立①②消去y , 111111102222x x x x k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,即221111024x x x k k k ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22223411044x x x x k k k k ++++-=,即22234111111104x x k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即22111104x x k k ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭, 即21124x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得11122x k =--，11122x k =-+， 对应11122y k =+，21122y k =-+， 两个交点的坐标为11111111,,,22222222k k k k ⎛⎫⎛⎫--+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可知2113822k ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭且2113822k ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，即111111k k ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤+⎪⎩，即111k ≤≤，解得k ≥k ≤四、好题训练1．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的焦距为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点()0,1A ，点B 在椭圆C 上，求线段AB 长度的最大值. 2．已知椭圆的长轴长是(，0). （1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y x m =+与这个椭圆交于两不同的点，求m 的取值范围.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P到两点(M N 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程.（2）若直线2y kx =+与曲线C 有公共点，求实数k 的取值范围.4．已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>，1F ，2F为椭圆的左右焦点，1,2P ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，且2PF =（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l ：2x =-，过点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M 、N 两点，求tan MAN ∠最小值. 5．已知圆锥曲线E 上的点M 的坐标(),x y．（1）说明E 是什么图形，并写出其标准方程；（2）若斜率为1的直线l 与E 交于y 轴右侧不同的两点A ，B ，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．6．如图，点1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左､右焦点，点A 是椭圆C 上一点，且满足2AF x ⊥轴，1230AF F ∠=︒，直线1AF 与椭圆C 相交于另一点B .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若2ABF 的周长为M 为椭圆C 上任意一点，求1OM F M →→⋅的取值范围. 7．在平面直角坐标系xOy 中，点D ，E 的坐标分别为()2,0-，()2,0，P 是动点，且直线DP 与EP 的斜率之积等于14-.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知直线y kx m =+与椭圆：2214xy +=相交于A ，B 两点，与y 轴交于点M ，若存在m使得34OA OBOM ，求m 的取值范围.8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离为1. （1）求C 的方程；（2）已知点()()1122,,,A x y B x y 在C 上，且线段AB 的中垂线l 的斜率为12-，求l 在y 轴上的截距的取值范围.9．已知圆F 1：（x +1）2+y 2=16，F 2（1，0），P 是圆F 1上的一个动点，F 2P 的中垂线l 交F 1P 于点Q .（1）求点Q 的轨迹E 的方程；（2）若斜率为k （k ≠0）的直线l 1与点Q 的轨迹E 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线过定点（13，0），求k 的取值范围.10．已知点A ，B 的坐标分别是()0,1-，()0,1，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为12-.（1）求点M 轨迹C 的方程；（2）若过点()2,0D 的直线l 与（1）中的轨迹C 交于不同的两点E ､F （E 在D ､F 之间），DE DF λ=，试求λ的取值范围. 11．已知平面内动点P与点)A和点()B 的连线的斜率之积为12-.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且OMF ONF S S λ=△△（113λ<<），求直线l 斜率的取值范围.12．已知抛物线C ：22y px =()0p >的焦点为F，点(M a 在抛物线C 上． （1）若6MF =，求抛物线C 的标准方程；（2）若直线x y t +=与抛物线C 交于A ，B 两点，点N 的坐标为()1,0，且满足NA NB ⊥，原点O 到直线ABp 的取值范围． 13．已知一动圆M 与圆1C：(221x y ++=外切，且与圆2C：(2249x y -+=内切．（1）求动圆M 的圆心M 的轨迹方程E ；（2）若过点(1,0)A 的直线l （不与x 轴重合）与曲线E 交于,P Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求PQ AN的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy中，直线:l y kx =22:14y E x +=相交于A 、B 两点，与圆22:4O x y +=相交于C 、D 两点． （1）若OC OD ⊥，求实数k 的值； （2）求2AB CD ⋅的取值范围．15．已知点()1,0F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，O 为坐标原点，过点F 的直线1l 交抛物线与A ，B 两点.（1）求抛物线C 的方程； （2）求OA OB ⋅的值；（3）如图，过点F 的直线2l 交抛物线于C ，D 两点（点A ，C 在x 轴的同侧，A C x x >），且12l l ⊥，直线AC 与直线BD 的交点为E ，记EFC △，ACF 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围.16．已知椭圆()22221x y a b a b +=>>的焦距为2，O 为坐标原点，F 为右焦点，点31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 的方程为4x =，AB 是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M 为弦的中点，直线MO 交l 于点P ，过点O 与AB 平行的直线交/于点Q ，直线PF 交直线OQ 于点R ，直线QF 交直线MO 于点S ．①证明：O ，S ，F ，R 四点共圆；②记△QRF 的面积为1S ，△QSO 的面积为2S ，求12S S 的取值范围． 17．已知椭圆C ：22143x y +=左右焦点分别为12,F F ，P 在椭圆C 上且活动于第一象限，PP'垂直于y 轴交y 轴于P '，Q 为PP '中点；连接1QF 交y 轴于M ，连接2QF 并延长交直线:3l x 于N .（1）求直线1QF 与2QF 的斜率之积；（2）已知点(0,1)T -，求22MP NP TQ ⋅+的最大值.18．已知①如图，长为12的矩形ABCD ，以A ､B 为焦点的椭圆2222:1x y M a b+=恰好过CD 两点②设圆22(16x y +=的圆心为S ，直线l 过点T ，且与x 轴不重合，直线l 交圆S 于CD 两点，过点T 作SC 的平行线交SD 于M ，判断点M 的轨迹是否椭圆（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆M 的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆M 的标准方程，若圆22:1O x y +=的切线l 与椭圆相交于P ､Q 两点，线段PQ 的中点为T ，求OT 的最大值.19．在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A -，过动点P 作直线4x =-的垂线，垂足为M ，且4AM AP ⋅=-.记动点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点A 的直线l 交曲线E 于不同的两点B 、C . ①若B 为线段AC 的中点，求直线l 的方程；②设B 关于x 轴的对称点为D ，求ACD △面积S 的取值范围.20()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()3,1P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，过点P 斜率为12,k k 的两条不重合的动直线与椭圆C 的另一交点分别为,M N （,M N 皆异于点Q ）.若1213k k =，求点Q 到直线MN 的距离的取值范围.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上任意一点P 到焦点距离的最大值是最小值的3倍，且通径长为3（椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，则1ABF 的内切圆面积是否存在最大值?若存在，则求出最大值；若不存在，请说明理由.22．已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，点P 是抛物线上横坐标为2的点，且3PF =．（1）求抛物线的方程；（2）设直线l 交抛物线C 于,M N 两点，若4MN =，且弦MN 的中点在圆22()1x a y -+=上，求实数a 的取值范围．23．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆Γ：2212x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，设P 是第一象限内Γ上一点，1PF ，2PF 的延长线分别交Γ于点1Q ，2Q .（1）求12PF Q △的周长；（2）设1r ，2r 分别为12PF Q △，21PF Q △的内切圆半径，求12r r -的最大值.24．设实数0k ≠，椭圆D ：22162x y +=的右焦点为F ，过F 且斜率为k 的直线交D 于P 、Q两点，若线段PQ 的中为N ，点O 是坐标原点，直线ON 交直线3x =于点M ．（1）若点P 的横坐标为1，求点Q 的横坐标； （2）求证：MF PQ ⊥； （3）求PQ MF的最大值．参考答案1．（1）22142x y +=（2 【分析】（1）由题意可得2c =2c e a a ===，求出a ，再由 b b ，从而可求得椭圆方程，（2）设()00,B x y ，然后利用距离公式和二次函数的性质求解即可 （1）依题意，得2c c ==2===⇒=c e a a ，所以b所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）设()00,B x y ，则2200142x y +=，则有0y ≤≤所以20220041422y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式，得()()222220000||14112y AB x y y ⎛⎫=+-=-+- ⎪⎝⎭ 2200025(1)6y y y =--+=-++，因为0y ≤≤所以当001,=-=y x ||AB 2．（1）2213x y +=；（2）22m -<<.【分析】（1）由已知得2a =c = （2）联立直线与椭圆方程，消元，利用韦达定理能求出m 的取值范围． 【详解】解：（1）由已知得2a =c =解得a =2321b ∴=-=， ∴椭圆的标准方程为2213x y +=．（2）由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解方程组并整理得2246330x mx m ++-=， 有两个不同的交点∴222(6)44(33)12(4)0m m m ∆=-⨯⨯-=-->．解不等式得22m -<<．m ∴的取值范围(2,2)-．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．3．（1）2214x y +=；（2）|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭.【分析】（1）根据椭圆的定义，即可求得a ，c 的值，根据a ，b ，c 的关系，求得b 值，即可得答案. （2）联立直线与椭圆方程，根据有公共点，可得0∆≥，化简整理，即可求得答案. 【详解】解：（1）由己知得4PM PN MN +=>=由椭圆定义可知，轨迹C 是以M ，N为焦点，焦距长2c =24a =的椭圆. 所以222431b a c =-=-=，所以曲线C 的方程是2214x y +=.（2）由22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +++=. ()()22216412146448k k k ∆=-⨯⨯+=-，因为直线2y kx =+与曲线C 有公共点， 所以0∆≥，即264480k -≥，解得k ≤k ≥故实数k的取值范围是|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭. 4．（1）2212x y +=（2）4 【分析】（1）设()1,0(0)F c c ->，根据题中条件求出1c =，得出1PF =出a 的值，再根据222b a c =-即可求出b 的值，即可求出椭圆方程；（2）由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线:1AB x ty =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理、中点坐标公式、弦长公式，以及题中条件，得到23tan t MN MAN AN+∠==，再根据基本不等式即可求出结果. （1）解：设()2,0F c ，则2PF ==1c =，即()11,0F -.∴1PF =122PF PF a +==，∴a =1b ，故椭圆的标准方程为2212x y +=； （2）解：由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线AB ：1x ty =+， 联立方程22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210t y ty ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意，()()222442810t t t ∆=++=+>，由韦达定理12222ty y t -+=+，12212y y t =-+，则22Nt y t =-+，∴22221122N N t x ty t t =+=-+=++，MN AB ⊥，∴MNk t =-，∴222226222t MN t t +=--=++，又1212AN AB y y==-=∴23tan4tMNMANAN+⎫∠===≥=，即1t=±时取等号.5．（1）圆锥曲线E是以()，)为焦点，长轴长为22163x y+=（2）(3,-【分析】（1）由平面上两点间距离公式及椭圆的定义即得；（2）由题可设直线l：y x m=+，联立椭圆的方程，利用韦达定理可得3m-<<，即求. （1）由题可知点M到定点()，)的距离之和为∴圆锥曲线E是以()，)为焦点，长轴长为所以其标准方程为22163x y+=.（2）设直线l：y x m=+，()11,A x y，()22,B x y，由22163x yy x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y，得2234260x mx m++-=，由题意，有()()221221244326043263m mmx xmx x⎧∆=-⨯->⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪-=>⎪⎩，解得3m-<<所以直线l在y轴上的截距的取值范围为(3,-.6．（1（2）5,34⎡⎢⎣【分析】(1)结合已知条件，分别求出a 、c 与2||AF 的关系式，进而求得离心率；(2)结合(1)中结论和已知条件求出椭圆的方程，然后设出M 的坐标，然后利用数量积公式表示出1OM F M →→⋅，最后利用二次函数的性质求解即可. （1）在12Rt AF F △中，∵1230AF F ∠=︒， ∴122AF AF =，122F F =，由椭圆的定义，12223a AF AF AF =+=，22c ， ∴椭圆离心率22c c e a a ====（2）2ABF 的周长为22AF BF AB ++=11224AF BF AF BF a +++==a =∵c e a ==，∴1c =，2222b a c =-=， ∴椭圆C 的标准方程为22132x y +=，可得()11,0F -，设()00,M x y ，则()00,OM x y →=，2200132x y +=， ∵()1001,F M x y →=+，∴()222210000002125123334OM F M x x y x x x x →→⎛⎫⋅=++=++-=++ ⎪⎝⎭，∵0x ≤≤所以由二次函数性质可知，当0x 1OM F M →→⋅的最大值为3当023x =-时，1OM F M →→⋅的最小值为54，所以1OM F M →→⋅的取值范围是5,34⎡⎢⎣.7．（1）()22124x y x +=≠±（2）11(1,)(,1)22-- 【分析】（1）根据直线DP 与EP 的斜率之积列方程，化简求得动点P 的轨迹C 的方程. （2）利用向量的坐标运算，由34OA OBOM 得到123x x =-，联立直线y kx m =+与椭圆：2214x y +=，化简写出根与系数关系、判别式，求得关于m 的不等式，并由此求得m 的取值范围. （1）设(),P x y ，则()1=22+24EP DP y y k k x x x ⋅=⋅-≠±-， 所以可得动点P 的轨迹C 的方程为()22124x y x +=≠±.（2）设()()1122,,,,A x y B x y 又()0,M m ，由34OA OBOM 得12123,30,4x x y y m ，123x x =-联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222418440k x kmx m +++-= 222(8)4(41)(4m 4)0km k ∆=-⨯+⨯->，即226416160k m -+>22410k m ∴-+>，且12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 又123x x =-22441kmx k ，则222122224443()4141km m x x xk k ， 222216410k m k m ，2221416m k m 代入22410k m -+>得22211014m m m-+->-， 2114m <<，解得11(1,)(,1)22m ∈--.m ∴的取值范围是11(1,)(,1)22--8．（1）22y x =；（2）9(,)16+∞.【分析】(1)利用p 的几何意义直接写出C 的方程即得.(2)根据给定条件设出直线l 及直线AB 的方程，联立直线AB 与抛物线C 的方程，求出弦AB 中点坐标，借助判别式计算作答. （1）因抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离为1，则p =1， 所以C 的方程为22y x =. （2）依题意，设直线l 的方程为12y x b =-+，直线AB 的方程为y =2x +m ，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222y x y x m⎧=⎨=+⎩消去x 得：20y y m -+=，由题意知Δ140m =->，得14m <，设线段AB 的中点为()00,N x y ，则120122y y y +==，再由002y x m =+，可得0142m x =-，又点N 在直线l 上，则111()2242m b =--+，于是584m b =-，从而有511984416b >-⨯=，所以l 在y 轴上的截距的取值范围为9(,)16+∞.9．（1）22143x y +=（2）15,,5⎛⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）利用椭圆的定义可求椭圆方程.（2）设直线()()11122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，联立直线方程和椭圆方程后利用韦达定理可求AB 的中垂线的方程，结合其过1,03⎛⎫⎪⎝⎭所得,k m 的等式，结合判别式为正可得k 的取值范围. （1）由题意可知：11||4PQ QF PF r +===， 由2F P 的中垂线l 交1F P 于点Q ，则2||QF PQ =， ∴211242QF QF F F +=>=，则点Q 的轨迹E 为以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆， 即22224,22,3a c b a c ===-=， ∴点Q 的轨迹E 的方程为：22143x y +=.（2）设直线()()11122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，将y kx m =+代入椭圆方程，消去y 得()2223484120k x kmx m +++-=，所以()()222(8)4344120km k m ∆=-+->即223043k m +>-①，由根与系数关系得122834km x x k +=-+，则()121226234my y k x x m k +=++=+， 所以线段AB 的中点M 的坐标为2243,3434km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.又线段AB 的直平分线l '的方程为113y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由点M 在直线l '上，得22314134343m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，即24330k km ++=，所以()21433m k k=-+②，由①②得()222243439k k k+<+，∵2430k +>，∴22439k k +<，所以235k >，即k <k >所以实数的取值范围是15,,5⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭.10．（1）2212x y +=（0x ≠），（2）31λ-<<且13λ≠．【分析】（1）设(,)M x y ，用坐标表示出已知条件即可得；（2）设11(,)F x y ，22(,)E x y ，由DE DF λ=得12,x x 的关系，12,y y 的关系，利用,E F 都是椭圆上的点，适合椭圆方程，可解得1x ，然后由1x ≤求得l 的范围，注意题中有01λ<<，10x ≠，结合起来求得正确的范围．（1）设(,)M x y ，则1112y y x x +-⋅=-（0x ≠），，化简得2212xy +=（0x ≠），此即为曲线C 的方程； （2）设11(,)F x y ，22(,)E x y ，221112x y +=，由DE DF λ=，得21212(2)x x y y λλ-=-⎧⎨=⎩， 212122x x y y λλλ=-+⎧⎨=⎩，E 在椭圆上，则2211(22)()12x y λλλ-++=，把221112x y =-代入得 222222111(22)(22)1222x x x λλλλλλ-+--++-=，解得1312x λλ-=，由1x <得，312λλ-33λ-<<+ 又由于E 在线段DF 上，01λ<<，10x =时，13λ=，所以31λ-<且13λ≠．11．（1）2212x y +=(x ≠；（2）()(),11,-∞-⋃+∞. 【分析】（1）设(),P x y，且x ≠12PA PB k k ⋅=-化简即可得动点P 的轨迹C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l ：1x my =+与椭圆方程联立可得12y y +，12y y ，()221221242y y m y y m +-=+，由12OMF ONFS y S y λ==-， ()212121221122y y y y y y y y λλ+=++=--+，可得221422m m λλ---+=+，根据λ的范围求得12λλ--+的范围，再解不等式可得m 的范围，再求1m的范围即为直线l 斜率的取值范围.（1）设(),P x y，则22122PA PBy k k x ⋅===--，整理可得：2222x y +=，即2212x y +=(x ≠，所以动点P 的轨迹C 的方程为2212x y +=(x ≠，（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为：1x my =+， 由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222210m y my ++-=， 所以12222m y y m -+=+，12212y y m -=+，因为11221212OMFONFOF y S y S y OF y λ⋅⋅===-⋅⋅，()()()2221222221244222y y m m m y y m m +-⎡⎤=⨯-+=⎣⎦++， ()222121212121212212122y y y y y y y y y y y y y y λλ+++==++=--+，所以221422m m λλ---+=+，即221422m m λλ+-=+，因为12y λλ=+-在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1420,3y λλ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，所以2244023m m <<+，因为22402m m >+，由224423m m <+可得：11m -<<， 所以直线l 的斜率11m<-或11m >.所以直线l 斜率的取值范围为()(),11,-∞-⋃+∞. 12．（1）24y x =或220y x =；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）由已知可得202pa =，由抛物线的定义可得62pa +=，解方程求得p 的值即可求解； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线x y t +=与22y px =，由原点O 到直线AB 的距离不t 的范围，由韦达定理可得12x x +、12x x ，利用坐标表示0NA NB ⋅=可利用t 表示p ，再利用函数的单调性求得最值即可求解. （1）由题意及抛物线的定义得：62pa +=，又因为点(M a 在抛物线C 上，所以202pa =，由62202p a pa⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 可得25p a =⎧⎨=⎩或101p a =⎧⎨=⎩，所以抛物线C 的标准方程为24y x =或220y x =． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22x y t y px+=⎧⎨=⎩消去y 可得：()2220x p t x t -++=，则1222x x p t +=+，212x x t =，因为NA NB ⊥，所以()()()()()()121212121111NA NB x x y y x x t x t x ⋅=--+=--+--()()212122110x x t x x t =-++++=，所以()()22212210t t p t t -++++=，可得22121t t p t -+=+，由原点O 到直线AB≥2t ≥或2t ≤-， 因为0p >，所以2t ≤-不成立，所以2t ≥，因为221421411t t p t t t -+==++-++在[)2,+∞上单调递增， 所以2222112213p -⨯+≥=+，所以16p ≥， 即p 的取值范围为1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．13．（1）221168x y +=（2）( 【分析】（1）设圆M 的半径为r ，则1217MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，即可得到128MC MC +=，即可得到点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，求出,a b ，即可得到轨迹方程；（2）设l 方程为：(1)y k x =-，1122(,)(,)P x y Q x y ，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据弦长公式表示出PQ ，再求出线段PQ 垂直平分线方程，从而求出AN，即可得到PQ AN= （1）解：设圆M 的半径为r ，则1217MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩12128MC MC C C ∴+=>=所以点M 的轨迹是以12,C C为焦点的椭圆，且4,a c ==2228b a c ∴=-=所以所求轨迹方程为221168x y +=． （2）解：经分析，l 斜率存在，设l 方程为：(1)y k x =-，1122(,)(,)P x y Q x y ， 由22(11168y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩）消去y 得：222212)42160k x k x k +-+-=（ 221212224216,.1212k k x x x x k k -∴+==++PQ ∴=．． 121222(2)12ky y k x x k -+=+-=+ PQ ∴的中点坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以线段PQ 垂直平分线方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭．令0y =得2212N kx k =+，221112N k AN x k +∴=-=+PQAN ∴= 0k ≠ 211k ∴+> 2141630301k ∴<-<+ PQ AN∴的取值范围为(．14． （1）k = （2）[)4,64 【分析】（1）求出圆心到直线l的距离为d =k 的值； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出AB 关于k 的表达式，利用勾股定理可求得CD 关于k 的表达式，再利用不等式的基本性质可求得2AB CD ⋅的取值范围. （1）解：因为OC OD ⊥，且圆O 的半径为2，所以点O 到直线l的距离2sin4d π===k =． （2）解：设()11,A x y 、()22,B x y，由2214y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理得()22410k x ++-=，()()2224416160k k ∆=++=+>，所以12x x +=，12214x x k -=+，所以12 AB x x=-=()22414kk+=+．设圆心O到直线l的距离为d=所以CD===所以()()22222222411614142404644144k kkAB CDk k k k+++⋅=⋅⋅==-++++．244k+≥，则21144k<≤+，所以，[)22240644,644AB CDk⋅=-∈+.所以2AB CD⋅的取值范围为[)4,64．15．（1）24y x=（2）3-（3）()0,1【分析】（1）根据题意得到12p=，从而得到抛物线C：24y x=.（2）首先设直线AB的方程为1x ty=+，与抛物线24y x=联立得2440y ty--=，再利用韦达定理求解.（3）设211,4yA y⎛⎫⎪⎝⎭，222,4yC y⎛⎫⎪⎝⎭，21144,By y⎛⎫-⎪⎝⎭，22244,Dy y⎛⎫-⎪⎝⎭，再利用韦达定理和12ECFACFECSSS S AC==△△求解即可.（1）因为抛物线C：()220y px p=>，焦点()1,0F，所以12p=，解得2p=，所以抛物线C：24y x=.24y x =（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，与抛物线24y x =联立得：2440y ty --=， 由韦达定理得124y y t +=，124y y =-，所以()22212121214416y yy y x x =⋅==，所以1212413OA OB x x y y ⋅=+=-+=- （3）设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21144,B y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22244,D y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为21222112444AC y y k y y y y -==+-， 所以直线AC ：2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即1212124y y y x y y y y =+++。
圆锥曲线面积向量叉乘
圆锥曲线面积向量叉乘-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面展开：引言:圆锥曲线是数学中重要的研究对象之一，它在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
而在计算圆锥曲线的面积时，向量叉乘的概念是一个关键的工具。
本文将探讨圆锥曲线的面积与向量叉乘之间的关系，并讨论向量叉乘在圆锥曲线面积计算中的应用与实际问题中的案例分析。
文章结构:本文共分为四个部分：引言、正文、应用与分析、结论。
在引言部分，我们将总体介绍本文的主要内容和结构安排。
在正文部分，首先介绍圆锥曲线的定义和性质，然后详细介绍面积的定义与计算方法，以及向量叉乘的概念与性质。
在应用与分析部分，我们将探讨圆锥曲线面积与向量叉乘的关系，介绍圆锥曲线面积的计算方法，并讨论向量叉乘在圆锥曲线面积计算中的应用和实际问题中的案例分析。
最后，在结论部分，我们将对全文进行总结与回顾，探讨圆锥曲线面积向量叉乘的进一步研究方向，以及对本文内容的贡献和局限性，并展望未来的研究方向。
目的:本文的目的是探讨圆锥曲线的面积与向量叉乘之间的关系，并研究向量叉乘在圆锥曲线面积计算中的应用。
通过对圆锥曲线面积的计算方法和向量叉乘的概念进行分析和研究，我们旨在深入理解圆锥曲线的性质和面积计算的原理，并探讨向量叉乘在实际问题中的应用。
同时，本文还将对圆锥曲线面积向量叉乘的进一步研究方向进行探讨，为未来研究提供一定的参考。
总结:本文将从圆锥曲线的定义和性质出发，通过对面积的定义与计算方法的介绍，讨论向量叉乘的概念与性质，进而探讨圆锥曲线面积与向量叉乘的关系，并在应用与分析部分介绍具体的计算方法和实际问题中的案例分析。
最后，在结论部分对全文进行总结与回顾，提出对圆锥曲线面积向量叉乘的进一步研究方向的展望。
通过本文的研究，我们将有助于深化对圆锥曲线面积与向量叉乘关系的理解，以及在实际问题中的应用。
文章结构部分的内容主要是介绍整篇文章的组织结构和各个章节的内容概述。
向量与导数在圆锥曲线题目中的“安家落户”
＿ Ｉ 口或 Ｙ ＝＂ ｌ ２ Ｙ＝
平 面 下 研 究 圆锥 曲线 问题 ， 宽 了在 直 角 坐 标 平 面 下 对 圆锥 拓 曲线 问 题 的研 究 ． 问 题 “ 使 由定 变 动 ” 由繁 化 简 ” “ ． １１向量 在 圆 锥 曲线 题 目巾 设 置的 体 现 ．
在 近 年 来 的 高 考 试 题 中 ， 向量 为 背 景 的题 目“ 处 不 以 无
重 点 内容 之 一 ．随 着 平 面 向 量 与 导 数 进 入 高 中 数 学 教 材 以 后 ， 量、 向 导数 与 圆 锥 曲线 互 相 交 叉 渗透 ， 大 拓宽 了 圆 锥 曲 大 线 内容 在 高 考 命 题 中 的 “ 间 ” 使 得 这 部 分 内容 的题 型 “ 空 ， 新 颖别致” ．
双曲线上． ． 的值．本题在考查双曲线渐近线方程为 求 两 ”
Ｙ＝ 的 双 曲线 是 等 轴 双 曲线 这 一 知 识 点 的 同 时 ， 考查 了 向 也 量 的数 量 积 这一 概 念 ．又 如 ２ ０ ０ ９年高 考 浙 汀 卷 中 的一 道 题 ：
’ １ “ 知椭 圆 ＋ Nhomakorabea Ｏ
＝１ ＞ｂ＞０ 的左 焦 点 为 ， 顶 点 为 ， ） 右
巧 性 要 求 较 高 ， 利 用 导 数 法 求 解 使 得 问题 “ 刃 而 解 ”实 但 迎 ， 现 了 由复 杂 到 简 单 的 转 变 ． 面 笔 者 举 例 说 明 利 用 导 数 求 解 下
使 得 解 题 过 程化 繁 为 简 ， 算 量 也 降 到 了最 低 程 度 ． 运 一 例 ２ （０ ８年 江 西 卷 ） 点 Ｐ（ｏ ） 直 线 ＝ｍ（ ２０ 设 ｘ， 在 ｙ≠土 ｍ， ０＜ｍ ＜１ 上 ， 点 Ｐ作 双 曲 线 一 ＝ｌ的 两 条 切 线 ， ） 过
“设而不求”巧思维，圆锥曲线妙突破
!设而不求 巧思维 圆锥曲线妙突破"江苏省泗洪中学!刁俊东'设而不求(是高中数学中一种非常特殊的解题技巧与方法!是数学整体思想的一个特例!通过整体结构意义上的变式与拓展以及整体思维的应用来分析与处理问题!更是破解平面解析几何问题!特别是圆锥曲线问题中的基本手段之一!在破解圆锥曲线问题中!'设而不求(可以有效融合参数的关系式!整体处理!大大减少代数运算量!结合定义巧切入$向量妙应用$利用不等式$借助'点差法($平几妙突破等方式来'设而不求(!优化过程!简化运算!提升解题效益!!定义巧切入巧妙借助圆锥曲线的相关定义!挖掘问题的本质!通过椭圆$双曲线$抛物线等的定义来巧妙建立关系式!整体代换!'设而不求(!巧妙处理!例!!)!"!"年高考数学新高考(卷)山东卷*第#,题*斜率为槡,的直线过抛物线)%%!$&&的焦点!且与)交于(!'两点!则('$!根据题目条件!先确定焦点弦所对应的直线方程!联立直线与抛物线方程!转化为对应的二次方程!直接利用韦达定理加以转化!+设而不求,!结合抛物线的定义以及焦点弦公式加以转化与应用!解析 由抛物线)%%!$&&!可知)的焦点为4)#!"*!3$!!而直线('过焦点4且斜率为槡,!则直线('的方程为%$槡,)&"#*!设()&#!%#*!')&!!%!*!将直线('的方程代入抛物线)%%!$&&!化简整理可得,&!"#"&*,$"!利用韦达定理得到&#*&!$#",!由抛物线的定义!可得('$(4#*'4#$&#*3!*&!*3!$&#*&!*3$#",*!$#+,!故填答案%#+,!合理通过椭圆"双曲线"抛物线等定义的切入!建立题目条件与圆锥曲线定义之间的关系!结合代数式或不等式等的变形与应用!+设而不求,!从中剔除参数达到求解的目的!化繁为简!提升解题效益!"向量妙应用巧妙借助平面向量的相关知识!特别是平面向量的坐标运算$数量积等!合理串联起直线与圆锥曲线之间的联系!'设而不求(!合理运算!巧妙转化!例"!)!"#%年高考数学北京卷理科第#-题*已知抛物线)%&!$"!3%经过点)!!"#*!)(*求抛物线)的方程及其准线方程&))*设0为原点!过抛物线)的焦点作斜率不为"的直线.交抛物线)于两点D !E !直线%$"#分别交直线0D !0E 于点(和点'!求证%以('为直径的圆经过%轴上的两个定点!解决涉及直线与抛物线的位置关系问题时!通过设出直线方程!联立直线与抛物线的方程组!进而确定对应坐标的表达式!引入平面向量!通过向量的坐标运算与数量积加以巧妙转化!+设而不求,!进而得以证明定点问题!解析 )(*由抛物线)%&!$"!3%经过点)!!"#*!得3$!!可得抛物线)的方程为&!$"&%!其准线为%$#!))*由)(*知抛物线)的焦点为4)"!"#*!设直线.的方程为%$#&"#)#$"*!设D )&#!%#*!E )&!!%!*!由%$#&"#!&!$"&%!3得&!*&#&"&$"!结合韦达定理可得&#&!$"&!而直线0D 的方程为%$%#&#&!令%$"#得点("&#%#!"#)*!同理得点'"&!%!!"#)*!设点=)"!:*!则=('($"&#%#!"#":)*!=''($"&!%!!"#":)*!=('(0=''($&#&!%#%!*):*#*!$%!!"!!年!月上半月解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.!&#&!"&!#&)*"&!!&)**):*#*!$#+&#&!*):*#*!$"&*):*#*!!令=('(0=''($"!即"&*):*#*!$"!得:$#或:$",!故以('为直径的圆经过%轴上的定点)"!#*和)"!",*!直线与圆锥曲线的方程联立!利用韦达定理加以转化!通过平面向量的坐标表示!结合向量的坐标运算"数量积等!综合相关的位置关系等加以整合!+设而不求,!巧妙代入!破解问题!#利用不等式巧妙通过基本不等式的应用!构造参数之间的关系!'动('静(结合!合理转化!'设而不求(!在破解一些最值问题中经常应用!例#!)!"!"年高考数学全国卷)文科第%题!理科第-题*设0为坐标原点!直线&$7与双曲线)%&!7!"%!H!$#)7&"!H&"*的两条渐近线分别交于=!>两点!若20=>的面积为-!则)的焦距的最小值为)!!*!C!&D!-4!#+E!,!根据双曲线的两条渐近线的方程!结合条件确定线段=>的长度!利用三角形的面积加以转化!得到7H$-!利用基本不等式!结合双曲线的几何性质+设而不求,!从而得以确定对应的最值问题!解析 由于双曲线)的两条渐近线的方程为%$LH7&!将&$7代入可得%$L H!可得=>$!H!则有A20=>$#!=>07$7H$-!利用基本不等式!可得双曲线)的焦距!8$!7!*H槡!,!!槡7H$-!当且仅当7$H$槡!!时等号成立!所以)的焦距的最小值为-!故选D!合理通过基本不等式的应用!+设而不求,!把+静,态的圆锥曲线问题+动,起来!进而确定相关参数的最值点!$借助 点差法巧妙借助直线的斜率公式!结合'点差法(的变形与转化!构建直线与圆锥曲线之间的关系!'设而不求(!代数运算!转化变形!图#例$!)!"!"年高考数学浙江卷第!#题*如图#!已知椭圆)#%&!!*%!$#!抛物线)!%%!$!3&)3&"*!点(是椭圆)#与抛物线)!的交点!过点(的直线.交椭圆)#于点'!交抛物线)!于点D)'!D不同于(*!)(*若3$##+!求抛物线)!的焦点坐标&))*若存在不过原点的直线.使点D为线段('的中点!求3的最大值!设出点(与点D的坐标!借助直线的斜率公式!通过+点差法,的变形与转化来确定对应的值!进而建立参数之间的关系式!利用主元法并结合方程思维!再结合条件加以分析与处理!解析 )(*由3$##+!得抛物线)!的焦点坐标是#,!!")*!))*设()!37!!!37*!D)!3B!!!3B*!则有#(D0#0D$!37"!3B!37!"!3B!!3B!3B!$#B)B*7*!又由'点差法(可知!#(D0#0D$%("%'&("&'%(*%'!&(*&'!$%!("%!'&!("&!'$#"&!(!)*"#"&!'!)*&!("&!'$"#!!则有#B)B*7*$"#!!即B!*7B*!$"!可得%$7!"-,"!即7!,-!而()!37!!!37*在椭圆)#%&!!*%!$#上!可得)!37!*!!*)!37*!$#!所以3!$#!7&*&7!4##+"!解得34槡#"&"!当且仅当7!$-时等号成立!故3取到最大值槡#"&"!在破解一些直线与圆锥曲线的位置关系问题时!经常借助+点差法,来求解相关直线的斜率!引入点的坐标!利用+点差法,!通过作差确定与转化相关直线的斜率!借助题目条件!+设而不求,!柳暗花明!*&!备习备考解法探究!"!!年!月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
圆锥曲线推导过程
圆锥曲线推导过程要推导圆锥曲线，我们首先需要了解什么是圆锥。
圆锥是由一个圆在一个点上沿着一条直线平移而生成的曲面。
在数学中，圆锥曲线是圆锥与一个平面的交线。
现在我们来推导圆锥曲线的具体过程。
1.圆锥的定义：假设我们有一个圆心为O，半径为r的圆C以及一个点V，且OV的长度为h，V在与圆C不在同一平面上。
接下来，我们沿着OV的方向以圆C为基准，平移V点，从而生成圆锥曲线。
2.圆锥曲线的参数方程：设V点的坐标为(x,y,z)。
由于平移是沿着OV的方向进行的，所以可以得到以下关系式：x=k*ry=k*rz=k*h其中，k为比例因子。
3.圆锥曲线的一般方程：将参数方程转化为一般方程。
我们可以用x，y和z来代替r和h的关系，从而得到一般方程：(x/a)^2+(y/b)^2=(z/c)^2其中，a=r^2/h，b=r^2/h，c=r。
4.圆锥曲线的分类：根据参数方程或一般方程的形式，我们将圆锥曲线分为四类：椭圆、抛物线、双曲线和直线。
当a=b=c时，我们得到的方程为x^2+y^2=z^2，这是一个圆锥面。
当a=b≠c时，我们得到的方程为x^2+y^2=kz^2，这是一个椭圆锥面。
当a=b≠c时，我们得到的方程为x^2y^2=kz^2，这是一个双曲线锥面。
当a=0或b=0时，我们得到的方程为y=kx^2，这是一个抛物线。
5.圆锥曲线在平面上的投影：将圆锥曲线投影到平面上可以得到不同的曲线。
椭圆的投影是一个椭圆或一个圆，抛物线的投影是一个抛物线，双曲线的投影是一个双曲线或两个直线，直线的投影仍然是一条直线。
6.圆锥曲线在几何中的应用：圆锥曲线在几何学中有着广泛的应用。
椭圆轨道用于描述行星在太阳系中的运动，抛物线轨道用于描述天体的抛物运动，双曲线轨道用于描述一些天文现象，如彗星的路径等。
以上就是推导圆锥曲线的过程。
通过了解圆锥的定义和参数方程，我们可以得到一般方程，并根据方程的形式将圆锥曲线进行分类。
圆锥曲线在几何学中有着重要的应用，我们可以通过研究它们的特性来更好地理解和描述各种现象。