磁场边界条件
电磁场与电磁波第三章媒质的电磁性质和边界条件
6.介质的击穿 介质的击穿：当电介质上的外加电场足够大时 ，束缚电荷有可能克服原子结构的吸引力，成 为自由电荷。此时，介质呈现导体特性。
击穿场强：介质所能承受的最大电场强度。它 在高压技术中是一个表征材料性能的重要参数。
三、磁介质
1.磁介质的磁化 磁偶极矩
pm IdS
I —分子电流
电子轨道磁矩
2.各项异性媒质 本构方程为：
D E B H
D B 0
0 E
H
这种媒质中P的方向不一定与E相同，M的方向 不一定与B相同。进而D不一定平行于E，B不一定 平行于H。 当ε为张量而μ为标量时，称为电各项异性媒 质；当μ为张量而ε为标量时，称为磁各项异性 媒质。
Am2
磁偶极子
主要考虑
原子磁矩 电子自旋磁矩 原子核自旋磁矩
在没有外磁场作用时
p
m
0
在外磁场的作用下，发生磁化现象。
在外磁场作用下，物质中的 原子磁矩都将受到一个扭矩作 用，所有原子磁矩都趋于和外 磁场方向一致排列，结果对外 产生磁效应，这种现象称为物 质的磁化。
磁偶极子受 磁场力而转动
p
5. 电介质的物态方程
D 0 E P
D (1 e ) 0 E
D r 0 E E
P e 0 E 已知：
令： r 1 e
电介质的物态方程
r 称为相对介电常数。 其中：
r 0 材料的介电常数表示为： 各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变 , 反之称为各向异性； 线性：媒质的参数不随电场的值而变化； 均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。
（2）导体内部电场为零； （1）导体为等位体；
电磁场边界条件
电磁场边界条件
电磁场边界条件是指电磁场的变化情况在物体的表面上的变化情况，它决定了电磁场的变化特性。
它是电磁场的基本规律，在物理学中有着重要的地位。
它的主要内容有：无磁性介质的电磁场边界条件，有磁性介质的电磁场边界条件和电磁辐射的边界条件。
无磁性介质的电磁场边界条件由电场强度和磁场强度的法向分量构成；有磁性介质的电磁场边界条件由电场强度和磁场强度的法向分量以及介质的磁导率构成；电磁辐射的边界条件由电磁辐射的波功率流密度和波向分量构成。
电磁场边界条件的求解是物理学中最重要的问题之一。
第5章 恒定电流的电场和磁场
dl '×R ∫C ' R 3 ⋅ dl −R ∫C ' R 3 ⋅ (−dl × dl ' )
假设回路C′对P点的立体角为 ，同时P点位移dl引起的立体角增量 为d ，那么P点固定而回路C′位移dl所引起的立体角增量也为d ′。 -dl×dl′是dl′位移-dl所形成的有向面积。注意到R=r-r′，这个立体 角为
z ' = z − r tan α , dz ' = r sec 2 α dl ' = ez dz ' = −ez r sec 2 α R = r sec α
dl '×R = ez dz '×[rer + ( z − z ' )ez ]
所以
= −eφ rdz ' = −eφ r 2 sec 2 α
∆P = ∆U∆I = E∆l∆I = EJ∆l∆S = EJ∆V
当∆V→0，取∆P/∆V的极限，就得出导体内任一点的热功 热功 率密度，表示为 率密度
∆P p = lim = EJ = σE 2 ∆V →0 ∆V
或
p = J ⋅E
此式就是焦耳定律 焦耳定律的微分形式。 焦耳定律 应该指出，焦耳定律不适应于运流电流 不 运流电流。因为对于运流电 运流电流 流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不 是转变为电荷 晶格碰撞 电荷与晶格碰撞 电荷 晶格碰撞的热能。
对于无限长直导线(l→∞)，α1=π/2, α2=-π/2，其产生的磁场为
µ0 I B = eφ 2πr
5.3 恒定磁场的基本方程
5.3.1 磁通连续性原理 磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量 磁通量(或磁通)，单 磁感应强度 磁通量 位是Wb(韦伯)，用Φ表示：
电磁场的边界条件
1)麦克斯韦方程组可以应用于任何连续的介质内部。
2)在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变。
3)分界面两边按照某种规律突变，称这种突变关系为电磁场的边值关系或边界条件。
4)推导边界条件的依据是麦克斯韦方程组的积分形式。
一、边界条件的一般形式 1、B 的边界条件:2、D 的边界条件结论：电位移矢量 在不同媒质分界面两侧的法向分量不连续，其差值等于分界面上自由电荷面密度。
3. H 的边界条件h∆→n-2B11220B dS B dS ⇒⋅+⋅=120B n B n ⇒⋅-⋅=210lim S h D H l H l J sl t→∂⇒⋅-⋅=⋅-⋅∂2t t SH H J⇒-=12()S n H H J⇒⨯-=21,S H l H l J s l n s⇒⋅-⋅=⋅=⨯()C sD H dl J dSt∂=+∂⎰⎰μ1μ2Hn1Hh →ls12()S n H H J⨯-=12()D D n σ-⋅=⇒2εε2D 1D n S∆n-n12n n D D σ⇔-=0S B dS ⋅=⎰12()0n B B ⋅-=21n nB B⇒=SD dS q =⋅⎰⇒⇒式中： S J 为介质分界面上的自由电流面密度。
结论：磁场强度 D 在不同媒质分界面两侧的切向分量不连续，其差值等于分界面上的电流面密度S J4.E 的边界条件结论：电场强度E 在不同每只分界面两侧的切向分量连续。
二、理想介质是指电导率为零的媒质，0=γ2)在理想介质内部和表面上，不存在自由电荷和自由电流。
结论：在理想介质分界面上，E 、H 矢量切向连续； 在理想介质分界面上，B 、D 矢量法向连续。
三、理想导体表面上的边界条件1)理想介质是指电导率为无穷大的导体，12t t E E⇒=12()0n E E ⇒⨯-= 2ε1ε2En1E2θl sl S BE dl d St∂⋅=-⋅∂⎰⎰12()0n E E ⨯-=⇒12t t EE=0s J =0ρ=12t t H H =⇒12n n D D=12()0n D D ⋅-=⇒12()0n B B ⋅-=12n n B B=⇒12()0n H H ⨯-=2)电场强度和磁感应强度均为零。
6.6 时变电磁场的边界条件
9
例1：( z 0)的区域的媒质参数为 1 0, 1 0,1 0
( z 0)区域的媒质参数为 2 50, 2 200, 2 0
若媒质1中的电场强度为
ur r
E1 ex[60 cos(15108t 5z) 20 cos(15108t 5z)](V / m)
在z
uur H2
0处
(uH0ur,的t)切ereryy向33404分001量1007是7ccoo连ss(1(15续511的0088t，)t)AA/因/m3m为在分界面上（
z 0）不存在面电流。
12
例2：如图所示，1区的媒质参数为 1 50, 1 0,1 0
z 0 处，有
ur
r
E1(0,t) ex[60 cos(15108t) 20 cos(15108t)]V / m
r
ex 80 cos(15108t)V / m
ur
r
E2 (0,t) ex A cos(15108t)V / m
10
在两种电介质分界面上,有
ur
媒质2中的电场强度为
ur E2
r ex
A cos(15108t
5z)(V
/
m)
uur
uur
（1）试求常数A的值；(2) 磁场强度H 1(z,t)和H 2 (z,t)
(3)
验证
uur
uur
H 1(z, t)和H 2 (z, t) 满足边界条件。
解：(1) 这是两种电介质（ 0）的分界面，在分界面
H1t H2t
rn u(rB1 urB2 ) 0
B1n B2n
无限长圆柱体内外磁场强度
无限长圆柱体内外磁场强度在无限长圆柱体内外的磁场强度分布可以通过安培环路定律和磁场的边界条件来推导。
无限长圆柱体内外的磁场分别满足以下关系：1. 圆柱体内磁场强度分布：无限长圆柱体内的磁场由圆柱体内部产生的电流分布所决定。
根据安培环路定律，在无限长圆柱体内部的环路上，磁场的环流积分等于环路上所包围的电流。
对于一个半径为r 的环路，磁场的环流积分等于该环路所包围的电流，则有：H·2πr = nI其中 H 是磁场强度，n 是单位长度上的电流，I 是无限长圆柱体内的总电流。
由于无限长圆柱体内的电流分布是均匀的，即单位长度上的电流 n 是一个常数，因此磁场强度 H 与半径 r 成正比，即：H = nI/2πr2. 圆柱体外磁场强度分布：对于无限长圆柱体外的磁场，它由圆柱体内部电流所产生的磁化强度和外部环境产生的磁化强度相互作用所决定。
设圆柱体外侧的磁场强度为 H_out，圆柱体内部的磁场强度为 H_in。
根据磁场的边界条件，在圆柱体内外的分界面上，磁场的切向分量相等，即 H_in_r = H_out_r。
在分界面上，磁场的法向分量满足磁化强度的线性叠加关系，即 B_out - B_in = μ0 · M，其中 B 是磁感应强度，μ0 是真空中的磁导率，M 是磁化强度。
根据磁场和磁感应强度的关系，可以得到：H_in = B_in/μ0H_out = B_out/μ0结合边界条件得到：H_in_r = H_out_r可以看出，在圆柱体内外分界面上，磁场强度的径向分量是相等的。
在无限长圆柱体外的环路上，磁场的环流积分等于环路所包围的电流。
在圆柱体外部没有电流存在，因此无限长圆柱体外的磁场强度为零。
无限长圆柱体内的磁场强度与半径成反比关系，而圆柱体外的磁场强度为零。
麦克斯韦方程边界条件的物理含义
麦克斯韦方程边界条件的物理含义
麦克斯韦方程的边界条件是指在电磁场中，分界面两侧电磁场变化关系的方程。
这些条件描述了在不同媒质的交界处，电场和磁场的连续性或间断性。
具体来说，麦克斯韦方程的边界条件有以下物理含义：1.电场的切向分量在界面处不连续，其数量等于界面处的自由表面
电流密度。
2.磁场的切向分量在界面处不连续，其数量等于界面处的自由表面
磁流密度。
3.磁场是无源场，穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通量为零，暗
示了磁单极子不存在。
这些边界条件是由于媒质的性质在交界处发生变化，导致微分形式的麦克斯韦方程组不再适用，而采用积分形式的麦克斯韦方程组进行推导。
这些条件对于解决大多数电磁问题非常重要，特别是在处理不同媒质交界处的电磁场问题时。
电磁场与电磁波--电磁场的边界条件
cos(15
108
t)
20
cos(15108
t)]
erx80cos(15108t) V/m
r E2
(0,
t
r ex
80
cos(15
108t)r exAcos(15
108
t)
)
V/m
V/m
z=0
r ez 媒质2
r ex
媒质1
2.7 电磁场的边界条件
利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件
电介质与自由空间 的分界面
rr r
r
rrr
ez {ex E1x ey E1y ez E1z [ex 2 y ey 5x ez (3 z)]} z0
r
r
ey (E1x 2 y) ex (E1y 5x) 0
则得
E1x 2 y, E1y 5x
r E2
r ex
2y
r ey 5z
r ez
r D
的法向分量连续
r B 的法向分量连续
r E 的切向分量连续
r H
的切向分量连续
1=0
ern
媒质1
媒质2
2
r D
、Br
的法向分量连续
2.7 电磁场的边界条件
2. 理想导体表面上的边界条件
D
• 理想导体：电导率为无限大的导电媒质 • 特征：电磁场不可能进入理想导体内 • 理想导体表面上的边界条件
r
r
l
rr H1 H2
r et
dl
r D
r
lim
h0
J dS
S
S
t
dS
媒质1
r r en Δl
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WORD格式整理 专业资料 值得拥有 在实际工程中，往往要遇到由不同的媒质组成的电磁系统。在不同媒质分界面上，由于媒质的特性发生了突变，相应的场量一般也将发生突变。在这一节中，我们将研究电磁场在两种媒质分界面上的变化规律。决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。 研究边界条件的出发点，仍然是麦克斯韦方程组。但在不同媒质的交界面处，由于媒质不均匀，媒质的性质发生了突变，因此，微分形式的方程不再适用，只能从麦克斯韦方程组的积分形式出发，推导边界条件。
3.5.1 电场法向分量的边界条件 如图3.9所示的两种媒质的分界面，第一种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为，和，第二种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为，和。 在这两种媒质分界面上取一个小的柱形闭合面，如图3.9所示，其高为无限小量，上下底面与分界面平行，并分别在分界面两侧，且底面积非常小，可以认为在上的电位移矢量和面电荷密度是均匀的。，分别为上下底面的外法线单位矢量，在柱形闭合面上应用电场的高斯定律
故 WORD格式整理 专业资料 值得拥有 (3.48a) 若规定为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，则，，式(3.48a)可写为
(3.48b) 或
(3.48c) 式(3.48)称为电场法向分量的边界条件。
因为，所以式(3.48)可以用的法向分量表示 (3.49a) 或
(3.49b) 若两种媒质均为理想介质时，除非特意放置，一般在分界面上不存在自
由面电荷，即，所以电场法向分量的边界条件变为 (3.50a) 或
(3.50b) 若媒质Ⅰ为理想介质，媒质Ⅱ为理想导体时，导体内部电场为零，即
，，在导体表面存在自由面电荷密度，则式(3.48)变为 (3.51a) 或
(3.51b) WORD格式整理 专业资料 值得拥有 3.5.2 电场切向分量的边界条件 在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路abcd，如图3.10所示，该回路短边为无限小量，其两个长边为，且平行于分界面，并分别在分界面两侧。在此回路上应用法拉第电磁感应定律
因为 和
故 (3.52a) 若为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，式(3.52a)可写为 (3.52b) 式(3.52)称为电场切向分量的边界条件。该式表明，在分界面上电场强度的切向分量总是连续的。
用表示式(3.52a)得 (3.53) 若媒质Ⅱ为理想导体时，由于理想导体内部不存在电场，故与导体相邻的媒质Ⅰ中电场强度的切向分量必然为零。 WORD格式整理 专业资料 值得拥有 即 (3.54) 因此，理想导体表面上的电场总是垂直于导体表面，对于时变场，理想导体内部不存在电场，因此理想导体的切向电场总为零，即电场也总是垂直于理想导体表面。
3.5.3 标量电位的边界条件 在两种媒质分界面上取两点，分别为A和B，如图3.11所示。A，B分别位于分界面两侧，且无限靠近，两点的连线，且与分界面法线平行，从标量电位的物理意义出发，得
由于和为有限值，而所以由上式可知，即
或
(3.55) 式中S为两种媒质分界面。该式表明在两种媒质分界面处，标量电位是连续的。 WORD格式整理
专业资料 值得拥有 标量电位在分界面上的边界条件在静电场求解问题中是非常有用的。考虑到电位与电场强度的关系：，由电场的法向分量边界条件式(3.49b)得
(3.56) 式(3.56)称为静电场中标量电位的边界条件。 若两种媒质均为理想介质时，在分界面上无自由电荷，标量电位的边界条件为
(3.57) 若在理想导体表面上，标量电位的边界条件为
（常数） (3.58a)
(3.58b) 式中为导体表面外法线方向。
3.5.4 磁场法向分量的边界条件 在两种媒质分界面处作一小柱形闭合面，如图3.12所示，其高度，上下底面位于分界面两侧且与分界面平行，底面积很小，为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ法线方向矢量，在该闭合面上应用磁场的高斯定律
则 WORD格式整理 专业资料 值得拥有 (3.59a) 或
(3.59b) 式(3.59)为磁场法向分量的边界条件。该式表明：磁感应强度的法向分量在分界面处是连续的。 因为，所以式(3.59b)也可以用的法向分量表示 (3.60) 若媒质Ⅱ为理想导体时，由于理想导体中的磁感应强度为零，故
(3.61) 因此，理想导体表面上只有切向磁场，没有法向磁场。
3.5.5 磁场切向分量的边界条件 在两种媒质分界面处作一小矩形闭合环路，如图3.13所示。环路短边，两长边分别位于分界面两侧，且平行于分界面。在此环路上应用安培环路定
律 ，即
穿过闭合回路中的总电流为 WORD格式整理 专业资料 值得拥有 式中为分界面上面电流密度，，分别为两种媒质中的传导电流体密度，和分别为两种媒质中的位移电流密度。因为，除外，回路中的其他电流成分均趋向零，即，于是 (3.62a) 式中方向与所取环路方向满足右手螺旋法则。 用矢量关系，式(3.62a)可表示为
(3.62b) 式(3.62)为磁场切向分量的边界条件。式中为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ的法线单位矢量。 用表示式(3.62a)得
(3.63) 若两种媒质为理想介质，分界面上面电流密度，则磁场切向分量边界条件为
(3.64a) 或
(3.64b) 由式(3.59b)和式(3.64b)可得 WORD格式整理 专业资料 值得拥有 若媒质Ⅱ为高磁导率材料，当小于时，将非常小。换句话说，在铁磁质表面上磁力线近乎垂直于界面。当时，，即在理想铁磁质表面上只有法向磁场，没有切向磁场。
(3.65) 若媒质之一为理想导体，电流存在于理想导体表面上，因理想导体内没有磁场，理想导体表面切向磁场为
(3.66a) 或
(3.66b) 若媒质的电导率有限，即媒质中有电流通过，其电流只是以体电流分布的形式存在，在分界面上没有面电流分布，即，则分界面上磁场切向分量是连续的，即。
3.5.6 矢量磁位的边界条件 根据矢量磁位所满足的旋度和散度表示式，及磁场的基本方程，可推导出的法向分量和切向分量在两种媒质分界面处是连续的，所以矢量在分界面处也应是连续的，即
(3.67) 由式(3.63)可得 WORD格式整理 专业资料 值得拥有 (3.68) 3.5.7 标量磁位的边界条件 在无源区域，即无电流区域，安培环路定律的积分和微分形式为 (3.69) (3.70) 根据矢量运算，由式(3.70)可引入一标量函数，令 (3.71) 该标量函数称为标量磁位，其单位是安培(A)。式(3.71)中的负号是为了与静电场中相对应而引入的。引入标量磁位的概念完全是为了在某些情况下使磁场的计算简化，并无实际的物理意义。 类似于电位差的计算，a点和b点的磁位差为
(3.72) 根据标量磁位定义和磁场的边界条件可得
(3.73a)
(3.73b) 式(3.73)为标量磁位的边界条件。 WORD格式整理
专业资料 值得拥有 3.5.8 电流密度的边界条件 在两种导电媒质分界面处作一小柱形闭合面。如图3.14所示，其高度，上下底面位于分界面两侧，且与分界面平行，底面面积很小。为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ法线方向矢量。根据电流连续性方程
(3.74) 在图3.14所示的闭合曲面上， (3.75)
(3.76) 式中为闭合曲面包围的总电荷,当时，有 (3.77) 将式(3.77)代入式(3.76)得
(3.78) 将式(3.75)和式(3.78)代入式(3.74)中得
(3.79a) 或
(3.79b) WORD格式整理
专业资料 值得拥有 根据导电媒质中的物态方程 ，又已知在分界面处电场切向分量连续，即，所以电流密度的切向分量满足
(3.80a) 或
(3.80b) 式(3.79)和式(3.80)为电流密度满足的边界条件，对静态场和时变场均适用。 在这一节中，我们详细讨论了电磁场中各参量的边界条件，为明晰起见，归纳如下。 标量形式 矢量形式
在应用这些边界条件时，必须牢记下列性质： WORD格式整理
专业资料 值得拥有 (1) 在理想导体（）内部的电磁场为零，理想导体表面存在和。 (2) 在导电媒质（）内部的电磁场不为零，分界面上存在，但为零。
(3) 在理想介质（）内部的电磁场不为零，分界面上为零，如果不是特意放置，也为零。