人教A版高中数学选修2-2《数学归纳法》说课稿

数学归纳法（第一课时）说课稿（人教A版高中数学选修2-2）一、教材分析1、教材地位数学归纳法是人教A版高中数学选修2—2第二章第三节的内容，它是一种特殊的证明方法，对证明一些与正整数有关的命题是非常有用的研究工具，弥补了不完全归纳法的不足。

用它解答一些高考题往往能起到柳暗花明的神奇作用，因此是高中理科生应掌握的一种证明方法。

2、教学重点、难点教学重点：理解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证明命题的基本步骤教学难点：（1）理解数学归纳法的原理（2）如何利用归纳假设证明当n=k+1时命题也成立。

二、教学目标（1）知识目标：理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法证题的基本步骤，会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。

（2）能力目标：培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的逻辑、抽象、创新思维能力，让学生经历知识的建构过程, 体会类比的数学思想。

（3）情感目标：通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度，感受数学内在美，激发学习热情。

三、学情分析：在此之前学生经历了数列的求通项、求和等知识的学习，还学习了归纳推理、类比推理、演绎推理等知识，已具备了一定的观察、分析、归纳能力。

四、教学方法教学方法：本节课主要采用感性体验法、类比、引导发现法进行教学。

教学手段：借助多媒体展示创设教学情境学法指导：本课以问题情境为中心，以解决问题为主线展开，引导学生通过以下模式：“观察情境→提出问题→分析问题→解决问题→提升理论→巩固应用”进行探究式学习。

五、教学过程：（一）知识链接归纳推理特点:由特殊到一般 类比推理特点:由特殊到特殊常用⎩⎨⎧完全归纳法不完全归纳法归纳法（设计意图：复习归纳推理和类比推理，为学习数学归纳法作铺垫）（二）创设情境情境1 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子由“一字是一横，二字是二横，三字是三横”，得出“四就是四横、五就是五横……，百是百横，……，万是万横，……”的结论，用的就是“不完全归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．情境2 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N *时，122+n一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了 1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．（设计意图：通过以上两个例子让学生了解不完全归纳法得出的结论不一定正确，即使是数学家也不例外。

同时这则笑话和这段数学史料也激发了学生的兴趣，营造了轻松愉快的学习氛围）情境3解：因为a 1=1,a 2=1,a 3=1,a 4=1，由不完全归纳得a n =1（设计意图：通过一个求数列通项公式的问题，让学生领悟到逐一验证法不可行，从而引导学生思考如何用有限的步骤证明无限的问题呢？带着问题去探究、去思考，提高了学生的自主性。

）{}()。

n a a a ，a a n n n n 并证明它公式试猜想这个数列的通项中在数列,,2121,1111≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==--（三）探索新知1、感性体验：通过观看人倒下的视频,引导学生得出全部人倒下的两个条件：①第一个人要倒下（奠定基础）②任意相邻两人，若前一个倒下时，则后一个也倒下;（传递性）（设计意图：孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”通过观看一段有趣的生活实例调动学生的积极性，初步了解传递性，体验学数学的乐趣。

）2、类比归纳（1）类比人倒下的条件，要证以下等式成立，需满足两个什么条件？例1：（2）师生共同证明该恒等式 （设计意图：通过类比人倒下的条件，让学生发现等式成立的条件及证明方法，体现了类比的数学思想及美国心理学家、教育家布鲁纳的发现学习理论．）（四）提升理念证明一个与正整数n 有关的命题关键步骤如下：（1）(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（2）(归纳递推)假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

(结论)满足这两个条件后，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立。

这种证明方法就叫做数学归纳法。

（设计意图：培养学生的抽象概括能力）()()()*61213212222N n n n n n ∈++=++++（五）学以致用练习1 用数学归纳法证明：1+３+５+……+（２n －１）= n 2（n ∈N*）在练习的过程中估计学生可能出现以下三种典型的错误：错误（1）：证明过程中缺少第一个步骤。

举反例。

例：等式2+4+6+……+2n=n 2+n+1成立吗？假设当n=k 时等式成立， 即 2+4+6+……+2k=k 2+k+1那么 2+4+6+……+2k+2(k+1) =k 2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1所以当n=k+1时等式也成立。

所以原等式成立。

（事实上，当n=1时这个等式是明显不成立的。

）错误（2）：把n=k+1直接代入左右两边错误(3)：没有利用归纳假设，而是利用等差数列前n 项和公式师生共同总结：(1)两个步骤缺一不可，(2)在证n=k+1等式也成立时，一定要用到归纳假设（设计意图：通过本练习让学生熟悉数学归纳法证题的两个步骤一个结论，培养学生的规范表达能力，通过展示学生出现的错误，师生共同分析错误原因及改正策略，进而强调：(1)两个步骤缺一不可；(2)在证n=k+1等式也成立时，一定要用到归纳假设。

）2)1(]1)1(2[)12(531+=-++-++++k k k 那么()()[]2)1(211211]1)1(2[)12(531+=-+++=-++-++++k k k k k 那么(六）合作探究探究：(1)当n=k+1时，项发生了什么变化？(2)证n=k+1等式也成立时，应如何变形？（设计意图：通过探究本题帮助学生掌握基本的变形技巧，对数学归纳法由感性认识上升为理性认识。

）（七）回头观望(1) 使用数学归纳法证题要注意什么？(2) 本节课使用了哪些数学思想方法？（设计意图：通过问题式的总结，使学生主动回顾知识，从而达到巩固的目的，培养学生归纳总结的好习惯）（八）回归应用你到过万里长城吗？长城，是中华民族勤劳智慧的象征!长城上屹立着一座座的烽火台．烽火台有什么作用?在古代战争中，如果某一处发现了敌情，就要迅速地传达到几十里、几百里甚至几千里内的每一处，使驻军处于战备的状态．古代并没有无线电，怎么通传呢?早在春秋战国时期，军事指挥官们就发明了设置烽火用以报警的办法．假定在西边第一个烽火台发现了敌情，要使由西到东的每一处都知道，只须预先在军中发布两道命令。

假如你是将军，应如何发布这两道命令？参考答案：(1)第一个发现敌情的烽火台必须首先点火；(2)看到第一个点火后，第二个必须立即点火；当看到第二个点火后，第三个必须立即点火；看到第三个点火后，第四个必须立即点火……概括地说：就是，不论哪一个点了火，在它后面的那个就要立即点火．（设计意图：为了让学生体会数学源于生活，寓于生活，用于生活的道理，体现新课程的应用性，我设计了以上阅读——利用数学归纳法解决历史问题。

这一环节的设计也体现了俄国数学家罗巴切夫斯基说过的一句话：“任何一门数学分支、不管它如何抽象，总有一天会在现实世界的现象中找到应用。

”）n n n n n ：2121112112141312112+++++=--++-+- 用数学归纳法证明练习（九）强化巩固，必做题：习题A组第1题、B组第2题必做题：教材P96选做题：平面上有n个圆，其中每两个圆交于两点，且任意三个圆不交于同一点，则这n 个圆把平面分成n2-n+2部分。

请用数学归纳法证明这个命题。

（设计意图：考虑到学生的个体差异和分层教学的要求，我设计了必做题和选做题作为课后作业）六、板书设计七、教学评价本课主要采用启发、类比、引导的方式，创设各种问题情境，使学生带着问题去主动思考、主动探究、交流合作，进而达到对知识的“发现”和“接受”，完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。

这也正好体现了布鲁纳的建构主义教学观。

同时使学生感受到数学生活化、生活数学化的美好境界。

【教案说明】1．《数学归纳法》是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2的内容，共2课时，这里是第一课时。

数学归纳法是一种特殊的证明方法，对证明一些与正整数n 有关的命题是非常有用的研究工具。

它的操作步骤简单、明确，教学重点是对数学归纳法原理的理解和应用。

我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练。

为此，我设想通过各种问题情境让学生发现数学归纳法，理解数学归纳法的严密性和可靠性，并应用数学归纳法解决恒等式的证明问题。

2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的小组探究的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展。

3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个假设。

对于从K到K+1的这渡，还有用数学归纳法证明不等式和几何问题放到下一节。