2017年全国二卷理科数学高考真题及详解(全word版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试

■ —

理科数学

本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘

贴在条形码区域内。 ’ 犬汀 2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀

2x 3y 3 0,

5. 设x 、y 满足约束条件2x 3y 3 0,则z 2x y 的最小值是

y 3 0,

A .

15

B.

9

C. 1

D. 9

6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同

的安排方式共有

一、选择题：本题共12小题，每小题 有一项是符合题目要求的 1. 口

1 i

A . 1 2i ] J

2. 设集合A 1,2,4，

A . 1, 3

lx

iX

B. 1 B x 2 B.. 5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

Air*

D. 2 i

F vCvf

1 ,则B

C. 1,3

D. 1,5

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题： 远望巍巍塔七层，红光点点倍加

2i 4x 1,0

C. 2 i

0，若

A B

增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯,

且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯

A . 12 种 B. 18 种 C. 24 种 D. 36 种

1 \

7

. 8. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩 .老师说：你们四人中 有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲 的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则 A .乙可以知道四人的成绩 C .乙、丁可以知道对方的成绩 执行右面的程序框图，如果输入的 2 F \ 3

4 5 A . B . C . D . r

- .根据以上信息，则 B. 丁可以知道四人的成绩 D .乙、丁可以知道自己的成绩 1，则输出的S I

2 I \ f \

■ o VO 开始 输入a S=S+a K ■A

卜 9. x 2 若双曲线C :二

a 2 y_

b 2 长为2，则C 的离心率为 1(a 0, b B.

、

、

3

10 .已知直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中， 线AB 1与BC 1所成角的余弦值为

八 3

A .— 2试 2是函数f (x) 1

B . ------ 5 (x 2

ax B. 2e 3 0)的一条渐近线被圆(x

ABC 11 .若 x A . 12 .已知ABC 是边长为2的等边三角形, 最小值是 C

.

120 , AB 2,

BC 输出S 开始

a= - a K=K+ 1 4所截得的弦

2一 3 3

CC 1

1,则异面直

D.

n 、、

3 D .— 3 - 1)e x 的极值点，贝U f (x)的极小值为 3

C. 5e

D. 1

C . 、10 5 C. 5e 3

P 为平面ABC 内一点，贝U PA (PB PC)的 Y B. 3

2 、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到二等品件数，则 DX ____________ . 函数 f(x) sin 2x V 3cosx -(x [0,—])的最大值是 _____________________ . 4 2 C. D. 1 13 . 14 . 等差数列a n 的前n 项和为S n ，a 3 3，S 4 10，则 2

16 .已知F 是抛物线C: y 8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N . 若M 为

FN 的中点，贝U FN _________________ .

15 . k 1 S

k

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17?21题为必

考题，每个试题考生都必须作答。第 22/23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17. （12 分）

ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,已知sin （A C ） 8sin 2B .

2

（1）求 cosB ;

⑵若a c 6 , ABC 的面积为2，求b .

18. （12 分）

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了

kg ），其频率分布直方图如下

: （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记

50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ” ⑵填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 方法有关；

箱产量＜50kg :

箱产量》50kg 丁

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图, 到 0.01）.

附:

ME 9 2k) I o.oso ooio

Jt hl 3 841

6,635

%

n(ad bc)2

K 2

_ _______________ (a b)(c d)(a c)(b d)'

100个网箱，测量各箱水产品的产量（单

位:

（精确

A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 ，估计A 的概率； 99%的把握认为箱产量与养殖 0.001 1028

19. (12分)

如图，四棱锥P ABCD 中，侧面PAD 为等边三

角形且垂直于地面 ABCD , AB BC ' AD ,

2

BAD ABC 90 , E 是 PD 的中点.

(1)证明：直线CE //平面PAB ;

⑵点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45，求二面角M AB D 的余弦值?

20. (12分)

2 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C :― 戶'2 点

P 满足NP 2NM . (1)求点P 的轨迹方程；

⑵设点Q 在直线x 3上，且OP PQ C 的左焦点F ?

21. (12 分)

_ 2

已知函数 f(x) ax ax xlnx ，且 f (x) (1)求 a ；

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题

中任选一题作答。如果多做则按所做 的第一题计分。

22. ［选修4 4 :坐标系与参数方程］(10分) 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 G 的极坐标方程为 cos 4 .

(1) M 为曲线G 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|O M | |OP 16，求点P 的轨迹C 2

的直角坐标方程；

⑵设点A 的极坐标为(2，-)，点B 在曲线C 2上，求 OAB 面积的最大值?

3

5 :不等式选讲］(10分)

0，b 0, a 3 b 3 2.证明:

b)(a 5 直 b 5) 4;

b 、2.

y 2 1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，

1 .证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过

\

f (x 。)

(2)证明：f (x)存在唯一的极大值点

23.［选修4 已知a (1) (a (2) a

E

M X

A

A D

C

2

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理科数学参考答案

- > 比 p x

18. (1) 旧养殖法箱产量低于50kg 的频率为

(0.012 0.014

0.024 0.034 0.040) 5

新养殖法箱产量不低于50kg 的频率为

"J \W^

(0.068

0.046

0.010

0.008) 5卩 0.66，

而两种箱产量相互独立，则 P(A) 0.62 0.66 0.4092 . (2)由频率分布直方图可得列联表

、选择题 1.D 2.C

1 J

3.B

4.B

5.A

6.D KT AV

f \

7.D 8.B

9.A

10.C

11.A

12.B

、填空题 13. 1.96

14. 1

16. 6

三、解答题 17. (1) 由 A

B 得 sin B 8sin2

t ，即

B

cos 2 B

4 si n —，

2

1

，得 tanB

4

8 15

，

则有cosB

15 17

17，则 ％

(2)由(1)可知 sin B

a\ c 2

2ac cos B (a c)2

2ac

^acsin B 2 2，得 ac 17

7，

又b 2

r 30 ac 17

4，贝U b 2.

0.62，

1

则 K 2

200(62 66 34 38)2

伍705 6.635 ,

100 100 96 104

所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

(3)新养殖法箱产量低于50kg 的面积为 (0.004 0.020 0.044) 5 0.34 0.5 ,

产量低于55kg 的面积为(0.004

0.020

0.044

0.068) 5

0.68

0.5 ,

IT 丿

所以新养殖法箱产量的中位数估计值为

0.5 0.34 「

5

0.34

50 52.35 (kg ).

19. (1)取PA 中点F ，连结EF 、BF .因为E 为PD 中点，则

■ YI VL

EF ￡ 1AD .而由题可知

4

BC ￡-AD ，则EF /BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，所以 —2

—

EC 面 PAB , FB 面 PAB ，故 CE // 面 PAB .

(2)因为AB AD ，则以A 为坐标原点, AB 、AD 所在直线分别为 坐标系A xyz ，如图所示.

X 、 y 轴建立空间直角

取 AB 1，设 CM CP(0

A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), CP ( 1,0,3) , CM ( ,0,「3 )，可得点 M(1

,1,3 )，所以 BM ( ,1,3 ).

1)则得

P(0,，, 3)，则

取底面ABCD 的法向量为 Uf"

p?

'2

f ---------------------

2 ,则 B

M

m (x , y , z),

贝V cos

m, n

m|n

// FB .又

EC n (0,0,1)，则 cos BM ,n |

,3

2

1 3 2

sin 45，解得

H IE

,1,^).因为AB (1,0,0),设面MAB 的法向量为

2 x 0

0得

AB BM

.10

5故二面角

A ■ J

y 6z 0 2 2

炉 一

，取 z 2 得 m (0,

6,2),

M AB D 的余弦值为

-10 5

2 x 2

20. (1)设P(x , y)，则M(x,yy)，将点M 代入C 中得j 方程为x 2

y 2 2.

2

殳1，所以点P 的轨迹