线性回归分析练习题

§1回归分析

一、基础过关

1．下列变量之间的关系是函数关系的是() A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac

B．光照时间和果树亩产量

C．降雪量和交通事故发生率

D．每亩施用肥料量和粮食产量

2．在以下四个散点图中，

其中适用于作线性回归的散点图为()

A．①②B．①③C．②③D．③④

3．下列变量中，属于负相关的是() A．收入增加，储蓄额增加B．产量增加，生产费用增加

C．收入增加，支出增加D．价格下降，消费增加

4．已知对一组观察值(x i，y i)作出散点图后确定具有线性相关关系，若对于y＝bx＋a，求得b＝，x＝，y＝，则线性回归方程为

A．y＝＋B．y＝＋

C．y＝＋D．y＝＋

5．对于回归分析，下列说法错误的是()

A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由

自变量唯一确定

B ．线性相关系数可以是正的，也可以是负的

C ．回归分析中，如果r 2＝1，说明x 与y 之间完全相关

D ．样本相关系数r ∈(－1,1)

6． 下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归方程必过

( )

A.点(2,3)

B ．点,4)

C ．点,4)

D ．点,5)

7． 若线性回归方程中的回归系数b ＝0，则相关系数r ＝________. 二、能力提升

8． 若施化肥量x (kg)与小麦产量y (kg)之间的线性回归方程为y ＝250＋4x ，

当施化肥量为50 kg 时，预计小麦产量为________ kg.

9． 某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4

次试验，得到的数据如下：

若加工时间y (1)

求加工时间与零件个数的线性回归方程； (2)试预报加工10个零件需要的时间．

10．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x (万元)和需求量y (t)之间的一组数据为：

已知∑5

i ＝1x i y i ＝62，∑i ＝1

x 2

i ＝. (1)画出散点图；

(2)求出y 对x 的线性回归方程；

(3)如果价格定为万元，预测需求量大约是多少(精确到 t)． 11．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：

(1)(2)求出回归方程；

(3)计算相关系数并进行相关性检验； (4)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．

答案

1．A 7．0 ＝－＋ 9．450

10．解 (1)由表中数据，利用科学计算器得

x ＝

2＋3＋4＋5

4

＝， y ＝错误!＝，

∑4

i ＝1x i y i ＝，∑4

i ＝1x 2

i ＝54， b ＝

∑4

i ＝1

x i y i －4x y ∑4

i ＝1

x 2i －4x

2

＝错误!＝， a ＝y －b x ＝，

因此，所求的线性回归方程为y ＝＋.

(2)将x ＝10代入线性回归方程，得y ＝×10＋＝(小时)，即加工10个零件的预报时间为小时． 11．解 (1)散点图如下图所示：

(2)因为x ＝15×9＝，y ＝1

5

×37＝，∑5i ＝1x i y i

＝62，∑5i ＝1x 2i ＝， 所以

b ＝∑5

i ＝1

x i y i －5x y

∑5

i ＝1

x 2i －5x

2

＝错误!＝－，

a ＝y －

b x ＝＋×＝，

故y 对x 的线性回归方程为y ＝－. (3)y ＝－×＝(t)．

所以，如果价格定为万元，则需求量大约是 t.

12．解 (1)作出该运动员训练次数x 与成绩y 之间的散点图，如下图所示，由散点图可知，它们之间具有线

性相关关系．

(2)列表计算：

次数x i 成绩y i x 2i y 2i x i y i 30 30 900 900 900 33 34 1 089 1 156 1 122 35 37 1 225 1 369 1 295 37 39 1 369 1 521 1 443 39 42 1 521 1 764 1 638 44 46 1 936 2 116 2 024 46 48 2 116 2 304 2 208 50

51

2 500

2 601

2 550

由上表可求得x ＝，y ＝，

∑8i ＝1x 2i ＝12 656，∑8

i ＝1

y 2i ＝13 731， ∑8

i ＝1

x i y i ＝13 180， ∴b ＝∑8

i ＝1x i y i －8x y ∑8i ＝1x 2i －8x 2

≈ 5，

a ＝y －

b x ＝－ 88， ∴线性回归方程为y ＝ 5x － 88.

(3)计算相关系数r ＝ 7，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系． (4)由上述分析可知，我们可用线性回归方程y ＝ 5x － 88作为该运动员成绩的预报值．

将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ＝49和y ＝57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57. 13．解 ∵s x ＝

l xy

n

，s y ＝l xy n

， ∴l xy

n

＝r l xy n ·l yy

n ＝××＝.∴β1＝l xy n l xy

n

＝错误!＝1， β0＝y －β1x ＝72－1×172＝－100.

故由身高估计平均体重的回归方程为y ＝x －100.

由x ，y 位置的对称性，得b ＝l xy n

l xy n ＝错误!＝，

∴a ＝x －b y ＝172－×72＝154.

故由体重估计平均身高的回归方程为x ＝＋154.

可线性化的回归分析

一、基础过关

1． 某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其线性回归方程可能是

( )

A ．y ＝－10x ＋200

B ．y ＝10x ＋200

C ．y ＝－10x －200

D ．y ＝10x －200 2． 在线性回归方程y ＝a ＋bx 中，回归系数b 表示

( )

A ．当x ＝0时，y 的平均值

B ．x 变动一个单位时，y 的实际变动量

C ．y 变动一个单位时，x 的平均变动量

D ．x 变动一个单位时，y 的平均变动量

3． 对于指数曲线y ＝a e bx ，令u ＝ln y ，c ＝ln a ，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为 ( )

A ．u ＝c ＋bx

B ．u ＝b ＋cx

C ．y ＝b ＋cx

D ．y ＝c ＋bx

4． 下列说法错误的是( )

A ．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系

B ．把非线性回归化为线性回归为我们解决问题提供一种方法

C ．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系

D ．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决

5． 每一吨铸铁成本y c (元)与铸件废品率x %建立的回归方程y c ＝56＋8x ，下列说法正确的是 ( )

A ．废品率每增加1%，成本每吨增加64元

B ．废品率每增加1%，成本每吨增加8%

C ．废品率每增加1%，成本每吨增加8元

D ．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元 6． 为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利

用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2.已知在两个人的试验中发现对变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为s ，对变量y 的观测数据的平均值也恰好相等，都为t .那么下列说法正确的是 ( ) A ．直线l 1和l 2有交点(s ，t ) B ．直线l 1和l 2相交，但是交点未必是点(s ，t ) C ．直线l 1和l 2由于斜率相等，所以必定平行 D ．直线l 1和l 2必定重合 二、能力提升

7． 研究人员对10个家庭的儿童问题行为程度(X )及其母亲的不耐心程度(Y )进行了评价结果如下，家庭

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，儿童得分：72,40,52,87,39,95,12,64,49,46，母亲得分：79,62,53,89,81,90,10,82,78,70. 下列哪个方程可以较恰当的拟合

( )

A．y＝1x＋B．y＝x－

C．y＝ 5 D．y＝3x

8．已知x，y之间的一组数据如下表：

则y与x

9．已知线性回归方程为y＝－，则x＝25时，y的估计值为________．

10．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：

（1）建立y与x

x 时，y大约是多少

（2）当8

11．某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示：

y关于x的回

归方程．(保留三位有效数字)

三、探究与拓展

12．某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x(万元)资料如下：

散点图显示出x 与y y 决定于商品的零售额x ，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y ＝a ＋b

x .试根据上表数据，求出a 与b 的

估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．

答案

1．A

8．, 解 画出散点图如图(1)所示，观察可知y 与x 近似是反比例函数关系．

设y ＝k x (k ≠0)，令t ＝1

x

，则y ＝kt .

可得到y 关于t 的数据如下表：

t 4 2 1 y

16

12

5

2

1

画出散点图如图(2)得：

b ＝∑5

i ＝1

t i y i －5t y

∑5

i ＝1

t 2i －5t

2

≈ 4，

a ＝y －

b t ≈ 7， 所以y ＝ 4t ＋ 7，

所以y 与x 的回归方程是y ＝错误!＋ 7. 11．解 对y ＝ab x e 0两边取对数，

得ln y ＝ln a e 0＋x ln b ，令z ＝ln y ， 则z 与x 的数据如下表：

x 1 2 3 4 5 6 z

由z ＝ln a e 0＋x ln b 0即z ＝＋ 7x ，所以y ＝×.

12．解 设u ＝1

x

，则y ≈a ＋bu ，得下表数据：

进而可得n ＝10，u ≈ 4，y ＝，

∑i ＝110

u 2i －10u 2

≈ 557 3， ∑i ＝1

10u i y i －10u y ≈ 35，

b ≈错误!≈， a ＝y －b ·u ≈－ 5，

所求的回归方程为y ＝－ 5＋错误!.

当x ＝30时，y ＝ 5，即商品零售额为30万元时，商品流通率为 5%.