二项式定理ppt
6.3.1 《二项式定理》课件ppt
2 6
C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +8 (2x ) ·(3 ) -C8
项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有
关.
微判断
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(
)
答案 ×
解析 二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等,只有当a,b的系数
都为1时两者相等.
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.(
答案 √
解析 (x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
3
Tk+1=C ·( √ )n-k· -
1
2 3√
=
1
C ·( 3 )n-k·
1
1 - · 3
2
∵第 6 项为常数项,∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
10-2
1
(2)由(1)知 Tk+1= - 2 ·C10
· 3 .
10-2
令
=2,则 k=2.
3
2
1
1
45
2
因为含 x3 的项是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93 =84.
探究三
利用二项式定理解决整除和余数问题
例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定
理展开.
解 7777-1=(76+1)77-1
1
2
76
77
=7677+C77
2
二项式定理 课件
(2)x－1x9 的展开式的通项是 Cr9x9－r－1xr＝(－1)rCr9x9－2r. 根据题意，得 9－2r＝3，r＝3. 因此，x3 的系数是(－1)3C93＝－84.
1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4＝1＋4x＋
方法二 1＋1x4＝1x4(x＋1)4＝1x4[x4＋C14x3＋C24x2＋C34x＋1] ＝1＋4x＋x62＋x43＋x14.
探究点二 二项展开式的通项 例 2 (1)求(1＋2x)7 的展开式的第 4 项的二项式系数、项的
问题 3 二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？ 答 (1)它有 n＋1 项，各项的系数 Ckn(k＝0,1，…，n)叫二项 式系数； (2)各项的次数都等于二项式的次数 n.
问题 4 二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有 代表性？ 答 (1)字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0，字母 b 按升 幂排列，次数由 0 递增到 n； (2)Cknan－kbk 叫二项展开式的通项，用 Tk＋1 表示，即通项 Tk＋1＝Cknan－kbk.
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
小结 在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行必要变 形可使展开多项式的过程得到简化，例如求(1－x)5(1＋x＋x2)5 的展开式，可将原式变形为(1－x3)5，再展开较为方便．
跟踪训练 1 求1＋1x4 的展开式．
解 方法一 x62＋x43＋x14.
二项式定理ppt课件
01
在量子力学和统计物理学中，二项ห้องสมุดไป่ตู้定理可以用于计算一些物
理量的近似值。
在计算机科学中的应用
02
在算法设计和数据结构中，二项式定理可以用于解决一些优化
问题。
在经济学中的应用
03
在金融和经济学中，二项式定理可以用于研究资产价格的波动
和风险评估。
05
习题和思考题
关于二项式定理的基本计算题
总结词：掌握基础
发展历程
随着时间的推移，二项式 定理的应用范围不断扩大 ，逐渐涉及到概率论、统 计学等领域。
重要贡献
二项式定理在数学史上具 有重要地位，为后续数学 研究提供了基础。
二项式定理在数学中的地位和作用
地位
二项式定理是组合数学中 的核心定理之一，是解决 组合问题的重要工具。
作用
二项式定理的应用范围广 泛，不仅用于计算组合数 ，还可以用于解决概率论 、统计学中的问题。
要点三
归纳步骤
考虑k+1的情况，即(a+b)^(n+1) = (a+b) * (a+b)^n。根据归纳假设， 可以将右边的表达式展开为Σ C(n,k) * a^(n-k+1) * b^k + Σ C(n,k) * a^(n-k) * b^(k+1)。根据组合数的 性质，可以将右边的表达式进一步化 简为Σ C(n+1,k+1) * a^(n-k+1) * b^k + Σ C(n+1,k) * a^(n-k) * b^(k+1)。这就证明了二项式定理对 k+1的情况也成立。
与牛顿二项式定理的关系
牛顿二项式定理是二项式定理的一种特殊形式，适用于整数指数 幂的展开。
《二项式定理》ppt课件
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)
①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反思 感悟
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底 数化成两数的和与差的情势，且这种转化情势与除数有密切 的关系.
跟踪训练4 (1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝11－－225n＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝31n＋C1n×31n－1＋…＋Cnn－1×31＋1－1＝31×(31n－1＋C1n×31n－2＋… ＋Cnn－1)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
反思 感悟
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所 谓 的 “ 双 通 法 ” 是 根 据 多 项 式 与 多 项 式 的 乘 法 法 则 得 到 (a ＋ bx)n(s＋tx)m 的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Cknan－k(bx)k·Crmsm－r(tx)r，再 依据题目中对指数的特殊要求，确定 r 与 k 所满足的条件，进而求 出 r，k 的取值情况.
跟踪训练 2
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
解 第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10
B.－10
√C.2
D.－2
2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
二项式定理 课件
0
90
91
1
又 992=(10-1)92=C92
·1092-C92
·1091+…+C92
·102-C92
·10+1,
前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前
面的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除所得
余数为 81.
用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(1009)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
9
1
(1)证明 ∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C10
·109+…+C10
·10+1)-1
1
2
=1010+C10
·109+C10
·108+…+102
答案:-56
1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数
剖析两者是不同的概念. C (r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某
一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的
第 4 项的二项式系数为C73 =35,而其第 4 项的系数为C73 ·23=280.
2.如何用组合的知识理解二项式定理
二项式定理
1.二项式定理
二项展开式:(a+b)n=C0 + C1 − 1 + ⋯ + C − +
⋯ + C (n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C (k∈
{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.
二项式定理ppt课件
二项式定理与幂级数有密切的联系，通过二项式定理可以推 导幂级数的展开式，反之亦然。
与微积分的联系
二项式定理在微积分中有重要的应用，例如在求解微分方程 和积分方程时，可以利用二项式定理进行近似计算。
二项式定理在实际问题中的应用
组合数学问题
二项式定理在组合数学中有广泛的应用，例如排列、组合、概率等问题中都可以用到二项式定理。
欧洲的发展
欧洲数学家在文艺复兴时 期开始深入研究二项式定 理，其中帕斯卡和贾法尼 等人都做出了重要贡献。
现代应用
二项式定理在现代数学、 物理、工程等领域都有广 泛的应用，是解决各种问 题的重要工具。
二项式定理的定义与公式
二项式定理定义
二项式定理描述了两个数 相乘时，各项的系数变化 规律。
二项式定理公式
总结词
二项式定理的展开形式是 $(a+b)^n$，其中$a$和$b$是常数 ，$n$是正整数。
详细描述
二项式定理的展开形式是$(a+b)^n$ ，其中$a$和$b$是常数，$n$是正整 数。这个公式可以展开为多项式，各 项的系数由组合数决定。
二项式展开的系数规律
总结词
二项式展开的系数规律是使用组合数 来表示的。
组合数学中的应用
排列组合公式
二项式定理可以用于推导排列组 合公式，例如C(n,k)=n!/(k!(nk)!)，通过二项式定理可以推导
出该公式。
组合恒等式
利用二项式定理可以证明一些组 合恒等式，例如C(n,k)=C(n,n-k) 和C(n+1,k)=C(n,k)+C(n,k-1)等
。
组合数性质
利用二项式定理可以推导出组合 数的一些性质，例如C(n,k)总是 非负的，当k>n时，C(n,k)=0等
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二项式定理
简介
二项式定理是高中数学中的一个重要定理，是关于二项式展开的公式。
二项式展开是将一个二项式的幂次展开成一系列项的乘积的形式。
它在数学和物理等领域中都有重要的应用。
本文将详细介绍二项式定理的定义、推导过程以及应用。
定义
在数学中，二项式指两项的和，具体表示为：(a + b)^n
二项式定理给出了这个二项式的展开式，形式如下：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1)b^1 +
C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)a^1 b^(n-1) +
C(n,n)a^0 b^n
其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的方式数。
推导过程
为了推导出二项式定理，我们可以通过数学归纳法进行演绎。
下面是推导的过程：
Step 1:当n = 1时，二项式定理成立。
因为此时(a +
b)^1 = a + b。
Step 2:假设当n = k时，二项式定理成立。
即(a + b)^k = C(k,0)a^k b^0 + C(k,1)a^(k-1)b^1 + ... + C(k,k-1)a^1 b^(k-1) + C(k,k)a^0 b^k。
Step 3:考虑当n = k+1时，我们可以将(a + b)^(k+1)展开为(a + b) * (a + b)^k。
通过展开乘法运算，我们可以得到：(a + b) * (a + b)^k = a * (a + b)^k + b * (a + b)^k = a * (C(k,0)a^k b^0 + C(k,1)a^(k-1)b^1 + ... + C(k,k-1)a^1 b^(k-1) + C(k,k)a^0 b^k) + b * (C(k,0)a^k b^0 + C(k,1)a^(k-1)b^1 + ... +
C(k,k-1)a^1 b^(k-1) + C(k,k)a^0 b^k)。
Step 4:对上式进行整理和合并同类项，可以得到(a +
b)^(k+1)的展开式：(a + b)^(k+1) = C(k,0)a^(k+1)
b^0 + (C(k,1) + C(k,0))a^k b^1 + ... + (C(k,k-1) + C(k,k))a^1 b^k + C(k,k) a^0 b^(k+1)。
Step 5:观察上式中各项的系数，我们可以发现它们正好匹配二项式定理的展开式的形式。
因此，根据数学归纳法，二项式定理成立。
应用
二项式定理在数学、统计学和物理学等领域有广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用：
1. 概率论与组合数学
二项式系数可以表示在n个独立的实验中成功r次的概率，即二项分布。
这在概率论中有重要的应用，也是组合数学的一个重要研究内容。
2. 组合恒等式
通过对二项式定理进行适当的代换和整理，可以得到各种
组合数学中的恒等式，如Vandermonde恒等式、二项式反演等。
3. 数值方法
二项式定理被广泛应用于数值计算的各个方面。
它可以用
来计算多项式的值，求解方程的根，以及在数值积分中的应用等。
4. 物理学
二项式定理在物理学中的应用非常广泛，特别是在量子力
学和统计力学中。
它可以用来描述粒子的能级、概率分布等。
总结
本文介绍了二项式定理的定义、推导过程和应用。
二项式
定理是数学中一个基础而重要的定理，它在概率论、组合数学、数值计算以及物理学等领域都有重要的应用。
通过了解和掌握二项式定理，我们能够更好地理解和应用相关的数学概念和方法。