无穷级数总结

无穷级数总结一、概念与性质 1. 定义：对数列12,,,nu u u ，1n n u ∞=∑称为无穷级数，n u 称为一般项；若部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞=，称级数收敛，否则称为发散.2. 性质①设常数0≠c ，则∑∞=1n n u 与∑∞=1n n cu 有相同的敛散性；②设有两个级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v ，若∑∞==1n n s u ，σ=∑∞=1n n v ，则∑∞=±=±1)(n n n s v u σ；若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1n n v 发散，则∑∞=±1)(n n n v u 发散；若∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 均发散，则∑∞=±1)(n n n v u 敛散性不确定；③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数∑∞=1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定． ⑤级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞→n n u ；注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 未必收敛；③若∑∞=1n n u 发散，则0lim =∞→n n u 未必成立．二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法① 定义：若0n u ≥，则∑∞=1n n u 称为正项级数.② 审敛法： （i ）充要条件：正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.（ii ）比较审敛法：设∑∞=1n n u ①与∑∞=1n n v ②都是正项级数，且(1,2,)n n u v n ≤=，则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散.A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≤>成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≥>成立，则①发散；B. 设∑∞=1n n u 为正项级数，若有1p >使得1(1,2,)n p u n n ≤=，则∑∞=1n n u 收敛；若1(1,2,)n u n n≥=，则∑∞=1n n u 发散.C. 极限形式：设∑∞=1n n u ①与∑∞=1n n v ②都是正项级数，若lim(0)nn nu l l v →∞=<<+∞，则 ∑∞=1n nu与∑∞=1n n v 有相同的敛散性.注：常用的比较级数： ①几何级数：∑∞=-⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=11111n n r r r aar 发散；②-p 级数：∑∞=⎩⎨⎧≤>1111n p p p n 时发散时收敛；③ 调和级数：∑∞=++++=112111n nn 发散． （iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设∑+∞=1n n a 是正项级数，若①1lim1<=++∞→r a a n n n ，则∑+∞=1n n a 收敛；②1lim 1>=++∞→r a a n n n ，则∑+∞=1n n a 发散． 注：若1lim 1=++∞→n n n a a，或lim 1n =，推不出级数的敛散.例∑+∞=11n n 与∑+∞=121n n，虽然1lim 1=++∞→nn n a a，lim 1n =，但∑+∞=11n n 发散，而∑+∞=121n n 收敛. （iv ）根值判别法（柯西判别法）设∑+∞=1n n a是正项级数，lim n ρ=，若1<ρ，级数收敛，若1>ρ则级数发散．（v ）极限审敛法：设0n u ≥，且lim p n n n u l →∞=，则①0lim >=∞→l u n n p n 且1≤p ，则级数∑+∞=1n n u 发散；②如果1>p ，而)0(lim +∞<<=∞→l l u n n p n ,则其收敛．（书上P317-2-（1））注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．2.交错级数及其审敛法①定义：设0(1,2,)n u n ≥=，则11(1)n n n u ∞-=-∑称为交错级数.②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑，若1+≥n n u u 且0lim =∞→n n u ，则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛.注：比较n u 与1+n u 的大小的方法有三种： ①比值法，即考察nn u u 1+是否小于1； ②差值法，即考察1+-n n u u 是否大于0；③由n u 找出一个连续可导函数)(x f ，使),2,1(),( ==n n f u n 考察)(x f '是否小于0． 3.一般项级数的判别法：①若∑∞=1n n u 绝对收敛，则∑∞=1n n u 收敛.②若用比值法或根值法判定||1∑∞=n n u 发散，则∑∞=1n n u 必发散.三、幂级数1. 定义：n n n x a ∑∞=0称为幂级数.2. 收敛性① 阿贝尔定理：设幂级数∑+∞=0n n n x a 在00≠x 处收敛，则其在满足0x x <的所有x 处绝对收敛．反之，若幂级数∑+∞=0n n n x a 在1x 处发散，则其在满足1x x >的所有x 处发散． ② 收敛半径（i ）定义：若幂级数在0x x =点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当R x x <-0时，幂级数收敛；②当R x x >-0时，幂级数发散；R 称为幂级数的收敛半径.（ii ）求法：设幂级数∑+∞=0n nn xa的收敛半径为R ，其系数满足条件l a a n n n =++∞→1lim，或l a n n n =+∞→lim ，则当+∞<<l 0时，lR 1=；当0=l 时，+∞=R ，当+∞=l 时，0=R ．注：求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．（iii ）收敛半径的类型 A.0=R ，此时收敛域仅为一点； B.+∞=R ，此时收敛域为),(∞+-∞；C.R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间． 3.幂级数的运算（略） 4.幂级数的性质①若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内连续．②若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可导，且可逐项求导，即∑∑∑+∞=+∞=-+∞=='='='0110)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x S ，收敛半径不变．③若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可积，且可逐项积分，即⎰⎰∑+∞===x xn nn dt t a dt t S 0)()(∑⎰+∞=-∈0)),((n xn n R R x dt t a ，收敛半径不变．5.函数展开成幂级数①若)(x f 在含有点0x 的某个区间I 内有任意阶导数，)(x f 在0x 点的n 阶泰勒公式为+-++-''+-'+=)(!)()(!2)())(()()(00)(200000x x n x f x x x f x x x f x f x f n)1(0)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ，记)1(0)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ介于0,x x 之间，则)(x f 在I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为I x x R n n ∈∀=+∞→,0)(lim .②初等函数的泰勒级数)0(0=x （i ）∑+∞=∞+-∞∈=0),(,!n nxx n x e ； （ii ）∑+∞=--∞+-∞∈--=1121),(,)!12()1(sin n n n x n x x ； （iii ）∑+∞=∞+-∞∈-=2),(,)!2()1(cos n nn x n x x ； （iv ）∑+∞=+-∈+-=+01]1,1(,1)1()1ln(n n n x n x x ； （v ）∑+∞=∈-∈+--+=+1)(),1,1(,!)1()1(1)1(n n R x x n n x ααααα；（vi ）∑+∞=<=-01,11n nx x x ；∑+∞=<-=+01,)1(11n n n x x x . 6. 级数求和①幂级数求和函数解题程序（i ）求出给定级数的收敛域；（ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数)(x s 与其导数)(x s '的关系），从而得到新级数的和函数； 注：系数为若干项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数． ②数项级数求和（i ）利用级数和的定义求和，即s S n n =∞→lim ，则∑∞==1n n s u ，其中∑==+++=nk kn n uu u u s 121 ．根据n s 的求法又可分为：直接法、拆项法、递推法．A.直接法：适用于 ∑∞=1k k u 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除首尾两项外其余各项对消掉．（ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）∑∑∞=-→∞==010lim n nn x n n x a a ，其中幂级数∑∞=0n n n x a ，可通过逐项微分或积分求得和函数)(x S ．因此)(lim 10x s a x n n -→∞==∑．四、傅里叶级数 1. 定义①定义1：设)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-或]2,0[π上可积，则)2,1,0(,cos )(1cos )(120===⎰⎰-n nxdx x f nxdx x f a n πππππ， ),2,1(,sin )(1sin )(120===⎰⎰-n nxdx x f nxdx x f b n πππππ，称为函数)(x f 的傅立叶系数．②定义2：以)(x f 的傅立叶系数为系数的三角级数∑∞=++10)sin cos (21n n nnx b nx aa ．称为函数)(x f 的傅立叶级数，表示为∑∞=++10)sin cos (21)(n n nnx b nx aa ～x f ．③定义3：设)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则以 ⎰-==ll n n xdx ln x f la )2,1,0(,cos )(1 π， ⎰-==lln n xdx ln x f l b )2,1(,sin )(1π为系数的三角级数 ∑∞=++10)sin cos(21n n n x ln b x l n a a ππ 称为)(x f 的傅立叶级数，表示为∑∞=++10)sin cos(21)(n n nx ln b x l n aa ～x f ππ． 2.收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数)(x f 在区间],[ππ-上满足条件①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点， 则)(x f 的傅立叶级数在],[ππ-上收敛，且有∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±=-++-++-=πππx f f ；x f x x f x f ；x f x x f )],0()0([21)()],0()0([21)(),(000的第一类间断点是的连续点是. 3.函数展开成傅氏级数 ①周期函数（i ）以π2为周期的函数)(x f ：∑∞=++10sin cos 2)(n n nnx b nx aa～x f⎰-=πππ)(1x f a n ),2,1,0(cos =n nxdx ，1()n b f x πππ-=⎰),2,1(sin =n nxdx ；注：①若)(x f 为奇函数，则∑∞=1sin )(n n nx b ～x f (正弦级数)，0=n a ),2,1,0( =n2()sin n b f x nxdx ππ=⎰),2,1( =n ；②若)(x f 为偶函数，则∑∞=+10cos 2)(n nnx aa～x f (余弦级数)，2()cos n a f x nxdx ππ=⎰),2,1,0( =n ，0=n b ),2,1( =n .（ii ）以l 2为周期的函数)(x f ：∑∞=+10cos2)(n n x l n a a～x f π+)sin x ln b n π ⎰-=ll n x f la )(1),2,1,0(cos=n xdx l n π，⎰-=l l n x f l b )(1),2,1(sin =n xdx ln π；注：①若)(x f 为奇函数，则∑∞=1sin )(n n x l n b ～x f π(正弦级数)，0=n a ),2,1,0( =n 02()sin l n n b f x xdx l lπ=⎰ ),2,1( =n ； ②若)(x f 为偶函数，则∑∞=+10cos2)(n n x ln a a～x f π，(余弦级数) 02()cos l n n a f x xdx l lπ=⎰),2,1,0( =n ，0=n b ),2,1( =n . ②非周期函数（i ）奇延拓：A.)(x f 为],0[π上的非周期函数，令⎩⎨⎧<≤---≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为奇函数，∑∞=1sin )(n n nx b ～x f (正弦级数)，02()sin n b f x nxdx ππ=⎰),2,1( =n ；B. )(x f 为],0[l 上的非周期函数，则令⎩⎨⎧<≤---≤≤=0),(0),()(x l x f lx x f x F ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为奇函数，∑∞=1sin)(n n x l n b ～x f π(正弦级数)，02()sinl n n b f x xdx llπ=⎰),2,1( =n .（ii ）偶延拓：A.)(x f 为],0[π上的非周期函数，令⎩⎨⎧<≤--≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为偶函数，∑∞=+10cos 2)(n nnxaa ～x f (余弦级数)，2()cos n a f x nxdx ππ=⎰),2,1,0( =n .B.)(x f 为],0[l 上的非周期函数，令⎩⎨⎧<≤--≤≤=0),(0),()(x l x f lx x f x F ，则∑∞=+10cos2)(n n x l n a a～x f π(余弦级数)，02()cosl n n a f x xdx llπ=⎰),2,1,0( =n . 注：解题步骤：①画出图形、验证狄氏条件．画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性； ②求出傅氏系数；③写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于)(x f ．。