基于细观方法的颗粒增强复合材料弹塑性分析

第33卷第6期2001年12月南　京　航　空　航　天　大　学　学　报Jo urnal o f Nanjing Univ ersity o f Aerona utics &Astronautics V ol.33N o.6　Dec.2001文章编号:1005-2615(2001)06-0512-04基于细观方法的颗粒增强复合材料弹塑性分析周储伟 王鑫伟(南京航空航天大学航空宇航学院　南京,210016)摘要　针对高体积含量的颗粒增强复合材料,提出了一种细观结构模型:将颗粒简化为同质、同尺寸的弹性圆球,两颗粒之间的连接基体简化为一弹塑性短圆柱体,并假设细观应力、应变和塑性区均为轴对称分布。

基体和颗粒的变形行为分别简化为类似于弹性地基和弹性半空间,以此为基础,建立了反映一对颗粒法向和切向变形协调关系的两个积分方程。

数值求解这两个方程,可得到一对颗粒间基体中细观应力的分布形式,从而建立颗粒对的细观弹塑性本构,采用平均化方法,进一步推导出材料宏观的应力-应变关系。

本文利用该模型对一种金属基复合材料的拉伸实验进行了模拟,理论预测与实验结果吻合较好。

关键词:复合材料;颗粒增强复合材料;本构关系;细观力学;平均化方法中图分类号:T B333;O 343.7;O 344.1 文献标识码:A　基金项目:中国博士后基金及江苏省博士后基金资助项目。

　收稿日期:2000-11-07;修订日期:2001-07-18　作者简介:周储伟,男,副教授,1964年2月生;王鑫伟,男,教授,博士生导师,1948年2月生。

引 言颗粒增强复合材料的力学性能与颗粒体和基体的模量、强度、颗粒的体积含量、颗粒/基体的粘合强度等细观参数有关,从这些细观参数出发,预测出材料的宏观力学性能,是材料设计和使用中所关心的问题。

当颗粒体积含量较高时,颗粒间的相互作用效应很强,这种效应对于材料的模量、屈服、损伤等力学性能都有很大的影响,此时适用于较小颗粒体积含量的基于Eshelby 方法的各种细观力学模型不再适用[1～2]。

本文以高体积含量的颗粒增强复合材料为背景,通过对其细观结构的简化和引入类似文[3～5]中对细观应力、变形及塑性区域的一些假设,提出了一种适用于高体积含量的颗粒复合材料的细观结构模型,并给出了细观应力和一个颗粒对的拉压、剪切模量的求法。

在此基础上,采用平均化的方法,求出了材料宏观的应力-应变关系。

1　材料细观结构的简化模型本文假设颗粒是同质、同尺寸的弹性圆球,连接两颗粒的基体部分简化为一段圆柱体,该圆柱体与颗粒球心的连线共轴,如图1所示。

圆柱半径r c的选取具有一定的人为性,本文采用的方法为:设一个颗粒与N 个颗粒相邻,则就有N 个连接柱体,这N 个连接柱体在该颗粒球面上的投影圆相切。

圆柱形基体中的应力、应变及塑性等均假设为轴对称分布,基体材料的屈服从两颗粒相距的最近处,即圆柱体的轴线处萌生,并以轴对称的方式向外扩展。

对于颗粒体积含量较高的情况,圆柱形基体的轴向长度远小于其半径,故假设其应力、应变及塑性变形沿轴向为均匀分布,圆柱体的径向应变也远小于轴向及剪切应变,分析中忽略不计。

颗粒的弹性变形用空间半无限体的变形来模拟。

图1　颗粒通过基体相连接的模型2　一对颗粒的细观弹塑性分析对于两相邻颗粒组成的颗粒对,取图2所示的图2　一个颗粒对的坐标系坐标系,n 和t 分别为沿球心连线和垂直球心连线方向上的单位向量,h 0表示基体轴心处的厚度,h c 表示圆柱体最外圈的厚度,h (r )=h 0+r 2/R 表示圆柱体至轴心距离为r 处的厚度,R 为颗粒的半径。

由于XO Y 平面为对称面,可只取一个颗粒半个圆柱形基体的构型来研究。

设两颗粒之间相互作用力的合力为P ,颗粒球心之间的相对位移为2w ,记变形后颗粒表面相对于该颗粒变形前球心位置的位移为u P ,相对于X OY 平面的位移为u M ,则w =u P +u M 。

颗粒和基体接触面中的应力记为e 。

根据第1节中的假设,基体中的应变可以近似为X n =2u nM (r )h (r ) V nt =2u t M(r )h (r )(1)式中:u nM(r ),u t M(r )分别为u M的法向和切向的位移分量;而基体中的应力分量为e n (r )=4G M 1-v M 1-2v M u n M (r )h (r )e r (r )=e θ(r )=4G Mv M 1-2v M u n M (r )h (r )f nt (r )=4G Mu tM (r )h (r )(2)式中:G M ,v M 分别为基体的剪切模量和泊松比。

位移协调条件可以写为[3～10]w n =(1-2v M )4(1-v M )G Mh (r )e n (r )+(1-v P )2G P π∫π0d θ∫r cos θ+r 2c-r 2sin 2θ×e n (r 2+s 2-2rs cos θ)d sw t =12G Mh (r )f nt (r )+14G P π∫π0d θ∫r cos θ+r 2c-r 2sin 2θ×f nt (r 2+s 2-2rs cos θ)(1-v M sin 2θ)d s (3)其中:G P ,v P 为颗粒的剪切模量和泊松比,式(3)右端第一项为基体变形的贡献,第二项为颗粒变形的贡献,颗粒的变形认为近似于弹性半空间的变形[4～5],其中坐标参数θ,s 的意义见图3。

颗粒表面图3　计算颗粒表面一点变形的积分区域任一点A 处的变形,可视为AB 线段上每一点上的面力对A 点变形贡献的积分,同时AB 线段绕A 点从-π到π旋转(由对称性,实际旋转范围为0～π),而AB 线段的长度,就是式(3)中d s 的积分区域。

可采用数值方法求解积分方程(3),如可将e n (r ),f nt (r )设为多项式,其系数通过配点法来确定,与w n ,w t 成比例。

设基体为理想弹塑性材料,并且满足V on-Mises 屈服准则,则弹、塑性区域交界面处的应力应满足下式1-2v M 1-v M2e 2n (r y )+3f 2nt (r y )=e 2s (4)式中:e s 为屈服应力,r y 为塑性区域的半径。

设塑性加载条件下,塑性区内(0≤r ≤r y )应力分量的值保持不变,由应力连续要求,塑性区内的应力分量等于弹塑性交界面处的应力分量:e Pn =e (r y ),f Pnt =f nt(r y )。

弹性区域内的应力分布仍可通过式(3)表示的位移协调条件求解。

对于本文的模型,塑性区分布在圆柱状基体的中心处,所以材料中某点处基体塑性区半径r y 随空间取向的变化,就反映了该点的塑性程度。

颗粒对之间作用力的合力可以由基体中的分布应力积分得到P n =2π∫rc0e n r d r d θ　P t =2π∫rc0f nt r d r d θ(5) 一对颗粒的法向和切向的切线模量由下式给出K n = P n w n K t = P tw t(6)3　宏观等效力学性能与算例图4所示材料中一颗粒m ,半径为r ,n 为另一513第6期周储伟,等:基于细观方法的颗粒增强复合材料弹塑性分析个与之相邻的颗粒,两颗粒之间的距离为h 0,颗粒中心连线方向上的单位矢量为I nm =(X n -X m )/(2R +h 0)。

设在颗粒直径尺度上,宏图4　空间一对相邻颗粒观的应变场可视为均匀,则两颗粒球心间的相对位移可用该处的宏观应变场X-表示[11,12]W n =(2R +h 0)I nm X- I nm I nmW t =(2R +h 0)I nm X -(l -I nm I nm )(7)式中l 为二阶单位张量。

两颗粒之间的作用力用宏观应变表示,其分量形式为P nm i =R +h 02[(K n -K t )X -kl I nm k I nm l I nm i +K t X -i j I nm j ](8) 空间X m点处的宏观应力可取包含该点的一个小区域中细观应力的平均值,现令该区域包含颗粒m ,而且其边界包含由该颗粒组成的每一个颗粒对的对称面,这样该区域中颗粒的体积含量等同于该材料的颗粒体积含量。

利用GU ASS 公式,该点的平均应力可以表示为e-ij =1V m∫V me mij d V =1V m∑M n =1∫Snm(Fnm ix j +F nmj x i )d S(9)式中:V m为该区域的体积;e mi j 为该区域中的应力;M 为每个颗粒平均组成的颗粒对数目;S nm为颗粒n ,m 之间连接圆柱体在颗粒表面的投影面积;Fnm=e nm n +f nm nt 为基体中的应力分布。

可用分布力的合力P nm 来进一步简化并代替分布力的积分,合力的作用点为颗粒对轴线的中点,以颗粒m 的中心为新的坐标原点,则式(9)可改写为e -ij =12V m ∑M n =1[P n m i (X m j -X n j )+P nm j (X m i -X ni )](10) 由颗粒体积含量的表达式f V =4πR 3/3V m,并利用式(8),上式可改写为e -ij =3f V (2R +h 0)216πR 3∑Mn =1[2(K n -K t )I nm k I nm l I nm i I nmj +K t (W jl I n m k I nm i +W il I nm k I nm j )]X -kl=∑Mn =1e ~ij(Inm1,I nm 2,I nm3)(11)式中,W ij 为Kronecker 符号。

当材料为各向同性时,颗粒对在空间各方向上取向的概率相同。

将平均应力在以单位长度为半径的球面上平均化,并将I nm在图4所示的坐标系中分解,式(11)可以写为e -i j =M 4π∫2π0∫2π0e ~i j (sin θcos h ,sin θsin h ,co s θ)sin θd h d θ(12)M ,h 0和r c 的取值由颗粒的排布方式与体积含量决定,例如颗粒为立方排列时M =6,为体心排列时M =8,由于几何上的限制,M 的最大取值为12。

本文对某种无压浸渗工艺制造的Al 2O 3/Al 颗粒复合材料进行了单轴拉伸实验,用以验证理论模型。

该材料颗粒体积含量为48%,颗粒和基体的弹性模量分别为E P =400GPa 和E M =70GPa,泊松比分别为v P =0.2和v M =0.33,基体的屈服应力es =E M /200,并设每个颗粒平均有8个相邻的颗粒(颗粒按体心排布),可计算出相应的颗粒间距h 0=0.246R ,基体圆柱半径r c =0.707R 。

当颗粒对法向发生相对位移0.006R 时,用多项式拟合得到的基体中的法向应力分布如图5所示,图6为该材料单轴拉伸时的宏观平均应力应变曲线,可见理论结果与实验相吻合。