苏教版选修2《数学归纳法》说课稿
高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课件苏教版选修22
k
k＋1＋1 k＋1
<
k2＋ k＋k＋1 12＋1＝2kk＋＋11＝2
k＋1.
∴当n＝k＋1时，不等式成立.
由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立.
第十六页，共45页。
[再练一题] 2.试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式. 【证明】 ①当n＝2时，2＋1 1＋2＋1 2＝172>1234. ②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时不等式成立， 即k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k>1234， 那么当n＝k＋1时， k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋1 1
第二十八页，共45页。
[探究共研型]
用数学归纳法证明整除(zhěngchú)性问题
探究1 数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1? 【提示】 不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值为n0＝ 3.
第二十九页，共45页。
探究2 数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？ 【提示】 第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据， 这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确 的结论.因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数列命题是否正确，我 们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少 步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.
第二十一页，共45页。
得ak＝k2kS－k 1，ak＋1＝k＋1Sk＋21k＋1， 所以Sk＝k(2k－1)ak ＝k(2k－1)2k－112k＋1＝2k＋k 1， Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－2k＋k 1. 因此，k(2k＋3)ak＋1＝2k＋k 1，
高中数学选修2—2《数学归纳法》说课设计
本课的对象为高二学生，在初中阶段及本章第一节，已经对归纳法有较深入的认识，也接触过大量的证明．而数学归纳法却完全不同，学生也许从来没有想过可以这样来说明一件事的真实性．这也叫“证明”吗？为什么证明了“两个步骤”就可以断言命题对一切自然数 都成立呢？为什么只须验证“ ”的情况呢？为什么可以“假设 时结论正确”呢？正是这些困惑,构成了教学的难点.
（学生活动）算出 ， 后，再一起讨论，教师适度引导，会发现，如果某项满足猜想，通过递推关系式，推出下一项也会满足猜想．困难在于项数是无限的，不可能实现逐项验证．
设问2：假设当 时，猜想正确，即 ．那么当 时， 是否正确？为什么？同学们从中发现了什么？
（师生活动）实际上，假设当 时，猜想正确，即：
则当 时，
（1）（归纳奠基）证明当 取第一个值 时命题成立；
（2）（归纳递推）假设当 时命题成立，
证明当 时命题也成立．
综上(1)，(2)，知对任意的正整数 ，命题都成立．
（师生活动）上述概念由学生总结，抽象，教师给出精确，规范的表述．
（四）课堂练习，巩固新知
1．一串鞭炮全部可以燃放，须具备哪些条件？
2．用数学归纳法证明对于足够大的正整数 ，总有 ，则 的第一个值应取．
（1）当n=1时， ，猜想正确；
（2）任意一块倒下，一定导致相邻的下一块倒下．
（2）假设当 时，猜想正确，即： ，则当 时，
所以，当 时，猜想也正确．
根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下．
根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都正确．
（三）点题，提炼新知．
一般地，证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行：
学生被抑制的思维得到充分释放，同时也更能接受＂假设当 时＂的意义．
《数学归纳法》第2课时示范公开课教学课件【高中数学苏教版】
（2）猜测an的表达式，并用数学归纳法证明．
你能说出数学归纳法的步骤有哪些？
如何用数学归纳法探求数列的通项公式？
如何用数学归纳法处理与正整数有关的不等式的证明问题？
1
目标检测
B
用数学归纳法证明 （）时，第一步应验证（ ）
A．
C．
D．
B．
第一步应验证n＝2时是否成立，
故选B．
2
目标检测
证明：“对任意的正整数n成立”．
证明： （1）当n＝1时，左边＝13＝12＝右边，结论成立；
因此，若n＝k时命题成立，可推出n＝k＋1时命题成立．
3
目标检测
已知数列｛an｝中a1＝2，an＝ （n≥2）
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜测an的表达式，并用数学归纳法证明．
3
目标检测
已知数列｛an｝中a1＝2，an＝ （n≥2）
对任意正整数n成立．
证明： （1）当n＝1时，左边＝右边，命题成立．
因此，若n＝k时命题成立，可推出n＝k＋1时命题成立．
综合（1）（2）步，可知命题对任意正整数n成立．
初步应用
例2 已知数列｛an｝满足a1＝0，2an＋1－anan＋1＝1（n∈N*），试猜想数列｛an｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
例3 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1＋x，（1＋x）2，…，（1＋x） n－1，…的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当n＝2时，由上述过程知，不等式成立．
（2）假设当n＝k（k∈N*，且k≥2）时，不等式成立，
由x＞0，可得1＋x＞1，
《2.3 数学归纳法》课件-优质公开课-苏教选修2-2精品
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜
单
SJ·数学 选修 2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 易 错 易 误 辨 析
●教学建议 本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展 为本，一切从学生出发．在教师组织启发下，通过创设问题 情境，激发学习欲望，共同探讨，合作交流，张显学生独立 的学习个性．
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
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2．过程与方法 (1)通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法． (2)努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高 学习兴趣和课堂效率，体会类比的数学思想方法． 3．情感、态度与价值观 通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生 活，并形成严谨的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习 惯．亲历知识的构建过程，体验探索中挫折的艰辛和成功的 喜悦，激发学习数学的兴趣初步形成创新意识．
菜 单
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《2.3 数学归纳法》课件1-优质公开课-苏教选修2-2精品
那么n=k+1时， 1 1 1 1 1 左边 (1 2 ) ( 2 3 ) ( k 1 1) 1
练习2．下面是某同学用数学归纳法证明命题
1 1 1 n 1 2 2 3 n (n 1) n 1 的过程.你认为他的证法正确吗？为什么？
1 1 (1).当n=1时，左边 = 1 2 2
，
1 1 右边 =1 2 1
(2).假设n=k时命题成立 即
1 1 1 k 1 2 2 3 k (k 1) k 1
归纳奠基：归纳递推
命题对从n0开始所有 的正整数n都成立
想一想：
(1) 第一步，是否可省略？
不可以省略。
(2)第二步，从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发，
推证 n=k+1 时命题也成立。既然是假设，为什么还 要把它当成条件呢？ 这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性。
一、复习回顾：什么是数学 归纳法？
数学归纳法
(1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成 立；【归纳奠基】 (2)假设当n=k(k∈N* ，k≥ n0)时命题成立
证明当n=k+1时命题也成立.
这种证明方法叫做 数学归纳法
【归纳递推】
框图表示
验证n n0时 命题成立
若n k k n0 时命题成立 证明n k 1时命题也成立
猜想当n≥5时，2n>n2(证明略)
注：先猜想，再证明
练习：
1、用数学归纳法证明：1+2+22+„+2n-1=2n-1 (n∈N*) 证明:(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式是成立 的。 (2)假设当n=k时等式成立，就是 1+2+22+„+2k-1 =2k-1 那么， 1+2+22+„+2k-1 +2k=2k-1 + 2k =2×2k-1 =2k+1-1 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。 因此，根据(1)和(2)可断定，等式对于任何 n∈N*都成立。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 2.3 数学归纳法》1
《数学归纳法》教学设计江苏省板浦高级中学李忠贵一、【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2（苏教版）》第二章第三节《数学归纳法》。
在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。
因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。
通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。
本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。
二、【学情分析】我校的学生基础较好，思维活跃。
学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从“传球原理”启发得到“数学方法”的过程有困难；二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。
三、【策略分析】本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；体验从“实际生活—理论—实际应用”的过程；采用“教师引导—学生探索”相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。
四、【教学目标】（1）知识与技能目标：①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。
（2）过程与方法目标：努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。
（3）情感态度与价值观目标：通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。
五、【教学重难点】教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n 有关的数学命题；教学难点：数学归纳法中递推关系的应用。
高中数学 2.3 数学归纳法配套教学课件2 苏教版选修22
想一想
（1） 第一步，是否(shì fǒu)可省略？ 不可以(kěyǐ)省略．
（2）第二步，从n＝k（k≥n0）时命题成立的假设 (jiǎshè)出发，推证 n＝k＋1 时命题也成立．既然 是假设(jiǎshè)，为什么还要把它当成条件呢？
这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性．
第四页，共16页。
例1 设n∈N*，5n＋2×3n－1＋1．
（1）当n＝1，2，3，4时，计算(jìsuàn)f(n)的值． （2）你对f(n)的值有何猜想(cāixiǎng)？用数学归纳法 证明你的猜想(cāixiǎng)．
解：当n＝1时， f(1) ＝51＋2×31－1＋1＝8×1． 当n＝2时， f(2) ＝52＋2×32－1＋1＝8×4． 当n＝3时， f(3) ＝53＋2×33－1＋1＝8×18． 当n＝4时， f(4) ＝54＋2×34－1＋1＝8×35．
证明(zhèngmíng)你的结论．
解：这样的n条直线把平面分成的区域(qūyù)数目为
f (n)＝ n2＋n＋，2下
2
面用数学归纳法证明：
（1）当n＝1时，一条直线将平面分成两部分，f(1)＝2，∴n＝1时，
命题成立．
（2）假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，即有 f (k)＝ k 2＋k＋2， 2
＝5×5k＋6×3k－1＋1 ＝5×5k＋2×3k－1＋1＋ 4(5k＋3k－1) ＝ f(k)＋4(5k＋3k－1)
第六页，共16页。
这里，5k和3k－1均为奇数，它们和(5k＋3k－1)必 为偶数，从而4(5k＋3k－1)能被8整除(zhěngchú)．
由归纳假设，f(k)能被8整除(zhěngchú)，所以f(k＋ 1)能被8整除(zhěngchú)，这就是说当n＝k＋1时命题也 成立．
高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章2.3第一课时利用数学归纳法证明等式、不等式问题Word版含解析
2.3摘象问鎚情境化，新知无师自通【P48]i⑴⑵遽駅罷点溝Ml.纣.一W心［P48]⑴ n n o(n 0 1,2 )⑵n k(k N*k n o)n k 1n o n［归纳＞升华・领悟］(1)(2)(1)n n o(2)⑴(1)⑵高中数学［例1］用数学归纳法证明：1,1 v , 1 1 1 , 1 , , 1 1_二十二__十…十 ------ ——= ----- 1 --------- …十L2 3 4 2n — 1 2n n + 1 n + 2 2n ，［思路点拨］等式的左边有2n 项，右边共有n 项，f(k)与f(k + 1)相比左边增二项，右边 增一项，而且左右两边的首项不同•因此，从n = k 到n = k + 1时要注意项的合并.1 1 ［精解详析］(1)当n = 1时，左边=1 — 2= 2， 右边=2命题成立.⑵假设当n = k 时命题成立，即111 1 1 1.1. , 1 '_ 2 3 4 2k — 1 2k k + 1 k + 2 2k那么当n = k — 1时，亠、丄.1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 左左力= 1 — — — 一 — — — 一 = -L- _L --------2 3 4 2k — 1 2k 2k +1 2k + 2 k +1 k + 2 2k 2k +11 2k + 2左边=右边，上式表明当n = k + 1时命题也成立.由(1)和(2)知，命题对一切非零自然数均成立.［一点通］(1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于 “先看项”弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关.由n =k到n = k + 1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.⑵证明n = k +1时成立，必须用到假设 n = k 成立的结论.1.用数列归纳法证明：当 n € N *时，—1 + 3— 5+ …+ (— 1)n (2n — 1) = (— 1)n n. 证明：(1)当n = 1时，左边=—1,右边=—1, 所以左边=右边，等式成立.(2)假设当n = k(k > 1, k € N *)时等式成立， 即一1+ 3— 5 + …+ (— 1)k (2k — 1) = (— 1)k k. 那么当n = k + 1时，—1 + 3— 5+ …+ (— 1)k (2k — 1)+ (— 1)k +1 (2k + 1)1k — 1k —+ …+ 2k — 2k1 2k + 1 1 2k + 2. 右边=1 k + 3+ …+ — + -—2k 2k + 1 12k + 2/ 八k k 1(1) k ( 1) (2 k 1)k 1 k 1(1) ( k) ( 1) (2 k 1)(1)k 1(2k 1 k)(1)k 1(k 1)n k 1(1) (2) n N *212 22 32 42(2n 1)2 (2 n)2n (2 n 1)(1) n 1 12 22 3 1 (2 1 1) 3(2) n k12 22 32 42(2 k 1)2 (2k)2k(2k 1)n k 112 22 32 42(2 k 1)2(2 k)2[2(k 1) 1]2[2(k 1)]2k(2k 1) (2 k 1)2(2 k 2)2(2 k 1)(k 1) 4(k 1)2(k 1) [2k 1 4(k 1)] (k 1)( 2k 3)(k 1)[2(k 1) 1]n k 1[ ](1) n 21 1 1 1 57 5-- ———--3 4 5 6 60 6⑵n k(k2k N )11丄5k1k 23k 6n k 1111111k1 1 k 1) 2 3k3k 13k 23k 31111 1 115 k 1 k23k3k 13k 2 3k 3k 1 >6高中数学所以当n = k + 1时不等式也成立.由(1)(2)可知原不等式对一切 n > 2, n € N *都成立. ［一点通］利用数学归纳法证明与 n 有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一，应用过程中注意:(1)证明不等式的第二步即从 n = k 到n = k +1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现；⑵与n 有关的不等式的证明有时并不一定非用数学归纳法不可，还经常用到不等式证 明中的比较法、分析法、配方法、放缩法等.1 13. 用数学归纳法证明不等式 市++•••k + 1时，不等式的左边增加的式子是n = k + 1 时,+k + k + 2k +1+ 2 k + 1 k + 1丄+丄+…+ k + 1 k + 2k + k 2k + 1 2k + 2 '答案.• (2k + 1]2k + 2)111 1 n — 2*4•求证 2+ 3 + 4+…+ 2—^>-^(n A 2 且 n € N ).假设当n = k(k > 2且k € N *)时，不等式成立, 即2+1 +1+…+占> 宁. 2 3 4 2 -12111 1 1当门=k +1时,尹3+4 +••• +尸+尹2k +1k1 k —2 1 1 1 k — 2 2 k — 2 1k 彳> 小 + k +1+ k +1+ …+ k + 1=小 + k +1=小 +c2 2 — 1 2 2 2 2 2 2 2 25+ 3 x1 —丄=5 3k + 3 k + 16'卜丘〉丹勺过程中，由n = k 推导解析：n = k ,1 1+ + … k + 1 k +21 k +1左边=k +2 + k + 3k + 1 + k + k +1 + k + 1丄+丄+丄k + 1 k + 2 k + 3 证明：当n =2时，左边=2+6，右边=2—2= 0,左边〉右边，此时不等式成立.亠 +•••+ + > +2+宀 + ••k|1 2k +1— 122k + 2k + 11 1 1+ + — ■ 3k + 2 3k + 3 k + 11 1 V2 V 32弧• k 1 1 k (k 1)1 V k -1V k ~1耳屮2尸k 1n k 1(1)(2)n［方法・规律•小结］(1)n 1n 2 n 3 n 10n2n >n 3n 10⑵n k 1n k n k 1n k n k 1(3) n k(k 1)课下训练经典化，贵在耙类旁通［()】YING YONG彳 n 2 2n 11 a *1 a aa(a 1 n N )1a'丿解析：因为左边式子中a 的最高指数是n +1,所以当n = 1时，a 的最高指数为2,根 据左边式子规律可得，当 n = 1时，左边=1 + a + a 2.=2k 2— k + (4k + 1)1 1 V2 V 31n<2 n(n(1) n 112 1 2.君＜2冬答案：1 + a+ a22.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n= k时，表达式为1X4 + 2x 7+-+ k(3k+ 1) = k(k+ 1)2,则当n = k+ 1时，表达式为 __________ .答案：1 x 4+ 2X 7 +…+ k(3k+ 1) + (k+ 1)(3k+ 4) = (k+ 1)(k+ 2)21 1 1 127 *3.用数学归纳法证明不等式 1 + 2+ 4+…+ 尹>丽⑴^ N )成立，其初始值至少应取1 — |'1)解析：左边=1 +3 4+ 4 +…+ 1 = 牛=2—2n—i代入验证可知n的最小值为8.1 —-2答案：84. 对于不等式.n2+n<n + 1(n€ N*)，某学生证明过程如下：(1)当n = 1时，，12+ 1<1 + 1，不等式成立；⑵假设n = k(k€ N*)时，不等式成立，即k2+ k<k+ 1(k€ N*)，则当n= k+ 1时,k+12+ k+1 =k2+ 3k + 2< k2+ 3k+ 2 + k + 2 = k+ 2 2=(k+ 1) + 1,所以当n = k+ 1时，命题成立.上述证法的错误在于___________________________答案：没有用归纳假设5. _____________________ 用数学归纳法证明：“(n+ 1)(n+ 2)…(n+ n)= 2n 1 3 …(2n —1)”.从“ k 到k+ 1 ” 左端需增乘的代数式为.解析：当n = k时左端的第一项为(k+ 1)，最后一项为(k+ k),当n= k+1时，左端的第一项为(k+ 2)，最后一项为(2k+ 2),所以左边乘以(2k+ 1)(2k+ 2)，同时还要除以(k+ 1).答案：2(2k+ 1)二、解答题6•用数学归纳法证明:2 *4 +5 + 9 + 13+-+ (4n—3) = 2n -n(n€ N ).证明：(1)当n= 1时，左边=1，右边=1，命题成立.* 2 ⑵假设n= k(k> 1, k€ N )时，命题成立，即1 + 5+ 9+ 13+…+ (4k—3) = 2k —k.则当n= k+ 1 时，1 + 5 + 9+ 13+…+ (4k —3) + (4k+ 1)高中数学2 22k 3k 12(k 1)2 (k 1)n k 11 3 5(2 k 3) (2 k 1)(2 k 1) (2 k 1) (2 k 3)5 3 12k 2 2k 1 (2 k 1) (2 k 1)2k 2 2k 12(k 1)2 2(k 1) n k 1 (1)(2)(2n 3) (2n1) (2n 3) 5 3 1 2n2n 1(n N *)(1) n 1(2) n k(k N *)(2 k 3) (2 k 1) (2 k 3) 25 31 2k 2k 1.1> 2n 1、一 2n 1.尸 2(1) n 2(2) n k(k 2N ) 1 2k 1 2k 1 >~2~131 5.2k 1 2k 2 > 22k 1 川 2(k 1 ) 12k 12k 2 2 2k 1 2 2k 12 ,2k 12,2k 12高中数学。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 2.3 数学归纳法》71
数学归纳法1一、学情分析数学归纳法被安排在高二下学期?普通高中课程标准实验教科书选修2-2?〔苏教版〕第二章第三节，这个阶段的学生思维趋于成熟，能进行抽象的逻辑思维分析。
在知识方面：已经学过高中阶段的大局部的知识板块，具有一定的知识储藏；在能力方面：初高中已经将类比推理渗透到教材的很多章节，学生正在不知不觉地应用着。
二、设计思想本节课主要是利用以前学习过的知识，认识一种思维方法——类比推理。
在整个过程中，学生已经具备独立研究知识的能力，所以在教学中我从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点。
三、课程资源在中小学数学教学中，对合情推理的能力培养都有一定的要求。
而且在整个高中教材中有很多章节已经渗透了用类比推理的方式生成新的知识，比方必修2阅读局部增加了“平面几何与立体几何的类比〞，必修5中“等差与等比数列的类比〞等等。
四、教学目标1、理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤。
2、通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法。
五、教学重点与难点教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。
教学难点：能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题。
教具准备：多媒体课时安排：1课时〔共三课时〕六、教学过程：〔一〕、问题情境：数列{a n}，a1＝1，且〔n＝1，2，3…〕通过对n＝1，2，3，4，前4项的观察，我们可以猜测出其通项公式为，这种方法叫？生答：归纳推理〔从特殊到一般〕归纳法〔归纳推理〕：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。
问题1:这是一盒白色的粉笔。
完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。
〔结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难〕问题2：天下乌鸦一般黑。
不完全归纳法：考察局部对象，得到一般结论的推理方法〔结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜测〕回到刚刚的问题，刚刚得出的猜测属于〔？〕生答：不完全归纳，不一定成立，必须通过严格的证明．怎么证明？思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的方法来加以证明呢？思考2：如果一个数学命题与正整数n有关，我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？很多同学小时候都玩过这样的游戏，多米诺骨牌游戏〔多米诺骨牌〔domino〕是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。
2019-2020学年苏教版选修2-2 2.3 数学归纳法 教案
第2课时 用数学归纳法证明不等式 学习目标 1.学会用数学归纳法证明不等式的过程.2.体会变形和放缩法在证明过程中的应用．一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果(1)当n 取第一个值n 0时结论正确；(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时成立，证明当n ＝k ＋1时结论也正确．那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．类型一 利用数学归纳法证明不等式例1 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760， 故左边>右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56， 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1) ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)．(*) 方法一 (分析法)下面证(*)式>56， 即13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>0，只需证(3k ＋2)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋2)－3(3k ＋1)(3k ＋2)>0，只需证(9k 2＋15k ＋6)＋(9k 2＋12k ＋3)＋(9k 2＋9k ＋2)－(27k 2＋27k ＋6)>0，只需证9k ＋5>0，显然成立．所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．方法二 (放缩法)(*)式>(3×13k ＋3－1k ＋1)＋56＝56， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键点(1)验证第一个n 的值时，要注意n 0不一定为1，若n >k (k 为正整数)，则n 0＝k ＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．跟踪训练1 在数列{a n }中，已知a 1＝a (a >2)，a n ＋1＝a 2n 2(a n －1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明：a n >2(n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，a 1＝a >2，命题成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即a k >2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1－2＝a 2k2(a k －1)－2＝(a k －2)22(a k －1)>0， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②得，对任意正整数n ，都有a n >2.类型二 猜想并证明不等式例2 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．解 取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624， 令2624>a 24⇒a <26，且a ∈N *， 所以取a ＝25.下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. ①当n ＝1时，已证结论正确．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524， 则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1)＋(13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1)>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)]． 因为13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8>6(k ＋1)9k 2＋18k ＋9＝6(k ＋1)9(k ＋1)2＝23(k ＋1)， 所以13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)>0， 所以1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，对一切n ∈N *，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. 故a 的最大值为25.反思与感悟 (1)通过观察，判断，猜想出结论，这是探索的关键．(2)在用数学归纳法证明命题时，注意验证起始值．跟踪训练2 设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2,3，….(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式．(2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，n ∈N *，有a n ≥n ＋2.(1)解 由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式为a n ＝n ＋1(n ≥1，n ∈N *)．(2)证明 ①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，n ∈N *)时，不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3.即当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2.由①②可知，对任意的n ≥1，n ∈N *，都有a n ≥n ＋2.1．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1(2n －1)2<2－12n －1(n ≥2，n ∈N *)的第一步需证明的不等式为____________________________．答案 1＋122＋132<2－122－12．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立，那么，下列命题成立的是________．(填序号)①若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立；②若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立；③若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立；④若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立．答案 ④解析 若f (4)＝25，则f (4)≥42，由条件可知，当k ≥4时，f (k )≥k 2，故④正确．3．以下是用数学归纳法证明有“n ∈N *时，2n >n 2”的过程，证明：(1)当n ＝1时，21>12，不等式显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即2k >k 2.那么，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k >k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2. 即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)，可知对任意n ∈N *不等式都成立．其中错误的步骤为________．(填序号) 答案 (2)解析 在2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k >k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1中用了k 2≥2k ＋1，这是一个不确定的结论．如k ＝2时，k 2<2k ＋1.4．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1时，假设n ＝k 时，命题成立，那么当n ＝k ＋1时，只需证明________________________________即可．答案 3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3k ＋32k ＋3解析 由假设知：1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1， 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2， ∴只需证明3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1＝3k ＋32k ＋3.1．n ＝k ＋1时式子的项数，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错．因此对n ＝k 与n ＝k ＋1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．2．“假设n ＝k (k ≥1)时命题成立，利用这一假设证明n ＝k ＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设．3．由于是不等式的证明，所以在转化过程可能用到基本不等式及分析法、综合法、放缩法等．课时作业一、填空题1．已知a i >0(i ＝1,2，…，n )，考查①a 1·1a 1≥1； ②(a 1＋a 2)(1a 1＋1a 2)≥4； ③(a 1＋a 2＋a 3)(1a 1＋1a 2＋1a 3)≥9. 归纳得对a 1，a 2…a n 成立的类似不等式为________________________．答案 (a 1＋a 2＋…a n )(1a 1＋1a 2＋…＋1a n)≥n 2 2．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证的不等式为______________．答案 1＋12＋13<2 解析 ∵n >1且n ∈N *，∴n 取的第一个值n 0＝2.∴第一步应验证1＋12＋13<2. 3．仔细观察下列不等式：(1＋11)>3， (1＋11)(1＋13)>5， (1＋11)(1＋13)(1＋15)>7， (1＋11)(1＋13)(1＋15)(1＋17)>9， 则第n 个不等式为________________________________．答案 (1＋11)(1＋13)(1＋15)…(1＋12n －1)>2n ＋1(n ∈N *) 4．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．5．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某学生证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1(k ∈N *)，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．上述证法的错误在于________________．答案 没有用归纳假设6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取_____． 答案 8解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 7．用数学归纳法证明“2n ＞n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取________．答案 5解析 当n 取1、2、3、4时2n ＞n 2＋1不成立，当n ＝5时25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n ＞n 2＋1的n 值为5.8．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是____________________________．答案 122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋39．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为________________． 答案 1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2解析 3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2. 二、解答题10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)并用数学归纳法证明你的结论．解 当n ＝1时，21＋2＝4>12，当n ＝2时，22＋2＝6>22，当n ＝3时，23＋2＝10>32，当n ＝4时，24＋2＝18>42，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．②假设n ＝k (k ≥3且k ∈N *)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2.要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k 2－2≥(k ＋1)2，即证k 2－2k －3≥0，即证(k ＋1)(k －3)≥0.又因为k ＋1>0，k －3≥0，所以(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，2n ＋2>n 2.11．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝2时，左边＝1＋122＝54， 右边＝2－12＝32，左边<右边，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时，不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k， 那么当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2，又由于[2－1k ＋1(k ＋1)2]－(2－1k ＋1) ＝1k ＋1－1k ＋1(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)－(k ＋1)2＋k k (k ＋1)2 ＝－1k (k ＋1)2<0， 所以2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1， 所以1＋122＋132＋…＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①，②知，对于大于等于2的正整数n ，不等式成立．12．用数学归纳法证明12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22，其中n ≥2，n ∈N *. 证明 ①当n ＝2时，左边＝12，右边＝0，结论成立； ②设n ＝k 时，结论成立，即12＋13＋14＋…＋12k －1>k －22， 则当n ＝k ＋1时，左边＝12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋2k －12k >k －12， 即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22，n ≥2，n ∈N *. 三、探究与拓展13．求证：1＋12＋13＋ (1)<2n (n ≥1，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，不等式成立．即1＋12＋13＋ (1)<2k . 则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 <2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1<(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．14．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *恒成立，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n≤m 2n ＋1， 当n ＝1时，m ≥32； 当n ＝2时，m ≥358； 而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立．证明：①当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立． ②假设当n ＝k 时，不等式12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立， 当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2， 只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤ 322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2， 只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．所以，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．。
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苏教版选修2《数学归纳法》说课稿
一、教材分析
1.1 教材背景
本课是苏教版选修2中的《数学归纳法》单元。
数学归纳法作为一种常见的数学证明方法，对学生的逻辑思维和推理能力的培养具有重要意义。
1.2 教材内容
本单元的主要内容包括：
•基本概念：自然数集合和归纳法的定义与性质；
•数学归纳法的基本思想与步骤；
•初等数论中的应用：
–连续整数和的计算；
–连续奇数（或偶数）和的计算；
–一般算术级数和的计算。
1.3 教材特点
•突出归纳法的应用：根据数学归纳法的思想，通过数学归纳法解决实际问题，培养学生的解决问题的能力；
•突出逻辑推理：通过数学归纳法的证明过程，引导学生进行具体的推理分析，提高学生的逻辑思维能力。
二、教学目标
2.1 知识目标
通过本节课的学习，学生将掌握：
•数学归纳法的定义与性质；
•数学归纳法的基本思想与步骤；
•数学归纳法在初等数论中的应用。
2.2 能力目标
通过本节课的学习，学生将培养以下能力：
•运用数学归纳法解决实际问题的能力；
•进行逻辑分析和推理的能力。
2.3 情感目标
通过本节课的学习，学生将培养以下情感态度和价值观：•培养学生对于数学的兴趣和积极性；
•培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
三、教学重点与难点
3.1 教学重点
•理解数学归纳法的基本思想和步骤；
•运用数学归纳法解决实际问题。
3.2 教学难点
•归纳法的证明过程和逻辑推理；
•运用数学归纳法解决复杂的问题。
四、教学过程
4.1 导入与引入
通过举例引入，让学生了解归纳法在实际问题中的应用：
举例：小明在计算连续整数和时遇到了困难，你能想到用什么方法来解决吗？
引导学生思考问题，并引入归纳法的概念。
4.2 理论讲解与示范
通过课本的讲解和示范，解释数学归纳法的定义与性质、基本思想与步骤，并结合具体例子进行演示。
4.3 实例演练与训练
将学生分成小组，每组选取一道应用题进行讨论和解答，鼓励学生在小组间相互讨论，加深对归纳法的理解和应用。
4.4 师生互动与讨论
教师与学生进行互动交流，解答学生在实例演练中遇到的问题，引导学生进行归纳法的证明过程和逻辑推理。
4.5 知识梳理与归纳
对本节课学习的内容进行梳理和归纳，与学生一起总结数学归纳法的特点和应用。
五、教学评价
5.1 对象评价
对学生的学习情况进行评估，包括学生的参与度、对数学归纳法的理解和应用能力等。
5.2 过程评价
对教学过程进行评价，包括教学设计的合理性、教师的教学方法及教材的使用等。
5.3 教学效果评价
对学生的学习效果进行评价，包括学生掌握的知识水平、能力发展程度以及情感态度和价值观的培养等。
六、教学反思
本节课的教学重点是数学归纳法的基本思想和应用。
通过举例、理论讲解以及实例演练，学生对数学归纳法有了更深入的理解。
但在教学实施过程中，应注意学生的动手能力和逻辑思维能力的培养，以提高学生解决实际问题的能力。
同时，对于学习能力较弱的学生，应及时给予帮助和引导，以提高他们的学习积极性和成绩水平。