初中数学逆向思维的教学案例
在初中数学解题教学中培养学生的逆向思维-最新教育文档
在初中数学解题教学中培养学生的逆向思维
0075-02
逆向思维又称反向思维，属于发散性思维，是在研究问题的过程中有意地去做与正向思维相反方向的探索。
进行逆向思维可以突破思维定势，往往能创造性地发现简捷、新颖、奇异的解决问题方法。
逆向思维在数学教学中具有广泛的应用，经过逆向思维训练的学生，思考问题比较灵活，解决疑难问题的效率比较高，处理实际问题的能力比较强。
因此在数学教学中必须注意培养学生的逆向思维，在分析问题时，根据实际情况恰当地引导学生从反面来考虑，使学生学会动脑。
一、从概念定义去逆向思考
在数学概念教学中，应注意引导学生透彻理解概念的定义，并注意根据教学内容，适时进行逆用定义的指导和训练，从而使学生加深对概念定义的理解。
【例1】（2006年无锡试题）已知a、b满足a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，则+的值等于。
分析：此题如果用求根公式分别求出a、b的值，再代入求值式子计算，非常繁琐。
如果注意到题目条件的结构特征，从一元二次方程根的定义来进行逆向思考，则可得到简捷解法。
二、逆用数学公式、法则
数学公式、法则的双向性学生容易理解，但很多学生只习惯顺向运用公式、法则，而对逆向运用却不习惯。
因此，在数学公式、法则的教学中，应加强逆用公式、法则的指导，使学生明白，只有灵活运用公式、法则，才能使解题得心应手。
三、通过逆向运算求解
【例3】（第五届美国数学邀请赛试题）求出满足下列条件的最小正整数n：对于n，存在正整数k，使。
浅谈逆向思维在初中数学解题中的运用
浅谈逆向思维在初中数学解题中的运用摘要：文章通过众所周知的三个故事浅显易懂地揭示了何为逆向思维，然后列举了初中内容的10个数学题例，逐个分析归类，说明了在数学解题和证题过程中运用逆向思维的四大功效，总结发掘、运用、推广逆向思维来解决数学问题的重要意义。
关键词：逆向思维初中数学教学解题运用何谓逆向思维呢？让我们用三个熟悉的故事来揭示。
记得小时候语文课本上有一个《乌鸦喝水》的故事，讲述一只口渴的乌鸦找到了一个瓶深、瓶口小、里面水少的瓶子，它无法把头伸下去喝到水。
后来，它想了一个办法，叼了些小石头放进瓶里，使水位升上来，终于喝上了水。
另有一个故事，讲述的是几位小朋友在一起玩皮球时，不小心把球掉进了一棵大树的树洞里，树洞小而深，人无法伸手或用物下去取出皮球，小朋友们就想出往树洞里灌水的办法，使皮球浮出树洞。
这两个故事有个共性就是：按一般的做法伸下去取物不成，就换思维方法，从其它方面入手，使物升上来取。
还有一个妇孺皆知的北宋司马光孩提时代破缸救友的故事，一般看来，要使掉进水缸里的孩子不被淹死，就要把他拉出来，使“人离开水”，但是缸高、人矮、力气小，怎么办呢？司马光急中生智，把缸打破，来了个“水离开人”。
这些故事给了我们有益的启示：离开常走的大道另辟蹊径，运用逆向思维，往往会有意想不到的收获。
日常生活如此，学习数学也不例外，运用逆向思维常常会使问题得到出奇、巧妙的解决。
下面就举例浅谈逆向思维在初中解题中的具体运用。
一、以简驭繁，化难为易，逆思倒推，豁然开朗例5.计算3（22+1）(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1这道题目式子长而数字大，若按整式乘法按部就班地展开运算，显然很繁琐，且易错，如果从整式乘法的逆运算因式分解联想平方差公式，把3看成 (2-1) (2+1)=22-1，再反复运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,就会产生“连锁反应”，有“金蝉脱壳”之效，轻而易举地算出结果。
初中数学教学中学生逆向思维能力的培养初探
初中数学教学中学生逆向思维能力的培养初探潘㊀影(江苏省徐州市西苑中学㊀２２１００８)摘㊀要:初中数学是一门抽象性较强的学科ꎬ初中数学教师通过课堂教学可以培养学生发现问题和解决问题的能力.引导学生在分析数学问题中养成良好的数学学习思维ꎬ更加全面的思考问题ꎬ为学生后续数学知识的学习奠定良好的基础.但是目前我国部分初中数学教师在实际教学中仍然采用传统的教学模式ꎬ阻碍了学生逆向思维能力的培养ꎬ不利于学生更好的学习数学知识.关键词:初中数学教学ꎻ逆向思维能力ꎻ培养策略ꎻ具体分析中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０５－００２１－０２收稿日期:２０２０－１１－１５作者简介:潘影(１９８０.７－)ꎬ女ꎬ江苏省徐州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀任何一门初中学科的教学都不仅仅是向学生传授相应的理论知识ꎬ更重要的是使学生通过理论知识的学习让其各项能力得到有效培养.因此在初中数学教学中ꎬ教师向学生讲解数学知识过程中要重视学生逆向思维能力的培养ꎬ使学生在学习和生活中利用逆向思维能力更好的解决问题.㊀㊀一㊁初中数学教学中学生逆向思维能力培养现状㊀㊀１.教师教学理念过于落后在素质教育背景下ꎬ初中数学作为一门基础性学科ꎬ要积极发挥培养学生逆向思维能力的积极作用.但是部分初中数学教师受传统教学理念的影响较大ꎬ在实际教学中过分重视教学成果和学生的数学成绩ꎬ要求学生记忆重点数学知识ꎬ并且以题海战术为主ꎬ在这种情况下学生将会形成固有的思维模式ꎬ当遇到相同类型的数学问题时不够灵活ꎬ不会变通ꎬ也不会换个角度去思考.这种固定思维模式严重阻碍了学生综合能力的提升ꎬ降低了学生数学基础知识水平ꎬ导致学生在遇到难题时会产生恐惧和退缩的心理ꎬ严重阻碍了学生的全面发展.２.学生形成一种定势思维定势思维是指学生在分析数学问题时会使用定势思维ꎬ不会从多个方向ꎬ多个角度去思考问题.与其他学科相比ꎬ初中数学逻辑性较强ꎬ需要学生具有灵活的思维和举一反三的能力.但是大部分学生受到定势思维的影响缺乏举一反三的能力.当学生遇到数学问题时会使用原有的㊁固定的分析方式ꎬ按部就班的去分析数学问题ꎬ不会自主思考ꎬ长此以往学生会形成单一的思维模式ꎬ学习的灵活度会大大降低.当面对数学问题时不会变通ꎬ更不会从其他角度去思考.㊀㊀二㊁初中数学教学中学生逆向思维能力的培养策略㊀㊀１.加强课堂引导ꎬ培养学生逆向思维能力初中数学教师在实际教学中要从多个方面㊁多个角度培养学生逆向思维能力.通过对数学概念和数学公式的讲解让学生全面了解数学基础知识ꎬ加强对学生的日常训练ꎬ引导学生将学过的数学知识更加灵活的运用到实际中ꎬ提升学生数学学习质量和学习效果.首先ꎬ在概念教学方面ꎬ概念作为初中数学的基础性内容ꎬ如果学生对数学概念缺乏足够了解ꎬ将无法更好的学习后续数学知识ꎬ也无法理解数学公式的真正含义.比如ꎬ已知两个三角形相似ꎬ其中一个三角形的边长分别是４ｃｍ㊁３ｃｍ㊁５ｃｍꎬ另一个三角形已知一个边长为８ｃｍꎬ求这个三角形的边长.这道题涉及到两个三角形三边长成比例ꎬ则该三角形可以称之为相似三角形这个数学概念ꎬ在解题过程中学生需要利用逆向思维理解数学概念ꎬ从多个角度ꎬ使用多种解题思路去解答这道数学题.同时初中数学教师要加强对学生逆向思维教育ꎬ提升教育效果.除此之外ꎬ要为学生创造足够的独立思考时间和空间ꎬ使学生通过１２分析定理ꎬ积极利用逆向思维去处理问题ꎬ如果学生缺乏逆向思维能力ꎬ那么初中数学教师要积极的举例.通过这种教学方式学生的逆向思维能力将会大大提升ꎬ在遇到数学问题时也会合理利用逆向思维能力去解决问题.需要注意的是ꎬ初中数学教师在整个数学教学过程中不要过分重视逆向思维教育ꎬ而是要全面了解学生的学习需求ꎬ引导学生将逆向思维和顺势思维有效结合在一起.数学公式也是初中数学的重要内容ꎬ在学生数学知识学习中占据十分重要的位置ꎬ学生只有掌握和了解数学公式ꎬ才能制定科学合理的解题思路.逆向思维教育可以大大提升学生数学公式学习的质量和效果.公式是由各种等号连接成的ꎬ为了让学生更加熟练的应用逆向思维ꎬ初中数学教师要引导学生反推公式.例如在学习解二元一次方程组时ꎬ初中数学教师要带领学生使用逆向推理法反推公式ꎬ并且积极使用各种案例和方案ꎬ进而提升教学质量ꎬ培养学生形成良好的逆向思维能力.２.完善和优化教学方式ꎬ培养学生逆向思维能力为了更好的培养初中生的逆向思维能力ꎬ初中数学教师不仅要从学生的角度出发ꎬ而且要充分发挥自身的积极作用ꎬ不断调整和优化教学方式.即使很多初中数学教师已经具有了良好的逆向思维能力ꎬ但是使用的教学方法缺乏合理性与科学性ꎬ无法让学生全面掌握数学知识ꎬ教学效果不是特别明显.为此ꎬ初中数学教师要不断改进和优化教学方式.一方面ꎬ初中数学教师要积极使用对比教学方式ꎬ这种教学方式会降低学生的学习难度ꎬ使学生更加容易理解数学知识.在实际教学中ꎬ初中数学教师要选择一些典型的数学案例ꎬ引导学生利用顺势思维解答数学问题ꎬ然后使用逆向思维重新解答数学问题ꎬ这样学生会更加清楚的认识到那种方式解答数学问题更有效.通过对比ꎬ学生会更加深刻的记忆和理解数学解题思路ꎬ提升逆向思维教学质量和效果.虽然逆向思维是所有初中生必须掌握的学习方式ꎬ但是不是所有数学问题的解答都适用逆向思维ꎬ初中数学教师可以在对比过程中向学生详细的讲述.另一方面要利用反证教学方式.与其它教学方式相比ꎬ这种教学方式操作的难度较大.反证法是利用逆向思维解答数学问题的重要方式ꎬ初中数学教师不需要学生掌握反向证明的能力ꎬ而是要重点培养学生反向证明意识.例如在讲解乘法公式的相关例题时ꎬ初中数学教师要鼓励学生利用已经学习的公式求解数学问题ꎬ随后利用公式进行正确的计算.这样学生会更加全面的掌握数学知识ꎬ逆向思维能力也会得到有效培养.３.转变数学解题思路ꎬ培养学生逆向思维能力在初中数学教学中ꎬ数学习题练习是重要组成部分ꎬ初中数学教师要以教学内容为基础ꎬ为学生合理布置课后作业ꎬ科学的检测学生课堂学习质量.一般情况下ꎬ学生通过课堂学习将会对逆向思维方式有一定的了解ꎬ但是在课后作业完成中却不能很好的应用逆向思维.初中数学教师在课堂教学中要鼓励学生讲解自己的做题思路ꎬ教师则负责正确的引导学生ꎬ及时纠正学生做题中存在的错误ꎬ要求学生积极的改正.同时初中数学教师在讲解数学习题过程中要积极培养学生逆向思维能力ꎬ通过正确的引导使学生对逆向思维有一定的了解ꎬ并且在数学习题的解答中积极利用逆向思维.需要注意的是ꎬ初中数学教师在给学生布置数学作业时要进行合理的总结和积极的讲解ꎬ让学生更加清楚的了解解答数学题过程中存在的不足之处ꎬ防止再次做题中出现同一种类型的错误.由于初中数学知识中ꎬ有一部分都是逆命题ꎬ因此教师在实际教学中要将具体推理公式和定性推理公式有效结合并且成功的运用ꎬ提升学生逆向思维能力.例如在学习«展开与折叠»这一课时ꎬ教师在实际教学中要为学生设计相同类型的题目ꎬ引导学生积极的练习.同时在学生练习过程中要正确的引导学生ꎬ使用逆向思维更快的解答问题ꎬ进而有效培养学生逆向思维能力.综上所述ꎬ初中数学知识具有较强的逻辑性和抽象性.因此初中数学教师在实际教学中要重点培养学生逆向思维能力ꎬ以学生实际的学习情况为基础ꎬ加强对学生课堂引导ꎬ不断完善和优化教学方式ꎬ鼓励学生积极转变解题思路ꎬ提升学生逆向思维能力ꎬ为学生后续数学知识的学习奠定良好的基础.㊀㊀参考文献:[１]宁江丽.初中数学教学中学生逆向思维能力的培养初探[Ｊ].新课程(教育学术)ꎬ２０１８(０２):２０８.[２]李黎明.初中数学教学逆向思维能力培养初探[Ｊ].教书育人:教师新概念ꎬ２０１９(６):５４.[３]宁江丽.初中数学教学中学生逆向思维能力的培养初探[Ｊ].新课程(教育学术)ꎬ２０１８(０２):２０８.[４]张小泉.初中数学教学如何培养中学生逆向思维能力[Ｊ].名师在线ꎬ２０１９(２１):３０－３１.[５]陈玉丹.浅谈初中数学教学中学生逆向思维能力的培养[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１８(７):６９.[６]黄海英.浅论初中数学教学中学生逆向思维能力的培养[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１９(２３):７４.[责任编辑:李㊀璟]２２。
八年级数学下册《反证法》优秀教学案例
1.培养学生对数学的热爱，激发他们学习数学的兴趣和积极性；
2.培养学生的逆向思维，让他们明白事物具有多面性，学会从不同角度看待问题；
3.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强他们面对困难时的自信心；
4.培养学生的批判性思维，使他们学会质疑、善于思考，形成独立见解。
三、教学策略
（一）情景创设
3.教师简要介绍反证法的概念，让学生对反证法有一个初步的认识。
（二）讲授新知
1.教师详细讲解反证法的定义、原理和应用步骤，结合具体例题进行分析，使学生明白反证法的思路和关键点。
2.通过多媒体展示反证法的思维过程，让学生更加直观地理解反证法的特点。
3.引导学生总结反证法的关键步骤：假设结论不成立，推出矛盾，从而证明原结论成立。
八年级数学下册《反证法》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，八年级的学生已经具备了一定的逻辑推理能力。在此基础上，本教学案例以人教版八年级数学下册《反证法》为主题，旨在引导学生运用反证法解决数学问题，提高他们的逻辑思维能力和解决问题的策略。反证法作为数学证明的重要方法，对于培养学生的逆向思维、拓展解题思路具有重要意义。本案例通过设计丰富多样的教学活动，让学生在实践中掌握反证法的要领，激发他们的学习兴趣，使他们在探索与实践中不断提高自身的数学素养。在教学过程中，教师将以学生为主体，关注个体差异，充分调动学生的积极性与主动性，营造一个充满活力、富有挑战的课堂氛围。
（四）反思与评价
1.教学过程中，教师及时对学生的学习情况进行反馈，帮助学生发现自身在反证法学习中的不足，指导他们进行有针对性的改进；
2.鼓励学生进行自我反思，总结自己在解决问题过程中成功和失败的经验，形成自己的学习策略；
逆向思维在初中数学教学中的运用
课堂艺术摘要：逆向思维解决方式是处理那些通过常规的解决方式不能够解决的问题，在初中数学教学中起着非常重要的作用。
逆向思维能够帮助学生灵活地思考问题，对所学知识加以灵活变通，本文便对逆向思维在初中数学解题教学中的运用进行了详细的探讨与分析。
关键词：逆向思维；运用层面；运用方式在初中教学过程中，相对于其他学科来讲数学需要较强的逻辑思维能力，一直是较难的科目。
随着教育改革的推进，国家越来越注重学生思维的敏锐性和灵活性，然而不少学生在解题过程中拘束于正向思维比较古板，不会灵活地变通思考问题，缺乏一定的创造能力和想象能力，这源于对逆向思维不能充分理解运用，因此，老师应该加强对学生逆向思维的培养，将其渗透到教学中，形成条件反射，才能让学生更进一步去思考解决问题。
一、逆向思维在初中数学解题教学中的应用层面1.逆向思维在初中立体几何问题解题教学中的应用立体几何这一知识点对学生的想象及空间思维能力要求较高，因此，老师在讲解立体几何这一模块时不能仅仅讲授其概念，还要培养学生的思维模式，让学生从实践中获取知识，从而对其知识点进行掌握与利用。
例如，在立体几何证明题中，就经常利用逆向思维来解题，从所证结果入手来推导其思维方向。
例如，在证明线面平行的问题中，老师如果只对其概念及定理进行讲解，不少学生可能就会无从下手，因此，在面对此类题型时，老师不仅要讲出概念及其定理，还要引导学生去证明这道题，知道要从哪个方向思考，这就要用到逆向思维中常用的反证法，从结果出发利用已知条件来推导，进而得出只需要满足线面平行的条件，再利用其概念解决问题即可。
例如：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD 交AB于E，交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形。
证明：∵AD平分∠BAC,∴∠BAD＝∠CAD。
又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90º。
∵在△AEO和△AFO中，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF，∴△AEO≌△AFO（ASA）。
转换思维角度,学会逆向思维初中数学课堂教学中学生逆向思维的培养
转换思维角度,学会逆向思维——初中数学课堂教学中学生逆向思维的培养一转换思维角度,学会逆向思维初中数学课堂教学中学生逆向思维的培养王蔷(苏州市第一初级中学,江苏苏州215006)摘要:逆向思维法是指为实现某一创新或解决某一因常规思路难以解决的问题,而采取反向思维寻求解决问题的方法.逆向思维是数学思维的一个重要组成部分.是进行思维训练的载体.在初中数学课堂教学中注重并加强学生从正向思维转向逆向思维的培养,能有效地提高学生思维能力和创新意识.本文作者从数学命题(概念,公式,定理)的教学中不断发展学生的逆向思维,在"逆向变式"习题训练中强化学生的逆向思维,在数学运算教学中促进学生的逆向思维.在几何命题证明的教学中教会学生逆向思维等方面.阐述了课堂教学中如何加强数学逆向思维能力的培养关键词:初中数学课堂教学逆向思维培养数学是思维的科学,其中逆向思维又是数学思维的一个重要组成部分,也是进行思维训练的载体.培养学生逆向思维过程也是培养学生思维敏捷性的过程.初中数学课堂教学结果表明:许多学生之所以处于低层次的学习水平,有一个重要因素,即逆向思维能力薄弱,习惯于顺向学习公式,定理等并加以死板套用,缺乏创造能力,观察能力,分析能力和开拓精神.因此,在课堂教学中有意识地加强逆向思维的训练,可改变学生思维结构,培养学生思维的敏捷性,深刻性,从而提高分析问题和解决问题的能力.我从以下几个方面浅谈初中数学课堂教学中如何加强逆向思维的培养.一,在课堂数学命题教学中不断发展学生的逆向思维数学命题是数学知识的主体,数学命题的教学是数学教学的一个重要组成部分.数学命题包括定义,公式,公理,定理,法则等,数学命题教学的基本任务是使学生认清命题的题设与结论.如果把命题的题设与结论交换,那么所得到的命题就是它的逆命题,但一个正确命题的逆命题不一定正确,在课堂教学中可根据具体的教学内容进行正逆向思维训练,帮助学生正确地理解与运用命题来解决问题.f一)运用定义来进行逆向思维训练.作为定义的数学命题.其条件与结论是等价的,可互相推出.即定义可以正用.也可以逆用.例:"互为余角"的定义教学中,可采用以下形式:__.A+B=90..?.A,B互为余角(正向思维)?.?A,B互为余角...A+B=90.(逆向思维)如"方程的解"这一概念.它就包含了以下两方面的特征: "凡使方程左右两边的值相等的未知数的值,就是方程的解"与"方程的解就是使方程左右两边的值相等的未知数的值". 例:(1)a,b是方程x+3x一7:0的两个根,求a'+b'的值.(2)已知a≠b.且a+3a一7=0.b'+3b一7=0,求a+h的值.解:(1)..'a+b=一3,ab=一7,..a'+b=(a+b).一2ab=23(2)由方程根的定义知,a,b是方程x+3x一7=0的两根,.'.a+ b=-3,ab=7.a2~b2:(a+h).—l2ah:23.这两题运用一元二次方程根与系数的关系不难求得,但就其思维过程来说:(1)是逆用定义,(2)是正用定义.)运用公式进行逆向思维训练.数学中的许多公式,法则都可以用等式表示,等式具有双向性,既可以用左边的式子替换右边的式子,又可以用右边的式子替换左边的式子.在代数中公式的逆向应用比比皆是.但大多学生只会从左到右顺用公式,对于逆用,尤其是利用变形的公式不习惯.因此,当讲授完一个公式及其应用后,紧接着举一些公式的逆应用的例子,可以给学生一个完整,立体的印象,开拓思维空间.事实上,如果能够灵活地逆用这些公式,解题时就能得心应手.左右逢源.例:幂的运算性质a.a":a",(a):a,(ab.)n:anb",a÷a":a…'这几个公式,如果能够反向运用它们,就能达到简化运算的目的.(1)若am:2,a7.则Rm.a":2~7:14(2)已知3:6,9":2,则32m-4n:(3)2÷(3)2=62+22=9(3)()...(1-5):()×()2~7x(要):(2)×,23,20072(——×——)=——323这样不但培养了学生的逆向思维,而且使学生对所学知识有一个完整的印象.避免学生所学知识的呆板和单一化. 例:平方差公式:(a+h)(a—b)=a~-b从左到右属于整式的乘法,从右到左属于因式分解.计算:2010"-2009解:2010—2009=(2010+2009)(2010—2009)=4019逆向运用平方差公式(因式分解),不仅提高了运算的速度.而且准确率高,使问题简单化.(三)运用定理进行逆向思维训练数学中的定理有的不可逆,如"对顶角相等",其逆命题"相等的两个角是对顶角"就是假命题.但许多定理的逆定理也是成立的.例如.平行线的性质定理与判定定理,勾股定理及其逆定理,平行四边形的性质及判定定理,等腰三角形的性质及判定定理.等等.在教学中,对某些重要定理的可逆性进行探讨, 有利于加深对知识的理解,也有助于逆向思维能力的提高. 例:如图,在四边形ABCD中,AB=3cm,^DAD=4cm,BC=13em,CD=12cm,A:90..求四边形ABCD的面积.解:联结BD在Rt△BAD中,由勾股定理得:BD=5cm'..BD=5cm.CD=12cmBC=I3cm●22.?.BD+CD=25+144=169=BC.'.aBDC为直角三角形...S~ABCD=S△BAD+S△BDc=6+30=36本题运用了勾股定理与它的逆定理,这两个互逆的定理体现了数形之间的联系,在课堂教学中应作为典型例题进行分析讲解.二,在课堂中利用"逆向变式"训练强化学生的逆向思维"逆向变式"即在一定的条件下,将已知和求证进行转化,变成一种与原题目似曾相识的新题型.例:不解方程,请判断方程2x"-6x+3=0的根的情况.可变式B■匮数学课堂教学中如何提出问题金高丽(河南省三门峡中等专业学校,河南三门峡472000)摘要:课堂教学是一门艺术,它是以问题为中心展开的.问题是教学的基本要素,在课堂教学中,教师要善于把既定的观点转化为问题.以形成学生学习的动因,促进其思考, 强化思维,培养批判性思维,激发创造性思维,进而培养学生优良的思维品质.关键词:中专学生数学课堂教学提出问题设置问题创新意识在数学课堂教学中,数学思维的本质特征是它的探索精神,而"问题"是发明创造的源泉和动力,"发明创造"反过来为数学提供更为丰富的"问题",那么在数学课堂教学中如何巧妙地提出问题呢?一,教师要精心设置问题首先,要深入了解学生的需求,学习的基础,可能存在的问题其次,教师要钻研教材,了解其中定理,公式的背1为:已知关于x的方程2x~-6x+k=0,当k取何值时,方程有两个不相等的实数根?经常进行这些有针对性的"逆向变式"训练, 创设问题情境,对逆向思维的形成起着很大作用.D例:如图,在Rt△ABC中,/ACB=90.,CDJ-AB于D.求证:'AC:AD?AB.对于此题,我们可以反过来,A在△ABC中.CDJ-AB于D.且AC=AD?AB,求证:ACB=90..三,教学中通过各种数学运算的训练不断地促进学生的逆向思维数学中的各种运算总是正逆交替成对出现的.而且可以相互转化.如加法与减法,乘法与除法,乘方与开方,等等.加强正逆运算的转化训练.不但可以简化思维过程.准确理解各种运算的实质,还可培养学生的逆向思维.例:计算++¨!lx22x33x499x100分析:由结构特征发现每一个分数可逆用分数的加,减运算法则分裂为两个分数的差.】11111111——=——一一.——=——一一,….一一1x2122x32399x100991001111111解:原式=1一一十I_一一+l_一—+…+一—2.233499100:1一:100100四,在几何命题的证明教学中教会学生逆向思维数学的基本方法是教学的重点内容,其中的几个重要方法:如逆推分析法,反证法等都可看做是培养学生逆向思维的主要途径.(一)加强分析法教学.培养学生的逆向思维.分析法是一种执果索因的逆向思维方法,其推理方向是由结论到题设,论证中步步寻求使其成立的充分条件,如此逐步归结到已知或已成立的事实,命题便获证.该方法分析问题时要求学生养成"要证什么,需证什么"的思维方向.用它可以缩短已知和未知间的距离,便于寻找解题的途径.在数学证明中,按逻辑推理顺序和要求来说,应从题设条件出发,根据已知的定理和事实逐步推得要证明的结论.但从解题策略的角度来看,除了简单的情形.这种方法并非上策.因为在一定的已知条件下,由已知的概念,定理和法则出发,可以推出的结论往往很多,要从中找到我们所需要的结论,往往很难,而且还易节外生枝,误人歧路.若反其道行之,从要证明的结论出发,往回追溯题设条件,一般情况下,都比较容易找到通往题设条件的途径. 再反过来依此途径便可完成一个由条件到结论的相应证明.这就是建立在逆向思维原则上的分析法的精神实质.例:已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的圆O交BC于D.求证:BD=CD.分析:本题可由结论来寻找条件,由于AB=AC,若BD=CD,由等腰三角形的性质(等腰三角形的三线合一),可知道AD就是△ABC底边上的高或顶角的平分线,从而考虑联结AD.由条件AC为O0直径B即可证明.例:已知:如图,梯形ABCD中,AD//BC,AC与BD相交于O点,过点B作BE∥cD交cA的延长线于点E.求证:0c=OA?0E. 分析:0C:0A?OE仁0C0E0COBc0A0C0A0D:ABOC0C0D△D0A.△B0E一△D0C乍』fBCCDfBE.B(二)加强反证法教学.培养学生的逆向思维.E反证法是一种假设结论的反面成立,在已知条件和"否定结论"这个新条件下,通过推理得出与题设,公理,定理矛盾的结论.从而断定假设不成立,原命题的结论一定正确的证明方法彳艮多直接证明很困难的题目.用反证法可以得到很好的解决.适当地运用反证法,既能提高解题的灵活性.又能培养思维的活跃性.促进思维的发展.例:求证:两条直线相交只有一个交点.已知:两条相交直线L与L,,求证:L.与L只有一个交点.分析:想从已知条件"两条相交直线L与L"出发,经过推理,得出结论"它们只有一个交点"是很困难的,因此可以考虑用反证法.证明:假设L,与L不止一个交点,不妨设L与L,有两个交点A和B,因为两点确定一条直线,即经过点A和B的直线只有一条,与已知两条直线相矛盾.所以两条直线相交只有一个交点.综上所述,在初中数学教学中,根据不同的教学内容有目的,有计划地对学生实施逆向思维训练,逐步培养和发展学生的逆向思维能力,掌握解题的技巧,能使学生轻松应对数学学习.学习能力也会逐步提高.参考文献:[1]罗吉尔,冯奥赫.创造学思想录.[2]顾继玲,章飞.初中数学新课程教学法.开明出版社, 2003.。
简析初中数学逆向思维的应用
简析初中数学逆向思维的应用什么是逆向思维呢？逆向思维是指根据问题的解答，推导问题的条件和要求，再进一步进行思考。
在数学中，逆向思维要求学生从已知的结论出发，反推出问题的条件和要求，这种思维方式对于解决数学难题非常有效。
那么，在初中数学中如何应用逆向思维呢？下面将重点介绍几个常见的数学问题，以及逆向思维在其中的应用。
一、方程式的逆向思维在初中数学中，方程式是一个非常重要的知识点。
学生往往会遇到这样的问题：已知方程的解，求方程的表达式。
这时候就需要运用逆向思维来解决问题。
已知方程x^2 - 5x + 6 =0的两个根分别是2和3，我们可以通过逆向思维来求解方程。
首先我们可以得出方程的一般形式为x^2 - (根的和)x + (根的积) = 0，然后代入已知条件得到x^2 - (2+3)x + 2*3 = 0，化简得到x^2 - 5x + 6 = 0。
这个例子就展示了逆向思维在方程式中的应用。
二、几何问题的逆向思维在初中数学的几何部分，同样需要用到逆向思维。
已知一个三角形的三条边长，然后要求证明这个三角形是等腰三角形。
这时候就需要运用逆向思维，首先我们可以通过勾股定理求出三角形的三个角，然后再根据已知边长计算出各个角的值，最后通过角度之和定理来证明这个三角形是等腰三角形。
三、概率问题的逆向思维在初中数学的概率部分，也常常需要用到逆向思维。
某次抽奖活动中，已知抽奖箱中共有10个奖品，其中3个是一等奖，7个是二等奖。
如果某个人最多可以抽中2个奖品，那么他不会获得一等奖的概率是多少？这时候就需要用到逆向思维，首先我们可以计算出该人获得一等奖的概率，然后再通过逆向思维计算得出该人不会获得一等奖的概率。
逆向思维在初中数学中的应用是非常广泛的，可以帮助学生更好地理解和解决数学难题。
学生在学习数学的过程中，应该加强逆向思维的训练，培养自己灵活的思维方式，从而更好地应对数学问题。
老师也应该在教学中引导学生运用逆向思维，帮助他们更好地掌握数学知识。
初中数学解题教学中逆向思维的应用分析
初中数学解题教学中逆向思维的应用分析随着教学方法的不断创新，越来越多的教师认识到了逆向思维在数学教学中的重要性。
逆向思维是一种通过逆向思考解决问题的方法，它有利于拓展学生的思维方式，使学生更加灵活地应对解决问题的挑战，在数学解题中也是一种应用广泛的方法。
本文将从逆向思维的概念和应用出发，分析逆向思维在初中数学解题教学中的应用。
一、逆向思维的概念逆向思维是一种通过逆向思考解决问题的方法。
它的基本思想是在已知结果的情况下反向推导出可能的解决方案。
逆向思维能够帮助我们从不同的角度去看待问题，挖掘问题中隐藏的信息和规律，从而得出更加深入的认识和更加合理的解决方案。
逆向思维在数学教学中有着广泛的应用。
例如，在初中数学解题中，逆向思维可以帮助学生破解数学难题，提高解题效率，同时还可以培养学生的创新思维和探究精神。
下面从初中数学解题教学中的应用出发，介绍逆向思维的具体应用方法。
1. 逆向思维在代数中的应用代数是初中数学中的一个重要部分，其中涉及到许多公式和方程的求解。
在代数中，逆向思维的应用比较常见，可以通过逆向推导求解方程，从而简化原来的解题难度。
以求解一元二次方程为例，学生在学习这个知识点时，一般会先学习求根公式，再通过代入法等方法求解方程，但是学生在应用中往往难以快速灵活地进行应用。
如果让学生从结果出发，通过假设求得一个方程的根后再求解另一个根，这样就可以得以简化解题难度，拓展学生的思考方式。
几何是数学教学中的另一个重要部分，逆向思维在几何中的应用同样广泛。
以正方形为例，学生可以从已知正方形所有内角均为90度推导出正方形的性质。
在解决普遍问题时，逆向思维不仅可以提高学生的解题效率，而且可以更加形象地表达问题，让学习更加生动有趣。
逆向思维在数学建模中同样适用。
数学建模是通过数学工具解决实际问题的过程，逆向思维可以帮助学生从已知结果出发，分析问题所需的数学方法和技巧，进而实现问题的解决。
例如，在汽车制造中，学生可以通过逆向思维，从汽车效能的预期目标出发，反向推论汽车设计所需的关键因素和设计目标，从而实现汽车性能的优化和提高。
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初中数学逆向思维的教学案例
初中数学逆向思维的教学案例 【案例背景:】 人们习惯于沿着事物发展的正
方向去思考问题并寻求解决办法。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从
结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化，
使解决它变得轻而易举，甚至因此而有所发现，创造出惊天动地的奇迹来，这就是
逆向思维和它的魅力。
有一道趣味题是这样的:有四个相同的瓶子，怎样摆放才能使其中任意两个瓶
口的距离都相等呢,可能我们琢磨了很久还找不到答案。那么，办法是什么呢,原
来，把三个瓶子放在正三角形的顶点，将第四个瓶子倒过来放在三角形的中心位
置，答案就出来了。把第四个瓶子“倒过来”，多么形象的逆向思维啊～
一、从正、逆两个方向去理解概念
数学概念、定义总是双向的，因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身
及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深理解概念的内涵和
外延。作为定义的数学命题，其逆命题总是成立的。因此，学习一个新概念，如果
注意从逆向提问，学生不仅对概念辨析得更清楚，理解得更透彻，而且能够培养学
生养成双向考虑问题的良好习惯。
如:讲述:“同类二次根式”时明确“化简后被开方数相同的几个二次根式是同
类二次根式”。反过来，若两个根式是同类二次根式，则必须在化简后被开方数相
同。
与 是同类二次根式，求x 例1、若
略解，2x-1=2-x，即x,1。
如:“方程的解”这一概念，它就包含了以下两方面的特征:“凡使方程左右两
边的值相等的未知数的值，就是方程的解”与“方程的解，就是使方程左右两边的
值相等的未知数的值”。还可以通过下列问题进一步认识方程的解的特征。
2例2、不解方程，求作一个新方程，使它的根分别是方程x,6x，5,0的两根
的 2倍。
略解，若设所求方程的根y，依题意，y=2x，则x=，因为是已知方程的根，所
以()22,6×+5,0，即y,12y，20= 0即为所求方程(
2222例3、已知a?b，且a，3a,7,0，b，3b一7=0，求 a，b
2解: 由方程根的定义知， a、b是方程x，3x,7=0的两根，
222?a，b,,3，ah=一7，?a，b=(a，b)-2ab=23。
二、加强公式逆向应用的训练
数学中的公式都具有双向性。正向运用它们的同时，加强公式的逆向应用训
练，不仅可以加深学生对公式的理解的掌握，培养学生灵活运用公式的能力，还可
以培养学生的双向思维能力。
例4、设a、b、c、d均为实数，且ad,bc=1，,l，
求abcd的值。
分析:由第二个等式联想到用完全平方公式(
由已知得 ，即:
即得 a, b= d,,c，而 ad,bc= l，可得 =，从而得 abcd=一=- 三、逆用运算
法则的训练
数学中的很多运算都有一个与它相反的运算作为逆运算，如:加法和减法、乘
法和除法、乘方和开方都是互为逆运算，彼此依存，共同反映某种变化中的数量关
系。而且在同一级运算中，可以互相转化，如利用相反数的概念，减法可以转化为
加法，利用倒数的概念，除法可以转化为乘法。
例5、计算，
作变形。 有些学生竟然对它进行通分，却不会逆用分式的减法法则
解:原式,
例6、已知:，，求:的值.
分析:该题将同底数幂除法法则逆用后得到结果。
解:原式.
四、定理教学中逆向思维的训练
不是所有的定理的逆命题都是正确的，引导学生探究定理的逆命题的正确性，
不仅能使学生学到的知识更加完备，而且能激发学生去探索新的知识。
勾股定理、一元二次方程根的判别式定理、韦达定理的逆定理都是存在的，应
用也十分广泛。
例7、设、、满足，求:的取值范围。
解:原方程组变形得:，根据韦达定理的逆定理可知:
、为关于的一元二次方程的两根，
的取值范围为:。
五、加强执果索因的思维方法训练(即分析法训练)
分析法是执果索因，综合法是由因导果。在研究问题时，往往兼用这两种思维
方法，从分析中得到思路，用综合法严谨地表述解题过程。这样可促进双向思维的
培养，也可简化思维过程。
b，c，d均为正数，求证 例8、已知a，
，即证明就是要证，
找到证题起点。
、已知p,0 ,q,0 且,2，求证p，q?2
，即证:
显然成立。
六、加强从反面思考的思维方式训练
(一)加强反证法训练
反证法是一种间接证法，当某些数学问题用直接证法相当困难时，常常被采用
的证法。它是从待证结论的反面出发，推出矛盾，从而否定要证结论的反面，肯定
待证的结论。加强反证法的训练是促进学生逆向思维逐步形成的必要措施(
例10、取什么实数时，抛物线的顶点不在第四象限, ,分析,抛物线的顶点“不
在第四象限”，所指的范围很广，可以在第一象限、第二象限、第三象限，还可以
在坐标轴上。如果对上述各种情况逐一讨论，在各种情况下求出的集合，再取其并
集，可见其讨论范围之大。若反过来，从问题的反面考虑，直接求出抛物线的顶点
在第四象限时的集合，再取其补集，显然简便得多。
解:令抛物线的顶点在第四象限，由顶点坐标公式得:
解这个不等式得:(
可知，当时，抛物线的顶点在第四象限。
所以，当?2或?4时，抛物线的顶点不在第四象限。
例11、若关于的方程至多有一个负根，求的取值范围。
分析:逆向思维，用反证法，“一元二次方程至多一个负根”的反面就是“两
个根都是负根”，由此下手，此题可解。
解:假设两个根都是负根，则必须满足下列不等式组:
解得:，?的取值范围为。 (二)加强举反例训练
用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，只要举出一个满足命题
的条件，但结论不成立的例子，就足以否定这个命题，这样的例子就是通常意义下
的反例。学会构造反倒不仅对加深记忆，深入理解定义、定理或公式等起着重要的
作用，同时它也是纠正错误的常用方法，是培养逆向思维能力的重要手段。
例如:命题“若两多边形的对应边成比例，则必相似”，只需举一个菱形或一
个正方形即可判其为假命题。说明“一组对边平行，一组对边相等的四边形为平行
四边形”为假命题，只需举一个等腰梯形即可。
七、编排逆向训练的习题
为了训练学生的逆向思维，在教学中，可有意识地编排顺逆双向配对的练习题
供学生训练。学生通过练习，可以逐步养成逆向思维的习惯，提高逆向思维的能
力。
总之，在初中数学教学中，确保学生具备丰富而扎实的“双基”知识的前提
下，量力而行;有意识地对学生进行双向思维交替的训练，从而提高学生由正向思
维转换到逆向思维的能力，为逆向思维的形成和建立奠定了良好的基础。另外，逆
向思维解题方法的培养和应用，对克服思维定势和思维的呆板性起到了积极的作
用，也为创造思维提供了灵活的思维方式;为教育教学的改革开辟了又一新的途
径。