多元回归分析精品课程

第四章回归分析

回归分析是根据统计资料建立经验公式的统计方法。回归分析可用于预测和控制，在自然科学，社会科学和应用技术中都有重要应用,它是统计学最重要的工具。回归分析方法和理论从Gauss提出最小二乘法开始，至今已近200年，目前仍在蓬勃发展，例如在回归诊断、维度缩减、半参数回归、非参数回归、LOGISTIC回归等方向不断有新的突破。本章介绍参数回归分析模型及其参数估计、检验、模型选择等理论和有关计算方法。参数回归分析主要分三类：线性回归、可以转化为线性回归的回归和非线性回归。本章依次介绍这三类模型。有关回归分析的一般理论可参见陈希儒（1984），方开泰（1988），Seber（1976），何晓群（1997），何晓群、刘文卿（2001）、Richard（2003）。Robert(1999)和王吉利（2004）提供了许多有趣的应用例子。

第一节多元线性回归模型

一、两个例子

例1 试验测定迟熟早籼广陆矮4号在某年5月5日至8月5日播种时（每隔10天播一期），播种至齐穗的天数（y）和播种至齐穗的总积温（x，日·度）的关系，数据列于下表，建立播种至齐穗的天数与总积温两者之间的关系。

y x

播种至齐穗的天数总积温（日·度）

70 1616.3

67 1610.9

55 1440.0

52 1400.7

51 1423.3

52 1471.3

51 1421.8

60 1547.1

64 1533.0

例2 某站为预报早稻播种育秧期间(下/3-下/4)的低温阴雨日数,通过相关普查和点聚图分析,最后选择了三个相关较好的预报因子：

X1--前一年9月份的阴雨日数距平;

X2--前一年10月份-当年1月份的阴雨日数距平和;

X3--当年1月份的阴雨日数距平.

y-- 历年早稻播种育秧期间的低温阴雨日数距平

试建立y与X1、X2、X3之间的关系。

二、基本概念

常见的变量间关系分为两大类：确定性关系和相关关系。确定性关系也称为函数关系，具有确定性关系的自变量完全确定因变量的值。

现实世界中大量存在相关关系，具有相关性关系的变量间不能完全确定。例如人身高 与脚长是两个变量，它们关系密切，但是脚长不能完全确定认的身高，脚长为25公分的人，他的身高是不确定的。又如松树的胸径与材积关系很密切，但是胸径不能完全确定材积。例1中播种至齐穗的天数与总积温,但是x 不能完全决定y 的大小；例2中的y 与X1、X2、X3。具有相关关系的变量间由一些变量可以大体预报其它变量。前者称为解释变量，也叫做自变量或预报因子，后者称为响应变量，也叫做因变量或预报对象。我们希望得到由解释变量预报响应变量的公式，以便通过解释变量去预测或控制响应变量。

回归分析是建立预报公式的一种方法。其特点是：首先确定预报公式的类型，列出待估参数；然后取得解释变量和响应变量的多次观测值，这些观测值可能是实验得到的，也可能是调查出的；再用这些数据进行拟合。计算方法是数学的一个分支，它也包含数据拟合，回归分析与计算方法的数据拟合不同，计算方法的数据拟合只估计未知参数，而回归分析不仅仅估计参数，而且要对拟合的结果作统计分析，因此必须对观测值建立数学模型。最简单的回归模型是多元线性回归模型。解释变量和未知参数都是线性出现的回归模型称为线性回归模型。回归分析的目的是用一个回归公式来做预测。回归公式等号左边的值是因变量，等号右边的是一系列的自变量及参数（又称回归系数，它是一个常数）的线性组合。

1、线性回归模型

定义 εβ

β++

=∑=p

j j j

X Y 1

其中，Y 是因变量；j X 是自变量； j ββ,0均是参数，它们的值由统计估计而来；ε是误差。称为多元线性回归模型，其中p D E βββσεε,...,;,0102

==称为回归系数。

为了确定线性回规模型的未知参数，必须有解释变量和响应变量的若干次观测值。则有：

??

??

??

?++++=++++=n

np p n n p p x x y x x y εβββεβββ (1101)

111101 记??????? ??=?np n p p k

n x x x x x x X ...1.......1...11221111，??????

? ??=?p k ββββ...101，??????? ??=?n n εεεε...211，????

??? ??=?n n Y Y Y Y ...

211 其中X 称为回归设计矩阵，通常简称为设计矩阵，一个线性回归模型可以用矩阵表示如下：

εβ+=X Y

2、线性回归的假设

线性回归的重要假设如下：

（1） 所有自变量是固定的，或由实验结果导出； （2） 回归模型是正确的； （3） 自变量的测量没有误差； （4） 误差的平均值是0；

（5） 误差的方差是常数，其值以2

σ表示；

（6） 误差之间不相关。

（7） 当我们要检验回归模型是否有效时（Significance ），我们附加另外一个假设，

误差服从正态分布

（1）--（6）可以表示为：

?

??==I Var E 2

)(0

σεε 三、参数的估计

如何利用观测值估计模型中的参数p βββ,...,10？通常用最小二乘法，即选择适当β使

离差平方和

)()'()...()(21

110ββββββX y X y x x y S jp n

j p j j --=----=∑=

最小。早在1809年Gauss 就提出称为最小二乘法。

β的最小二乘估计是

Y X X X T T 1)(-∧

=β。

jp p j j x x y ∧

∧

∧

∧

+++=βββ...110称为j y 的拟合值（回归值），拟合向量记为

∧

∧∧

∧=?????

???????=βX y y y n (1)

jp p j j j x x y ∧

∧∧∧----=βββε...110称为第j 次纪录观测的残差。残差向量

∧

∧∧∧-=?????

?

??????=βεεεX Y n ...1。

残差平方和：2

∧

-=β

X

Y SSE ∑=∧

∧∧----=n

i ip p i i x x y 12110)...(βββ

回归平方和：∑=-=

n

i i

Y X SSR 12

)

?(β

总平方和： ∑=-=

n

i i

Y Y SST 1

2

)

(

误差方差2

σ的估计为均方误差MSE ，即

)

1/()1/(2

--=--==∧

∧

m n SSE p n SSE MSE σσ

定理 2

,σβ的估计具有如下性质

（1） ββ=∧)(E （∧

β是β无偏估计）。

12)()(-∧

=X X Var T σβ。

（2） 2

2

)(σσ=∧E ，（∧2

σ是2

σ的无偏估计）。

（3） ∧β是的线性无偏最小方差估计（在β的线性无偏估计中，∧

β方差最小）。即通常

所称Gauss-Markov 定理。

（4） 正态性：若),,0(~2

I N σε则))(,(~1

2-∧

X X N T σββ；若观测个数n 很大，即

使ε不服从正态分布，仍近似地有))(,(~1

2

-∧

X X N T

σββ。

（5） 单个参数的分布：令??????

????????=∧∧∧∧p ββββ...10，若),,0(~2

σεN 则∧β的第i+1个分量

))(,(~11,12-++∧

i i T i i X X N σββ，其中11,1)(-++i i T X X 是 1

)(-X X T 对角线上第 1+i 个元素。从而可用11,12

)

()(-++∧

∧

=i i T

i X X STDERR σβ估计i ∧

β 的标准差。

（6） 若),,0(~2

I N σε则有SST=SSR+SSE 。若再有p i i ,...2,10

==β,则

)1,(~)

1/()

/(----p n p F p n SSE p SSR 。

（7） 若),,0(~2

I N σε则SSE 与∧

β独立。从而：

)1(~)(/)(---∧

∧p n t STDERR i i i βββ。

（8） 若),,0(~2

I N σε则β的极大似然估计与最小二乘估计相同。

四、假设检验

存在两个问题：(1)y 与p x x ,...,1是否有较好的线性关系?即回归模型是否有意义？如果真正的模型中p i i ,...2,1,0==β ，或i β的绝对值都很小，则p x x ,...,1的值 对y 影响都很小，不能起预报作用，我们认为y 与p x x ,...,1没有较好的线性关系，回归模型没有意义。(2)回归模型能否简化，即m x x ,...,1中是否存在某个自变量，它与y 无关或它能被其它自变量代替，因而回归模型中可以删去这个自变量?为此可以做如下两类检验。

1、线性关系显著性F 检验

即要检验

p i H i ,...2,1,0:0==β。

定理指出SST=SSR+SSE ，其中总方差SST 反映响应变量的发散程度；回归平方和SSR 反映由回归引起的分散性,SSE 反映误差变量的分散性。若0H 成立，SSR/SSE 应当很小，若SSR/SSE 很大，则否定0H 。为此取统计量SSR/SSE 。 定理

若0...:210====p H βββ成立，则

)

1,(~)

1/(/----=

p n p F p n SSE p

SSR F

当F 很大时（超过临界值)(1,α--p n p F ），则回归效果显著。

因此，只需计算F 的值，并做F 检验即可，若F 很大，则否定0H 。 回归模型线性关系显著性也有其他检验方法：复相关系数平方

SST SSE R /12-=，

修正的复相关系数平方

)/()1)(1(12m n R n ADJRSQ ----=。

由于

1)1();1/(122-+=+=-R F F F R

复相关系数平方和修正的复相关系数平方越大，线性关系越显著。由于复相关系数和修正的复相关系数的分位数表不易查到，我们不介绍用这两个统计量做检验的方法。

2、单个解释变量显著性t 检验。

常常要考虑第i 个解释变量i x 是否在模型中有作用。一个好的模型，所有变量都应起作用。如果i x 的系数i β为零或绝对值很小，i x 无作用。为此对每个i 要检验

0:0=i i H β，

定理

当0:0=i i H β 成立时，有

i t =)1(~)(/)(---∧

∧

p n t STDERR i i i βββ。

若i t 绝对值很大，则应当否定i H 0。当)1(2

-->p n t t i α时拒绝原假设，认为y x i 对起作

用。

五、预报

做预报是回归分析的重要目的。

对回归问题，当β

?得到后， p p x x y ∧

∧∧+++=βββ (110)

称为经验回归方程。

有了经验回归方程，若再给定解释变量的值)', (1)

p o

x x u =，就可得到预报值

o

p p o x x y ∧

∧

∧∧

+++=βββ (1)

100

但是，y 的真值满足εβββ++++=o

p p o

x x y (1100)

，存在预报误差

ε

ββββββ+-++-+-=-∧

∧

∧∧o

p p p o x x y y )(...)()(1

11000

由此可见，预报误差由两部分组成可得预报误差是零均值的。

预报值的置信区间理论比较复杂。可以如下计算：设解释变量的值为)', (1)

m o x x u =，令),...,1(10'=o m o x x X ，0

10)'('X X X X v -=，则概率为α-1的预报区间端点为

预测值的标准误差 2νσ 预测误差的标准差 2]1[σν+

预测值的置信区间

2/12

2/0

))1()(1(v m n t y +--±∧σα

六、计算结果

例1（续）

data han; input y x@@; cards;

70 1616.3 67 1610.9 55 1440.0 52 1400.7 51 1423.3 52 1471.3 51 1421.8 60 1547.1 64 1533.0 ;

PROC REG; Model y=x; run;

运算结果：

Analysis of Variance Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 1 402.75088 402.75088 68.35 <.0001 Error 7 41.24912 5.89273 Corrected Total 8 444.00000

Root MSE 2.42749 R-Square 0.9071 Dependent Mean 58.00000 Adj R-Sq 0.8938 Coeff Var 4.18534

Parameter Estimates

Parameter Standard

Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t| Intercept 1 -69.70404 15.46820 -4.51 0.0028 x 1 0.08536 0.01033 8.27 <.0001

y=-69.70404+ 0.08536x

data han;

input y x@@;

cards;

70 1616.3 67 1610.9 55 1440.0 52 1400.7 51 1423.3

52 1471.3 51 1421.8 60 1547.1 64 1533.0 . 1600

;

PROC REG;

Model y=x/P CLI;

run;

Dependent Variable: y

Output Statistics

Dependent Predicted Std Error

Obs Variable Value Mean Predict 95% CL Predict Residual

1 70.0000 68.2651 1.4821 61.5398 74.9905 1.7349

2 67.0000 67.8042 1.4357 61.135

3 74.4731 -0.8042

3 55.0000 53.2160 0.9948 47.0126 59.419

4 1.7840

4 52.0000 49.8613 1.2743 43.3783 56.3443 2.1387

5 51.0000 51.7905 1.1040 45.484

6 58.0963 -0.7905

6 52.0000 55.8878 0.8485 49.8071 61.9685 -3.8878

7 51.0000 51.6624 1.1146 45.3461 57.9787 -0.6624

8 60.0000 62.3582 0.9657 56.1805 68.5358 -2.3582

9 64.0000 61.1546 0.8946 55.0371 67.2721 2.8454

10 . 66.8738 1.3442 60.3124 73.4352 .

Sum of Residuals 0

Sum of Squared Residuals 41.24912

Predicted Residual SS (PRESS) 62.49600

例2（续）程序如下:

DATA DEF;

INPUT Y X1-X3 @@;

CARDS;

-8 0 -6 2

4 2 20 3

7 -1 19 4

-7 -5 -16 -2

12 6 5 1

6 3 -20 -2

-14 -10 -10 -2

4 6 13 2

9 5 29 2

3 -2 6 5

-1 3 -32 3

4 1 11 -5

7 7 11 4

-3 -9 -4 2

5 2 3 0

-11 -3 4 -6

-8 0 -53 -5

-1 4 4 -5

-11 -9 8 -7

6 -5 29 2

;

PROC REG;

MODEL Y=X1-X3;

RUN;

运算结果

Analysis of Variance

Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 3 790.89946 263.63315 13.53 0.0001

Error 16 311.65054 19.47816

Corrected Total 19 1102.55000

Root MSE 4.41341 R-Square 0.7173

Dependent Mean 0.15000 Adj R-Sq 0.6643

Coeff Var 2942.27112

Parameter Estimates

Parameter Standard

Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t|

Intercept 1 0.34059 0.99172 0.34 0.7357

X1 1 0.82384 0.20358 4.05 0.0009

X2 1 0.12874 0.05317 2.42 0.0277

X3 1 0.59901 0.29557 2.03 0.0597

由上面可知：

回归方程为：Y=0.34059+0.82384X1+0.12874X2+0.59901X3

可知早稻育秧期间的低温阴雨日数与头年9月份的阴雨日数距平关系最密切。从上面也可以看出回归方程的线性关系是显著的。但实际上除X1外，其余回归系数都不显著。

1、建立了青海省海北地区土壤湿度与旬降水、旬平均气温之间的回归关系

分析：在模式的建立过程中，采用了青海省海北牧业气象试验站3月18日至10月28日23旬的土壤湿度、旬降水、旬平均气温的资料，用多元统计回归建立了方程。方差分析表中，给出Sr =6647.21656 ,Se= 16148 ,自由度为2和20， F = 3323.60828 /807.38700= 4.12,还给出服从自由度（2，20）的F 分布随机变量大于 4.12的概率为0.0318<0.05,所以回归是

显著的

。在参数估计中，截距、降水、气温三者的T检验都达到0.05的显著水平，所以认为回归系数是显著的。最后得出回归方程为：

y = 244.94+1.02*rain-0.34*temp

y :土壤湿度；rain : 旬降水 ;temp :旬平均气温

青海省海北地区土壤湿度与旬平均降水、气温的关系

09:14 Saturday, June 12, 2004 1

Obs v1 v2 v3

1 241 4.5 17

2 265 8.7 16

3 309 20.9 19

4 232 6.1 61

5 205 21.1 111

6 22

7 34.1 97

7 281 33.6 50

8 225 38.0 106

9 191 26.1 116

10 212 36.4 124

11 220 13.2 128

12 222 12.2 131

13 218 55.5 140

14 295 65.8 148

15 297 47.9 146

16 269 39.5 131

17 225 9.5 117

18 261 23.8 95

19 271 49.8 94

20 248 63.3 83

21 209 3.7 66

22 231 26.7 37

23 236 2.3 5

青海省土壤湿度与旬平均降水、气温的关系

09:14 Saturday, June 12, 2004 2

The REG Procedure

Model: MODEL1

Dependent Variable: v1 土壤湿度

Analysis of Variance

Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 2 6647.21656 3323.60828 4.12 0.0318

Error 20 16148 807.38700

Corrected Total 22 22795

Root MSE 28.41456 R-Square 0.2916

Dependent Mean 243.04348 Adj R-Sq 0.2208

Coeff Var 11.69114

Parameter Estimates

Parameter Standard

Variable Label DF Estimate Error t Value Pr >

|t|

Intercept Intercept 1 244.93781 13.45982 18.20 <.0001

v2 降水 1 1.01582 0.37025 2.74 0.0125

v3 气温 1 -0.34172 0.15681 -2.18

第二节一般回归统计分析：PROC REG

PROC REG用最小二乘估计拟合线性回归模型。有多种模型选择方法来确定最优自变量

子集来预测因变量。PROC REG 是一种一般的回归程序，而其它的回归程序有专门的应用。PROC REG 提供了九种模型选择方法，

PROC REG有如下的功能：

（1）能同时考虑数个线性回归模型，并可以交互式执行回归分析；

（2）输入数据可以是相关系数或变量的Cross Product；

（3）可输出因变量的预测值、误差、标准化误差、置信区间等，这些统计量可被储存在一个输出文件内，或利用指令PLOT绘成点状图；

（4）输出各种影响力值；

（5）绘制偏回归图（Partial Regression Leverage Plots）

（6）由最小误差平方法估计系数；

（7）检验回归系数；

（8）检验多变量的假设；

（9）将自变量的向量积纳入输出文件；

（10）诊断自变量之间线性相关的程度；

（11）有九种不同的方法可简化模型；

（12）利用PAINT指令可特别强调数据种某个或某些观测个体。

PROC REG 格式：

PROC REG options;

label: MODEL dependents= regressors / ;

BY variable-list;

FREQ variable;

ID variable;

VAR variable-list;

ADD variable-list;

DELETE variable-list;

REWEIGHT | ;

WEIGHT variable;

label: MTEST ;

OUTPUT OUT= SAS-data-set keyword= names ...;

PAINT | ;

PLOT <=symbol1>,...

<=symbolk> ;

PRINT ;

REFIT;

RESTRICT equation1, ... equationk;

label: TEST equation1, ... equationk / option;

其中，PROC REG 与MODEL两道指令是必须的，不可省略。

一个REG程序种可含多个MODEL指令。在每个MODEL指令之后，可有一个OUTPUT指令及多个RESTRICT，TEST，MTEST等指令。至于WEIGHT，FREQ，ID指令则可有可无，而且只需使用一次，其效力即可贯穿整个REG程序。

PROC REG options;

下列选项可被用于PROC REG语句中：

ALL ANNOTATE= SAS-data-set

CORR COVOUT

DATA= SAS-data-set GOUT= graphics-catalog

GRAPHICS NOPRINT

OUTEST= SAS-data-set OUTSEB

OUTSSCP= SAS-data-set OUTSTB

OUTVIF PCOMIT= values

PRESS RIDGE= values

SIMPLE SINGULAR= n

USSCP

（1）DATA=输入文件名称

（2）OUTTEST=输出文件名称

（3）COVOUT

（4）OUTSSCP=输出文件名称

（5）NOPRINT 所有分析结果皆不印出

（6）SIMPLE 印出所有参与分析的变量的简单描述性统计量

（7）USSCP

（8）ALL 要求印出所有的分析结果

（9）CORR 要求打印在MODEL指令或VAR指令中界定之变量间的相关系数矩阵

label: MODEL dependents= regressors / ;

下列选项可被用于MODEL语句中：

ACOV ADJRSQ AIC

ALL B BEST= BIC CLI CLM COLLIN COLLINOINT CORRB COVB CP DETAILS DW GMSEP GROUPNAMES= I INCLUDE= INFLUENCE JP MSE NOINT NOPRINT OUTSEB OUTSTB OUTVIF P PARTIAL PC PCOMIT= PCORR1 PCORR2 PRESS R RIDGE= RMSE SBC

SCORR1 SCORR2 SELECTION= SEQB SIGMA= SLENTRY= SLSTAY= SP SPEC SS1 SS2 SSE START= STB STOP= TOL VIF XPX

其后的选项可分为六类：

第一类选项 此处有三个选项与报表的打印有关；

（1） NOPRINT 不打印MODEL 指令所界定的分析结果 （2） ALL 打印MODEL 指令所有分析的结果 （3） NOINT 规定回归模型中不包含截距 第二类选项 控制计算过程的打印，有两个选项；

（1） XPX 印出回归模型的)('

X X

（2） I 印出上述矩阵的逆矩阵。

第三类选项 界定有关参数估计值的有关事宜，有十六个

SS1 SS2 STB TOL VIF COVB CORRB SEQB COLLIN COLLINNOINT ACOV SPEC PCOOR1 PCOOR2 SCORR1 SCORR2

第四类选项 此类选项有七个，均与预测值、预测误差有关；

（1）P 由输入数据及回归模型预测值因变量的值。这个选项将产生包含原数据、因变

量的实际值与预测值以及预测误差的报表 （2） R

（3） CLM 印出各个预测平均数的95%置信区间之上限与下限 （4） CLI （5） DW

（6） INFLUENCE （7） PARTIAL

第五类选项 界定回归模型的选择，有下列十个选项：

（1） SELECTION=FORWARD （或F ）

SELECTION=BACKWARD （或B ）

SELECTION=STEPWISE

SELECTION=MAXR 最大相关法

SELECTION=MINR 最小相关法

SELECTION=RSQUARE 复相关系数平方法

SELECTION=ADJRSQ 矫正后的复相关系数法

SELECTION=CP CP法

SELECTION=NONE 进行全型的回归分析

（2）DETAILS

（3）INCLUDE=正整数这个选项规定将MODEL指令的前几个变量纳入每个回归模型里；

（4）START=正整数规定分析的第一个回归模型内至少应包括的自变量之数目

（5）STOP=正整数这个指令指示REG程序搜寻出一个含STOP=个数的最佳回归模型后即停止

（6）SLENTRY

（7）SLSTAY

（8）BEST

（9）GROUPNAMES

（10） NOINT

第六类选项与SELECTION=RSQUARE，ADJRSQ，CP的设定有关，有十四个选项；

ADJRSQ AIC BIC CP GMSEP JP MSE

RMSE PC SBC SIGMA SP SSE B

BY variable-list;

REG程序依据此指令所列举的变量将文件分成几个小的文件，然后对没一个小的文件分别执行分析。当选用此指令时，文件内的数据必须先按照BY变量串的值做由小到大的重新排列，这个步骤可籍PROC SORT达成

FREQ variable;

FREQ变量的值表示各观察值重复出现的次数

ID variable;

指明一个变量，其功用在于识别观察体

VAR variable-list;

此指令的功用是要求将那些在MODEL指令中未提到的数值变量也一起包括在向量内乘积矩阵里，此选项须与选项OUTSSCP=并用

ADD variable-list;

DELETE variable-list;

REWEIGHT | ;

WEIGHT variable;

label: MTEST ;

OUTPUT OUT= SAS-data-set keyword= names ...;

OUT=输出文件名称，这个文件含原输入文件的所有变量，以及本指令中所提到的变量

keyword=变量名称串；

下列是十六种关键字及其定义：

（1）PREDICTED（P）

（2）RESIDUAL（R）

（3）L95M

（4）U95M

（5）L95

（6）U95

（7）STDP

（8）STDR

（9）STDI

（10） STUDENT

（11） COOKED

（12） H

（13） PRESS

（14） RSTUDENT

（15） DFFITS

（16） COVRATIO

PAINT | ;

PLOT <=symbol1>,...

<=symbolk> ;

PRINT ;

REFIT;

RESTRICT equation1, ... equationk;

label: TEST equation1, ... equationk / option;

EXAMPLE1预测人体吸入氧气的效率

本资料的数据来自一群中年男子的健康资料。每一名男士提供七个数据，分别是：年龄（AGE），体重（WEIGHT），吸氧的效率（OXY），跑1。5英里所需的时间—以分钟计（RUNTIME），休息时的心跳（RSTPULSE），跑步时的心跳（RUNPULSE），和最高心跳率（MAXPULSE）。其中吸氧效率（OXY）是因变量，另外六个是自变量。

/* This data set contains 31 observations . */

data fitness;

input age weight oxy runtime rstpulse runpulse maxpulse@@;

cards;

44 89.47 44.609 11.37 62 178 182 51 69.63 40.836 10.95 57 168 172 40 75.07 45.313 10.07 62 185 185 51 77.91 46.672 10.00 48 162 168 44 85.84 54.297 8.65 45 156 168 48 91.63 46.774 10.25 48 162 164 42 68.15 59.571 8.17 40 166 172 49 73.37 50.388 10.08 67 168 168 38 89.02 49.874 9.22 55 178 180 57 73.37 39.407 12.63 58 174 176 47 77.45 44.811 11.63 58 176 176 54 79.38 46.080 11.17 62 156 165 40 75.98 45.681 11.95 70 176 180 56 76.32 45.441 9.63 48 164 166 43 81.19 49.091 10.85 64 162 170 50 70.87 54.625 8.92 48 146 155

44 81.42 39.442 13.08 63 174 176 51 67.25 45.118 11.08 48 172 172 38 81.87 60.055 8.63 48 170 186 54 91.63 39.203 12.88 44 168 172

44 73.03 50.541 10.13 45 168 168 51 73.71 45.790 10.47 59 186 188

45 87.66 37.388 14.03 56 186 192 57 59.08 50.545 9.93 49 148 155 45 66.45 44.754 11.12 51 176 176 49 76.32 48.673 9.40 56 186 188 47 79.15 47.273 10.60 47 162 164 48 61.24 47.920 11.50 52 170 176 54 83.42 51.855 10.33 50 166 170 52 82.78 47.467 10.50 53 170 172 49 81.42 49.156 8.95 44 180 185

;

proc reg data=fitness outest=regout;

oxyhat: model oxy=age weight runtime runpulse maxpulse rstpulse /selection=stepwise;

model oxy=age weight runtime runpulse maxpulse rstpulse

/selection=maxr;

run;

Stepwise Selection: Step 4

Variable maxpulse Entered: R-Square = 0.8430 and C(p) = 4.9695

Analysis of Variance

Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 4 717.69550 179.42388 34.90 <.0001

Error 26 133.68604 5.14177

Corrected Total 30 851.38154

Parameter Standard

Variable Estimate Error Type II SS F Value Pr > F

Intercept 100.07910 11.57739 384.21858 74.72 <.0001

age -0.21266 0.09099 28.08629 5.46 0.0274

runtime -2.76824 0.33138 358.80967 69.78 <.0001

runpulse -0.33957 0.11555 44.40268 8.64 0.0068

maxpulse 0.25535 0.13188 19.27645 3.75 0.0638

Summary of Stepwise Selection

Variable Variable Number Partial Model

Step Entered Removed Vars In R-Square R-Square C(p) F Value Pr > F

1 runtime 1 0.7434 0.7434 15.4416 84.01 <.0001

2 age 2 0.0268 0.7702 13.0075 3.27 0.0815

3 runpulse 3 0.0501 0.8203 6.7141 7.5

4 0.0106

4 maxpulse 4 0.0226 0.8430 4.969

5 3.75 0.0638

Example2 土壤中可给态磷含量

x 研究某一地区土壤中含植物可给态磷的情况．设y是35℃时土壤中可给态磷含量；

1

是土壤中所含无机盐浓度；2x 是土壤中溶于K 2C03溶液并受溴化物水解的有机磷；3x 是土壤中溶于K 2C03溶液但不溶于溴化物的有机磷。经18次测量得表3．2。求用1x ， 2x ，

3x 预报 y 的线性回归方程。并求当1x =15，2x =50，3x =100时y 的预报值和95%置信区间。

表5.2 可给态磷含量表

SAS 程序：

data pcontent; input x1-x3 y; cards;

0.4 52 158 64 0.4 23 163 60 3.1 19 37 71 0.6 34 157 61 4.7 24 59 54 1.7 65 123 77 9.4 44 46 81 10.1 3l 117 93 11.6 29 173 93 12.6 58 112 51 10.9 37 11l 76 23.1 46 114 96 23.1 50 134 77