船舶静力学

1.1 浮体形状的描述

为了准确计算浮体的静水力特性，需要对浮体的外表面进行准确的描述。一般情况下，对于浮体的外表面是不规则曲面，很难用统一的函数形式来描述。在工程实践中。通常采用数值的方式给出浮体的近似外形，通常采用的方法有切片法和面元法两种。切片法采用一族（等距）平行平面和曲面相交，将曲面的形状用截交线的形式给出。面元法则将曲面分割成若干互不重叠的完全覆盖曲面的单元曲面，每个单元曲面用平面或样条曲面来近似，这样，若给出了每个单元曲面的顶点位置，则曲面的位置就确定了。切片法比较适合于工程设计，面元法则更适合于数值计算。

1.2 阿基米德定理

浮体浮于水面时，浮体的湿表面受到垂直表面向内的静水压力的作用。所有静水压力的合力表现为浮体所受的浮力。

在大地坐标系下对浮体的受力进行分析。根据帕斯卡定理，静水压力和水的深度成正比，若水的密度为ρ，重力加速度为g ，则物体表面任意一点的压力为：

???>≤-=000

0z p z gz p p ρ

（0.1）

图1.5 浮体的静水压力

图1.6 浮力微元做功

在物体表面对压力进行积分，可得到物体所受的浮力。物体表面的静水压力是垂直于物面并指向物体内部的，取n 为物体的单位外法线方向，其中大气压为常数，在闭曲面上的积分为零，积分项只剩下湿表面上的相对压力项，最后利用高速定理可将曲面积分转换为体积分：

()k k k n n B ?≡?===-=????????

g dV g dS gz dS p W

B

S S ρρρ

（0.2）

z

其中S W 是浮体和水的接触面，?是浮体水下部分的排水体积，?=?g ρ为浮体的排水量。 同样也可以获得浮力对坐标原点的矩为：

()()()()k

j i j i r k n r n r M ??+=-=?-=?=?-=??????????????

?

?

c c S S y x gxdV

gydV dV

gz dS gz dS p W

B

ρρρρ （0.3）

其中

?????=

xdV x c 1，?????

=ydV y c 1

为水下体积的形心纵坐标和横坐标。 综上所述，浮体的浮力仅取决于浮体水下部分的形状，浮力的大小等于物体排开水的

重量，浮力的作用线通过水下体积的形心。（阿基米德定理）

下面考虑物体逐渐浸入水中时浮力所做的功。在物体上取一底面积为dxdy 的铅直微柱体，在微柱体浸入水中的过程中，若柱体浸深为h ，相对压力做功为

gdxdy h dS gz gzdSdz dW h

h

B ρρρ2

2

1

2

2

-=-=-=--?

（0.4）

对于整个浮体，浮力做的功为：

()??

-=W

S B dxdy y x gz W 2

,2

ρ

（0.5）

利用高斯定理，将上式转化为体积分，

()c S B z g gzdV dV gz z dS y x gz W W

?≡=???

?

????=?????

?

?=??????????ρρρρ22,2

2

n k

（0.6）

其中

????

?=

zdV z c 1

（0.7）

是水下部分体积的形心。由此可见，浸入过程中浮力做的功等于浮体当前排水量乘以浮心深度。由于浮力是保守力，浮力做的负功可以看做是系统势能的增量，因此可以定义浮力势

c B z g P ?-=ρ

（0.8）

由于浸入过程中，浮体的重心也会下降，考虑浮体的重力势后，整个系统的势能可定义为：

)(c g z z g P -?=ρ

（0.9）

注意到，上述整个推导过程都是基于大地坐标系进行的，z 轴方向始终是铅垂方向。上式表明：浮体的势能等于排水量乘以浮心到重心的铅垂方向距离。

1.3 浮体的浮态

浮体的浮力仅取决于水下部分形状。而与浮体在水平面上的位置无关，因此浮体在水平面上的运动（纵荡、横档、首摇）不会对浮体的静水力特性产生影响。从平衡和稳定性的角度来说，静水中的浮体在水平面自由度上没有回复力，在不考虑水动力的情况下，任意大小的力都能使浮体在水平面内改变位置，当外力消失后，浮体也不会回到原来位置。但是在垂直面的自由度上，由于浮体位置的变化带来了浮体水下体积的改变，因此浮体在垂直面上的三个自由度上具有回复力。着也是船舶与海洋工程静力学研究的关键问题之一。

浮体水下部分的形状和体积可以由三个垂直面自由度的位移（吃水、横倾、纵倾）来唯一确定。为了研究方便，通常在联体坐标系中下定义浮体浮态的三个参数：

吃水T 定义为静水面上各点在联体坐标系中的垂向坐标值F z 。若静水面在联体坐标系中的坐标为()F F F z y x ,,，则定义()F F y x ,处得吃水为F z 。

横倾角φ定义为联体坐标系x 轴方向的角位移。 纵倾角θ定义为联体坐标系y 轴方向的角位移。

浮体的浮态可用横倾角φ、和纵倾角θ和特定参考点处的吃水T(如联体坐标系坐标原点处的吃水)等三个参数来确定。

将横倾角φ和倾角θ都为零的浮态定义为正浮状态。正浮状态可用吃水T 来描述。 将横倾角φ为零的浮态定义为纵倾状态，纵倾状态可用吃水T 和纵倾角θ来描述 将纵倾角φ为零的浮态定义为横倾状态，横倾状态可用吃水T 和横倾角φ来描述 当浮体的横倾角φ和倾角θ都不为零的状态称为任意浮态，任意浮态需要用吃水T 、横倾角φ和纵倾角θ三个参数来描述。

1.4 浮体在静水中的平衡 1.4.1 浮体平衡方程

浮体在水中处于平衡态时，浮体所受的合外力为零。（为了方便起见，在浮体上的任意垂向载荷都等效为浮体的重力和外力矩的组合），在大地坐标系下，浮体的平衡方程为：

)(0=??-+==-?=∑∑k r

r M M G

B

W F （0.10）

其中,M 为外力矩。展开后得：

(

)

(

)

G B

G B G y G G G B G x x x M y y M W

-?=-?-==? （0.11）

（1.29）和（1.30）中，上标G 表示是在大地坐标系中的分量，以区别于联体坐标系。 若浮体的联体坐标系相对于大地坐标系的角位移为()0,,θφ，将大地坐标系中的坐标替换为联体坐标系中的坐标，则平衡方程可改写为：

()()()()()φ

φφθφθθsin cos /cos sin sin sin cos /G B G B G x G B G B G B G y z z y y M z z y y x x M W

-+--=?-+-+-=?=? （0.12）

在（1.31）式中，力矩项仍沿用了大地坐标系中的分量形式。从式中可以看出，在任意状态下浮体的平衡方程中存在纵倾和横倾的耦合项。若浮体的横摇角φ很小时，纵倾和横倾方程可以解耦为：

()()()()φ

φθθsin cos /sin cos /G B G B G x G B G B G y z z y y M z z x x M W

-+--=?-+-=?=? （0.13）

1.4.2 浮态变化对浮力和浮心位置的影响

静水面与浮体的截面称为水线面。在联体坐标系下，若浮体绕水线面上的任意一点

()c c c T y x ,,旋转，则水线面方程为：

()()()φθθφθcos cos cos sin sin 0c S c S c S T z y y x x -+-+--=

（0.14）

整理后得：

()

()φφ

θ

tan cos tan c S c S S y y x x T z ---+= （0.15）

将浮体处于正浮状态时的水线面定义为正浮水线面S W0：c T z =。正浮水线面S W0的面积为

??=

0W S W dxdy A

（0.16）

正浮水线面的形心

??=

001

W S W F xdxdy A x （0.17）

??=

001

W S W F ydxdy A y

（0.18）

假设正浮水线面附近浮体的外表面都与正浮水线面垂直，（当浮体的倾角较小时，这样

的假定带来的误差很小。）则浮体的浮力可以用两个部分来表示，第一部分是正浮状态时的浮力，第二部分是正浮水线和倾斜水线间的浮力。

在正浮水线以下部分体积的排水量和复兴位置分别为：（z

()()000?==??g dz z A g T C

B

T z

W c ρρ

（0.19）

浮心位置：

()()??=c

B

T z W F B dz z A z x x 0000

1 （0.20）

()()??=

c

B T z W F B dz z A z y y 000

01 （0.21）

()??=c

B

T z W B dz z zA z 000

1 （0.22）

正浮水线和倾斜水线之间部分：

()()()???????

?---=

?C W T S c c dxdy y y x x 0tan cos tan 1φφθ （0.23）

倾斜后的形心位置：

()()()???

?????????????---+??+?=??C W T S c c B B dxdy y y x x x x x 0tan cos tan 10010φφθ （0.24）

()()()??

?

?????????????---+??+?=??C W T S c c B B dxdy y y x x y y y 0tan cos tan 10010φφθ （0.25）

()()()??

?

?????????????---+?+??+?=??C W T S c c c B B dxdy y y x x T z z 02

10010tan cos tan 211φφθ （0.26）

1.4.3 等体积倾斜过程

通常情况下，浮体在外力矩作用下倾斜时，排水量保持不变，因此有：

0=???

φ

；0=???θ （0.27）

由于：

()()()()()()()()

()()??????---+

?=?????

?---+?=?+?=?C W C W C W T S c T S c c T S c c c c dxdy

y y dxdy x x T dxdy y y x x T T 000tan cos tan tan cos tan 0010φφθ

φφθ （0.28）

因此在微幅等体积倾斜过程中，必然有：

()()

00=-??C

W T S c

dxdy x x （0.29） ()()

00=-??C

W T S c

dxdy y y （0.30）

因此有：F c x x =，F c y y =。

上述结论也可推广到一般情况。也就是说，当浮体在外力矩作用下发生等体积微幅倾

斜时，浮体旋转轴必定通过当前水线面的漂心位置。

在等体积微幅倾斜情况下，任意浮态的浮心位置为：

()()()()φ

φθφφθtan cos tan tan cos tan 10000?

-?+=???

???????---?+=????F xy

F yy B T S F T S F B B I

I

x dxdy y y x dxdy x x x x x C W C W （0.31）

()()()()φ

φθφφθtan cos tan tan cos tan 100?

-?+=??

?

???????---?+=????F

xx

F xy

B T S F T S F B B I I

y dxdy y y y dxdy x x y y y C F C F （0.32）

()()()φφφθφθφφθ2

2

202

0tan 2tan cos tan cos tan 2tan cos tan 21?

+?-?+=??

????---?+=??F

xx F xy

F yy B T S F F B B I I I

z dxdy y y x x z z C F （0.33）

（1.50）~（1.52）中：

()()

()()

()()

()

()

()

W

F T S s s s T S s s F

T S s s s T S s

s F s

F

T S s s F s

s T S s s F s F yy A x dy dx x dy dx x dy dx x dy dx x x x dy dx x x x dy dx x x I C F C F C F C

F C

F C F 2

2

2

2

2

-=

-=

---=-=

????????????

（0.34）

()()

()()

()()

()()

()

W

F T S s s s T S s s F

T S s s s T S s

s F s

F

T S s s F s

s T S s s F s F xx A y dy dx y dy dx y dy dx y dy dx y y y dy dx y y y dy dx y y I C F C F C F C

F C

F C F 2

2

2

2

2

-=

-=

---=-=

????????????

（0.35）

()()()

()()

()()

()

()

()

W

F F T S s

s

s

s T S s

s

F

F T S s

s

s

s T S s

s F s

F

T S s s F s

s

T S s

s F s F s

F

xy A y x dy dx y x dy dx y x dy dx y x dy dx y y x dy dx y y x dy dx y y x x I C

F C

F C

F C

F C

F C

F -=

-=

---=--=

???????????? （0.36）

将（1.50）~（1.52）代入平衡方程（1.31）得：

()()()()

θ

φφφθφφφφφφθφθφ

φφθφφtan tan 1sin cos tan 2tan 211cos sin tan 2tan cos tan cos tan 2cos tan cos tan sin cos 22220022200+-???? ???+??? ??+?+-?+-?=??

????????+-?+?

?????-?--?+-?-=F xy F yy F xx G B G B F xx F xy F yy F

xx F xy G B G B G x I I I z z y y I I I I I z z y y M （0.37）

()()()[]

()()()[]()()()θ

φθφφθφφφ

θθφθφφφθφθφθφφθθφφθφθφθθφθφθθcos tan sin sin cos 22tan 1cos cos sin sin cos cos sin tan 2tan cos tan cos tan 2sin sin tan cos tan cos tan cos tan cos sin sin sin cos cos sin sin sin cos 2

200022

2000F xy F xx F yy G B G B G B F xx F xy F yy F xx F xy F xy F yy G B G B G B G B G B G B G y I I I z z y y x x I I I I I I I z z y y x x z z y y x x M -???

??????-???? ??+?+-?+-?+-?=??

????????+-+?

?????-+??????-+-+-+-?=-+-+-?= （0.38）

对于通常的海上浮式结构，设计状态是无外力矩作用时的平衡状态，因此有：

()00=-?G B y y （0.39） ()00=-?G B x x

（0.40）

另外，当倾斜角度很小时，φsin 和θsin 为小量，（1.56）和（1.57）式中略去高阶量后

得：

θφsin sin 0F

xy F

xx G B G

x

I I z z M -?

??? ???+-?= （0.41）

()φθsin sin 0F

xy F

yy G B G x I I z z M -???

??????+-?=

（0.42）

写成矩阵形式为：

()???

? ?????????

?

???? ??--+-?=???? ??θφsin sin 0F yy F xy F

xy

F xx

G B G x G

x I I I I z z M M I （0.43）

（1.60）和（1.61）中，含有F

xy I 的项代表了纵倾和横倾之间的耦合项，当坐标轴和水线面的惯性主轴平行时，交叉二阶矩F xy I 为零，（1.60）和（1.61）可进一步简化为：

φφsin sin 0x F

xx

G B G

x

GM I z z M ?≡???? ???+-?=

（0.44）

()θθsin sin 0y F

yy G B G

x GM I z z M ?≡???

??????+-?=

（0.45）

在（1.63）和（1.64）中，

?

+-=F xx

G B x I z z GM 0

（0.46）

和

?

+

-=F yy

G B y I z z GM 0 （0.47）

为常数。当x GM 和y 大于零时，回复力矩为正，当外力矩消失后，浮体可以回到正浮状态；当x GM 和y GM 小于零时，回复力矩为负，当外力矩消失后，浮体会继续倾斜。因此x GM 和y GM 可作为浮体小角度倾斜时的稳定性判据，被称为稳心高。

第1章 近似计算方法

在工程实践中，曲面的形状通常采用数值的方式给出，因此在计算在计算物体的体积、形心以及惯性矩时通常采用数值积分的方式来计算面积、体积、形心和惯性矩等几何参数。几乎所有的数值积分都可以在定积分：

()?=1

x x dx x y I

（1.1）

的基础上通过扩展后得到。（2.1）式中，分段连续函数()x y 可以看做是一条分段连续的曲线，积分I 则可看做是曲线和x 轴在区间[]10,x x 内围成的面积。不论是是什么函数形式或函数具体代表了什么物理含义，在没有特殊要求的情况下，都可以作为一个整体来对待。因此下面从曲面面积的角度来推导定积分（2.1）的数值积分方法，其结论是通用的。

2.1 梯形法

如图1.5所示，曲线和x 轴之间的面积可用积分表示：

?=4

x x ydx A

（1.2）

在曲线方程未知的情况下，不能直接通过积分的手段获得精确的面积，只能采用数值的方法来得到面积的近似解。

在已知曲线上有限个离散点坐标，并将曲线用以离散点为顶点的折线来代替，则可将整个曲线下的图形看作若干个梯形的组合。若离散点的x 坐标是均匀分布的，相邻两点的间距为l ，各节点依次编号为0，1，2， …，N 。各节点对应的y 坐标为：y 0，y 1，y 2，…,y N 。梯形组的面积和为：

l y y y l y y A N N

i k N

k k k T ??

? ??+-=??? ??+=∑∑==-220011

(1.3)

将曲线下面积近似成梯形组的面积，曲线下面积

图1.5

l y ydx A N i k x x ??

?

??-≈=∑?=ε04

(1.4)

其中20N

y y +=ε为修正量，∑=N i k y 0

为虽有节点纵坐标的和。

2.2 辛普生法

梯形法采用一系列梯形的面积和来近似曲线下的面积，该方法误差较大，为了提高计算精度，

可以用高阶曲线来代替原曲线，用高阶曲线下的面积来近似原曲线下的面积。

新普生法采用高阶抛物线来代替原曲线。其中采用二次抛物线的称为辛普生第一法，采用三次抛物线的称为新普生第二法。

2.2.1 辛普生第一法

新普生第一法采用二次抛物线代替原曲线，二次抛物线方程为：

c bx ax y ++=2

(1.5)

含有三个待定系数，因此需要连续三个节点的坐标值来确定抛物线方程的三个系数。若节点分布是等间距的，节点间距为l ，取任意三个连续的节点1,,1+-i i i ，其纵坐标分别为11,,+-i i i y y y ，设抛物线方程为：

112)()(+-<<+-+-=i i i i x x x c x x b x x a y

(1.6)

抛物线下的面积为：

[

]

cl l a x x c x x b x x a dx c x x b x x a A i i i i x

x i i i x x i i 23

2)()(2)(3)()(3

2

32

1

1

1

1

+=

?

?????-+-+-=+-+-=+-+-?

(1.7)

根据三个节点的纵坐标值，可得到如下方程

c bl al y i +-=-21 (1.8) c y i =

(1.9) c bl al y i ++=+21

(1.10)

根据（1.39）式可得

11222+-+-=i i i y y y al

(1.11)

112-+-=i i y y bl

(1.12) i y c =

(1.13)

将(1.40)式带入（1.38）式得：

l y y y l y l y y y A i i i i i i i 3

42321

111+-+-++=+-+=

(1.14)

由于新普生第一法一次计算三个连续节点间两块曲边梯形的面积，一般要求曲线的等分数为偶数

2N 。对于图1.5所示的连续曲线，曲线下面积

)42...2424(3

3

4.....3434212224321021222432210N N N N

N N y y y y y y y y l

l

y y y l y y y l y y y A ++++++++=+++++++++≈

---- (1.15)

2.2.2 新普生第二法

新普生第二法采用三次抛物线代替原曲线，三次抛物线方程为：

d cx bx ax y +++=23

(1.16)

含有四个待定系数，因此需要连续四个节点的坐标值来确定抛物线方程的系数。若节点分布是等间距的，节点间距为l ，取任意三个连续的节点2,1,,1++-i i i i ，其纵坐标分别为

211,,,++-i i i i y y y y ，设抛物线方程为：

212

122

132

1)()()(+-+

++<<+-+-+-=i i i i i x x x d

x

x c x

x b x

x a y

(1.17)

抛物线下的面积为：

dl bl

dx d x x c x x b x x a A i i x x i i i 34

9)()()(3

21

2213212

1+=

??????+-+-+-=?+-+++

(1.18)

根据四个节点的纵坐标值，可得到如下方程

d l c l b l a y i +??

? ??-??? ??+??? ??-=-2323232

31

(1.19)

d l c l b l a y i +???

??-??? ??+??? ??-=2222

3

(1.20)

d l c l b l a y i +??

? ??+??? ??+??? ??=+2222

3

1

(1.21)

d L c l b l a y i +??

? ??+??? ??+??? ??=+2323232

32

(1.22)

（1.46A ）+（1.46D ）得：

d l b y y i i 22322

2

1+??

?

??=++-

(1.23)

(1.46B ）+（1.46C ）得：

d l b y y i i 2222

1

+??

?

??=++

(1.24)

（1.47A ）-（1.47B ）式得

()4

1212++-+-+=

i i i i y y y y bl

(1.25)

[9?(1.47B)-(1.47A)]/16得：

()()

16

9211+-++-+=

i i i i y y y y d

(1.26)

将（1.48）式和（1.49）式带入（1.45）式得：

()()()[]2112111213338

31693449349++-+-+++-+++=+-+?

++-+?=+=i i i i i i i i i i i i y y y y l

y y y y l y y y y l dl bl A (1.27) 由于新普生第二法一次计算四个连续节点间三块曲边梯形的面积，一般要求曲线的等分数为3N 。对于图0.5所示的连续曲线，曲线下面积

)332...233233(8

331323336543210N N N N y y y y y y y y y y y l

A ++++++++++≈

---

（1.28）

2.2.3 单块面积的新普生法

新普生法第一（二）法要求曲线的分块数为2（3）的倍数，如果分块数不符合要求，则数值积分公式不能直接应用，下面考虑单块面积的新普生公式。 用i-1，i ，i+1点构造二次曲线，然后求i-1，i 之间的面积。

()

()[]

cl bl al dx c x x b x x a A i

i x x i i

i i +-=+-+-=?

--2

32

32

,11

(1.29)

将（1.40）式带入（1.52）式得：

l y y y A i i i i i 12

851

1,1+---+=

(1.30)

同法可得：

l y y y A i i i i i 12

581

11,+-+++-=

(1.31)

对于任意分块数的曲线，若采用第一法积分，若分块数是奇数，则剩下的单块面积可用（1.53）或（1.54）来计算。若采用第二法积分，若剩下的分块时两块，则可采用第一法，若剩下一块，则可采用1.53）或（1.54）来计算。这样，对于任意分块数的情况，都可以得到合适的解决方案。

2.3 乞贝雪夫法

乞贝雪夫法应用不等间距坐标点的均值来计算曲线下的面积。用n 次抛物线代替实际曲线，采用不等间距的几个纵坐标的均值来计算抛物线下的面积。

∑=

+++=

=n

i i

n y n

L y y y n

L A 1

21)(

乞贝雪夫的各纵坐标关于积分区间的中心对称。将x 轴的坐标原点设在积分区间的中点处，下面来推导坐标点的位置。

当坐标点为偶数数时，设2N 次抛物线的的方程为：

222 (222223)

32

210L

x L L x a L x a L x a L x a a y N

N <<-

?

?

?

??++??? ??+??? ??++=

曲线下面积为：

?

??

?

?+++++=12...532420N a a a a L A N 坐标点位置取为：N x x x x ±±±±,...,,,321

则有：

??? ??++++=?

??

?

?+++++=∑∑∑===N

k N k N N k k N k k N x a x a x a Na N L N a a a a L A 122144122024202...222212 (53)

其中

L x x k

k 2=

。通过比较可得：

N

n n N

x

N

k n k

.,..,3,2,1121

2=+=

∑=

当坐标点数为奇数时，坐标点依次为：N x x x x ±±±=,...,,,0210，和偶数节点类似，坐标节点

应满足方程

()N

n n N x N

k n

k .,..,3,2,11221

212=++=∑=

2.4 高斯法

高斯法采用不等间距的纵坐标处函数值的加权平均值来计算曲线面积 ∑=+++≈?==n

i i i n n y p L y p y p y p L ydx A 12211)(

高斯法精确性较高，5个纵坐标的高斯法相当于9个纵坐标的辛氏法或9个纵坐标的乞贝雪夫法。

2.5 数值积分方法在面积和体积计算中的应用

1.7.1 面积、形心和惯性矩计算

1.7.1.1 水线面面积、型心和惯性矩的计算

在正浮状态，船舶的水线面通常是对称的船舶的水线面通常是对称的，在船舶型值表中通常给出某吃水处各站的半宽值。

例1.2 假设某船舶站距为l =7m ，某吃水处半宽水线如图（1.6）所示，表（1.1）给出了该半宽水线的型值，要求计算该水线面的面积、漂心和关于过漂心且平行于x 轴的轴的惯性矩I T 和关于过漂心且平行于y 轴的轴的惯性矩I L 。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

图1.6 某船半宽水线 表1.1 某船型值表

【分析】：设船舶的半宽为y(x)，则面积、漂心可按以下公式计算：

面积：?

-=2

/2

/)(2

L L dx x y A 注意，由于是半宽水线，水线面面积是积分值的2倍 静矩：?

-=2

/2

/)(2

L L dx x xy M

A M x f /=；0=f y 由于对称性，漂心的y 坐标为零

当漂心纵坐标未知时，平行于y 轴的中和轴位置未知，因此I L 可用平行轴公式计算：

纵倾惯性矩：22

/2

/22

2

f L L f yy L Ax ydx x Ax I I -=-=?

-

平行于x 轴的中和轴就是x 轴本身，因此

横倾惯性矩：???

--=

=2/2/3

2/2/)

(0

23

22

L L L L x y T dx y dydx y I 由于给出了各站的型值，因此实际计算采用数值积分的方法进行。为了利用梯形法或新普生法，

首先将被积函数看做x 的函数：

32)(;)(;)(;)(y x u y x x u xy x u y x u T L M A ====

第k 站处被积函数的值分别为：Tk Lk Mk Ak u u u u ,,,，若数值积分公式为：

∑?

=-==N

k k k L L u c l dx x u I 0

2

/2

/)(

上式中，k c 为积分系数，取决于具体积分方法，对于梯形法1,5.00===k N c c c ，对于新普生第一法则有3

2

;34,3121220====+k k n c c c c ，n=N/2，N 为偶数。这样，面积、静矩和惯性矩数值积分公式分别为：

水线面面积：∑∑∑===≡==N

k Ak N k k k N

k Ak

k h l y c l u

c l

A 0

222

∑∑∑∑∑=====≡-=-===N

k Mk

N

k k

k N

k k k N

k k k k N

k Mk k h

l

y

m k c l

ly m k c l y x c l u c l M 0

2

2

2)(2)(222

[]∑∑∑∑∑=====≡-=-===N

k Lk

N

k k k N

k k k N k k k k N k Lk k yy h

l

y m k c l

y l m k c l y x c l u c l I 0

3

2

30

2

2

2)

(2)(222

∑∑∑===≡==N k Tk N k k k N k Tk k T h l y c l u c l I 0

03

0323232

上面各式中，m 为x 轴零点所在的站号，在本例题中，N=10，m=5。注意到各项求和函数的关系：

()()()Ak

k k Mk Mk

k k Lk h m k y m k c h h m k y m k c h -=-=-=-=)(2

为了方面起见，将m k -称为力臂，A h 称做面积函数，M h 称做静矩函数，L h 和T h 称做惯性矩矩函数。通常数值积分采用列表的方法进行计算。

【解】用新普生法第一法列表求解

面积：987.555140.119372=??

?=A m 2 静矩：()070.650900.193

1722

-=-???=M m 3

漂心：170.1/-==A M x f m 惯性矩：440.153348620.6703

1

723

=??

?=yy I m 4 纵倾惯性矩：()374.152588170.1987.555440.1533482

2=-?-=-=f yy L Ax I I m 4 横倾惯性矩：250.1348730.8663

1

732=???=

T I m 4 【注意】面积、静矩和惯性矩计算中的系数1/3是因为列表计算时，积分系数取1，4，2，4….

的缘故。

本题也可用梯形法或新普生第二法进行计算，只需更换相应的积分系数即可。

1.7.1.2 横剖面面积计算和形心的计算

例1.3 某船横剖面在各水线处半宽见表1.3，水线间距为1m ，设计水线为5m ， 求 a. 设计水线处横剖面水线部分的面积和形心。

b. 各水线处横剖面面积和形心（计算横剖面面积——吃水曲线）。

面积 14.46

静矩

45.03 形心纵坐标z=M/A

3.11

B ．计算不同吃水时的面积和面积关于基平面的矩 面积：?

=

i

T i ydz T A 0

2)(；关于基平面的矩?=i

T i oy yzdz T M 0

2)(

由于积分上限是变化的，可采用变上限积分的列表算法

变上线积分求水线下横剖面面积

∑==02k k

k y c T A δ∑==5

22k k k k

y c T M δ

1.7.1.3 扇形面积计算（见教材）

1.7.3 体积和形心的计算

1.7.3.1 按水线面面积计算排水体积和形心

按水线面面积计算排水体积和形心的思想是：先将排水体积用平行于水线面的平面切成若干薄片，每个薄片当作柱体看待。这样，排水体积可按下式计算：

?=?i

T w i dz z A T 0

)()(

任意吃水z 处的薄片的形心位置为)2/,0,(dz z x f +，则排水体积的形心为：

???

=?=

i

i T oy W T w f b dz z M dz z A z x x 00)(1)()(1 0=b y

??=i

T w b dz z zA z 0

)(1

其中?

-=

2

/2

/2L L oy W ydx M 为水线面关于y 轴的静矩。

对于浮心纵坐标b z ，还可以按排水体积曲线进行计算：

()??????-=???????-??=??=?=

i i i

i i T i T T T T w b dz T dz z zd dz z zA z 0

00

00111)(1 在船舶静力学中，排水体积、浮心随吃水的变化曲线是非常重要的静水力曲线，可采用变上

限积分的方法获得排水体积、浮心位置曲线。

例：

1.7.3.2 按横剖面计算排水体积和形心

按横剖面计算排水体积和形心的方法是将排水体积用平行于中站面的平面截成若干柱体，任意底面在x 处的柱体，其形心为：()s z dx x ,0,2/+，其中s z 为横剖面的形心纵坐标，这样，排水体积可按下式进行计算：

?

-=?2

/2

/)(L L s dx x A

?-?

=

2

/2/)(1L L s b dx x xA x 0=b y

??--?=?=2

/2

/2/2/1)(1L L oy S L L s s b dx M dx x A z z

其中?

=)

(0

2x T oy S yzdz M 为横剖面水线部分关于基平面的静矩。

例：

2.6 数值积分的精度和提高精度的方法 2.6.1 增加中间坐标

增加纵坐标的数目，可相应提高精确度，增加工作量○

1选择船长20站，吃水7~9等分，计算结果允许的误差，但首尾末端、舭部曲率变化大，为提高计算的精确度增加中间坐标或编点修正。

4242

3

(3

)4(32121

112

10y y y y y y T

y y y ++++++

++δ

2.6.2 2端点坐标修正

三种情况：

① 船体曲线在端点上，即00

=y ，用梯形法计算少算OCA 面积

〃修正方法：目测法

② 船体曲线超过端点

直接按0y 计算少计算GED 面积 〃修正方法：目测法