四多元回归分析推断
第四讲回归分析回归诊断.
看数据，一眼就能发现数据（5）其X3的 值突出的高。 然后再分析其背景
强影响点
数据集中的强影响点是指那些对统计量的 取值有非常大的影响力的点。在考虑强影 响点时，有几个基本问题需要考虑： 首先必须明确“是对哪个统计量的影响？” 例如，对线性回归模型所考虑的是对回归 系数的估计量的影响；不是对误差方差的 估计影响；或是对拟合优度统计量的影响 等等。分析目标不同，所考虑的影响亦有 所不同。
在另外一些情况下，异常点的出现是由于 人为差错或者仪器的故障所引起的。 在我们需要根据样本对模型进行参数估计 或者根据模型对将来进行预测与控制的时 候，异常点的出现会对我们的工作产生很 强的影响，这样的结果是令人怀疑的。 因此，异常点的研究受到了广大研究者的 重视，自Bernoulli首次提出了异常点的概念， 接下来对异常点的概念、类型以及处理问 题的讨论一直没有停止过。
其次，必须确定“度量影响的尺度是什么？”为 了定量地刻划影响的大小，迄今为止已提出多种 尺度，基于置信域的尺度，基于似然函数的尺度 等等。 在每一种类型中又可能有不同的统计量。每一种场合下较为有效。这一方面反映了度量影响问题 的复杂性，另一方面也说明了影响分析的研究在 统计诊断中是一个甚为活跃的议程。
对于由第三种成因引起的异常点，发现 之后可以进行删除，以免影响参数估计 等以后的工作效果。 另外一种方法就是对于异常点采取容忍 的态度，把整个数据集作为研究的基础， 对于一定比例的坏数据或者远离数据中 心的数据采取一定的容忍或适应政策
回归系数一般采用“最小二乘估计”（least squares estimator,LS estimator）求解，但是在应用中容易忽 视的问题是LS估计只有在数据满足相应条件的情况 下才会具有统计描述和推断的优良性质，如要求误 差服从正态分布、总体方差相同且相互独立等。 当实际数据没有近似满足这些假定时，就会出现一 些异常点（outliers）、杠杆点（leverage point）及影 响点(influential observations),使分析结果变得不可靠， 不能发现数据中的真实结构，从专业上难以解释结 果，甚至得到完全错误的结论。尤其是随着统计软 件的日渐普及，我们倾向于简单地将数据交给软件 来分析，而不注意具体方法的应用条件，尽管采用 了SAS、SPSS这些国际标准软件，但是输出结果有 时却与专业解释相悖。
伍德里奇《计量经济学导论》(第5版)笔记和课后习题详解
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计量经济 学
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内容摘要
本书是伍德里奇《计量经济学导论》（第5版）教材的配套电子书，主要包括以下内容：（1）整理名校笔记， 浓缩内容精华。每章的复习笔记以伍德里奇所著的《计量经济学导论》（第5版）为主，并结合国内外其他计量经 济学经典教材对各章的重难点进行了整理，因此，本书的内容几乎浓缩了经典教材的知识精华。（2）解析课后习 题，提供详尽答案。本书参考国外教材的英文答案和相关资料对每章的课后习题进行了详细的分析和解答。（3） 补充相关要点，强化专业知识。一般来说，国外英文教材的中译本不太符合中国学生的思维习惯，有些语言的表 述不清或条理性不强而给学习带来了不便，因此，对每章复习笔记的一些重要知识点和一些习题的解答，我们在 不违背原书原意的基础上结合其他相关经典教材进行了必要的整理和分析。本书特别适用于参加研究生入学考试 指定考研考博参考书目为伍德里奇所著的《计量经济学导论》的考生，也可供各大院校学习计量经济学的师生参 考。
讨
2.1复习笔记 2.2课后习题详解
3.1复习笔记 3.2课后习题详解
4.1复习笔记 4.2课后习题详解
5.1复习笔记 5.2课后习题详解
6.1复习笔记 6.2课后习题详解
7.1复习笔记 7.2课后习题详解
多元回归分析原理
多元回归分析原理多元回归模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xk是自变量，β0、β1、β2、..、βk是模型参数，ε是误差项。
1.模型假设：多元回归模型基于一系列假设，包括线性关系、常数方差、误差项具有正态分布、误差项之间相互独立等。
这些假设为模型的参数估计和统计推断提供了基础。
2.参数估计：多元回归模型的参数估计采用最小二乘估计法，即通过最小化实际观测值与模型预测值之间的残差平方和来确定参数的取值。
参数估计求解具有闭式解，可以通过矩阵运算快速得到。
3. 模型评估：建立多元回归模型后，需要对模型进行评估，判断模型的拟合程度和预测能力。
常用的评估指标包括决定系数(R-squared)、调整决定系数(adjusted R-squared)、残差分析、F检验和t检验等。
4.假设检验：在多元回归分析中，可以对回归方程中每一个自变量的系数进行显著性检验，以判断自变量是否对因变量有显著影响。
常用的假设检验方法包括F检验和t检验。
5.多重共线性：多元回归分析中常常面临多重共线性的问题，即自变量之间存在高度相关性。
多重共线性会导致参数估计不准确、系数解释困难等问题。
对于存在多重共线性的情况，可以通过变量选择、主成分分析等方法处理。
6.模型改进：如果模型表现不佳，可以通过多种方法对模型进行改进。
常用的改进方法包括变量选择、非线性变换、交互作用项加入等。
多元回归分析具有广泛的应用领域，包括经济学、金融学、社会科学、医学科学等。
它可以帮助我们理解和预测各种复杂现象，为决策提供科学依据。
然而，多元回归分析也存在一些局限性，例如对数据的要求较高、假设前提较严格、模型解释力有限等。
因此，在实际应用中要注意适当选择适合的回归模型，并且结合领域知识和实际情况进行分析和解释。
第四章多元回归分析：推断
受教育年限与每小时工资 yˆ 0.0144 0.7241x
如果受教育年限的单位为月
yˆ 0.0144 (0.7241/12)(12x) 0.0144 0.0603z
如果受教育年限的单位为日 yˆ 0.0144 (0.7241/ 365)(365x) 0.0144 0.0020w
se(ˆ)=se(ˆ ˆ)= Var(ˆ) Var(ˆ)+2Cov(ˆ, ˆ)
能否直接将作为模型参数进行估计？
= + = -
原模型变换为:
ln Q=lnA+lnK+(-)lnL+u
即：
lnQ=lnA+ln(K/L)+lnL+u
若定义参数：
= +-1
原假设变为标准的显著性检验：
H0： =0
H0：j=0
H1： j0
相应的检验为双侧检验（two-tailed test) 单侧备择假设：
H0：j=0
或者
H1： j>0
H0：j=0
H1： j<0
相应的检验为单侧检验（one-tailed test)
➢ 双侧检验
若原假设成立：
j=0
tˆ j
ˆ j j se(ˆ j )
ˆ j se(ˆ
j
受约束模型，即认为原假设成立时的模型：
ln(salary)=0+1 years+2gamesyr+u
若原假设真的成立，即 3= 4= 5=，0 不受约束模 型和受约束模型的估计结果应该差异不大，两者的残差平 方和（SSR）应该比较接近
若 tˆj t/2(n k 1)，拒绝H0，xj对y的影响是统计显著的。 若 tˆj t/2(n k 1)，不能拒绝H0，xj对y的影响统计上不显著。
第4章 多元回归分析：推断
ˆ ~ Normal[ ,Var ( ˆ )] j j j ˆ ) 在第 3 章[方程(3.51)]中给出。因此， 其中 Var ( j ˆ ) / sd ( ˆ ) ~ Normal(0,1) (可以写成 ˆ 给定附录 B 中正态分布随机变量的性质， 证明定理(4.1)并不困难。 每个 j j
log( wage) 0 1educ 2 exp er 3tenure u.
虚拟假设 H0： 2 =0 意味着，只要对教育程度和现职任期进行了解释，工作年数(exper)对小时工资就没有 影响。这是一个有经济意义的假设。如果它是正确的，那就意味着，一个人在现任职之前的工作经历并不 会影响工资。如果 2 >0，则以前的工作经历会提高生产力，并因此提高工资。 你可能记得，在统计学教程中，学过对正态总体的均值进行假设检验的入门知识。 （附录 C 复习了这部 分内容。 ）在多元回归背景下检验(4.4)的过程与此十分类似。虽然困难的部分在于得到系数估计值、标准误 和临界值，但多数工作都可以由计量软件自动完成。我们的任务是，了解如何用回归结果来检验我们关心 的假设。 我们用来检验(4.4)(相对任何一个对立假设)的统计量被称为 j 的“所谓”t 统计量(tstatistic)或“所谓” t 比率(t ratio)，并被定义为
为 nk1 的 t 分布，并没有加深多少我们的见识。本质上讲，对它的证明表明，(4.3)可写成标准正态随机变
ˆ ) / sd ( ˆ ) 与 ˆ / 的平方根之比。 ˆ / 量 ( 可以证明二者是独立的， 而且 (n k 1) j j j
2 2
2
2
2 ~ n k 1 。
那我们就必然假定了 MLR.3 和 MLR.5。 为了强调我们现在所做的假定比以前多， 我们将使用从假定 MLR.1 到假定 MLR.6 的全套假定。 就横截面回归中的应用而言，从假定 MLR.1 到假定 MLR.6 这六个假定被称为经典线性模型(CLM)假 定(classical linear model assumptions)。于是我们将这六个假定下的模型称为经典线性模型 (classical linear model)。最好认为 CLM 假定包括了所有的高斯-马尔科夫假定，再加上误差正态分布的假定。
多元回归分析的关键要点
多元回归分析的关键要点多元回归分析是一种常用的统计分析方法，用于研究多个自变量对一个因变量的影响程度和关系。
在进行多元回归分析时，有一些关键要点需要注意和掌握。
本文将介绍多元回归分析的关键要点，包括模型设定、变量选择、模型检验和解释结果等方面。
一、模型设定在进行多元回归分析之前，首先需要设定一个合适的模型。
模型设定包括确定因变量和自变量，以及确定模型的形式。
在选择因变量时，需要明确研究的目的和问题，选择与问题相关的变量作为因变量。
在选择自变量时，需要考虑自变量与因变量之间的理论联系和实际可操作性，选择与因变量相关的自变量。
模型的形式可以是线性模型、非线性模型或者其他形式的模型，根据实际情况选择合适的模型形式。
二、变量选择在进行多元回归分析时，变量选择是非常重要的一步。
变量选择的目的是从众多自变量中选择出对因变量有显著影响的变量，排除对因变量没有显著影响的变量。
变量选择可以采用逐步回归法、前向选择法、后向选择法等方法。
逐步回归法是一种常用的变量选择方法，它通过逐步添加和删除自变量，选择出对因变量有显著影响的自变量。
三、模型检验在进行多元回归分析后，需要对模型进行检验，以评估模型的拟合程度和稳定性。
常用的模型检验方法包括残差分析、方差分析、显著性检验等。
残差分析可以用来检验模型的拟合程度，通过观察残差的分布和模式，判断模型是否合理。
方差分析可以用来检验模型的显著性，通过计算F值或者t值，判断模型的显著性。
显著性检验可以用来检验模型中各个自变量的显著性，通过计算p值，判断自变量是否对因变量有显著影响。
四、解释结果在进行多元回归分析后，需要对结果进行解释和说明。
解释结果包括解释模型的系数、解释模型的拟合程度和解释模型的显著性。
解释模型的系数可以通过计算回归系数的大小和方向，判断自变量对因变量的影响程度和方向。
解释模型的拟合程度可以通过计算决定系数R^2，判断模型对观测数据的拟合程度。
解释模型的显著性可以通过计算p 值，判断模型的显著性。
统计学中的多元回归分析
统计学中的多元回归分析统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而多元回归分析是其中一种常用的方法。
多元回归分析是一种统计技术，用于探索和解释多个自变量与一个或多个因变量之间的关系。
在这篇文章中，我们将深入介绍多元回归分析的概念、原理和应用。
一、概述多元回归分析是通过建立多个自变量与一个或多个因变量之间的线性关系，来描述和预测数据的统计技术。
与简单线性回归分析不同，多元回归分析可以考虑多个自变量对因变量的影响，更贴近实际问题的复杂性。
二、原理在多元回归分析中，我们通过最小二乘法来估计回归系数，以找到最好的拟合线性模型。
这一方法的核心思想是，找到一条线（或超平面），使得每个数据点到该线的距离之和最小。
三、多元回归方程多元回归方程可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε，其中Y表示因变量，X1至Xn表示自变量，β0至βn表示回归系数，ε表示误差项。
通过估计回归系数，我们可以推断自变量对因变量的影响程度，并进行预测。
四、假设检验在多元回归分析中，我们还可以进行各种假设检验，来验证回归模型的有效性。
常见的假设检验包括回归系数的显著性检验、回归模型的整体拟合优度检验等。
这些检验可以帮助我们评估回归模型的可靠性和适用性。
五、变量选择在多元回归分析中，选择适当的自变量对建立有效的回归模型至关重要。
变量选择方法包括前向选择、后向选择和逐步回归等。
通过这些方法，我们可以筛选出对因变量具有显著影响的自变量，提高回归模型的有效性。
六、应用领域多元回归分析在各个领域都得到广泛应用。
例如，在经济学中，多元回归分析可以用于预测和解释经济指标之间的关系；在医学研究中，多元回归分析可以用于探索各种因素对疾病发生和治疗效果的影响；在市场营销中，多元回归分析可以用于预测销售量并解释市场需求的变化等。
七、总结多元回归分析是统计学中常用的方法之一，通过建立多个自变量与一个或多个因变量之间的线性关系，帮助我们解释和预测数据。
计量经济学4 多元回归分析：推断
1.701
拒绝域
Example：小时工资方程
ˆ ) 0.284 0.092educ 0.0041exp er 0.022tenure log( wage (0.104) (0.007) n 526, R 0.316
2
(0.0017)
(0.003)
标准误
ˆ ? H0 : exp er 0 ? H 0 : 0.0041 0
4.2.3 双侧对立假设
H1 : j 0 (4.12)
当经济理论（或常识）没有很好的说明j的 符号时，这是一个恰当的对立假设。即便知 道j在对立假设中的符号，采取双侧检验也 是明智的——避免根据回归方程中参数估计 值来提出对立假设。
双尾检验的拒绝法则：
tˆ c
j
(4.13)
如果在5%的显著性水平上拒绝H0并支持H1，则称 xj是统计显著的，否则称xj是统计上不显著的。
随着t分布的自由度逐渐变大，t分布会 接近标准的正态分布——df大于120， 就可以使用标准正态分布的临界值。
例子：5%的显著性水平，df=n-k-1=28，临 界值c=1.701
面积 =0.05
0
在显著性水 平是1%时 统计上显著
在显著性水 平是5%时 统计上不显著
小结：t统计量检验显著性原理
如果H0成立， P{｜t｜>t /2}＝ {｜t｜>t /2}是小 概率事件，如果该事 件在一次抽样中就出 现，说明假设H0值得 怀疑，应当拒绝H0
／ 2
／ 2
0
-t／2
拒绝H0
是总体未知的特征， 而且永远不会确定的 知道它们。但可以做 出假设，然后通过统 计推断来检验假设
4.2.1 定理及概念
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R 2 0.0654
• Log(enroll)系数估计量的p值为0.0681，在10%的 显著性水平上我们可以拒绝零假设 H0 : enroll 0 从而支持对立假设 H1 : enroll 0
检验斜率的其他假设
• 尽管检验参数是否为零是最常见的假设，但是还 是有时候希望检验参数是否等于其他常数。此时 虚拟假设为
式中，k+1是总体模型
^
^
y 0 1x1 2 x2 中未知参数个数。
k xk u
单侧检验和双侧检验
• 以小时工资方程为例。利用数据WAGE1.RAW，得到如下 估计方程
log( wage) 0.284 0.092educ 0.0041exp er 0.022tenure
H0 : j a j
t
• 相应的t统计量为
j aj
se( j )
^
^
• 下面以两个例子来说明这种检验方法。
校园犯罪与注册人数
• 考虑大学校园内犯罪次数（crime)和学生注册人数的一个简 单模型
log(crime) 0 1 log(enroll ) u
• 利用美国1992年97个大学和学院的数据，针对 1 1 来检验 1 1 。数据来源于联邦调查局的《统 一犯罪报告》。回归结果如下：
j ~ Normal ( j ,Var ( j ))
^
^
因此
( j j ) / sd ( j ) ~ Normal (0,1)
^ ^
检验对单个总体参数的假设：t检验
• 定理4.2 在CLM假定MLR1—MLR6下，有
( j j ) / se( j ) ~ tnk 1
log( price) 0 1 log(nox) 2 log(dist )
3rooms 4 stratio u
• 我们的假设如下： H0 : 1 1, H1 : exp er 1
• 利用HPRICE2.RAW中数据，估计模型为
log( price) 11.08 0.954log(nox) 0.134log(dist ) (0.043) (0.117) (0.32)
（3）H0 : exp er 0, H1 : exp er 0
拒绝；
• 下面这个例子说明，有的时候改变模型设定 会改变一个自变量的显著性。 • 一种观点认为，在所有其他条件相同的情况 下，小学校的学生比大学校的学生情况要好 一些。利用数据文件MEAP93.RAW。被解 释变量是数学测验（math10)成绩，学校规 模由注册人数(enroll)来度量。另外我们还控 制其他两个因素：平均教师工资（totcomp) 和平均每千名学生拥有的教师数量（staff). 前者是对教师质量的一种度量，后者大致度 量了学生所受关注程度。
^
0.255rooms 0.52stratio
R 2 0.581 • 零假设对应的t统计量为（-0.954+1)/0.117=0.393
(0.019)
(0.006)
对经典假设用语的一个提醒
• 当 H 0 未被拒绝时，我们喜欢说“在x%的显
著性水平上不能被拒绝”，而不是说“我们在 x%的显著性水平上接受
• 虚拟假设是 H0 : enroll 0 ，而对立假设是 H1 : enroll 0
• 估计方程（标准误在括号中）是
math10 2.274 0.00046totcomp 0.048staff 0.00020enroll (0.040) (6.113) (0.00010) (0.00022)
H 0 ”。
检验关于参数的一个线性组合的假设
• 我们利用一个简单模型来说明这个方法如何使用： 比较两年制大专教育和四年制本科教育（大学教育） 的回报（Kane & Rouse,1995)。基本模型如下
OLS估计量的抽样分布
• 假定MLR6（正态性） 总体误差 u 独立于解释变量 x1 , x2 , , xk ，而且服从均值为零和方差为 2的正态分布，即 u ~ N (0, 2 )
就横截面回归中的应用而言，这6个假定被称为经典 线性模型（CLM，classical linear model）假定 . 总结CLM总体假定的一个简洁方法是：
(0.104)
(0.007)
பைடு நூலகம்
~
(0.0017)
(0.003)
R2 0.316 • 针对exper对log(wage)的影响，考察下面三种检验： （1）H0 : exp er 0, H1 : exp er 0 拒绝零假设；
（2）H0 : exp er 0, H1 : exp er 0 不拒绝；
^
R 2 0.0541 • 由回归结果的p值0.3592可知，我们不能拒绝零假 设。
• 为了解释函数形式对我们已有结论的影响，我们将 自变量都取对数后再进行回归。结果如下：
math10 207.66 21.155log(totcomp ) 3.98log( staff ) 1.268log(enroll )
y | x ~ Normal (0 1x1 2 x2 k xk , 2 )
问题
• 假设独立于解释变量，而且以相同概率取 值-2、-1、0、1、2。这样会违背高斯—马 尔可夫假定吗？会违背CLM假定吗？ • 还能举出一些例子吗？
• 定理4.1(正态抽样分布） 在CLM假定MLR1—MLR6下，给定自变量的样 本值，有
log(crime) 6.63 1.27 log(enroll ) (1.03) (0.11)
^
R2 0.585
• t值为（1.27-1)/0.11=2.45大于显著性水平为5%的单侧检验 临界值1.66，从而我们可以拒绝零假设支持备择假设。
住房价格和空气质量
• 对于一个由波士顿地区506个社区组成的样本， 我们估计一个联系社区中平均住房价格（price) 与社区各种特征的模型：nox表示空气中氧化亚 氨的含量；dist表示该社区相距五个商业中心的 加权距离；rooms表示该社区平均每套住房的房 间数；而stratio则为该社区学校的平均学生—教 师比。总体模型如下：