任意无向加权图K点连通扩充的逐次改善算法

第２７卷第１期　、ｂ１．２７　Ｎｏ．１　辽宁工程技术大学学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌｉａｏｎｉｎｇ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｍｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　２００８年２月　

Ｆｅｂ．　２０ｏ８　

文章编号：１００８．０５６２（２００８）ｏ１．００８２－．０３　任意无向加权图　点连通扩充的逐次改善算法　

王永德　，孙雨耕　（Ｉ．青岛理工大学自动化工程学院，山东青岛２６６０３３；２．天津大学电气与自动化工程学院，天津３００３００）　摘　要：为了对网络的可靠性寻求较好的近似算法，研究了任意无向不加权图情况下的极小　点连通扩充算法：在此基础上提出无　向加权图Ｇ总边数和各点的连通度均保持不变时，使图Ｇ的总权值变小的一种可行边交换方法：同时得出一个可行边交换的引理，并加　以证明。最终推出了任意无向加权图Ｋ点连通最小扩充的逐次改善算法，应用该算法作了大量例题，得到比较满意的效果。为解决任　意无向加权图最小扩充问题给出了一种新途径。　关键词：无向加权图：Ｋ点连通；扩充；算法；边交换　中图分类号：ＴＮ　９１５　文献标识码：Ａ　

Ｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇ　ｒｅｃｕｒｒｅｎｔ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｋ－ｖｅｒｔｅｘ—ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ａｕｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ　Ｏｎ　ａｒｂｉｔｒａｒｙ　ｕｎｄｉｒｅｃｔｅｄ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ｇｒａｐｈ　ＷＡＮＧＹｏｎｇｄｅ　，ＳＵＮ　Ｙｕｇｅｎｇｚ　（１－Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｈｏｏｌ，Ｑｉｎｇｄａｏ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ　２６６０３３　Ｃｈｉｎａ；　２．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　ａｎｄ　Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔｉａｎｊｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎｇ　３００３００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　Ｋ－ｖｅｒｔｅｘ—ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｍｉｎｉｍａｌ　ａｕｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ａｒｂｉｔｒａｒｙ　ｕｎｄｉｒｅｃｔｅｄ　ｎｏ—ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ｇｒａｐｈ　ｉｓ　ｆｉｒｓｔｌｙ　ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ．Ｔｈｅｎ　ａｎ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｅｄｇｅ　ｅｘｃｈａｎｇｅ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ，ｉｎ　ｗｈｉｃｈ　ｔｏｔａｌ　ｗｅｉｇｈｔ　ｖａｌｕｅ　ｏｆｇｒａｐｈ　Ｇ　Ｃａｎ　ｂｅ　ｒｅｄｕｃｅｄ　ｕｎｄｅｒ　ｔｏｔａｌ　ｅｄｇｅ　ｏｆｕｎｄｉｒｅｃｔｅｄ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ｇｒａｐｈ　Ｇ　ａｎｄ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｄｅｇｒｅｅ　ｏｆ　ｅａｃｈ　ｖｅｒｔｅｘ　ｋｅｐｔ　ｃｏｎｓｔａｎｔ．Ａｔ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｔｉｍｅ，ｔｈｅ　ｌｅｍｍａ　ｏｆ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｅｄｇｅ　ｅｘｃｈａｎｇｅ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ａｎｄ　ｐｒｏｖｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇ　ｒｅｃｕｒｒｅｎｔ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　Ｋ－ｖｅｒｔｅｘ—ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｍｉｎｉｍａｌ　ａｕｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｎ　ａｒｂｉｔｒａｒｙ　ｕｎｄｉｒｅｃｔｅｄ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ｇｒａｐｈ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ．Ｔｈｉｓ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｓ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ａ　ｌａｒｇｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｅｘａｍｐｌｅ，ｗｈｉｃｈ　ｐｒｏｖｅｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｒｅ　ｓａｔｉｓｆａｃｔｏｒｙ．　Ｓｏ　ｔｈｉｓ　ｉｓ　ａ　ｎｅｗ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｍｉｎｉｍａｌ　ａｕｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｎ　ａｒｂｉｔｒａｒｙ　ｕｎｄｉｒｅｃｔｅｄ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ｇｒａｐｈ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｕｎｄｉｒｅｃｔｅｄ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ｇｒａｐｈ：Ｋ－ｖｅｒｔｅｘ—ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ：ａｕｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ：ａｌｇｏｒｉｔｈｍ：ｅｄｇｅ　ｅｘｃｈａｎｇｅ　

引　言　在网络设计中，一个基本问题是考虑网络的可　靠性，网络的可靠性主要取决于网络拓扑结构。根　据不同的要求定义不同的可靠性指标，图的连通性　是常用的指标，图的扩充问题就是基于这类实际问　题提出的【　１　ｏ对于任意给定图Ｇ＝（　，Ｅ）的权值矩　

阵ｗ＝【ｗ　Ｊ　，以及一连通阵口　Ｒ＝【　Ｊ　，要　求找到一个权值最小的边集Ｅ　，使得Ｇ【　，Ｅ　Ｕ　Ｅ　）　是尺连通的，到目前为止，已有不少文献对扩充问　题一系列子问题进行研究，尤其对不加权连通扩充　问题的研究取得了比较满意的结果Ｉ　引。加权扩充问　题已经被证明为ⅣＰ一完全问题【Ｊ　Ｊ，目前还只能寻　求较好的近似算法。　本文提出一种求解任意无向加权图　点连通扩　充的逐次改善算法；其思路在于：首先开发了无向　

不加权图极小　点连通扩充算法，在任意图Ｇ　基　础上得到不加权　点连通扩充图的连通扩充及带宽　网络规划的研究．的初始扩充图Ｇ　。对初始扩充图　Ｇ　赋予边权值，就得到加权的初始扩充图；对该　图进行用边交换方法逐次改善，最终得到总权值为　最小解或近优解。　

１　点连通扩充的初始图算法　对于Ｇｎ为任意图及Ｋ为任意正整数，首先求　出Ｇｏ的增广　点连通图Ｇ　，然后按Ｍａｄｅｒｔ６１可行　删除的概念删除ｚ点，得到Ｇ。的　点连通初始扩　充图Ｇ　。由于点连通情况下不能保证总存在可删　除点，所以需要增加边，最后求出的初始图Ｇ　是　Ｇ　的极小　点连通扩充图。在文献【３】的基础上研　

收稿日期：２００７４１４－１２　基金项目：教育部博士学科点基金资助项Ｉ￣ｔ（２００３００５６３７）　作者简介：王永德（１９５８－）男，辽宁新民人，硕士，副教授，主要从事图论及电网络系统优化，控制理论与工程等方面的确研究。本文编校：杨瑞华　

维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期　王永德，等：任意无向加权图　点连通扩充的逐次改善算法　８３　究了任恿无向不加权图　点连通扩充初始图算法．　算法（ＢＧＫＡ）　（１）增加一个点Ｚ不属于ｖ（ａｏ），即　

Ｇ　Ｇｏ　Ｕ｛ｚＪ；　（２）检查　（Ｇ）一｛ｚ）中每点的度，如果Ｖ的　度小于　，则在Ｖ点与Ｚ点之间增加　—ｄ（ｖ，Ｇ）条　边：　（３）检查　（Ｇ）一　）中每一点对之间的点连　

通度，如均大于Ｋ，转（４），否则向下进行；　（ａ）假设存在两点　、ｖ∈ｖ（ａ）一　），　

Ｇ　Ｕ，Ｖ）＝ｍ　，设Ｕ，Ｖ分离集ＣＧ　Ｕ，Ｖ）；则　ＣＧ　Ｕ，Ｖ）将Ｇ分成两个以上的子图Ｇｌ，Ｇ２，…；　设　∈Ｇｌ；令ｃｌ＝ＣＧ　Ｕ，Ｖ）Ｕ　ｖ（ａ１），令ｍｌ＝ｍ；　Ｃ＝ｃＧ　Ｕ，Ｖ）；Ｐ＝　（Ｇ１）；（注：Ｃ为割点集，Ｇｌ　为Ｋ点连通块，Ｐ为Ｋ点连通块中非割点集，ｍｌ为　该子块的　余度）　（ｂ）对所有的　、ｖ　∈Ｃｌ进行检查，如果有　

Ｇ　，ｖ　－－ｍ　＜Ｋ，转（３．４）；　（Ｃ）此时Ｃｌ已为ｋ点连通块；找一点　∈ｖ（ａ。），在　与Ｚ点之间增加ｋ—ｍ条边，转　（３）：　（ｄ）设ｃ　，ｖ　）为Ｕ　，ｖ　分离集，则　

ｃ．Ｐ（Ｐ，ｖ　）将Ｇ分割成两个以上的子图Ｇ　，　Ｇ；，…，设　∈Ｇ　；令ｍｌ＝ｍｉｎ｛ｍ，ｍ　），令　ｃ　ｃ　Ｕ　ｃ　（　，ｖ　）　；　ｃ。　（　（Ｇ　）Ｕｃ　，ｖ　））ｎＣ。；Ｐ＝Ｃ。一　（ｃ．ｎ　ｃ）；并转（ｂ）；　（４）此时Ｇ即为最小增广　扩充图，若　ｄ（ｚ，Ｇ）为奇数，任取一点），∈ｖ（ａ）一｛ｚ），增加　

一条边（），，ｚ）边；　（５）按　（ｖ，ｚ；Ｇ）的不增序列对Ｇ中的点进行　排序　ｌ，Ｖ２，．．．ｖｌｖＩｊ；如　（ｖｌ，ｚ；Ｇ）＝０；转（８）；　

任意四点ｖｌ、ｖ２、ｖ３、ｖ４，若边（ｖｌ，ｖ２）∈Ｇ，　（ｖ。，ｖ　）∈Ｇ，（ｖ。，ｖ。）　Ｇ，（ｖ：，ｖ　）　Ｇ，则去　除边（ｖ。，ｖ：），（ｖ。，ｖ　），增加边（ｖ。，ｖ。），（ｖ：，ｖ　）称　为一次边交换，如图１。　

ｌ　２　ｏ－——－—ｏ一　

，Ｏ　Ｏ　３　Ｇ图　

２　１　７　ｌ　ｌ　

３　Ｇ　图　

图１边交换　Ｆｉｇ．１　ｅｄｇｅ　ｅｘｃｈａｎｇｅ　记Ｇ　＝Ｘｃｈａｎｇ（Ｇ，ＶＩ，　２，　，ｖ４）。显然边交换不　改变图Ｇ的总边数，且各点的连通度均保持不变。　如果　Ｇ　是　点连通的　，　且　Ｇ　＝Ｘｃｈａｎｇ（Ｇ，ＶＩ，　２，　，ｖ４）也是　点连通的，则　称这样的边交换为可行边交换。要检查一个边交换　是否可行，要检查多少点对之间的连通度？本文得　出下面引理：　引理　设Ｇ为　点连通的，如果　

Ｇ，（ｖｌ，Ｖ２）　，　Ｇ，（ｖ３，Ｖ４）　Ｋ则Ｇ　仍为　点　连通的。　证明　用反证法，令　（Ｇ　）　，将推导出　

Ｇ，（ｖｌ，ｖ２）＜Ｋ或者　Ｇ，　３，Ｖ４）　。　由于　，所以必存在两点ａ、ｂ∈ｖＣａ）使　得／２Ｇ，ａ，　）　。则ＩｃＧ，（口，　）Ｉ　，设　（口，　）将　Ｇ　分成两个以上的子图Ｇ．，Ｇ，，…，设ａ∈Ｇ．，　ｂ∈Ｇ２，那么这个分离集　（　，ｂ）必将分离ｖ１，　ｖ　或者分离ｖ　，ｖ　，不然的话在Ｇ中同样的分离　集Ｃ　（口，ｂ）也分离ａ，ｂ，即日，ｂ在Ｇ中连通度　达不到　，　这是不可能的。　所以　

Ｇ，　（ｖｌ，Ｖ２）　ＩＣＧ，ａ，　）Ｉ　或者　（６）取Ｖ－的一条边进行可行删除，若存在删　Ｇ，（ｖ３，ｖ　）　ＩＣＧ，ａ，　）ｌ　成立，这与题设矛　

除ｚ的一　转二　．　．　。。一　盾，从而证明　（Ｇ，）　成立ｏ｛Ｉ￣　ｔｌｔ－Ｔ　

．　．．取　，ｚ；　）最小且大于０的两点，各增　一　。　换是否可行只需要检　

加一条到ｚ的边，转　５１　；　查　不羔　之商　莲通壶即可。　

～　３　Ｋ点连通扩充的逐次改善算法　

在初始扩充图Ｇｂ的基础上，采用边交换方法，　扩充的逐次改善算法的步骤：　

维普资讯 http://www.cqvip.com