北京宏志中学2014年高二数学(理科)寒假作业——圆锥曲线答案

曲线与方程答案

一、选择题

1．已知|AB

|＝3，A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP ＝13

OA ＋23

OB ，

则动点P 的轨迹方程是()

A.x 2

4＋y 2＝1B ．x 2

＋y 24＝1C.x 2

9＋y 2＝1D ．x 2

＋y 2

9

＝1 解析：设A (0，y 0)，B (x 0,0)，P (x ，y )，则由|AB |＝3得x 20＋y 2

0＝9，又因为OP ＝(x ，y )，OA ＝(0，y 0)，OB ＝(x 0,0)，由OP ＝13

OA ＋23

OB 得x ＝2x 03

，y ＝y 03

，因此x 0＝3x 2

，

y 0＝3y ，将其代入x 20＋y 20

＝9得x 2

4

＋y 2＝1.

答案：A

2．已知两个定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )

A ．π

B ．4π

C ．8π

D ．9π

解析：设P (x ，y )，则|PA |2

＝(x ＋2)2

＋y 2

，|PB |2

＝(x －1)2

＋y 2

，又|PA |＝2|PB |， ∴(x ＋2)2

＋y 2

＝4(x －1)2

＋4y 2，

∴(x －2)2

＋y 2

＝4，表示圆，∴S ＝πr 2

＝4π. 答案：B

3．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC ＝λ1OA ＋λ2OB

(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是()

A ．直线

B ．椭圆

C ．圆

D ．双曲线

解析：设C (x ，y )，则OC ＝(x ，y )，OA

＝(3,1)， OB

＝(－1,3)，

∵OC ＝λ1OA ＋λ2OB ，∴⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2

，又λ1＋λ2＝1，

∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线． 答案：A

4．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )

A ．y 2

－x 2

48

＝1(y ≤－1)

B ．y 2

－x 2

48

＝1(y ≥1)

C ．x 2

－y 2

48

＝1(x ≤－1)

D ．x 2

－y 2

48

＝1(x ≥1)

解析：由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14， 又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， ∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，

故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支，又c ＝7，a ＝1，b 2

＝ 48，∴点F 的轨迹方程为y 2

－x 2

48＝1(y ≤－1)．

答案：A

5．给出以下方程：

①2x ＋y 2

＝0；②3x 2

＋5y 2

＝1；③3x 2

－5y 2

＝1；④|x |＋|y |＝2；⑤|x －y |＝2，则其对应的曲线可以放进一个足够大的圆内的方程的个数是()

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：所给出的方程中，①2x ＋y 2

＝0是抛物线，②3x 2

＋5y 2

＝1是椭圆，③3x 2

－5y 2

＝1是双曲线，④|x |＋|y |＝2是一个正方形，⑤|x －y |＝2是两条平行直线，只有②④两个方程对应的曲线是封闭曲线，可以放进一个足够大的圆内．

答案：B

6．圆O ：x 2

＋y 2

＝16，A (－2,0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是()

A ．双曲线

B ．椭圆

C ．抛物线

D ．圆

解析：设抛物线的焦点为F ，因为A 、B 在抛物线上，所以由抛物线的定义知，A 、B 到

F 的距离AF 、BF 分别等于A 、B 到准线l 的距离AM 、BN ，于是|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |.

过O 作OP ⊥l ，由于l 是圆O 的一条切线，所以四边形AMNB 是直角梯形，OP 是中位线，故有|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|OP |＝8>4＝|AB |.

根据椭圆的定义知，焦点F 的轨迹是一个椭圆． 答案：B 二、填空题 7．直线x a ＋

y

2－a

＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是____________．

解析：(参数法)设直线x

a ＋y

2－a

＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)，B (0,2－a )，A 、B 中点为

M (x ，y )，则x ＝a 2

，y ＝1－a

2

，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.

答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)