集合常考题型分类简单练习
集合中的常考题型
一、集合中的常规考点
1、元素的互异性
求出参数范围忘记带回检验,导致增根
1、已知A={a+2,( a+1)2,a2+3a+3}且1€ A,求实数a 的值;
2
2、已知M={2, a, b} , N={2a, 2, b}且M=N 求a, b 的值.
2、集合的真子集、子集之间的关系
已知集合丛二匚家那么/的真子集的个数是( )
A. 15
B. 16
C. 3
D. 4
3、有限集之间的关系用韦恩图
1 、全集U={x|x<10 , x€ N } , A二U, B 二0且(C U B)n A={1,9} , A A B={3}, (C U A) n (C u
B)={4,6,7},求A、B。
4、无限集之间的关系用数轴
2、集合A={x||x-3| v a, a> 0} , B={x|x -3x+2 v 0},且B-A,则实数a 的取值范围是
5、集合之间的关系(在方程、不等式中的考查)
1、集合的关系判断中遗忘空集的情况
2、集合所表示的是点集还是数集(点集多从图形的角度去考虑)
3、集合中所涉及到的方程或不等式最高次数如果是字母要讨论0的情况
仁设集合A = x2—3x + 2 =, B = (1)若A B =「2二求实数a的值; (2)若A B = A,求实数a的取值范围若A B = ◎。 2、集合A ={x | ax -1 = 0} , B =| x2-3x 2 = 0』,且A U B = B ,求实数a 的值? 3、A - ;x, y | y2 = 4 ", B = ' x, y | x -3 ]亠〔y -4 ?二,其中r 0 , 若Ap] B = ?求r的取值范围。 、选择题 3 .已知集合|U ={2,0,1,5} I,集合|A={0,2}],则 |C u A | =( ) A.冋 B. 匹到 C. 墮 D. |{2,0,1,5} 4 .设集合A ={x||x -1 < 1}, B ={x|x2 -1 < 1},则|AU B= I( A. [—?,0] B .[—?“] C . [0,Q 7.若A = {x|x c1}, B = {x| x2+2x > 0〉,贝y| A c B~^ 10?已知集合A = {1,2,3,4,5 }, B= {135},则唧=() U =R ,集合A =(X 0 v x 兰2} E ={x X £1},则集合C U(A U B)= 6.设全集() A. 设集合 U ={1,2,3,4,5} A ={1,2,4} B ={2,5} ,则(C U A)UB = B .{2,3,5} C.笛D U 眾1,2,3,4] A叵 B. C. D. 5.集合 = &€N X W6},B=£E R A. (x|3< x <6〉 B {3,4,5} C .{x 3 v x < 6) D .{4,5,6} D . [-?,2] D. (-00,—2 Q(0,1 U ={1,2,3,4,5,6,7 }, A = {2,4,5,7},B={3,4,5}|,则|(C U A*C U B)=| () A. 9.若集合 {2,34,5,7 1,2,3,6,7 2 A ={x I x -7x 10 : 0} ,集合= {x| :::2x,则A U B =( ) (-1,5) (2,5) (2,3) 42,3,4,5 1 〈3,4,5,61 {3,4,5} |B ={2,4} 已知全集( ) ,贝((C U A)B=( ) A Q B = (). 可,则 w R x2- 3x > 已知集合 8. B .”4,51C 百{123,4,5,6,7,8 }A「1,2,3 ? 18 .若 A = J|X 2=1>, B = J I x 2-2x-3 = 0〔则 I A c B |=( ) A . ? B .阿 C .回 D .旦 19 .已知集合 A = v x £ ,则 () A. A A B=_ B.A U B=R C.B ? A D.A ? B 20 .已知集合 |A ={0,1,2}, B={x|x-2u 0} I ,则 B =() A.{0,1} B.{0,2} C.{1,2} D.{0,1,2} A. 「1,2,3? B. 竺 C ?空 D. 色 U ={o,1,2,3,4} ,集合 ?,则 C U A = (A)丽 13 .已知集合 (B )网,2,3” (C ) pb,1,2,3,4[ (D )卩0,2,3,4] M ={x|x 2 —x>0}, N ={0,1,2,3},则|(C u M )nN|=( ) A . {x|0 兰x 兰1} B . {0,1} C . {2,3} D . {1,2,3} A={x|x 2 -2x-3c0} 5 B ={x|log 2 x c2} ,则 Ap|B = A. (—1,4) B. (—1,3) C. (0,3) D. (0,4) 15 .已知集合 A={x|x>0}, B={x|-^—c0},则 AP| B 等于 -------- : ------- x _1 -------- (A ) (0,1) (B)(0^c) (C ) (q,1) (D ) (1g 16.已知集合 M ={x ||x —1|v 1},集合 N ={x |x 2 -2x <3},则 M cC R N = 已知集合 P =J| (x —3)(x — 6)兰 0x s Z , |Q ={5,7} 下列结论成立的是 A . Q 9P B P U Q F P"Q={5} 12 .已知全集 14 .已知集合 17 . A =[x|x + 2 > 0}t B - {x|y = , }, ______ 21 .设集合 ___________________ _______ _____ 迟—兰―则西色三I ( ) 22 .已知集合 ={x|x A. 仪 c l } B . {X |X A 1} C . {x |O c x c l ]| D 23 .已知集合 A = {x|x 2 _16 c0},B = {-5,0,l}则( ) B 9 A| C. A C B = {0,1} D. |A 9 B 24 .已知集合 A = t x \x 2 -x-2<0} , B = {x|y=l n(1 —x p ,则 A c B = 25 .已知集合 A = {x|x 2 —16 c0},B={—5,0,1〉则( ) 27.已知集合 A ={X |M^£0} , IB ={x|x_x 2 >0},则( ) x —3 ------------------------ 31.设集合 A ={1,2,3 },B ={2,5〉,则 |Ap|B=( ) X Z 2 < x <4t A = {1,0[ B = {0,1,2} ,则 (C U A) c B = AP1B = B D . AUB=(0,3) ( A 、阿 B 、卩-2,—1” C 、卩诃 D 、网,1,2彳 A . A . B 匸 A | C. AcB = {0,1 D. 26 .已知R 为实数集, A ={x|2x_3 <3x )j , B =(x| x 餐],则| A u B = A .「tx|x £2] B . p(x| x >-3】 C . p(x | 2 Ex v3 D . [R 29 .已知集合 A.[0 C . 2 30 .已知集合 A ={0,1, 2}, B={1, m}| .若 A" B = B A - \x | x 2 x - 2 :: 0』 B ={x I x A 0},则集合 I A P I B I 等于( A. {x|x >—2} B. C. 「x|x D. 「x|-2 :x 1 28 .设全集 U ,则实数i~m 的值是( B. D. 回或② 同或1或罔 B 第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. 1. 2.集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. 1.3.元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图: N *或N +表示正整数集,N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. 2. 集合间的基本关系 2.1.子集:一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ?B(或B ?A). 2.2.真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ,A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等:如果A ?B ,并且B ?A ,则A =B. 两集合相等:A =B ?? ??? ? A ? B ,A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性. 2.4.空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集.记作?. ?∈{?},??{?},0??,0?{?},0∈{0},??{0}. 3. 集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A∩B ,即A∩B ={x|x ∈A ,且x ∈B}. (2)并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ={x|x ∈A ,或x ∈B}. (3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作?U A ,即?U A ={x |x ∈U ,且x ?A }. 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”,集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质:A ?A ,??A ,A ∩B ?A ,A ∩B ?B . (2)交集的性质:A ∩A =A ,A ∩?=?,A ∩B =B ∩A . (3)并集的性质:A ∪B =B ∪A ,A ∪B ?A ,A ∪B ?B ,A ∪A =A ,A ∪?=?∪A =A . (4)补集的性质:A ∪?U A =U ,A ∩?U A =?,?U (?U A )=A ,?A A =?,?A ?=A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集,其中有2n -1个真子集,2n -1个非空子集. (6)等价关系:A ∩B =A ?A ?B ;A ∪B =A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( ) A .3 B .2 C .1 D .0 2. 已知a ,b ∈R ,若? ?? ? ??a ,b a ,1={a 2,a +b,0},则a 2 019+b 2 019的值为( ) A .1 B .0 C .-1 D .±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2+y 2=1上的点的集合,B 表示直线y =x 上的点的集合,直线y =x 与圆x 2+y 2=1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0,则b a =0,所以 b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1.又根据集合中元素的互异性可 知a =1应舍去,因此a =-1,故a 2 019+b 2 019=(-1)2 019+02 019=-1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意. [题组训练] 集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征: 例:1.下列各项中,不可以组成集合的是( ) A .所有的正数 B .等于2的数 C .接近于0的数 D .不等于0的偶数 例:下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合; (2)集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合; (3)36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素; (4)集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系:∈?或 集合与集合的关系=?或 例:下列式子中,正确的是( ) A .R R ∈+ B .{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C .空集是任何集合的真子集 D .{}φφ∈ 3、集合的子集:(必须会写出一个集合的所有子集) 例:若集合}8,7,6{=A ,则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1:已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2:已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< (1)求A ∩B ; (2)求(C U A )∪B 例3:已知{25}A x x =-≤≤,{121}B x m x m =+≤≤-,B A ?,求m 的取值范围 例4:某班有学生55人,其中体育爱好者43人,音乐爱好者34人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5:方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是( ) A .()5,4 B .()4,5- C .(){}4,5- D .(){}4,5- 第一章集合与常用逻辑用语 第一节集合 题型1-1 集合的基本概念 题型1-2 集合间的基本关系 题型1-3 集合的运算 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 题型1-4 四种命题及关系 题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型1-7 判断命题的真假 题型1-8 含有一个量词的命题的否定 题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围 第二章函数 第一节映射与函数 题型2-1 映射与函数的概念 题型2-2 同一函数的判断 题型2-3 函数解析式的求法 第二节函数的定义域与值域(最值) 题型2-4 函数定义域的求解 题型2-5 函数定义域的应用 题型2-6 函数值域的求解 第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性题型2-7 函数奇偶性的判断 题型2-8 函数单调性(区间)的判 断 题型2-9 函数周期性的判断 题型2-10 函数性质的综合应用 第四节二次函数 题型2-11 二次函数、一元二次方程、 二次不等式的关系 题型2-12 二次方程的实根分布及 条件 题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题 第五节指数与指数函数 题型2-14 指数运算及指数方程、指 数不等式 题型2-15 指数函数的图象及性质 题型2-16 指数函数中恒成立问题 第六节对数与对数函数 题型2-17 对数运算及对数方程、对 数不等式 题型2-18 对数函数的图象与性质 题型2-19 对数函数中恒成立问题 第七节幂函数 题型2-20 求幂函数的定义域 题型2-21 幂函数性质的综合应用 第八节函数的图象 题型2-22 判断函数的图象 题型2-23 函数图象的应用 第九节函数与方程 题型2-24 求函数的零点或零点所 在区间 题型2-25 利用函数的零点确定参 数的取值范围 题型2-26 方程根的个数与函数零 点的存在性问题 第十节函数综合 题型2-27 函数与数列的综合 题型2-28 函数与不等式的综合 题型2-29 函数中的信息题 第三章导数与定积分 第一节导数的概念与运算 题型3-1 导数的定义 题型3-2 求函数的导数 第二节导数的应用 题型3-3 利用原函数与导函数的关 系判断图像 题型3-4 利用导数求函数的单调性 和单调区间 题型3-5 函数的极值与最值的求解 题型3-6 已知函数在区间上单调或 不单调,求参数的取值范围 题型3-7 讨论含参函数的单调区间 题型3-8 利用导数研究函数图象的 复数高考题型归类解析 一、基本运算型 二、基本概念型 三、复数相等型 四、复数的几何意义型 练习: 1.如果复数z=1+ai满足条件|z|<2,那么实数a的取值 范围是[ ] A.() 22,22 - B.(-2,2) C.(-1,1) D.(3,3 - 2.在平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别表示0,3 +2i,-2+4i.则对角线CA → 所表示的复数的模为; 3.已知复数z1=i(1-i)2,|z|=1|z-z1|的取值范围 是; 五、技巧运算型 六、知识交汇型 七、轨迹方程型 练习: 1.已知复数z 满足|z |2-2|z |-3=0,则复数z 对应点的轨迹是( ) A .1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 2.如果复数z 满足|z +2i|+|z -2i|=4,那么|z +i +1|的最小值是( ) A.1 B. 2 C.2 D. 5 3.若|z -2|=|z +2|,则|z -1|的最小值是 . 复数高考题型归类解析 一、基本运算型 二、基本概念型 三、复数相等型 四、复数的几何意义型 练习: 1.如果复数z=1+ai满足条件|z|<2,那么实数a的取值 范围是[ ] A.() 22,22 - B.(-2,2) C.(-1,1) D.(3,3 - 2.在平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别表示0,3 +2i,-2+4i.则对角线CA → 所表示的复数的模为; 3.已知复数z1=i(1-i)2,|z|=1,则|z-z1|的最大值. 五、技巧运算型 六、知识交汇型 七、轨迹方程型 已知复数z 满足|z |2-2|z |-3=0,则复数z 对应点的轨迹是( ) A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 答案 A 解析 由题意可知(|z |-3)(|z |+1)=0, 即|z |=3或|z |=-1. ∵|z |≥0,∴|z |=3. ∴复数z 对应的轨迹是1个圆. 5.如果复数z 满足|z +2i|+|z -2i|=4,那么|z +i +1|的最 小值是( ) A.1 B. 2 C.2 D. 5 答案 A 解析 设复数-2i,2i ,-(1+i)在复平面内对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,因为|z +2i|+|z -2i|=4,Z 1Z 2=4,所以复数z 的几何意义为线段Z 1Z 2,如图所示,问题转化为:动点Z 在线段Z 1Z 2上移动,求ZZ 3的最小值. 因此作Z 3Z 0⊥Z 1Z 2于Z 0,则Z 3与Z 0的距离即为所求的最小值,Z 0Z 3=1.故选A. 8.若|z -2|=|z +2|,则|z -1|的最小值是 . 答案 1 解析 由|z -2|=|z +2|,知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(-2,0)距离相等的点,即虚轴.|z -1|表示z 对应的点与(1,0)的距离.∴|z -1|min =1. 12.集合M ={z ||z -1|≤1,z ∈C },N ={z ||z -1-i|=|z -2|,z ∈C },集合P =M ∩N . (1)指出集合P 在复平面上所表示的图形; (2)求集合P 中复数模的最大值和最小值. 解 (1)由|z -1|≤1可知,集合M 在复平面内所对应的点集是以点E (1,0)为圆心,以1为半径的圆的内部及边界;由|z -1-i|=|z -2|可知,集合N 在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ,因此集合P 是圆面截直线l 所得的一条线段AB ,如 图所示. 2021年高考文科数学《集合与简易逻辑》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 集合的交并补运算 例1 :已知集合{0,2}=A ,{21012}=--, ,,,B ,则A B =( ) A .{0,2} B .{1,2} C .{0} D .{21012}--, ,,, 【答案】A 【解析】由题意{0,2}A B =,故选A . 【易错点】交并不分 【思维点拨】概念的应用 例2已知集合{}1,3,5,7A =,{}2,3,4,5B =,则A B =( ) A .{3} B .{5} C .{3,5} D .{}1,2,3,4,5,7 【答案】C 【解析】因为{}1,3,5,7A =,{}2,3,4,5B =,所以{3,5}A B =,故选C . 【易错点】交并不分 【思维点拨】概念的应用 题型二 集合的交并补与不等式结合 例3:已知集合{|2}A x x =<,{320}B x =->,则( ) A .3{|}2A B x x =< B .A B =? C .3 {|}2 A B x x =< D .A B =R 【答案】A 【解析】∵3{|}2 B x x =<,∴3 {|}2 A B x x =<, 选A . 【易错点】不等式解错 【思维点拨】掌握常规不等式的解答 例4:设集合2 {|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则M N =( ) A .[0,1] B .(0,1] C .[0,1) D .(-∞,1] 2 【答案】A 【解析】∵{0,1}M =,{|01}N x x ≤=<,∴M N =[0,1]. 【易错点】方程解错,对数不等式不会解答 【思维点拨】基本函数和方程思想的掌握 题型三 四种命题的基本考查 例5:设m R ∈,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是 A .若方程20x x m +-=有实根,则0m > B .若方程20x x m +-=有实根,则 0m ≤ C .若方程20x x m +-=没有实根,则0m > D .若方程20x x m +-=没有实根,则0m ≤ 【答案】D 【解析】一个命题的逆否命题,要将原命题的条件、结论加以否定,并且加以互换,故选D . 【易错点】概念混淆 【思维点拨】加强对四种命题的强化 题型四 充要条件的判断 例6:设x ∈R ,则“38x >”是“||2x >” 的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由38x >,得2x >,由||2x >,得2x >或2x <-,故“3 8x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件,故选A . 【易错点】解不等式 【思维点拨】加强部分不等式的解答 例7:设a ,b ,c ,d 是非零实数,则“ad bc =”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】B 集合 【知识清单】 1.性质:确定性、互易性、无序性. 2.元素和集合的关系:属于“∈”、不属于“?”. 3.集合和集合的关系:子集(包含于“?”)、真子集(真包含于“≠ ?”). 4.集合子集个数=n 2;真子集个数=12-n . 5.交集:{}B x A x x B A ∈∈=且| 并集:{}B x A x x B A ∈∈=或| 补集:{}A x U x x A C U ?∈=且| 6.空集是任何非空集合的真子集;是任何集合的子集. 题型一、集合概念 解决此类型题要注意以下两点: ①要时刻不忘运用集合的性质,用的最多的就是互易性; ②元素与集合的对应,如数对应数集,点对应点集. 【No.1 定义&性质】 1.下列命题中正确的个数是( ) ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2- ②集合{} R x x y y ∈-=,1|2 与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3 分析:①中的式子是方程但不是一个函数,所以我们要求的解集不是x 的值所构 成的集合,而是x 和y 的值的集合,也就是一个点. 答案:A 详解:在①中方程022=++-y x 等价于? ??=+=-020 2y x ,即???-==22y x 。因此解集应为 (){}2,2-,错误; 在②中,由于集合{} R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ,所以当R x ∈时,112-≥-=x y .同理, {}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈,错误; 在③中,集合{}01|<-x x 即1 高中数学重点题型与思维方法归纳 一、集合、逻辑、函数、导数、定积分 1.集合的运算——①图示法P1 9;②验证法P111;③空集分类法P2 14;④转化法P14 2.子集(元素)个数——①列举法;②2n法P1 6;③转化法P125 8 3.充分必要条件——①大小法(小充分,大必要)P3 1;②推导法(推出充分被推必要互推充要)P3 3 4.命题的否定——①结论否定法;②全特互化法)P3 4 5.求定义域——①有意义法(具体函数或实际问题)P6 12;②整体不变法(抽象函数)P5 5 6.求值域——①图象法;②单调性法P5 8、P7 8;③反函数法;④分离常数法P12 13(1); ⑤配方法P10 13;⑥最值法 7.求最值——①函数值域法P7 8、P21 8、P86 13;②均值不等式法P11 4;③线性规划法; ④导数法P103 6;⑤转化法(立体与平面、同侧与异侧P67 5、P73 7、相离与相切P101 11) 8.求解析式——①换元法;②待定系数法P10 13(1);③构造方程法P6 13;④化归法P22 13 9.画图——①特殊点法P15 9;②变换图象法P15 8、P27 7;③假设验证法P15 6; ④奇偶分析法P15 9;⑤导数法(原增导在上,原减导在下)P103 3 10.零点或交点——①图象法P9 8;②零点交点转化法P18 11;③韦达定理法P17 8; ④解方程法P17 1、P17 10;⑤估算法P17 5;⑥导数法 11.一元二次方程根的分布——①图象法P67 9;②判别韦达法P9 9 12.单调性问题——①图象法P7 9;②复合法(同增异减)P9 11;③定义法; ④导数法P12 13、P101 10、P103 5、P103 9;⑤性质法 13.奇偶性问题——①特殊值法P7 6;②定义法P16 14(1);③化半法P8 13;④图象法P21 12 14.周期性问题——①图象法;②定义法P7 7;③三角公式法 15.对数计算——①逆运算转化法P13 3、P21 9;②化同法P13 5;③换底法 16.函数的应用——①列式法P19 4;②建模法P20 14、P64 14;图表法 17.求导数——①定义法P103 1;②公式法P101 2 18.求切线方程——①△=0法;②导数法P102 13、P104 11;③距离法(适用于圆) 19.求极值——①图象法P103 2;②导数法(左正右负极大值,左负右正极小值)P104 10、P104 13 20.求定积分或曲线围成面积——①图象法P105 11;②积分公式法P105 5;③概率法 二、三角函数、平面向量 1.三角函数符号(或角的象限)——①单位圆法P23 7;②πk2法P23 5 Rt法P25 2;②同角公式法 2.三角函数知一求余——①? 3.三角化简求值——①化切法P25 9;②化弦法;③1的代换P24 13;④和积互化P25 4; ⑤公式法P29 10;⑥换角法P30 13;⑦转化法(化同角、化同名、化同次)P25 8、P28 14 4.对称问题——①图象P21 12;②整体不变法;③公式法;④验证法P28 12 5.解三角形——①正弦定理P33 8;②余弦定理P33 9;③化边法P34 13;④化角法 6.平面向量的运算——①图解法P35 10、P97 9;②公式法P41 3;③坐标法P37 1、P41 10 7.向量平行(共线)问题——①成比例法P37 2;②公式法P35 2、P73 11、P99 7、12 8.向量垂直问题——①几何法P39 10;②公式法P39 7、P96 14 9.求夹角——①几何法P37 5;②公式法P41 11 10.求长度(模)——①平方法P37 9;②解三角形法P41 2 高中数学《集合》知识点归纳及题型练习 【知识点】 1.集合的三个特性:确定性,互异性,无序性 2.自然数集N ,正整数集*N 或N +,整数集Z ,有理数集Q ,实数集R 。 3.集合的三种表示方法:列举法,描述法,文氏图。 4.集合的分类:有限集,无限集,空集 5.子集:若a A ∈,则a B ∈,称为A 是B 的子集,记作:A B ?或B A ?, 读作:“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。 6.真子集:若A B ?且B A ?,则称集合A 与集合B 相等,记作:A B =; 若A B ?且A B ≠,则称集合A 是集合B 的真子集,记作: 【注意】空集φ是任何集合的真子集。 一个集合的子集个数为2n ,真子集个数为21n -,非空真子集个数为22n -。 7.补集:已知A U ?,由所有属于U 但不属于A 中的元素组成的集合称为A 的补 集,记作:U A e, 读作:A 在U 中的补集。即:{|,}U A x x U x A =∈?且e 8.交集:由两个集合中的公共元素组成的集合,即:{|}A B x x A x B =∈∈,且 9.并集:由两个集合中的所有元素组成的集合,即:{|}A B x x A x B =∈∈,或 10.集合的包含关系:A B ??A B A A B B =?= 题型1.集合性质的应用 1.判断能否构成集合:【根据集合的确定性】 (1)我国的所有直辖市; (2)我校的所有大树; (3)深圳机场学校的所有优秀学生; (4)深圳市的全体中学生; (5)不等式220x x ->的所有实数解; (6)所有的正三角形。 2.用,∈?填空:2 N , , -3 Z , , R ; 已知2{|20}A x x x =--=,则1 A ,2 A ,-1 A ,-2 A 。 集合知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、集合的有关概念 1.集合的含义与表示 某些指定对象的部分或全体构成一个集合.构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外,还可以是其他对象. 2.集合元素的特征 (1)确定性:集合中的元素必须是确定的,任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素. (2)互异性:集合中任何两个元素都是互不相同的,即相同元素在同一个集合中不能重复出现. (3)无序性:集合与其组成元素的顺序无关.如{}{},,,,a b c a c b =. 3.集合的常用表示法 集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法. 4.常用数集的表示 R 一实数集 Q 一有理数集 Z 一整数集 N 一自然数集* N 或N +一正整数集 C 一复数集 二、集合间的关系 1.元素与集合之间的关系 元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ?)两种. 空集:不含有任何元素的集合,记作?. 2.集合与集合之间的关系 (1)包含关系. 子集:如果对任意a A A B ∈?∈,则集合A 是集合B 的子集,记为A B ?或B A ?,显然A A ?.规定:A ??. (2)相等关系. 对于两个集合A 与B ,如果A B ?,同时B A ?,那么集合A 与B 相等,记作A B =. (3)真子集关系. 对于两个集合A 与B ,若A B ?,且存在b B ∈,但b A ?,则集合A 是集合B 的真子集,记作A B ü或 B A Y.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 三、集合的基本运算 集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算,如表11-所示. 集合题型归纳总结 题型一 集合的表示(列举法、描述法) 1. 下列说法:①集合{x ∈N|x 3 =x }用列举法表示为{-1,0,1}; ②实数集可以表示为{x |x 为所有实数}或{R};③方程组????? x +y =3x -y =-1的解集为{x =1,y =2}. 其中正确的有( ). A .3个 B .2 C .1个 D .0个 题型二 集合与集合的关系(子集) 1、已知集合A={x |x 个2-x -2<0},B={x |-1 ●高考明方向 1.了解集合的含义,元素与集合的属于关系; 能用列举法或描述法表示集合. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 了解全集与空集的含义. 3.理解并会求并集、交集、补集; 能用Venn图表达集合的关系与运算. ★备考知考情 对于本节的考查,一般以选择题或填空题形式出现,难度中低档. 命题的规律主要体现在集合与集合、元素与集合之间的关系以及集合 的交集、并集、补集的运算,同时注意以集合为工具,考查对集合语言、 集合思想的理解和运用,往往与映射、函数、方程、不等式等知识融合 在一起,体现出一种小题目综合化的特点. 在考查集合知识的同时突出考查准确使用数学语言能 力及用数形结合、分类讨论思想解决问题的能力; 以集合为载体考查对信息的收集、捕捉、加工能力. 一、知识梳理《名师一号》P1 知识点一元素与集合 某些指定的对象集在一起就成为一个集合.其中每个对象 叫做集合中的元素. 1、集合中的元素具有三个特性确定性、互异性和无序性. 2、集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种, 分别用∈和?来表示. 3、常见数集的符号表示: 4 还可以用区间来表示集合. 5、集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集 知识点二集合间的基本关系 知识点三集合的基本运算及性质 1.集合的基本运算 2.集合的运算性质 并集的性质:A∪φ=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A 交集的性质:A∩φ=φ;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B 补集的性质:A∪(?U A)=U;A∩(?U A)=φ;?U(?U A)=A [集合基本题型] 题型一:集合的判断 集合元素的特征: ⑴确定性特征:集合中的元素必须是明确的,不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。设集合A 给定,若有一具体对象x ,则x 要么是A 的元素,要么不是A 的元素,二者必居其一,且只居其一。 ⑵互异性特征:集合中的元素必须是互不相同的。设集合A 给定,A 的元素是指含于其中的互不相同的元素,相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。 例1、“①难解的题目;②方程012=+x ;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中,能组成集合的是()。 A .② B .①③ C .②④ D .①②④ 解析:解这类题目要从集合元素的特征-----确定性、互异性-----出发。 ①③④不符合集合元素的确定性特征。 答案:A 例2、下列命题正确的个数为…………………()。 ① 很小两实数可以构成集合; ② }1|{2-=x y y 与}1|),{(2-=x y y x 是同一集合 ③ 5.0,2 1,46,23,1-这些数组成的集合有5个数; ④ 集合},,0|),{(R y x xy y x ∈≤是指第二、四象限内的点集; A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 解析: ①中的元素不符合集合元素的确定性,不对; ②先看“|”左边描述的元素,第一个集合是函数12-=x y 的值域,第二个集合是点集,所以不是同一集合; ③根据集合元素的互异原则:5.02 1,4623=-=,所以集合有3个数,③不对; ④先看“|”左边描述的元素,集合是点集,再看“|”右边规定的元素的公共属性0≤xy ,第二、四象限内的点集的公共属性应为0 集合问题中常见易错点归类分析 有关集合问题,涉及范围广,内容多,难度大,题目灵活多变.初学时,由于未能真正理解集合的意义,性质,表示法或考虑问题不全,而造成错解.本文就常见易错点归纳如下: 1.代表元素意义不清致误 例1 设集合A ={(x , y )∣x +2 y =5},B ={(x , y )∣x -2 y =-3},求A I B . 错解: 由???-=-=+3252y x y x 得???==2 1y x 从而A I B ={1,2}. 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别,集合A 、B 中元素为点集, 所以A I B ={(1,2)} 例2 设集合A ={y ∣y =2x +1,x ∈R },B ={x ∣y =x +2},求A∩B. 错解: 显然A={y ∣y≥1}B={x ∣y≥2}.所以A ∩B=B . 分析 错因在于对集合中的代表元素不理解,集合A 中的代表元素是y ,从而A ={y∣y≥1},但集合B 中的元素为x , 所以B ={ x ∣x ≥0},故A ∩B=A . 变式:已知集合}1|{2+==x y y A ,集合}|{2y x y B ==,求B A I 解:}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ,R y x y B ===}|{2 }1|{≥=y y B A I 例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2 =--=x x x B ,判断A 与B 的关系。 错解:}32{,-==B A 分析:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程,可以是数,也可以是点,还可以是集合等等。集合A 中的元素属性是方程,集合B 中的元素属性是数,故A 与B 不具包含关系。 例4设B ={1,2},A ={x |x ?B },则A 与B 的关系是( ) A .A ? B B .B ?A C .A ∈B D .B ∈A 错解:B 分析:选D.∵B 的子集为{1},{2},{1,2},?, ∴A ={x|x ?B}={{1},{2},{1,2},?},从集合与集合的角度来看待A 与B ,集合A 的元素属性是集合,集合B 的元素属性是数,两者不具包含关系,故应从元素与集合的角度来看待B 与A,∴B ∈A. 评注:集合中的代表元素,反映了集合中的元素所具有的本质属性,解题时应认真领会,以防出错. 2 忽视集合中元素的互异性致错 例5 已知集合A={1,3,a },B={1,2a -a +1}, 且A ?B ,求a 的值. 错解:经过分析知,若2a -,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a .若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a .从而a =-1,1,2. 集合 【知识清单】 1.性质:确定性、互易性、无序性. 2.元素和集合的关系:属于“∈”、不属于“?”. 3.集合和集合的关系:子集(包含于“?”)、真子集(真包含于“≠ ?”). 4.集合子集个数=n 2;真子集个数=12-n . 5.交集:{}B x A x x B A ∈∈=且|I 并集:{}B x A x x B A ∈∈=或|Y 补集:{}A x U x x A C U ?∈=且| 6.空集是任何非空集合的真子集;是任何集合的子集. 题型一、集合概念 解决此类型题要注意以下两点: ①要时刻不忘运用集合的性质,用的最多的就是互易性; ②元素与集合的对应,如数对应数集,点对应点集. 【No.1 定义&性质】 1.下列命题中正确的个数是( ) ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2- ②集合{} R x x y y ∈-=,1|2与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3 分析:①中的式子是方程但不是一个函数,所以我们要求的解集不是x 的值所构 成的集合,而是x 和y 的值的集合,也就是一个点. 答案:A 详解:在①中方程022=++-y x 等价于? ??=+=-0202y x ,即???-==22y x 。因此解集应为(){}2,2-,错误; 在②中,由于集合{} R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ,所以当R x ∈时,112-≥-=x y .同理,{}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈,错误; 在③中,集合{}01|<-x x 即1 第一章 集合 第一节 集合的含义、表示及基本关系 练习一组 1.已知A ={1,2},B ={}|x x A ?,则集合A 与B 的关系为________. 解析:由集合B ={}|x x A ?知,B ={1,2}.答案:A =B 2.若{}2,|a a R x x N??,则实数a 的取值范围是________. 解析:由题意知,2x a £有解,故0a 3.答案:0a 3 3.已知集合A ={}2|21,y y x x x R =--?,集合B ={}|28x x -#,则集合A 与B 的关系是________. 解析:y =x 2-2x -1=(x -1)2-2≥-2,∴A ={y|y ≥-2},∴B A . 答案: B A 4.已知全集U =R ,则正确表示集合M ={-1,0,1}和N ={}2|0x x x +=关系的韦恩(Venn)图是________. 解析:由N={}2|0x x x +=,得N ={-1,0},则N M .答案:② 5知集合A ={}|5x x >,集合B ={}|x x a >,若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是________. 解析:命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件,∴A B ,∴a <5. 答案:a <5 6.已知m ∈A ,n ∈B ,且集合A ={x |x =2a ,a ∈Z },B ={x |x =2a +1,a ∈Z },又C ={x |x =4a +1,a ∈Z },判断m +n 属于哪一个集合? 解:∵m ∈A ,∴设m =2a 1,a 1∈Z ,又∵n ∈B ,∴设n =2a 2+1,a 2∈Z ,∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈Z ,∴m +n ∈B . 练习二组 1.设a ,b 都是非零实数,y =a |a |+b |b |+ab |ab | 可能取的值组成的集合是________. 解析:分四种情况:(1)a >0且b >0;(2)a >0且b <0;(3)a <0且b >0;(4)a <0且b <0,讨论得y =3或y =-1.答案:{3,-1} 2.已知集合A ={-1,3,2m -1},集合B ={3,m 2}.若B ?A ,则实数m =________. 解析:∵B ?A ,显然m 2≠-1且m 2≠3,故m 2=2m -1,即(m -1)2=0,∴m =1. 集合问题中常见易错点归类分析 有关集合问题,涉及范围广,内容多,难度大,题目灵活多变.初学时,由于未能真正理解集合的意义,性质,表示法或考虑问题不全,而造成错解.本文就常见易错点归纳如下: 1.代表元素意义不清致误 例1 设集合A ={(x ,y )∣x +2y =5},B ={(x ,y )∣x -2y =-3},求A I B . 错解: 由???-=-=+3252y x y x 得???==2 1y x 从而A I B ={1,2}. 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别,集合A 、B 中元素为点集, 所以A I B ={(1,2)} 例2 设集合A ={y ∣y =2x +1,x ∈R },B ={x ∣y =x +2},求A∩B. 错解: 显然A={y ∣y≥1}B={x ∣y≥2}.所以A ∩B=B . 分析 错因在于对集合中的代表元素不理解,集合A 中的代表元素是y ,从而A ={y∣y≥1},但集合B 中的元素为x , 所以B ={x ∣x ≥0},故A ∩B=A . 变式:已知集合}1|{2+==x y y A ,集合}|{2 y x y B ==,求B A I 解:}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ,R y x y B ===}|{2 }1|{≥=y y B A I 例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2=--=x x x B ,判断A 与B 的关系。 错解:}32{,-==B A 分析:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程,可以是数,也可以是点,还可以是集合等等。集合A 中的元素属性是方程,集合B 中的元素属性是数,故A 与B 不具包含关系。 例4设B ={1,2},A ={x |x ?B },则A 与B 的关系是( ) A .A ? B B .B ?A C .A ∈B D .B ∈A 错解:B 分析:选D.∵B 的子集为{1},{2},{1,2},?, ∴A ={x|x ?B}={{1},{2},{1,2},?},从集合与集合的角度来看待A 与B ,集合A 的元素属性是集合,集合B 的元素属性是数,两者不具包含关系,故应从元素与集合的角度来看待B 与A,∴B ∈A. 评注:集合中的代表元素,反映了集合中的元素所具有的本质属性,解题时应认真领会,以防出错. 2 忽视集合中元素的互异性致错 例5 已知集合A={1,3,a },B={1,2a -a +1}, 且A ?B ,求a 的值. 错解:经过分析知,若2a -,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a .若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a .从而a =-1,1,2.1.高考数学考点与题型全归纳——集合
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