求极限的主要方法
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法高等数学求极限的14种方法一、极限的定义极限的保号性很重要。
设$x\to x_0$，$limf(x)=A$，则有以下两种情况：1）若$A>0$，则有$\delta>0$，使得当$00$；2）若有$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$f(x)\geq 0$，则$A\geq 0$。
极限分为函数极限和数列极限，其中函数极限又分为$x\to\infty$时函数的极限和$x\to x_0$的极限。
要特别注意判定极限是否存在，收敛于$a$的充要条件是它的所有子数列均收敛于$a$。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于$a$的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于$a$”。
二、解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除时候使用。
2.XXX（L'Hospital）法则。
它的使用有严格的使用前提。
首先必须是$x$趋近，而不是$n$趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求$x$趋近情况下的极限，数列极限的$n$当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次，必须是函数的导数要存在，假如只告诉$f(x)$、$g(x)$，而没有告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“比”或“无穷大比无穷大”，并且注意导数分母不能为$0$。
洛必达法则分为三种情况：1）$\infty/\infty$时，直接用$\infty$；2）$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$0^0$、$\infty^0$时，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通分之后，就能变成（1）中的形式了。
即$f(x)g(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$或$f(x)g(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$；3）$1^\infty$、$0^0$、$1^{\infty-\infty}$、$\infty^0$对于幂指函数，方法主要是取指数还取对数的方法，即$e^{f(x)g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}$，这样就能把幂上的函数移下来了，变成$0/0$型未定式。
求函数极限的方法总结及例题
求函数极限的方法总结及例题一、求函数极限的方法总结。
1. 代入法。
当函数在极限点处连续时，直接将极限点代入函数求值。
例如，对于函数f(x)=x + 1，求lim_x→2(x + 1)，直接将x = 2代入，得到lim_x→2(x+1)=2 + 1=3。
2. 因式分解法。
适用于(0)/(0)型的极限。
例如，求lim_x→1frac{x^2-1}{x 1}，将分子因式分解为(x + 1)(x 1)，则原式=lim_x→1((x + 1)(x 1))/(x 1)=lim_x→1(x + 1)=2。
3. 有理化法。
对于含有根式的函数，通过有理化来消除根式。
例如，求lim_x→0(√(x+1)-1)/(x)，分子分母同时乘以√(x + 1)+1进行有理化，得到lim_x→0((√(x + 1)-1)(√(x + 1)+1))/(x(√(x + 1)+1))=lim_x→0(x)/(x(√(x + 1)+1))=lim_x→0(1)/(√(x + 1)+1)=(1)/(2)。
4. 等价无穷小替换法。
当x→0时，sin xsim x，tan xsim x，ln(1 + x)sim x，e^x-1sim x等。
例如，求lim_x→0(sin2x)/(x)，因为sin2xsim2x(x→0)，所以lim_x→0(sin2x)/(x)=lim_x→0(2x)/(x)=2。
5. 洛必达法则。
对于(0)/(0)型或(∞)/(∞)型的极限，可对分子分母分别求导再求极限。
例如，求lim_x→0frac{e^x-1}{x}，这是(0)/(0)型，根据洛必达法则，lim_x→0frac{e^x-1}{x}=lim_x→0frac{(e^x-1)'}{x'}=lim_x→0frac{e^x}{1}=1。
二、例题。
1. 例1。
求lim_x→3frac{x^2-9}{x 3}解析：这是(0)/(0)型极限，可先对分子因式分解，x^2-9=(x + 3)(x 3)。
求极限的方法,(自己总结的)
求极限的常用方法1.直接代入法:对于初等函数f( )的极限, , 若f( )在0处的函数值f( 0)存在, 即。
直接代入法的本质就是只要将= 0代入函数表达式, 若有意义, 其极限就是该函数值（称为“能代则代”）。
例I: 求极限（1）（2）（3）解: （1）（2）（3）2.变型法（包括两个重要极限）通俗地说代入后无意义的极限称为不定式, （如0/0,∞/∞,∞-∞等）此时若极限存在往往要变形后才可看出。
例I: 求极限（1）（2）解: （1）（2）两个重要极限是和, 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
主要考第二个重要极限。
例I: 求极限解:例II: 求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１, 再凑, 最后凑指数部分。
解:3.利用连续性定义。
例I: 求解：y= 可看作由y= 与复合而成。
因为= , 而函数y= 在点u= 连续, 所以=例II: 求解: =例III: 求解：因为 利用定理３及极限的运算法则, 便有4.利用无穷小、无穷大的关系【说明】(1)常见等价无穷小有:当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,21~cos 12-+- 例1: 求极限解 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x x x x →→+⋅==- 例2: 求极限 解x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→xx x x x x x x x x 例3因式代替规则x x x x 3sin tan lim 0-→x x x x 30)1cos 1(sin lim -=→212lim 330==→x x x 5.利用极限的性质法（如四则运算）利用极限的4则运算法则, , ,例1: 求解：先用 除分子和分母, 然后求极限, 得52123lim 232+---∞→x x x x x 020512123lim 332==+---=∞→x x x x x x 例2: 求解, 因为分母的极限 , 不能应用商的极限的运算法则, 但因 所以∞=+--→4532lim 21x x x x6.洛必达法则（求不定式极限）定理一 设（1） 当x 时, f(x)及F （x ）都趋向于零；（2） 在点a 的某一去心领域内, f ’(x)及F ’(x)都存在且F ’(x)≠o ；（3） )(')('lim x F x f a x →存在（或为无穷大）； 那么 )(')('lim )()(lim x F x f x F x f a x a x →→=定理二 设（1） 当x 时，∞→函数f(x)及F(x)都趋向于零；（2） 当；）都存在，且与时0('F )(')('x ≠>x x F x f N （3） 或为无穷大），存在()(')('lim x F x f x ∞→ 那么 ）x F x f x F x f x (')('lim )()(lim x ∞→∞→= 例1: 求解: 原式=例2: 求 >0)解: 原式=例3: 求解: 原式=7.积分法积分求极限法:例一: 求 。
求极限的常用方法
求极限的常用方法
一、代入法：
如果函数连续，并且在这一点处可导，则当取到这一点时，代入原来的函数表达式进行计算即可；
例如：求极限，
只需要把x=0代入原式：
有些需要经过分子或分母有理化后，才可以代入求极限；
例如：求极限
需要先进行分子有理化，==-=-
二、重要极限：
=1，=e，（可通过洛必达法则推导得到）。
三、性质：
有界函数或常数与无穷小量的乘积是无穷小量，有限个无穷小量相加是无穷小量。
四、洛必达法则：
要求分子与分母可导，解决、的问题比较简便。
五、等价无穷小量：
当x→0时，sinx→x，tanx→x，arcsinx→x，arctanx→x，1-cosx →，→x，ln(1+x)→x…
对于，我们可以先变形，取对数得到==e。
大学数学经典求极限方法(最全)
求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 0110113．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
求函数极限的八种方法
求函数极限的八种方法
下面我们来讲解一下具体求极限方法
1.利用函数的连续性求函数的极限（直接带入即可）
如果是初等函数，且点在的定义区间内，那么，因此计算当时的极限，只要计算对应的函数值就可以了。
2.利用有理化分子或分母求函数的极限
a.若含有，一般利用去根号
b.若含有，一般利用，去根号
3.利用两个重要极限求函数的极限
（）
4.利用无穷小的性质求函数的极限
性质1：有界函数与无穷小的乘积是无穷小
性质2：常数与无穷小的乘积是无穷小
性质3：有限个无穷小相加、相减及相乘仍旧无穷小
5.分段函数的极限
求分段函数的极限的充要条件是:
6.利用抓大头准则求函数的极限
其中为非负整数.
7.利用洛必达法则求函数的极限
（可向，转换）
对于未定式“ ”型，“ ”型的极限计算，洛必达法则是比较简单快捷的方法。
8.利用定积分的定义求函数的极限利用公式：
以上就求函数极限的方法。
高数求极限的10个方法
详解高数求极限的方法极限主要包括数列极限和函数极限，两者的求法大同小异，如果分开讨论，比较麻烦，其实数列也可以看作是以正整数n为自变量的函数，所以它们也是可以综合起来的。
接下来介绍求极限的常用方法：一、求极限最常用到的方法，还是利用极限的四则运算法则。
它是基于一些常见的极限，再根据下面的法则求极限，包括：１、相反的收敛数列极限相反；２、互为倒数的收敛数列极限也互为倒数，其中除数不为零；３、和差积商的极限等于极限的和差积商，前提是这些数列的极限都存在，且作为除数的数列及极限非0；４、收敛的正项数列的幂的极限等于极限的幂，不论是乘方还是开方；５、以及收敛数列的绝对值收敛于极限的绝对值等。
二、利用极限的单调有界定理。
其中有界性是数列收敛的必要条件，如果数列无界，就一定发散，但有界数列却不一定收敛。
三、利用两个常见的极限求极限，就是当x趋于0时，sinx/x 的极限和1的无穷次方类型的极限。
四、等价无穷小替换，要熟记常见的等价无穷小的类型。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!五、用洛必达法则，针对０/0型或无穷/无穷型，对分子分母同时求导后求极限的方法。
主要分三种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方：对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，ln(x)两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln(x)趋近于0)六、利用泰勒公式求极限的方法。
(含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e^x展开,sinx展开,cos展开,ln(1+x)展开对题目简化有很好帮助。
求极限的主要方法
（10）用定义求极限（一般是证明） （11）利用导数、定积分等的定义求极限（以后介绍） （12）考研时注意幂指函数求极限
例如
以极限值等于函数值，即直接代入。 （2）无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量，即 ，。 （3）有界量与无穷小量之积是无穷小量，记为：。注意是有界量。 2．分段函数的极限（包括无定义点的极限）
计算左极限和右极限，判断是否存在且相等。 3．未定式的极限 （1）．型的有理分式函数的极限。，与是型，可以作为公式使用。 （2）． 型的有理分式函数的极限。消去等于0的因子可得解。
例如 , 中分子、分母代入2均为0，所以是型，但时， 。消去 等于0的因子可得解。
（3）． 型：可转化为型或型：，或。
例如 可转化型，再通过重要极限，得到=1
（4）．型：可转化为型或型。
例如：；； 。
（5）．无穷级数的极限：先计算前项和，然后求极限。
例如：；。
（6）．用两个重要极限求极限
重要极限 (是型)；
求极限的主要方法
对于求极限问题，首先要判断其类型，才能正确做题。求极限题分 为定式的极限和未定式的极限。在求极限问题时，由于各自变化的速度 不同，对同一类型的极限，不同表式的极限。未定式主要有：型、 型、型、型、型、型、型。前2个为基本未定式，后5个可以转化为基本 未定式型、型。 1．定式的极限 （1）极限值等于函数值：对于初等函数，只要 存在，则在点连续，所
重要极限 或 或 （是型）
（7）．等价代换：利用等价无穷小公式代入乘式或商式中求极限。
常用等价无穷小公式中可以改写为□，当时，下八个等价无穷小公
式成立：
；
；
；
；
；；
；
．洛比塔法则：对于型和型的极限，通过分子、分母分别求导得到其 值，而型、型、型可转化为型和型求极限（在第三章介绍）。 （9）夹逼原理和单调有界原理求极限。
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求极限的主要方法
对于求极限问题，首先要判断其类型，才能正确做题。
求极限题分为定式的极限和未定式的极限。
在求极限问题时，由于各自变化的速度不同，对同一类型的极限，不同表达式其极限不同或极限不存在，这类极限称为未定式的极限。
否则称为定式的极限。
未定式主要有：00
型、
∞
∞
型、0⨯∞型、∞-∞型、1∞型、00型、0∞型。
前2个为基本未定式，后5个可以转化为基本未定式0
型、∞
∞
型。
1．定式的极限 （1）极限值等于函数值：对于初等函数()f x ，只要0()f x 存在，则()f x 在0
x 点连续，所以极限值等于函数值，即直接代入0
0lim ()()x x f x f x →=。
（2）无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量，即
1
=∞，1
0=∞。
（3）有界量与无穷小量之积是无穷小量，记为：00M ⨯=。
注意sin cos x x 和是有界量。
2．分段函数的极限（包括无定义点的极限）
计算左极限0
lim ()x x f x -→和右极限0
lim ()x x f x +→，判断是否存在且相等。
3．未定式的极限 （1）．
∞
∞
型的有理分式函数的极限。
1011101100
0lim
/m m m m k k x k k
m k a x a x a x a m k b x b x b x b a b m k
---→∞-⎧
++++⎪
=∞⎨
++++⎪=⎩＜＞，与
1011101
100
0lim
/m m m m k k n k k
m k a n a n a n a m k b n b n b n b a b m k
---→∞-⎧
++++⎪
=∞
⎨
++++⎪=⎩
＜＞是∞
∞
型，可以作为公式使用。
（2）．
型的有理分式函数的极限。
消去等于0的因子可得解。
例如 224lim 2x x x →--, 2226
lim 28x x x x x →+-+-中分子、分母代入2均为0，所以
是0
型，但2x →时， 2x ≠。
消去等于0的因子2x -可得解。
（3）． 0⨯∞型：可转化为
∞
∞型或00型：010∞∞⨯∞==∞，或00010⨯∞==∞。
例如 1lim sin x x x →∞ 可转化00型，再通过重要极限1sin lim 0=→x
x
x ，得到
1
lim sin x x x
→∞=1 （4）．∞-∞型：可转化为
∞
∞
型或00型。
例如：lim n →+∞
；lim x →+∞
；
32
112
lim(
)28
x x x →--- 。
（5）．无穷级数的极限：先计算前n 项和，然后求极限。
例如：111lim(1)24
2n n →∞
+
+++；11
11242lim
1111393n x n →∞+++
+
+++
+。
（6）．用两个重要极限求极限
重要极限 0sin lim
1x x x →= (是0
型)；
重要极限 1lim(1)x x e x →∞+= 或 1
0lim(1)x x x e →+= 或 1lim(1)n
n e n
→∞+=
（是1∞
型）
（7）．等价代换：利用等价无穷小公式代入乘式或商式中求极限。
常用等价无穷小公式中x 可以改写为□，当0→□时，下八个等价无穷小公式成立：
sin ； tan ； arcsin ； arctan ；
2
11cos 2
-
； ln(1+) ；
e
-1 ； 12
（8）．洛比塔法则：对于00型和∞
∞
型的极限，通过分子、分母分别求导得到其
值，而1∞型、00
型、0
∞型可转化为00型和∞∞
型求极限（在第三章介绍）。
（9）夹逼原理和单调有界原理求极限。
例如
++1010+10+
+10=1010n n n n n n ≤≤
12-1,=2+,
n n x x x x
（10）用定义求极限（一般是证明）
（11）利用导数、定积分等的定义求极限（以后介绍） （12）考研时注意幂指函数求极限
例如 +
+
sin sin ln 00
lim =lim ()x
x x x x x e e ⨯∞
→→ 01
1
1
ln(1)lim
ln 11
1
1
00ln(1)ln(1)lim lim 1=x
x
x x x x e
e
x e x x x x x e
x x →+-⎛⎫
+-- ⎪
-⎝⎭
→→++-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
2
00
001
11
ln(1)ln(1)11lim
lim
lim lim 2(1)1
22
=x x x x x x x x
x x x x x x e x
x
e
e
e
e
e
→→→→--+-+-+-
+-=====。