《导数在研究函数中的应用》易错点导学案

《导数在研究函数中的应用》易错点导学案

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【学习目标】

1.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；会利用单调性求参数的取值范围；

2.掌握利用导数求函数极值、最值的方法，并能解决相关综合问题；

【重点难点】

重点：能利用导数研究函数的单调性；

难点：掌握利用导数求函数最值的方法；

【学习过程】

知识点一：函数的单调性与导数

例1.求函数443

1)(3+-=

x x x f 的单调区间。

变式1：求函数3)(x x f =的单调区间。

变式2：已知函数1)(3+=ax x f 是R 上的增函数，求实数a 的取值范围。

结论：（1）函数单调递增的充分条件：

如果),(,0)('b a x x f ∈>，则f(x)在区间（a,b ）上

（2）函数单调递增的必要条件：

如果f(x)在区间（a,b ）上单调递增，则

注意：当)('x f 在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正时，f(x)在这个区间上也是单

调递增的。在求参数的取值范围时，应检验

知识点二：函数的极值与导数

例2.求函数16114)(23+-+=x x x x f 的极值。

结论：求函数极值的方法：

（1）求)('x f

（2）求方程0)('=x f 的根。

（3）检查)('x f 在方程根左右的值的符号，如果 或 即可取得

极值。

上述结论哪一点是最容易忽略什么呢？试做本题，做完后尝试作归纳：

变式题：若函数2

23)(a bx ax x x f +++=在x=1处取得极值10，试求a,b 的值。

知识点三：函数的最值与导数

题型一：利用导数求函数的最值

例3.（2007江苏）函数812)(3+-=x x x f 在区间[]3,3-上的最大值与最小值分别是M 和m ，

求M-m=

结论：求可导函数f(x)在闭区间[]b a ,上的最大值与最小值的步骤：

题型二：利用函数的最值求参数

变式1：函数b x x x f +-=12)(3在区间[]3,3-上的最小值为-8，求b 及它在该区间上的最大值。

【基础达标】

B1.已知函数),,0()(2R a x x

a x x f ∈≠+

=常数若函数[),2)(+∞∈x x f 在上是单调递增的，求a 的取值范围。

B2.直线y=a 与函数x x x f 3)(3-=的图象有三个相异的交点，求a 的取值范围。

C3.已知函数R x a x x x f ∈+-=,)(3

（1） 求函数f(x)在区间[]1,1-上的最值；

（2） 求证：对于区间[]1,1-上的任意两个自变量的值1)()(,,2121<-x f x f x x 都有

【课后反思】