向量与坐标知识点总结
高中向量知识点归纳总结
高中向量知识点归纳总结一、向量的概念与表示1. 向量的定义与概念向量是具有大小和方向的物理量，表示为有向线段。
向量的大小称为模，通常用|a|表示；向量的方向用一个角度或者与坐标轴的夹角表示。
2. 向量的表示向量可以通过不同方式进行表示，常见的表示方法有点表示法、坐标表示法和分解成分表示法。
其中点表示法是指用起点和终点的坐标表示向量，坐标表示法是指用向量的坐标来表示向量，分解成分表示法是指将一个向量分解为与坐标轴平行的分向量。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果是以它们为两边的平行四边形的对角线。
2. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘，结果是一个大小变为原来的倍数，方向不变的新向量。
3. 向量的减法向量的减法即将一个向量减去另一个向量，可以理解为向量的加法的逆运算。
4. 向量的线性运算线性运算是指向量的加法和数乘运算满足分配律、结合律和交换律。
5. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，表示为a·b，定义为|a|·|b|·cos(θ)，其中|a|和|b|分别是向量a 和b的模，θ是两个向量的夹角。
6. 向量的数量积的性质向量的数量积具有交换律、分配律和可能与零向量数量积为零等性质。
7. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，定义为一个向量与另一个向量在夹角方向上的投影的大小。
8. 已知向量的坐标求向量大小通过向量的坐标可以利用勾股定理求出向量的大小。
9. 用向量表示物理问题在物理问题中，可以利用向量的运算来描述力的合成、速度方向以及几何问题等。
三、平面向量1. 平面向量的模和方向平面向量的模指向量的大小，平面向量的方向指向量的方向。
2. 平面向量共线与定比分点若有两个向量a和b，则a与b共线的充分必要条件是存在实数λ，使得a=λb或者b=λa；定比分点是指分点m将向量a和b分成λ:1-λ的两部分。
3. 平面向量共面若有三个向量a、b、c，则a、b、c共面的充分必要条件是它们的数量积为零。
空间向量知识点总结公式
空间向量知识点总结公式一、空间向量的定义在三维空间中，空间向量通常用坐标表示，其中一个点P的坐标为（x，y，z），另一个点Q的坐标为（a，b，c），那么PQ的空间向量为向量（a-x，b-y，c-z）。
二、空间向量的运算1. 空间向量的加法运算若有两个向量A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的和为C（a1+a2，b1+b2，c1+c2）。
2. 空间向量的减法运算若有两个向量A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的差为C（a1-a2，b1-b2，c1-c2）。
3. 空间向量的数乘运算若有一个向量A（a，b，c），一个实数k，则kA为（ka，kb，kc）。
4. 空间向量的数量积数量积指两个向量的数量乘积，设A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的数量积为a1a2+b1b2+c1c2。
5. 空间向量的向量积向量积又称为叉积，设A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的向量积为（b1c2-c1b2，c1a2-a1c2，a1b2-b1a2）。
6. 空间向量的混合积定义为A·（B×C），其中A、B、C分别为三个向量，其中A·表示数量积，B×C表示向量积。
三、空间向量的坐标表示空间向量通常有两种常见的表示方法，即点坐标表示和参数方程表示。
1. 点坐标表示点坐标表示指的是根据两个点的坐标来表示一条向量。
设两点P（x1，y1，z1）和Q（x2，y2，z2），则以P为起点Q为终点的向量为（x2-x1，y2-y1，z2-z1）。
2. 参数方程表示参数方程表示指的是以一个点为起点，以一个方向向量为方向，通过参数t来表示。
设点P（x0，y0，z0）是向量的起点，向量v=（a，b，c）是方向向量，那么向量的参数方程为X=x0+at，Y=y0+bt，Z=z0+ct。
四、空间向量的应用1. 物理学中的运动学在物理学中，空间向量常常用于描述物体在三维空间中的运动和位置，如速度、加速度等。
大一向量数学知识点总结
大一向量数学知识点总结向量是数学中重要的概念，它在几何学、物理学和工程学等领域起着重要作用。
本文将对大一学习的向量相关知识点进行总结。
一、向量的定义和表示方式向量可以理解为有大小和方向的量，常用符号为箭头上方带有一个字母，如a、b等。
向量有多种表示方式，包括坐标表示、分量表示和矩阵表示。
1. 坐标表示：在坐标系中，向量的表示可以用有序数对表示，如(a, b)，其中a为横坐标分量，b为纵坐标分量。
2. 分量表示：向量可以表示为各个方向上的分量的数值构成的序列，如(a1, a2, a3, ..., an)，其中ai为向量在每个方向上的分量。
3. 矩阵表示：向量可以表示为一个行向量或列向量的矩阵形式，如[a1, a2, a3, ..., an]或[a1; a2; a3; ...; an]。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
若向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的和a + b = (a1+b1, a2+b2, ..., an+bn)。
2. 向量的数乘：向量的数乘指将向量的每个分量与一个实数相乘。
若向量a = (a1, a2, ..., an)，实数k，则其数乘ka = (ka1, ka2, ..., kan)。
3. 内积：向量的内积又称为点积，表示两个向量之间的夹角和向量长度的乘积。
内积的计算方式有两种。
a. 几何定义：设向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的内积为a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
b. 分量定义：设向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的内积为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
4. 外积：向量的外积又称为叉积，其结果是一个向量。
高一下数学知识点总结向量
高一下数学知识点总结向量高一下数学知识点总结：向量一、向量的概念和表示方法向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。
向量的大小叫作向量的模，用|AB|表示；向量的方向由起点A和终点B决定，用→AB表示。
二、向量的加减法1. 向量的加法：将两个向量的起点放在一起，然后将终点连接起来，新的向量的起点就是原来两个向量的共同起点，终点就是连接起来的线段的终点。
记作：→AC = →AB + →BC。
2. 向量的减法：将两个向量的起点放在一起，然后将终点连接起来，新的向量的起点就是原来两个向量的共同起点，终点就是连接起来的线段的终点。
记作：→AC = →AB - →BC。
三、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积：向量的数量积也叫点乘，结果是一个实数。
向量的数量积可用向量的模和夹角的余弦表示：→A·→B = |→A| *|→B| * cosθ。
其中，|→A|和|→B|分别表示向量→A和→B的模，θ表示两向量的夹角。
2. 向量的向量积：向量的向量积也叫叉乘，结果是一个向量。
向量的叉乘可用向量的模、夹角的正弦和右手法则表示：→A×→B = |→A| * |→B| * sinθ * →n。
其中，|→A|和|→B|分别表示向量→A和→B的模，θ表示两向量的夹角，而→n表示垂直于→A和→B所在平面的单位向量。
四、向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的影子，也就是一个向量在另一个向量上的垂直投影。
投影的长度可以用向量的数量积计算：|→A|cosθ。
五、向量的共线和垂直1. 向量的共线：若两个向量的方向相同或相反，则称它们共线。
2. 向量的垂直：若两个向量的数量积为0，则称它们垂直。
六、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个向量可以用有序实数组表示。
对于任意向量→A，如果其终点A(x,y)对应的坐标为(x,y)，则可表示为→A = (x,y)。
七、向量的线性运算向量的线性运算包括数乘和向量加法。
向量知识点公式总结
向量知识点公式总结一、向量的概念1. 向量的定义在欧氏空间中，向量是指一个有大小和方向的量，可以用箭头表示。
在数学上，向量通常用坐标表示，比如二维空间中的向量可以表示为(x, y)，三维空间中的向量可以表示为(x, y, z)。
向量与点不同，向量只有方向和大小，没有固定的位置。
2. 向量的运算（1）向量的加法设有向量a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)。
（2）向量的数乘设有向量a=(a1,a2,a3)，k为常数，则ka=(ka1,ka2,ka3)。
3. 向量的模长设有向量a=(a1,a2,a3)，则向量a的模长是|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
4. 向量的方向角设有向量a=(a1,a2,a3)，则向量a的方向角分别为α、β、γ，其中cosα = a1/|a|，cosβ =a2/|a|，cosγ = a3/|a|。
二、向量的线性表示1. 点乘设有向量a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，则a•b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
2. 叉乘设有向量a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，则a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
3. 向量的混合积设有向量a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，c=(c1,c2,c3)，则[a,b,c] = a•(b×c) = b•(c×a) = c•(a×b)。
三、向量的坐标表示1. 平面直角坐标系上的向量设有向量a，其起点坐标为A(x1, y1)，终点坐标为B(x2, y2)，则a=(x2-x1, y2-y1)。
2. 空间直角坐标系上的向量设有向量a，其起点坐标为A(x1, y1, z1)，终点坐标为B(x2, y2, z2)，则a=(x2-x1, y2-y1, z2-z1)。
向量的性质及知识点总结
向量的性质及知识点总结1. 向量的定义向量是指空间中具有大小和方向的量，在数学上通常用箭头表示。
向量可以用坐标表示，比如二维平面上的向量可以表示为(x, y)，三维空间中的向量可以表示为(x, y, z)。
向量也可以用向量的模和方向来表示，模表示向量的大小，方向表示向量的指向。
2. 向量的基本运算向量有两种基本的运算，即加法和数乘。
向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量，数乘是指一个向量乘以一个数得到一个新的向量。
向量的基本运算满足交换律、结合律和分配律。
3. 向量的线性相关与线性无关如果存在一组实数k1, k2, ..., kn，使得k1*v1 + k2*v2 + ... + kn*vn = 0，其中v1, v2, ..., vn为n个向量，则这组向量线性相关；否则，这组向量线性无关。
线性相关的向量之间存在线性关系，可以由其中的某个向量表示成其他向量的线性组合；线性无关的向量之间不存在线性关系。
4. 向量的线性组合给定一组向量v1, v2, ..., vn和对应的实数k1, k2, ..., kn，它们的线性组合就是k1*v1 +k2*v2 + ... + kn*vn。
线性组合是向量的基本运算，它可以用来表示其他向量，比如空间中的任意一点都可以表示成基向量的线性组合。
5. 向量的内积和外积向量的内积（又称点积）和外积（又称叉积）是向量的重要运算。
内积的结果是一个标量，外积的结果是一个向量。
内积和外积在物理学中有着广泛的应用，比如力的计算和力矩的计算。
6. 向量的模和方向向量的模表示向量的大小，可以用勾股定理计算得到。
向量的方向表示向量的指向，可以用单位向量来表示。
单位向量是模为1的向量，它与任意非零向量的乘积得到的都是非零向量。
7. 向量的投影给定两个向量v和b，v在b上的投影表示v在b的方向上的分量，它可以用内积来计算得到。
向量的投影在物理学、工程学中有着广泛的应用，比如力的分解和运动的分解。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结一、向量的基本概念1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的物理量，通常用一个箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
2. 向量的表示：通常用字母加上一个箭头表示向量，如a、b、c等，也可以用粗体字母表示向量，如a、b、c等。
3. 向量的模：向量的大小叫做模，通常用|a|表示，表示向量a的大小。
4. 向量的方向：向量的方向是指向量所在的直线的方向。
通常用角度来表示，如θ，表示与x轴的夹角。
5. 坐标表示：向量也可以用坐标来表示，如(a₁, a₂, a₃)表示三维空间中的一个向量。
6. 零向量：大小为零的向量叫做零向量，通常用0表示。
7. 平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们就是平行向量。
8. 共线向量：如果两个向量在同一条直线上，那么它们就是共线向量。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的相应分量相加得到一个新的向量。
表示为a + b = c，其中c的分量是a和b的分量相加得到的。
2. 向量的减法：向量的减法是指将一个向量的分量减去另一个向量的分量得到一个新的向量。
表示为a - b = c，其中c的分量是a和b的分量相减得到的。
3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个数量得到一个新的向量。
表示为ka = b，其中b的分量是a的每个分量乘以k得到的。
4. 内积：两个向量a和b的内积表示为a·b，它等于a与b的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
内积的计算公式为a·b = |a||b|cosθ。
5. 外积：两个向量a和b的外积表示为a×b，它等于一个新的向量，它的大小等于a与b 所构成的平行四边形的面积，方向垂直于a和b所构成的平面。
三、向量的性质1. 方向性：向量有方向性，即向量的方向是它的一个重要特征。
2. 大小性：向量有大小性，即向量有模，它的大小可以用模来表示。
高中向量知识点总结
高中向量知识点总结向量是数学中的重要概念，它在几何、物理等领域都有着广泛的应用。
在高中数学学习中，向量是一个重要的知识点，掌握好向量的相关知识对于学生的数学学习和未来的发展都具有重要意义。
本文将对高中向量知识点进行总结，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一部分内容。
1. 向量的概念。
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
在直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对，也可以表示为一个坐标点到另一个坐标点的位移。
向量的大小通常用模长来表示，方向则可以用夹角或者方向角来描述。
2. 向量的运算。
向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
向量的加法和减法都是按照平行四边形法则进行的，而数量乘法则是将向量的模长与一个标量相乘，同时改变向量的方向。
向量的运算在几何和物理问题中有着重要的应用，能够帮助我们更好地描述和计算问题。
3. 向量的数量积和向量积。
向量的数量积又称为点积，是两个向量的数量乘积再与它们的夹角的余弦值相乘所得的结果。
向量的数量积具有对称性和分配律，可以用来计算向量的模长、夹角以及投影等问题。
而向量的向量积又称为叉积，是两个向量的数量乘积再与它们的夹角的正弦值相乘所得的结果。
向量的向量积可以用来求得平行四边形的面积和向量的方向。
4. 向量的应用。
在几何中，向量可以用来描述平面图形的性质，比如平行四边形的性质、三角形的性质等。
在物理中，向量则可以用来描述物体的位移、速度、加速度等物理量，是物理学中不可或缺的工具。
另外，在工程和计算机图形学中，向量也有着广泛的应用，比如在计算机游戏中的物体运动、碰撞检测等方面。
总结：通过本文的总结，我们对高中向量知识点有了更深入的了解。
向量作为数学中的重要概念，在几何、物理等领域有着广泛的应用。
掌握好向量的相关知识，不仅有助于学生的数学学习，还能够为他们未来的发展打下坚实的基础。
希望本文能够帮助学生更好地理解和掌握高中向量知识，为他们的学习和未来的发展提供帮助。
向量知识点总结范文
向量知识点总结范文向量是数学中的一个重要概念，它在多个学科领域中都有广泛的应用，包括物理学、几何学、计算机科学等。
下面是对向量的一些重要知识点的总结。
1.向量的定义：向量是具有大小和方向的量。
它可以用箭头表示，箭头长度表示向量的大小，箭头方向表示向量的方向。
一个向量通常用字母加上一个箭头符号来表示，例如向量a可以写作→a。
2.向量的运算：向量可以进行加法、减法和数乘等运算。
两个向量的加法是将它们的对应分量相加；两个向量的减法是将被减向量取负后与减向量相加；向量的数乘是将向量的每个分量乘以一个标量。
3.向量的模长：向量的模长表示向量的大小。
对于平面向量，模长可以用勾股定理计算得出：向量a的模长为∥a∥=√(a1^2+a2^2)，其中a1和a2分别表示向量a在x轴和y轴上的分量。
对于三维向量，模长的计算方式类似。
4.单位向量：单位向量是模长为1的向量。
通过将向量除以其模长，可以得到一个单位向量。
具有相同方向但模长不同的向量都是彼此的常数倍，可以通过将一个向量除以其模长来得到一个单位向量。
5.向量的方向角：向量的方向角是它与一些参考轴之间的夹角。
对于平面向量，可以用反正切函数计算出向量相对于x轴的方向角。
对于三维向量，可以用球坐标来表示向量的方向角。
6.内积和外积：向量的内积又称为数量积，表示两个向量之间的相似程度。
内积的计算方法是将两个向量对应分量相乘后相加。
向量的外积又称为矢量积，表示两个向量之间的垂直程度和大小。
外积的计算方法是通过向量的模长和夹角的正弦函数计算得出。
7.向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是指一个新的向量，与被投影向量垂直，并且长度等于被投影向量与投影向量的夹角的余弦乘以被投影向量的长度。
投影向量可以用向量的内积和单位向量来表示。
8.平行与垂直：两个向量平行表示它们具有相同的方向或相反的方向。
两个向量垂直表示它们的内积为零。
如果两个向量的内积等于零，则它们垂直；如果两个向量的内积不为零，则它们不垂直。
高考坐标向量知识点与公式总结
高考坐标向量知识点与公式总结高考坐标向量知识点与公式总结一、引言在高考数学考试中，坐标向量是一个重要的知识点。
了解和掌握坐标向量的相关概念、性质和运算规则，对于正确解题非常关键。
本文将对高考几何中坐标向量的核心知识点与相关公式进行总结，帮助考生系统地掌握这一部分知识。
二、坐标向量的基本概念1. 坐标向量的定义坐标向量是一种由方向和长度组成的向量，它的起点是坐标原点，终点是一个点P。
2. 坐标向量的表示对于一个平面上的点P(x, y)，可以使用向量OP = x⃗i +y⃗j来表示，其中x、y分别代表向量在x轴和y轴上的投影长度。
3. 零向量零向量是长度为0的向量，表示为0⃗。
它在坐标系中表示为原点O。
三、坐标向量的运算1. 向量的加法定义：设向量 A = x1⃗i + y1⃗j，向量 B = x2⃗i + y2⃗j，则向量A + B = (x1 + x2)⃗i + (y1 + y2)⃗j。
2. 向量的减法定义：设向量 A = x1⃗i + y1⃗j，向量 B = x2⃗i + y2⃗j，则向量A - B = (x1 - x2)⃗i + (y1 - y2)⃗j。
3. 向量的数量积定义：设向量 A = x1⃗i + y1⃗j，向量 B = x2⃗i + y2⃗j，则向量A·B = x1x2 + y1y2。
4. 向量的数量积与夹角公式一：设向量 A = x⃗i + y⃗j，向量 B = x'⃗i + y'⃗j，则A·B = |A||B|cosθ，其中θ为向量A和向量B的夹角。
公式二：若A·B = 0，则向量A与向量B垂直。
四、坐标向量的性质1. 顺序不变性对于向量A和B，有A + B = B + A，A - B ≠ B - A。
2. 数量可加性对于向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B + C)，(A - B) - C ≠ A - (B - C)。
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解析几何复习知识点总结 第一章 向量与坐标 第一节 向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。
规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0. 模为1的向量称为单位向量。 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a 方向相等且模相等的向量称为相等向量。 长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量．与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。
1共线向量定理 两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb
2共面向量定理 如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by
3空间向量分解定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
1.2 向量的加法 三角形定则解决向量加减的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。 平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，
向量的加法 结果为公共起点的对角线。
平行四边形定则解决向量减法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。
（平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。） 坐标系解向量加减法： 在直角坐标系里面,定义原点为向量的起点.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为(x,y)形式,
A(X1,Y1) B(X2,Y2)，则A+B=（X1+X2，Y1+Y2），A-B=（X1-X2，Y1-Y2） 简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减。类似于物理的正交分解。
向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 OA-OB=BA.即“共同起点，指向被 向量的减法 减”
a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。 交换律：a+(-b)=a-b 1.3向量的数乘 实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍
当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
实数p和向量a的点乘乘积是一个数。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
需要注意的是：向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则。
1.4 向量的线性关系与向量的分解 如果V是一个线性空间，如果存在不全为零的系数c1, c2, ...,∈F，使得c1v1+ c2v2+ ... +vn= 0，那么其中有限多个向量v1, v2, ..., vn称为线性相关的.
反之，称这组向量为线性无关的。更一般的，如果有无穷多个向量，我们称这无穷多个向量是线性无关的，如果其中任意有限多个都是线性无关的。
分解定理 平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面的两个不平行向量，那么对于这一平面的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面所有向量的一基底。
定比分点公式 定比分点公式（向量P1P=λ·向量PP2） 设P1、P2是直线上的两点，P是直线上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个任意实数 λ且λ不等于-1，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)；（定比分点向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三向量共面的充要条件是他们线性相关 空间任何四个向量总是线性相关 空间四个以上向量总是线性相关
1.5标架与坐标 三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。含有x轴正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。
空间向量的八个卦限的符号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ x + - - + + - - + y + + - - + + - - z + + + + - - - -
空间的一个定点O，连同三个不共面的有序向量e1，e2，e3的全体，叫做空间中的一个标架，记做{O；e1，e2，e3}。如果e1，e2，e3都是单位向量，那么{O；e1，e2，e3}就叫做笛卡儿标架。两两互相垂直的标架叫做笛卡儿直角标架。在一般情况下，{O；e1，e2，e3}叫做仿射标架。
标架一般是完全决定空间坐标系来用的，所以空间坐标系也可以用标架{O；e1，e2，e3}来表示，这时候点O就可以叫做坐标原点，而向量e1，e2，e3都叫做坐标向量。
当空间取定标架{O；e1，e2，e3}后，空间全体向量的集合或者全体点的集合与全体有序三数组x，y，z的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系就叫做空间向量或点的一个坐标系。此时，向量或点关于标架{O；e1，e2，e3}的坐标，也称为该向量或点关于由这标架所确定的坐标系的坐标。标架是空间坐标系的向量化。
笛卡尔坐标系(Cartesian)- 系统用 X、Y 和 Z 表示坐标值。 柱坐标系(Cylindrical)- 系统用半径、theta (q) 和 Z 表示坐标值。 球坐标系(Spherical)- 系统用半径、theta (q) 和 phi (f) 表示坐标值。 1.6向量在轴上的射影 设向量AB的始点A和终点B在轴l上的射影分别为A’和B’，那么向量A’B’叫做向量AB在轴l上的射影向量，记做射影向量lAB
射影lAB=|AB|COSθ，θ=∠（l，AB） 1.7两向量的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a,b〉=a·b / |a|·|b|）；若a、b共线，则a·b=±∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。 向量的数量积的运算律 a·b=b·a（交换律） (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律) （a+b)·c=a·c+b·c（分配律） 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方。 a⊥b〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|） 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)²≠a²·b²。 2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。 3．|a·b|与|a|·|b|不等价 4．由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立。 1.8两向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积
向量的几何表示 （外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则∣a×b∣=|a|*|b|（此处与数量积不同，请注意），若a×b=0，则a、b平行。向量积即两个
不共线非零向量所在平面的一组法向量。
运算法则：运用三阶行列式 设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量 A=(x1,y1,z1)B=（x2,y2,z2）则A*B= a b c x1 y1 z1 x2 y2 z2 向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a平行b〈=〉a×b=0 向量的向量积运算律