计量经济学多元回归分析推断
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所有计量经济学检验方法
所有计量经济学检验方法
1、回归分析：回归分析是用来确定两个变量之间相关关系的一种统计方法，它能够推断出一个变量对另一个变量的影响程度。
常用的回归检验包括偏直斜率检验、R平方检验、Durbin-Watson检验、自相关检验、Box-Cox检验等。
2、主成分分析：主成分分析（PCA）是一种统计分析方法，用于消除随机变量之间的相关性，从而简化数据分析过程。
常用的方法有二元主成分分析（BPCA）、多元主成分分析（MPCA）
3、因子分析：因子分析是一种统计学方法，用于确定从多个离散观测变量中提取的隐含变量。
常用的因子分析检验包括KMO检验、Bartlett 统计量检验、条件双侧门限统计量检验等。
4、多元分析：多元分析是一种统计学方法，用于探索随机变量之间的关系，常用的多元分析检验包括多元弹性网络（MANOVA）、多元回归（MR）以及结构方程模型（SEM）。
5、聚类分析：聚类分析是一种用于探索研究数据中的结构和特征的统计学方法。
它主要是将数据集分组，以便对数据集中的每组信息单独进行分析。
常用的聚类分析检验有K均值聚类、层次聚类、嵌套聚类等。
6、特征选择：特征选择是一种数据分析技术，用于从大量可能的特征中，选择有效的特征变量。
计量经济学课程第4章(多元回归分析)
Page 2
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 24
单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
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基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
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图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)
Yˆ 116.7 0.112X 0.739P
R2 0.99
(9.6) (0.003) (0.114)
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
P
食品价格平减指数 总消费支出价格平减指数
100，（1972
100）
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下： 价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
c (X X )1 X D
从而将 的任意线性无偏估计量 * 与OLS估计量 ˆ 联系
起来。
28
cX I
由
可推出：
(X X )1 X X DX I
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D ( X X )1 X D X ( X X )1 D
第三章 多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
1
第一节 多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动 可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线 性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Yt β0 β1X1t β2 X 2t ... βk X kt ut t=1,2,…,n
Yt
ˆ0
βˆ 1
X
1t
... βˆ K X Kt
2
为最小，则应有：
S
S
S
ˆ0 0, ˆ1 0, ..., ˆ K 0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
13
β0 n
β1 X1t ...... β K X Kt Yt
β 0 X 1t β1 X 1t 2 ...... β K X 1t X Kt X 1tYt
伍德里奇《计量经济学导论》(第5版)笔记和课后习题详解
伍德里奇《计量经济学导论》（第5 版）笔记和课后习题详解
读书笔记模板
01 思维导图
03 目录分析 05 读书笔记
目录
02 内容摘要 04 作者介绍 06 精彩摘录
思维导图
本书关键字分析思维导图
第版
计量经济 学
时间
习题
序列
经典
变量
笔记
教材
笔记 复习
模型
导论
笔记
第章
习题
分析
数据
回归
内容摘要
本书是伍德里奇《计量经济学导论》（第5版）教材的配套电子书，主要包括以下内容：（1）整理名校笔记， 浓缩内容精华。每章的复习笔记以伍德里奇所著的《计量经济学导论》（第5版）为主，并结合国内外其他计量经 济学经典教材对各章的重难点进行了整理，因此，本书的内容几乎浓缩了经典教材的知识精华。（2）解析课后习 题，提供详尽答案。本书参考国外教材的英文答案和相关资料对每章的课后习题进行了详细的分析和解答。（3） 补充相关要点，强化专业知识。一般来说，国外英文教材的中译本不太符合中国学生的思维习惯，有些语言的表 述不清或条理性不强而给学习带来了不便，因此，对每章复习笔记的一些重要知识点和一些习题的解答，我们在 不违背原书原意的基础上结合其他相关经典教材进行了必要的整理和分析。本书特别适用于参加研究生入学考试 指定考研考博参考书目为伍德里奇所著的《计量经济学导论》的考生，也可供各大院校学习计量经济学的师生参 考。
讨
2.1复习笔记 2.2课后习题详解
3.1复习笔记 3.2课后习题详解
4.1复习笔记 4.2课后习题详解
5.1复习笔记 5.2课后习题详解
6.1复习笔记 6.2课后习题详解
7.1复习笔记 7.2课后习题详解
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03 目录分析 05 读书笔记
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02 内容摘要 04 作者介绍 06 精彩摘录
思维导图
本书关键字分析思维导图
第版
计量经济 学
时间
习题
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经典
变量
笔记
教材
笔记 复习
模型
导论
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分析
数据
回归
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本书是伍德里奇《计量经济学导论》（第5版）教材的配套电子书，主要包括以下内容：（1）整理名校笔记， 浓缩内容精华。每章的复习笔记以伍德里奇所著的《计量经济学导论》（第5版）为主，并结合国内外其他计量经 济学经典教材对各章的重难点进行了整理，因此，本书的内容几乎浓缩了经典教材的知识精华。（2）解析课后习 题，提供详尽答案。本书参考国外教材的英文答案和相关资料对每章的课后习题进行了详细的分析和解答。（3） 补充相关要点，强化专业知识。一般来说，国外英文教材的中译本不太符合中国学生的思维习惯，有些语言的表 述不清或条理性不强而给学习带来了不便，因此，对每章复习笔记的一些重要知识点和一些习题的解答，我们在 不违背原书原意的基础上结合其他相关经典教材进行了必要的整理和分析。本书特别适用于参加研究生入学考试 指定考研考博参考书目为伍德里奇所著的《计量经济学导论》的考生，也可供各大院校学习计量经济学的师生参 考。
讨
2.1复习笔记 2.2课后习题详解
3.1复习笔记 3.2课后习题详解
4.1复习笔记 4.2课后习题详解
5.1复习笔记 5.2课后习题详解
6.1复习笔记 6.2课后习题详解
7.1复习笔记 7.2课后习题详解
计量经济学-多元线性回归模型
多元线性回归模型的表达式
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
计量经济学中的回归分析方法
计量经济学中的回归分析方法计量经济学是经济学中的一个重要分支，它主要是利用经济数据来进行定量分析。
而对于计量经济学来说，最重要的方法之一就是回归分析。
回归分析方法可以用来寻找变量之间的关系，进而预测未来的趋势和结果。
本文将介绍回归分析方法的基本原理及其在计量经济学中的应用。
回归分析的基本原理回归分析是一种利用数据来寻找变量之间关系的方法，其核心原理是利用多元线性回归模型。
多元线性回归模型可以描述多个自变量与一个因变量之间的关系，如下所示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βkXk + ε其中，Y表示因变量，即需要预测的变量；X1、X2、 (X)表示自变量，即可以通过对它们的变化来预测Y的变化；β0、β1、β2、…、βk表示模型中的系数，它们可以反映每个自变量对因变量的影响；ε表示误差项，即预测结果与真实值之间的差异。
利用回归分析方法，我们可以通过最小化误差项来得到最佳的系数估计值，从而建立一个能够准确预测未来趋势和结果的模型。
回归分析的应用在计量经济学中，回归分析被广泛应用于各个领域。
下面我们以宏观经济学和微观经济学为例，来介绍回归分析在计量经济学中的具体应用。
1. 宏观经济学：用回归分析预测国内生产总值（GDP）国内生产总值是一个国家经济发展的重要指标，因此预测GDP 的变化是宏观经济学研究的重点之一。
在这个领域，回归分析可以用来寻找各种经济因素与GDP之间的关系，进而通过对这些因素的预测来预测GDP的变化。
例如，我们可以通过回归分析来确定投资、消费、进出口等因素与GDP之间的关系，进而利用这些关系来预测未来的GDP变化。
2. 微观经济学：用回归分析估算价格弹性在微观经济学中，回归分析可以用来估算价格弹性。
价格弹性可以衡量消费者对价格变化的敏感度，其计算公式为：价格弹性= %Δ数量÷ %Δ价格例如，如果价格变化1%，相应数量变化1.5%，那么价格弹性就是1.5 ÷ 1 = 1.5。
第04章 多元回归分析1
∑
y t2
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.6 多元回归的假设检验
虽然R2度量了估计回归直线的拟合优度，但是R2本身 却不能判定估计的回归系数是否是统计显著的，即是否 显著不为零。有的回归系数可能是显著的，有些可能不 是。如何判断呢？ 与一元回归模型相同，如果用真实的但不可观察的σ2 的无偏估计量代替σ2，则OLS估计量服从自由度为 n－3 的 t 分布，而不是正态分布。
2
可以证明：
ESS = b 2 ∑ y t x 2 t + b 3 ∑ y t x 3 t RSS = R =
2
20
(4.19) (4.20) (4.21)
∑ b ∑
2
y t2 −b 2 ∑ y t x 2 t − b 3 ∑ y t x 3 t y t x 2 t + b3 ∑ y t x 3 t
15
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.4 OLS估计量的方差与标准误
计算标准误的目的：（1）建立真实参数的置信区间； （2）检验统计假设。
var (b 2 ) = se ( b 2 ) =
(∑
x
2 2t
)(∑
∑
x
2 3t
) − (∑
x 32t
x 2t x3t )
2
⋅σ
2
(4.12) (4.13)
var( b 2 )
(4.26)
在给定显著性水平下，检验B2的置信区间是否包含0，若没有 拒绝原假设，否则接受原假设。
24
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.7.2 显著性检验法
2、显著性检验法：检验H0：B2＝0，H1：B2
≠0
计量经济学4 多元回归分析：推断
1.701
拒绝域
Example：小时工资方程
ˆ ) 0.284 0.092educ 0.0041exp er 0.022tenure log( wage (0.104) (0.007) n 526, R 0.316
2
(0.0017)
(0.003)
标准误
ˆ ? H0 : exp er 0 ? H 0 : 0.0041 0
4.2.3 双侧对立假设
H1 : j 0 (4.12)
当经济理论（或常识）没有很好的说明j的 符号时，这是一个恰当的对立假设。即便知 道j在对立假设中的符号，采取双侧检验也 是明智的——避免根据回归方程中参数估计 值来提出对立假设。
双尾检验的拒绝法则：
tˆ c
j
(4.13)
如果在5%的显著性水平上拒绝H0并支持H1，则称 xj是统计显著的，否则称xj是统计上不显著的。
随着t分布的自由度逐渐变大，t分布会 接近标准的正态分布——df大于120， 就可以使用标准正态分布的临界值。
例子：5%的显著性水平，df=n-k-1=28，临 界值c=1.701
面积 =0.05
0
在显著性水 平是1%时 统计上显著
在显著性水 平是5%时 统计上不显著
小结：t统计量检验显著性原理
如果H0成立， P{｜t｜>t /2}＝ {｜t｜>t /2}是小 概率事件，如果该事 件在一次抽样中就出 现，说明假设H0值得 怀疑，应当拒绝H0
／ 2
／ 2
0
-t／2
拒绝H0
是总体未知的特征， 而且永远不会确定的 知道它们。但可以做 出假设，然后通过统 计推断来检验假设
4.2.1 定理及概念
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第4章 多元回归分析：推断
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
OLS估计量的抽样分布 检验对单个总体参数的假设：t检验 置信区间 检验关于参数的一个线性组合的假设 对多个线性约束的检验：F检验 报告回归结果
回归分析是要通过样本所估计的参数来代 替总体的真实参数，或者说是用样本回归 线代替总体回归线。 尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重 复抽样，参数的估计值的期望（均值）就等 于其总体的参数真值，但在一次抽样中，估 计值不一定就等于该真值。 那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值 的差异有多大，是否显著，这就需要进一步 进行统计检验。 主要包括拟合优度检验、变量的显著性检验 及参数的区间估计。
拒绝域
Example：小时工资方程
ˆ l o g ( w a g e ) 0 . 2 8 40 . 0 9 2 e d u c 0 . 0 0 4 1 e x p e r 0 . 0 2 2 t e n u r e ( 0 . 1 0 4 ) ( 0 . 0 0 7 ) ( 0 . 0 0 1 7 ) ( 0 . 0 0 3 ) n 5 2 6 , R 0 . 3 1 6
标准正态分布：Z=（Y-μ）/σ~N(0,1) χ2分布：X=∑Zi2~χn2
t分布：
F分布：
~tn
~Fk1，k2
ˆ ˆ ( ) / sd ( ) ~ N ( 0 , 1 ) j j j
SSR ~ 2 s ˆ
2 n2
s SST sˆ SST
2 x
SSR ~ tn2 2 s (n 2)
u~N ( 0 ,s )
4.1.2 经典线性模型假定
高斯—马尔科夫假定与正态分布假定一起被 称为经典线性模型假定
对参数而言为线性； 随机抽样性；条件均 值为0；不存在完全 共线性；同方差性 经典线性模型
总结经典线性模型假定的一种简洁方法：
在实际应用中，误差不一定具有正态性
例子：考虑劳动力市场上，工资与教育、 工作经历、在现任工作的任职年限的关系
4.1 OLS估计量的抽样分布
已经了解了OLS估计量的期望值和方差—— 有助描述OLS估计量的精密度 要进行统计推断，还需要知道估计量的抽样 分布
4.1.1 正态性假定
样本中自变量的值既定，因而OLS估计量 的抽样分布取决于误差分布 假定MLR.6 正态性 总体误差u独立于解释变量x1，x2，…，xk， 而且服从均值为零，方差为s2的正态分布： 2
工资不可能低于0 ， 何况有最低工资法 案——不具有正态 分布
对变量做一 个变换，比 如log
一般来讲，相对于很大的样本容量来讲，误差的非正态性算 不上一个严重的问题——目前，我们姑且认可正态性假定。
4.1.3 定理
ˆ ) V ar( j
s2
SSTj ( 1R2 j)
定理4.1 正态抽样分布 在经典线性假定下，给定自变量的样本值， 有
ˆ
2 x
~ tn2
所谓假设检验，就是事先对总体参数或总 体分布形式作出一个假设，然后利用样本信 息来判断原假设是否合理，即判断样本信息 与原假设是否有显著差异，从而决定是否接 受或否定原假设。 假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。 先假定原假设正确，然后根据样本信息， 观察由此假设而导致的结果是否合理，从而 判断是否接受原假设。 判断结果合理与否，是基于“小概率事件不 易发生”这一原理的。
n
2 S Tj (x x ) 其中，SSTj为xj的总样本变异 S ij j
因此，
i 1
ˆ ˆ ( ) / sd ( ) ~ N ( 0 , 1 ) j j j
证明：（仅证明β 1）
ˆ 1
rˆ y
i 1 n 2 ˆ r i1 i 1
n
i1 i
ˆi1ui 1 r
2 ˆ r i1 1 i1ui
ˆi1 r ˆ 可以看作是 u 的线性组合， 其中 i1 ，所以 1 i 2 ˆ ri1 根据 MLR .6，ui是服从正态分布的随机 变量， ˆ 也是服从正态分布的随 机变量。 所以
1
相互独立的正太随机变量的线性组合依然服从正态分布
如果在5%的显著性水平上拒绝H0并支持H1，则称 xj是统计显著的，否则称xj是统计上不显著的。
随着t分布的自由度逐渐变大，t分布会 接近标准的正态分布——df大于120， 就可-k-1=28，临 界值c=1.701
面积 =0.05
0
1.701
注意：
的任何线性组合也都是正态分布的。
{ }中的任何一个子集也都具有联合正态 分布。
4.2 检验对单个总体参数的假设：t检验
对总体模型中的某个参数的假设进行检验 总体模型： 假设它满足经典
y x x x u( 4 . 4 ) 0 1 1 2 2 k k
虚拟假设：
H : 0 0 j ( 4 . 6 )
兴趣所在。又叫 原假设，零假设
意味着控制了其他自变量后， xj对y没有任何局部效应。
回顾统计学中给出的正态总体的均值的假设检验 t统计量（或t比率）
j
ˆ j t ˆ ˆ) se( j
(4.7)
软件会给出
备择假设
4.2.2对立假设:单侧对立假设
2
ˆ ? H0 : exp er 0 ? H 0 : 0.0041 0
线性模型假定
研究如何检验那些有关某个特定的j的假设。
是总体未知的特征， 而且永远不会确定的 知道它们。但可以做 出假设，然后通过统 计推断来检验假设
4.2.1 定理及概念
定理 4.2 标准化估计量的t分布
在经典线性模型假定下，有
式中，k+1为总体模型中未知参数的个数。
证明：
正态分布：Y~N(μ,σ2)
H : 0 1 j ( 4 . 8 )
并不是不关心j<0 的情形——只是基 于经济理论，对于 该研究，排除了 j<0的可能
临界值——根据显著 性水平和自由度决定 （查表可得G.2）
拒绝法则： 在 t
ˆ
j
c
(4 .9 )
时，H0在某一显著性水平上被拒绝并支持H1
在虚拟假设正确时，
错误拒绝它的概率
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
OLS估计量的抽样分布 检验对单个总体参数的假设：t检验 置信区间 检验关于参数的一个线性组合的假设 对多个线性约束的检验：F检验 报告回归结果
回归分析是要通过样本所估计的参数来代 替总体的真实参数，或者说是用样本回归 线代替总体回归线。 尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重 复抽样，参数的估计值的期望（均值）就等 于其总体的参数真值，但在一次抽样中，估 计值不一定就等于该真值。 那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值 的差异有多大，是否显著，这就需要进一步 进行统计检验。 主要包括拟合优度检验、变量的显著性检验 及参数的区间估计。
拒绝域
Example：小时工资方程
ˆ l o g ( w a g e ) 0 . 2 8 40 . 0 9 2 e d u c 0 . 0 0 4 1 e x p e r 0 . 0 2 2 t e n u r e ( 0 . 1 0 4 ) ( 0 . 0 0 7 ) ( 0 . 0 0 1 7 ) ( 0 . 0 0 3 ) n 5 2 6 , R 0 . 3 1 6
标准正态分布：Z=（Y-μ）/σ~N(0,1) χ2分布：X=∑Zi2~χn2
t分布：
F分布：
~tn
~Fk1，k2
ˆ ˆ ( ) / sd ( ) ~ N ( 0 , 1 ) j j j
SSR ~ 2 s ˆ
2 n2
s SST sˆ SST
2 x
SSR ~ tn2 2 s (n 2)
u~N ( 0 ,s )
4.1.2 经典线性模型假定
高斯—马尔科夫假定与正态分布假定一起被 称为经典线性模型假定
对参数而言为线性； 随机抽样性；条件均 值为0；不存在完全 共线性；同方差性 经典线性模型
总结经典线性模型假定的一种简洁方法：
在实际应用中，误差不一定具有正态性
例子：考虑劳动力市场上，工资与教育、 工作经历、在现任工作的任职年限的关系
4.1 OLS估计量的抽样分布
已经了解了OLS估计量的期望值和方差—— 有助描述OLS估计量的精密度 要进行统计推断，还需要知道估计量的抽样 分布
4.1.1 正态性假定
样本中自变量的值既定，因而OLS估计量 的抽样分布取决于误差分布 假定MLR.6 正态性 总体误差u独立于解释变量x1，x2，…，xk， 而且服从均值为零，方差为s2的正态分布： 2
工资不可能低于0 ， 何况有最低工资法 案——不具有正态 分布
对变量做一 个变换，比 如log
一般来讲，相对于很大的样本容量来讲，误差的非正态性算 不上一个严重的问题——目前，我们姑且认可正态性假定。
4.1.3 定理
ˆ ) V ar( j
s2
SSTj ( 1R2 j)
定理4.1 正态抽样分布 在经典线性假定下，给定自变量的样本值， 有
ˆ
2 x
~ tn2
所谓假设检验，就是事先对总体参数或总 体分布形式作出一个假设，然后利用样本信 息来判断原假设是否合理，即判断样本信息 与原假设是否有显著差异，从而决定是否接 受或否定原假设。 假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。 先假定原假设正确，然后根据样本信息， 观察由此假设而导致的结果是否合理，从而 判断是否接受原假设。 判断结果合理与否，是基于“小概率事件不 易发生”这一原理的。
n
2 S Tj (x x ) 其中，SSTj为xj的总样本变异 S ij j
因此，
i 1
ˆ ˆ ( ) / sd ( ) ~ N ( 0 , 1 ) j j j
证明：（仅证明β 1）
ˆ 1
rˆ y
i 1 n 2 ˆ r i1 i 1
n
i1 i
ˆi1ui 1 r
2 ˆ r i1 1 i1ui
ˆi1 r ˆ 可以看作是 u 的线性组合， 其中 i1 ，所以 1 i 2 ˆ ri1 根据 MLR .6，ui是服从正态分布的随机 变量， ˆ 也是服从正态分布的随 机变量。 所以
1
相互独立的正太随机变量的线性组合依然服从正态分布
如果在5%的显著性水平上拒绝H0并支持H1，则称 xj是统计显著的，否则称xj是统计上不显著的。
随着t分布的自由度逐渐变大，t分布会 接近标准的正态分布——df大于120， 就可-k-1=28，临 界值c=1.701
面积 =0.05
0
1.701
注意：
的任何线性组合也都是正态分布的。
{ }中的任何一个子集也都具有联合正态 分布。
4.2 检验对单个总体参数的假设：t检验
对总体模型中的某个参数的假设进行检验 总体模型： 假设它满足经典
y x x x u( 4 . 4 ) 0 1 1 2 2 k k
虚拟假设：
H : 0 0 j ( 4 . 6 )
兴趣所在。又叫 原假设，零假设
意味着控制了其他自变量后， xj对y没有任何局部效应。
回顾统计学中给出的正态总体的均值的假设检验 t统计量（或t比率）
j
ˆ j t ˆ ˆ) se( j
(4.7)
软件会给出
备择假设
4.2.2对立假设:单侧对立假设
2
ˆ ? H0 : exp er 0 ? H 0 : 0.0041 0
线性模型假定
研究如何检验那些有关某个特定的j的假设。
是总体未知的特征， 而且永远不会确定的 知道它们。但可以做 出假设，然后通过统 计推断来检验假设
4.2.1 定理及概念
定理 4.2 标准化估计量的t分布
在经典线性模型假定下，有
式中，k+1为总体模型中未知参数的个数。
证明：
正态分布：Y~N(μ,σ2)
H : 0 1 j ( 4 . 8 )
并不是不关心j<0 的情形——只是基 于经济理论，对于 该研究，排除了 j<0的可能
临界值——根据显著 性水平和自由度决定 （查表可得G.2）
拒绝法则： 在 t
ˆ
j
c
(4 .9 )
时，H0在某一显著性水平上被拒绝并支持H1
在虚拟假设正确时，
错误拒绝它的概率