图形的相似与全等
小学数学中相似与全等的图形
判定定理：根 据已知条件， 利用相似与全 等的定义和性 质，判断图形 是否相似或全 等
04
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相似与全等图形是几何学 的基础概念，有助于学生 理解几何图形的本质和特
征。
通过学习相似与全等图形， 学生可以掌握几何变换的 方法，提高空间思维能力。
相似与全等图形的学习有 助于学生理解数学中的对 称性和不变性，培养他们
积极性
相似与全等图形 的学习可以帮助 学生建立良好的 数学思维习惯， 提高解决问题的
能力
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相似与全等图形的概念和性质 可以帮助学生理解其他数学概 念，如比例、相似三角形等。
相似与全等图形是数学基础知 识，掌握得好可以提高学生的 数学成绩。
相似与全等图形的应用广泛， 如测量、绘图、建筑等，掌握 得好可以提高学生的实践能力。
角相等。
相似图形的面积 之比等于对应边
长的平方比。
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01
两个图形的形状完全相同
03
两个图形的旋转角度完全相同
05
两个图形的对称轴完全相同
0 2 两个图形的大小完全相同 0 4 两 个 图 形 的平移距离 完全相同 0 6 两个图形的顶点位置完全相同
定义：相似图形是指形状 相同，大小不同的图形； 全等图形是指形状、大小 都相同的图形。
对应边相等的性质：全等图形 的对应边长度相等
举例说明：如两个三角形全等， 那么它们的对应边（如边长、 角度等）都相等
定义：两个图形的对应角 相等，则这两个图形全等
性质：全等图形的对应边 相等，对应角相等
证明：通过测量或推理， 证明两个图形的对应角相
初一几何图形的相似与全等
初一几何图形的相似与全等几何学是数学中的一个分支，主要研究形状、大小和相对位置等几何图形的性质。
在初一的几何学中，相似和全等是两个重要的概念。
本文将对初一几何图形的相似和全等进行详细说明。
一、相似图形相似是指两个或多个图形的形状相同，但大小可以不同。
在几何学中，相似图形有以下几个特点：1. 对应角相等：如果两个图形的内角相等，则它们是相似的，记作∠A ≌∠A'；2. 对应边成比例：如果两个图形的对应边的长度之比相等，则它们是相似的，记作AB/A'B' = BC/B'C'；3. 相似比例因子：两个相似图形中对应边的长度之比称为相似比例因子，记作k。
当k > 1时，图形放大；当0 < k < 1时，图形缩小。
举例来说，如果两个三角形的对应角分别相等且对应边成比例，那么它们是相似的。
可以利用相似比例因子求出相应边的长度，从而判断两个图形是否相似。
二、全等图形全等是指两个图形的形状和大小完全相同。
在几何学中，如果两个图形全等，它们有以下几个特点：1. 对应边相等：如果两个图形的对应边的长度完全相等，则它们是全等的，记作AB = A'B'；2. 对应角相等：如果两个图形的内角完全相等，则它们是全等的，记作∠A = ∠A'；3. 对应边和对应角相等：如果两个图形的对应边和对应角都完全相等，则它们是全等的。
举例来说，如果两个三角形的三个对应边分别相等，那么它们是全等的。
可以通过对应边和对应角的相等关系来判断两个图形是否全等。
由于相似和全等是初一几何学中的重要概念，应用广泛且实用。
在解决几何问题时，我们可以利用相似和全等的性质进行推理和计算。
三、相似与全等的应用1. 测量边长和角度：利用相似和全等的性质，可以推导出图形内部或外部的边长和角度，从而进行测量和计算。
例如，根据已知的相似关系，可以利用已知图形的尺寸来计算未知图形的尺寸。
全等与相似符号的由来
全等与相似符号的由来
“∽”“≌”，这是表示两个几何图形的相似、全等的记号、1679年，德国数学家莱布尼茨〔G·W·Leibniz，1646~1716年〕用“a∽b”表示a与b相似、这个符号“∽”是“similar”〔相似〕头一个字母逆时针旋转90°而来、当然，相似记号还有人说是荷兰数学家斯蒂文〔S·Stevin，1548~1620年〕在1586年首先使用的，不过，这一说法的材料较少、
莱布尼茨还用记号“”表示全等，如他记两个三角形全等为ABC CDA、后来的1717年，英国沃尔夫〔B·C·Wolff，1679~1754年〕用“＝and∽”表示全等、在1777年哈塞勒著作中发现把它们合在一起，改成“≌”表示全等、从此“≌”沿用至今、
全等号的另一种记法“≡”出现在匈牙利波尔约的数学著作中，它也是表示几何图形的全等记号，可惜未被采用、后来符号“≡”被用于作为代数式的恒等符号和数论中的同余式符号、。
解密数学中的相似和全等关系
解密数学中的相似和全等关系数学中的相似和全等关系是我们在几何学中经常遇到的概念。
相似和全等是用来描述两个图形之间的关系的术语。
在本文中，我们将详细介绍这两个概念的含义和应用。
1. 相似关系相似是指两个图形在形状上相似，但尺寸不同。
也就是说，它们具有相同的形状，但可能大小不同。
在数学中，我们使用“∼”符号来表示相似关系。
例如，如果有两个三角形ABC和DEF，我们可以写作△ABC ∼△DEF。
相似关系有以下几个特点：a) 边比例：两个相似图形的对应边之间的比例相等。
例如，在相似三角形中，AB/DE = BC/EF = AC/DF。
b) 角度相等：两个相似图形中对应角度相等。
例如，在相似三角形中，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
c) 对应边平行：如果两个相似图形中的所有对应边都平行，那么它们是全等的。
相似关系的应用：相似关系在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在地图制作中，我们使用相似关系来缩小或放大地图的比例尺。
同样，在建筑设计中，我们使用相似关系来确定比例模型和实际建筑物之间的关系。
2. 全等关系全等是指两个图形在形状和尺寸上完全相同。
也就是说，它们具有相同的形状和大小。
在数学中，我们使用“≡”符号来表示全等关系。
例如，如果有两个三角形ABC和DEF，我们可以写作△ABC ≡ △DEF。
全等关系有以下几个特点：a) 边相等：两个全等图形的对应边长度相等。
例如，在全等三角形中，AB = DE，BC = EF，AC = DF。
b) 角度相等：两个全等图形中对应角度相等。
例如，在全等三角形中，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
c) 对应边平行：两个全等的平行四边形中的对应边是平行的。
全等关系的应用：全等关系在现实生活中也有着广泛的应用。
例如，在建筑施工中，使用全等关系可以确保建筑物的不同部分的比例和尺寸是一致的。
此外，在制作镶嵌图案或拼图时，我们需要使用全等关系来保证不同形状的块可以准确拼合。
总结：相似和全等关系是数学中用于描述图形形状关系的重要概念。
8.1平面图形的全等与相似课件
练一练
找出下列图形中的全等形:
A
F B G P C
R E Q
D
2.
解：全等形有： （2）与（9） ，（3）与（5）， （10）与（11）。 相似形有： （1）与（8） ，（2）、（6）、（7）、（9），
（3）与（5）， （10）与（11）。
小
结
通过这节课的学习，你对全等形与相似形有 哪些认识？
议一议
全等形与相似形有什么关系?
两个相似形 未必是全等形.
两个全等形 也是相似形.
秦兵马俑坑发现 于1974年，它被 国际上誉为“世 界第八大奇迹”。
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
练一练 (1) 图中的兵 马俑照片，哪几个 形状相同？哪几个 形状相同，且大小 相等？
(7) (8) (9)
第8章
平面图形的全等与相似
交流与发现
观察下列四组图片,每组图片的形状和大小有什么关系?
(1)
(2)
(3)
(4)
全等形： 能够完全重合的平面图形,叫做全等形.它 们的形状相同,大小相等.
交流与发现
观察下列六组图片,你发现每组图片中的两个图形的 形状相同吗?大小相等吗?
相似形：
形状相同的平面图形叫做相似形。
1. 能够完全重合的平面图形称为全等形,全等 形的形状和大小都相同.
2.形状相同的平面图形叫做相似形.
再
三角形全等和相似的判定定理
三角形全等和相似的判定定理好嘞，今天我们聊聊三角形的全等和相似。
说到三角形，大家肯定会想到那种尖尖的、三条边的形状。
可是，三角形可不是单单靠外形就能判定的。
全等和相似，这两个概念可真是有趣。
想象一下，两个三角形，就像两个好朋友，虽然长得一模一样，但性格却可能截然不同。
全等的三角形就像是双胞胎兄弟，无论怎么换位置、怎么旋转，依然一模一样，边长和角度都是死死固定的。
而相似的三角形呢，就像是同一个家庭里的表亲，虽然他们的大小可能不一样，但整体风格、比例却是相似的。
这就像小时候我们一起玩搭积木，虽然最后搭出来的形状不尽相同，但整体的结构却有许多共同点。
真是有意思吧！咱们来聊聊判定全等的几种方法。
最直接的办法就是“边边边”法。
想象一下，你的好朋友有一双和你一模一样的鞋子，尺码、颜色全都匹配，那你们肯定是亲密无间的对吧？三角形也是如此，只要对应的三条边都相等，那这俩三角形绝对是全等的。
这就是经典的边边边全等定理，简单明了。
接着是“角边角”法。
想象一下，你跟朋友一起吃饭，你点了披萨，他点了汉堡，虽然食物不一样，但都是三角形的分割。
只要有两个角相等，并且夹着的那条边也相等，嘿，这两个三角形也是全等的。
这就像是你们俩虽然身高差不多，但发型和衣服各有千秋，依然是好朋友。
还有一个“边角边”法，嗯，听起来有点拗口，但实际上也是很简单的。
只要有一条边和它的两个角分别相等，那也是全等的，咋说呢，生活中总有些意外的组合让人惊喜，三角形的全等也是如此。
再说说相似三角形。
相似的判定方法可不是随便说说的哦。
“边边边”法同样适用，只要三条边的比例相同，不管三角形有多大，都是相似的。
就像兄弟俩，一米八的和一米六的，虽然身高不一样，但体型比例看起来还是蛮和谐的。
还有“角角角”法，嘿，只要三个对应角都相等，那这俩三角形就像兄弟姐妹一样，永远不会走出相似的圈子。
生活中有时候我们会看到一些东西，长得差不多，但大小不同，像是小孩和大人的模仿游戏，哈哈，这种情况就是相似三角形的完美体现。
判断立体图形的相似性与全等性
03
立体图形的全等性
全等性的定义
全等性是指两个立体图 形能够完全重合，无论 从大小、形状、角度等 方面都完全相同。
全等性是立体图形之间 的一种特殊关系，可以 通过平移、旋转、翻转 等方式实现。
在几何学中，全等性是 研究图形之间关系的重 要概念之一，对于理解 几何性质和解决几何问 题具有重要意义。
应用场景：相似性在几何学、工程学等领域有广泛应用，如建筑设计、机械设计等；全 等性在数学证明、几何构造等方面有重要应用。
相似性与全等性的转换条件
定义：相似性是指两个立体图形 形状相同但大小可以不同，全等 性是指两个立体图形形状和大小 都相同
证明方法：通过相似比和角度等 参数证明相似性，再通过相似性 证明全等性
01
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02
立体图形的相似性
相似性的定义
两个立体图形对应角相等 两个立体图形对应边成比例 两个立体图形大小和形状都相同 两个立体图形可以通过平移、旋转或翻转相互转化
相似性的判断方法
定义法：根据相 似图形的定义来 判断，即对应角 相等、对应边成 比例的两个立体 图形是相似的。
判定定理法：利 用相似图形的判 定定理来判断， 即一组对应角相 等，其他两组对 应角分别相等且 对应边成比例的 两个立体图形是 相似的。
全等性可以通过多种方 式进行证明，如SSS、 SAS、ASA等定理。
全等性的判断方法
两个立体图形经过平移、旋转或翻转后能够完全重合，则它们全等。 两个立体图形在三维空间中具有相同的形状和大小，则它们全等。 两个立体图形可以通过一系列的切割、折叠、展开等操作后相互转换，则它们全等。 两个立体图形在平面投影中呈现相同的形状和大小，则它们全等。
全等性的关系
相似三角形和全等三角形
相似三角形和全等三角形相似三角形和全等三角形是初中数学中的重要知识点，本文将分别介绍相似三角形和全等三角形的定义、性质以及应用。
一、相似三角形1. 定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
即两个三角形的对应角度相等，但对应边长不相等。
2. 性质相似三角形有一些重要的性质：(1) 相似三角形的对应边成比例。
(2) 相似三角形的对应高线、中线、角平分线也成比例。
(3) 相似三角形的面积成比例的平方。
(4) 相似三角形的周长成比例。
(5) 相似三角形的内角和相等。
3. 应用相似三角形在实际应用中有着广泛的用途。
比如：(1) 制图时，可以利用相似三角形的性质，根据已知图形的大小比例绘制出所需图形。
(2) 在建筑工程中，可以通过相似三角形的性质，测量出高度、距离等。
(3) 在计算机图形学中，利用相似三角形的性质，可以将一个图形放大或缩小。
二、全等三角形1. 定义全等三角形是指具有相同大小和形状的三角形。
即两个三角形的对应边长相等，对应角度也相等。
2. 性质全等三角形有一些重要的性质：(1) 全等三角形的对应角度相等。
(2) 全等三角形的对应边相等。
(3) 全等三角形的对应高线、中线、角平分线也相等。
(4) 全等三角形的面积相等。
(5) 全等三角形的周长相等。
3. 应用全等三角形在实际应用中也有着广泛的用途。
比如：(1) 在建筑工程中，可以利用全等三角形的性质，确定角度、距离等。
(2) 在制图时，可以利用全等三角形的性质，绘制出所需图形。
(3) 在计算机图形学中，利用全等三角形的性质，可以进行图形变换，如旋转、平移等。
相似三角形和全等三角形在数学和实际应用中有着广泛的用途。
掌握它们的定义、性质和应用，对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。
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图形的相似与全等
图形是我们生活中随处可见的一种形式，它们以各种各样的形状和尺寸出现在
我们的周围。
在几何学中，我们学习了图形的相似与全等，这是两个重要的概念。
本文将探讨图形的相似与全等，以及它们在几何学中的应用。
一、相似图形
相似图形是指形状相似但尺寸不同的图形。
换句话说，如果两个图形的形状相同，但尺寸不同，那么它们就是相似图形。
例如，两个等腰三角形，一个边长为2
厘米，另一个边长为4厘米，它们的形状相同，但尺寸不同，因此它们是相似图形。
相似图形有一些重要的性质。
首先，相似图形的对应边长成比例。
也就是说，
如果两个图形相似，那么它们对应的边长之间存在一个比例关系。
例如，如果一个图形的边长是另一个图形边长的两倍，那么这两个图形就是相似的。
其次，相似图形的对应角度相等。
这是因为相似图形的形状相同，所以它们的
对应角度也相等。
例如，两个相似的直角三角形，它们的对应角度都是90度。
相似图形在实际生活中有许多应用。
例如，地图是相似图形的一个重要应用。
地图上的各个地区的形状相同，但尺寸不同，以便在有限的空间内展示整个地球的地理信息。
此外，相似图形还用于计算机图形学、建筑设计等领域。
二、全等图形
全等图形是指形状和尺寸都相同的图形。
换句话说，如果两个图形的形状和尺
寸都相同，那么它们就是全等图形。
例如，两个边长都是3厘米的正方形，它们的形状和尺寸都相同，因此它们是全等图形。
全等图形有一些重要的性质。
首先，全等图形的对应边长相等。
也就是说，如
果两个图形全等，那么它们对应的边长是相等的。
例如，如果一个图形的边长是3
厘米，那么另一个图形的边长也是3厘米。
其次，全等图形的对应角度相等。
这是因为全等图形的形状相同，所以它们的对应角度也相等。
例如，两个全等的等边三角形，它们的对应角度都是60度。
全等图形在几何学中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，全等图形可以用来保证建筑物的各个部分的形状和尺寸都相同，从而保证建筑物的稳定性和美观性。
此外，在制图和测量中，全等图形也被广泛使用。
三、相似与全等的区别
相似图形和全等图形在几何学中具有不同的含义和应用。
相似图形是指形状相同但尺寸不同的图形，而全等图形是指形状和尺寸都相同的图形。
相似图形的对应边长成比例，而全等图形的对应边长相等。
此外，相似图形的对应角度相等，全等图形的对应角度也相等。
在实际应用中，相似图形和全等图形有不同的用途。
相似图形常用于地图、计算机图形学、建筑设计等领域，而全等图形常用于建筑设计、制图和测量等领域。
总结起来，图形的相似与全等是几何学中重要的概念。
相似图形是指形状相同但尺寸不同的图形，全等图形是指形状和尺寸都相同的图形。
相似图形和全等图形在几何学中有不同的应用，它们帮助我们理解和描述现实世界中的各种图形。
通过学习相似与全等，我们可以更好地理解和应用几何学知识，为解决实际问题提供帮助。