2019年高考全国卷Ⅰ数学试题解读

2019年高考全国卷Ⅰ数学试题解读蚌埠市教育教学创新研究会 杨培明 杨 熙每年高考后,一些“有才”的数学老师会说:“今年高考数学容易,所有的题目我都讲过了”.今年高考后依然如此,这些职业吹牛的“有才”老师,是不可能有进步的.2019年高考已落下帷幕,2019年的高考数学势必会给高中数学教学,尤其是高三数学迎考带来很大的冲击,也给许多希望进步的老师和学生,提出了一些值得深思的问题.一.小题真的大题化吗？[例1]:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第10题,(文科)第12题)已知椭圆C 的焦点F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A 、B 两点,若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C 的方程为( ) (A)22x +y 2=1 (B)32x +22y =1 (C)42x +32y =1 (D)52x +42y =1本题(客观题,小题)与如下高考解答题(大题),不仅同构,而且难度相当. (2010年辽宁高考理科第20题)设椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0)的左焦点为F,过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,直线l 的倾斜角为600,AF =2FB . (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)如果|AB|=415,求椭圆C 的方程.[官方解析]:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意知y 1>0,y 2<0; (Ⅰ)直线l 的方程为y=3(x+c),其中c=22b a -;联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=222222)(3ba y a xbc x y 得(3a 2+b 2)y 2-23b 2cy-3b 4=0(不易想到消x 得关于y 的方程),解得y 1=2223)2(3b a a c b ++,y 2=2223)2(3b a a c b +-(易想到利用韦达定理,不联系下一步,不知为何要解出y 1,y 2),因为AF =2FB ,所以-y 1=2y 2,即-2223)2(3ba a cb ++=2⋅2223)2(3ba a cb +-,得离心率e=ac =32;(Ⅱ)因为|AB|=211k+|y 1-y 2|,所以32⋅222334ba ab +=415,由ac =32得b=35a,所以45a=415,得a=3,b=5,椭圆C 的方程为:92x +52y =1.难道小题真的大题化吗？如果按照官方解析求解例1,则真的就是“小题大做”,即使得到正确结果,由于用时过长,也造成潜在失分.我们知道客观题只要结果,无需过程.因此,小题快解是应对高考的首要问题.多年的实践证明:利用高考数学母题,可达到小题快解之目的.我们在《2019年高考数学押题密卷(六套卷)》(见母题网、百度文库和豆丁网等网站,以下简称《六套卷》)的第三卷(理科)中,我们给出: (《六套卷》第三卷(理科)第10题)过双曲线C:43622y x -=1的右焦点F 的直线与其右支交于A,B 两点.若|AF|=m,|BF|=n,则nm 11+=( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 [母题]:设圆锥曲线(双曲线需同支)中,共线焦半径分别为r,R,通径为L,则r1+R1=L4.[解析]:由母题:nm 11+=22ba =3.故选(C). 利用上述母题,可给例1的绝妙解答. [解析]:由|AF 2|=2|F 2B|和||12AF +||12BF =22ba ⇒|F 2B|=ab 432,|AF 2|=ab 232;又由|AB|=|BF 1|⇒ab 232+2⋅ab 432=2a ⇒22a b =32.故选(B).根据上述母题,可妙解所有焦点分焦点弦比的问题,如:1.(2010年全国Ⅰ高考试题)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D,且BF =2FD ,则C 的离心率为 .2.(2010年全国Ⅱ高考试题)已知椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0)的离心率为23,过右焦点F 且斜率为k(k>0)的直线与C 相交于A 、B 两点.若AF =3FB ,则k=( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)2高考数学母题不是解决某道试题的特殊技巧、方法和结论,而是解决一类试题的核心结论和本质方法.举例如下:[例2]:(《六套卷》第二卷(理科)第15题)如图,已知双曲线C:22ax -22b y =1的右焦点为F,以原点O 为圆心,|OF|为半径的圆O 与双曲线C 的一条渐近线相交于点B,若BF 的中点A 在双曲线C 的另一条渐近线上,则双曲线C 的两条渐近线夹角是 . [母题]:若双曲线C:22a x -22b y =1的右焦点为F,则以原点O 为圆心,|OF|为半径的圆O 与双曲线C 的渐近线相交于点的横坐标=±a.[解析]:由母题知,B(-a,b),又F(c,0)⇒BF 的中点A(2a c -,2b );由点A(2a c -,2b )在y=ab x 上⇒2b =ab ⋅2a c -⇒ac=2⇒ab=3⇒∠AOF=3π⇒双曲线C 的两条渐近线夹角=3π.利用上述母题,可快解:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第16题)已知双曲线C:22a x -22b y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点.若A F 1=AB ,B F 1⋅B F 2=0,则双曲线C的离心率为 .[解析]:由母题知,B(a,b),又F 1(-c,0)⇒BF 1的中点A(2c a -,2b );由点A(2c a -,2b )在y=-ab x ⇒2b =ab⋅2a c -⇒e=ac =2.对比以上两题:①由同一个母题生成;②所有条件相同;③解题程序同构,两题的契合度之高,令人称奇.利用高考数学母题预测高考试题不仅是可能的,可操作的,而且是有规律的.如: 1.试题出处2019年全国Ⅰ卷(文理科)第5题《六套卷》第二卷(文科)第8题真题再现函数f(x)=2cossinxxxx++在[-π,π]的图像大致为( )已知函数f(x)=xx sin1-,则y=f(x)在(-π,0)∪(0,π)上的图像是( )解法母题[母题]:着意使用排除法.可妙解给定的函数图像选择题,常用手段有:取值排除、奇偶排除和凸凹排除.试题解答[解析]:由y=cosx+x2是偶函数,y=sinx+x是奇函数⇒f(x)是奇函数;排除(A)(D);又f(π)>0,排除(B)(C).故选(D).[解析]:由y=1是偶函数,y=x-sinx是奇函数⇒f(x)是奇函数;排除(B)(D);又f(2π)>0,排除(C).故选(A)对比分析两题为同一个方法母题的子题,且解题步骤完全同构,函数模型相似.2.试题出处2019年全国Ⅰ卷(文科)第11题《六套卷》第四卷(理科)第13题,(文科)第15题真题再现∆ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-41,则cb=( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2-a2=21c2,则BAtantan= .结论母题[母题]:三角平方差公式:sin2α-sin2β=sin(α-β)sin(α+β).试题解答[解析]:由asinA-bsinB=4csinC⇒sin2A-sin2B=4sin2C⇒sin(A-B)sin(A+B)=4sin2C⇒sin(A-B)=4sinC⇒tanB=5153⇒cb=)sin(sin4BAB-=ABA coscotsin4-=6.故选(A).[解析]:由b2-a2=21c2⇒sin2B-sin2A=21sin2C⇒sin(B-A)sin(B+A)=21sin2C⇒2sin(B-A)=sin(B+A)⇒BAtantan=31对比分析两题为同一个结论母题的子题,由结论母题,可给出高考试题的另类解法.二.不能创新传统数学吗？数学具有严格的逻辑体系,中学数学的传统内容已有上千年的历史,已形成完备成熟的体系,对中学数学的创新可能吗？即使可以创新,难度之大可想而知;高考数学母题具有创新学习方法、打造高考利器、科学预测试题、革新中学教学、优化学科体系和助推素质教育等六大基本功能.[例3]:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第18题)如图,直四棱柱ABCD-A1B2C3的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=600,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(Ⅰ)证明:MN∥平面C1DE;(Ⅱ)求二面角A-MA1-N的正弦值.立体几何是最成熟、历史最悠久的数学分支之一,空间向量的引入给立体几何带来了一片生机,研究可得:[母题]:解决立体几何试题:①充分利用长方体模型的定位功能,把题中的几何体放置于长方体中,不仅可充分体现几何体中的线面位置关系,而且有利于建立空间直角坐标;②灵活利用母题:“若平面α与坐标轴分别交于点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面α的法向量为m =(a1,b1,c1),特别的,若平α平行于某坐标轴,则平面α法向量的对应坐标为0”.直接写出平面的法向量(但要绕出过程),即可达到会解快解.[解析]:(Ⅰ)取AD 的中点F,则BF ∥DE,NF ∥AA 1,且NF=2,由BM ∥AA 1,且BM=2⇒NF ∥BM,且NF=BM ⇒MN ∥BF ⇒MN ∥DE ⇒MN/∥平面C 1DE;(Ⅱ)分别以直线BD 、AC 为x 、y 轴建立空间直角坐标系,则A(0,-3,0),A 1A(0,-3,4),M(1,0,2),N(-21,-23,2);设平面AMA 1的法向量m =(x,y,z)(平面AMA 1在x 轴上的截距为1,在y 轴上的截距为-3,且平面AMA 1∥z 轴,先由母题可写出m =(3,-1,0),再绕出解题过程),由m ⋅1AA =0,m ⋅AB =0⇒m =(3,-1,0),同理可得平面A 1MN 的法向量n =(-1,3,1)(平面A 1MN 在x 轴上的截距为-1,在y 轴上的截距为33,在z 轴上的截距为1)⇒cos<m ,n >=515⇒二面角A-MA 1-N 的正弦值=510.立体几何试题的统一解法的上述母题在《六套卷》第二卷(理科)第18题中给出. (《六套卷》第二卷(理科)第18题)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面ACC 1A 1是菱形, ∠ACB=900,点A 1在平面ABC 内的射影D 是AC 的中点. (Ⅰ)证明:AC 1⊥A 1B;(Ⅱ)若∠DA 1B=600,求二面角A 1-AB-C 的余弦值.[解析]:(Ⅰ)在长方体中作出三棱柱ABC-A 1B 1C 1,由A 1D ⊥平面ABC ⇒A 1D ⊥BC ⇒BC ⊥A 1D,又∠ACB=900⇒BC ⊥AC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC 1⇒AC 1⊥BC;又在菱形ACC 1A 1中,AC 1⊥A 1C ⇒AC 1⊥平面A 1BC ⇒AC 1⊥A 1B;(Ⅱ)以AC 1与A 1C 的交点O 为坐标原点,OA 1与OC 1分别为x,y 轴建立空间直角坐标系,设OA 1=2a,BC=h,则A(0,-23a,0),A 1(2a,0,0),C(-2a,0,0),B(-2a,0,h),B 1(0, 23a,h)⇒D(-a,-3a,0)⇒D A 1=(-3a,-3a,0),B A 1=(-4a,0,h);由∠DA 1B=60⇒cos<D A 1,B A 1>=21⇒h=42a;设平面A 1AB 的法向量m =(x,y,z),由m ⋅1AA =0,m ⋅BA 1=0⇒m =(6,-2,3);同理可得平面ABC的法向量n =(3,1,0)⇒cos<m ,n >=1122⇒二面角A 1-AB-C 的余弦值=1122.对于立体几何问题,母题①的思想具有普遍性,可妙解立体几何问题;母题②的方法可快求成角,距离;预测试题中的几何体恰是高考试题中几何体被平面ABC 1D 1截得的下半部分,两题的契合度之高,令人称奇.[例4]:(《六套卷》第一卷(文科)第20题)定圆C 的圆心的坐标为(3,0),半径为4,圆P 以动点P(a,b)为圆心,与直线x=-5相切且平分圆C 的周长. (Ⅰ)求动点P 的轨迹G 的方程;(Ⅱ)当b ≠0时,过点Q(a,0)作斜率为-ba 的直线,交轨迹G 于A 、B 两点,求证:PA ⊥PB.解析几何也是最成熟、历史最悠久的数学分支之一,针对抛物线,研究可得:[母题]:抛物线试题的统一解,就是巧设抛物线上的一点:①观察系数,先巧设抛物线方程中有平方项的变量;②代入抛物线方程中,求另一变量,即得点的坐标,标准是该点的纵、横坐标不含分母;A 、P 、B 三点共线⇔PA ∥PB ,即把A 、P 、B 三点共线,转化为坐标中的系数关系,从而为解决过一点的直线与抛物线交于两点的问题提供了有力手段.[解析]:(Ⅰ)由圆C:(x-3)2+y 2=16,圆P:(x-a)2+(y-b)2=(a+5)2,两圆方程相减得两圆公共弦方程:2(3-a)x-2by+b 2-10a-18=0;又由圆P 平分圆C 的周长⇒公共弦过圆心C(3,0)⇒b 2=16a ⇒动圆P 的圆心P 的轨迹方程:y 2=16x;(Ⅱ)设A(n 2,4n),B(m 2,4m),则k QA =an n -24=-ba ,k QB =am m -24=-ba⇒an 2+4bn-a 2=0,am 2+4bm-a 2=0⇒m 、n 是方程at 2+4bt-a 2=0⇒m+n=-a b 4,mn=-a ⇒m 2+n 2=2216a b +2a=a 216+2a ⇒k PA k PB =an bn --24⋅am b m --24=22222)()()(416a n m a mn b n m b mn ++-++-=22222216161616a a a a a +--++-=-1⇒PA ⊥PB.根据抛物线问题的统一解法母题,可巧解:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第19题)已知抛物线C:y 2=3x 的焦点为F,斜率为23的直线l 与C 的交点为A,B,与x 轴的交点为P.(Ⅰ)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (Ⅱ)若AP =3PB ,求|AB|.[解析]:设A(3a 2,3a),B(3b 2,3b)(a>0)⇒k AB =ba +1=23⇒a+b=32;直线AB:y-3a=23(x-3a 2)⇒P(3a 2-2a,0);(Ⅰ)|AF|+|BF|=(3a 2+43)+(3b 2+43)=3(a+b)2-6ab+23=4⇒ab=-367⇒a 2-32a-367⇒l:y=23x-87;(Ⅱ)AP =3PB⇒a=-3b ⇒b=-31,a=1⇒|AB|=3134.预测试题是作斜率为-ba 的直线,交轨迹G(抛物线:y 2=16x)于A 、B 两点;而高考试题则是斜率为23的直线l 与C(抛物线:y 2=3x)的交点为A,B,条件相同决定解法同构.导数是高等数学的基础,也是高考的重点,许多高考导数试题具有高等数学背景,如何恰当的引伸高中导数,并用高中导数解决呢？[例5]:(《2019年高考考前专家讲座(Ⅱ)》[例095])设函数f(x)=sinx+63x ,x ∈(0,2π).(Ⅰ)求证f(x)的导函数f '(x)在区间(0,2π)上单调递增;(Ⅱ)若f(x)>ax 在区间(0,2π)内恒成立,求a 的取值范围.[母题]:①若f(x)在区间D 上连续可导,且f '(x)在区间D 上单调递增,则当x 0∈D 时,f(x)≥f '(x 0)(x-x 0)+f(x 0),当且仅当x=x 0时,等号成立;②若f(x)在区间D 上连续可导,且f '(x)在区间D 上单调递减,则当x 0∈D 时,f(x)≤f '(x 0)(x-x 0)+f(x 0),当且仅当x=x 0时,等号成立. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=sinx+63x ⇒f '(x)=cosx+22x ⇒f ''(x)=-sinx+x ⇒f '''(x)=-cosx+1≥0⇒f ''(x)在区间(0,2π)上单调递增⇒f ''(x)>f ''(0)=0⇒f '(x)在区间(0,2π)上单调递增;(Ⅱ)由f '(x)在区间(0,2π)上单调递增，且f(x)在x=0处的切线方程为:y=x ⇒f(x)>x ⇒a 的取值范围是（-∞,1].(非正规解题过程,只为揭示试题背景,另一母题可绕出标准解题过程).利用母题,可妙解:(2019年全国Ⅰ卷(文科)第20题)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f '(x)为f(x)的导数. (Ⅰ)证明:f '(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(Ⅱ)若x ∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a 的取值范围. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=2sinx-xcosx-x ⇒f '(x)=cosx+xsinx-1⇒f ''(x)=xcosx ⇒f '(x)在区间(0,2π)上单调递增,在区间(2π,π)上单调递减,且f '(0)=0,f '(2π)=2π-1>0,f '(π)=-2⇒f '(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(Ⅱ)由f(0)=f(π)=0,f '(x)在区间(0,2π)上单调递增，且f(x)在x=0处的切线方程为:y=0所以,f(x)≥ax ⇔a ≤0,故a 的取值范围是(-∞,0].(非正规解题过程,只为揭示试题背景,另一母题可绕出标准解题过程).两题不仅均以含三角函数的超越函数为模型,而且两题函数均过原点,因此两题第(Ⅱ)问的背景相同(生成于同一个母题),解法同构;若高考试题第(Ⅱ)问的条件x ∈[0,π],改为预测试题第(Ⅱ)问的条件x ∈(0,2π),两题第(Ⅱ)问是否一样？三.高考数学命题创新路在何方？高考数学命题的创新是势在必行,问题是创新之路在何方？解读2019年高考全国Ⅰ卷数学试题,可领悟到:1.着意于数学本质的创新[例6]:(《六套卷》第一卷(理科)第7题,(文科)第8题)如图所示是求数列{a n }:a n =2n -1通项a n 的程序框图(算法流程图),图中空白框中应填入的内容为( )(A)S=S+k (B)S=2S-1 (C)S=2S+1 (D)S=2S [母题]:对求数列{a n }:a n =f(n)通项a n 的程序框图,处理框中应填入的内容为f(n+1)与f(n)之间的递推关系.[解析]:由a n =2n-1⇒a n+1=2n+1-1=2(a n +1)-1⇒a n+1=2a n +1.故选(C).程序框图是高考数学的一个考点,常见题型是求输出的结果,即使出现填充程序框图的问题,大多是填充判断框型,较少出现填充处理框型,更没有出现过求数列通项的填充处理框型问题,而求数列的通项,恰是程序框图的本质之一;着意于数学本质的创新,是命制高考数学试题的一个重要方向.高考数学母题是数学本质的最有效的工具.理解该母题,才能把握下面:2019年全国Ⅰ卷(理科)第8题,(文科)第9题,进而秒杀该题.(2019年全国Ⅰ卷(理科)第8题,(文科)第9题)右图是求212121++的程序框图,图中空白框中应填入( ) (A)A=A+21 (B)A=2+A1 (C)A=A211+ (D)A=1+A21[解析]:令a n =A+⋅⋅⋅++2121,则a n+1=na +21.故选(A).两题不仅为同一个方法母题的子题,解题方法一样(均是建立a n+1与a n 的递推关系),而且两题均为首创.2.立足于数学综合的创新[例7]:(2019年全国Ⅰ卷(文理科)第22题)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221411t t y t t x ,(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+3ρsin θ+11=0.(Ⅰ)求C 和l 的直角坐标方程. (Ⅱ)求C 上的点到l 距离的最小值.本题不仅综合了“极坐标系与参数方程”内的主要内容,而且还结合了三角代换:sin θ=212t t +,cos θ=2211tt +-,tan θ=212t t -、辅助角公式和三角函数的有界性,正是与三角代换的结合,不仅构造了本题的难点(难在消去参数t),还呈现了本题的创新点.立足于数学综合的创新,是命制高考数学试题的又一个重要方向.[母题]:三角代换:sin θ=212tt +,cos θ=2211tt +-,tan θ=212t t -(见《专家讲座》[例013]);化参数方程为普通方程的本质是消去参数,常用方法有:①代入法:就是从参数方程组中的其中一个方程中解出参数,然后代入另一个方程中;②三角法:就是灵活运用三角等式,消去参数;③整体法:就是根据参数方程组中参数式的结构特征,构造等式,整体消去参数.[解析]:(Ⅰ)由C:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221411t t y t t x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=22212211tty t t x ⇒x 2+42y =(2211t t +-)2+(212t t +)2=1(x ≠-1);由l:2ρcos θ+3ρsin θ+11=0⇒2x+3y+11=0;(Ⅱ)设C 上的点P(cos θ,2sin θ)⇒点P 到l 的距离d=77|2cos θ+23sin θ+11|=77|4sin(θ+6π)+11|≥7,当θ=-32π时,d min =7⇒C 上的点到l 距离的最小值=7.上述母题是在《六套卷》第四卷(文理科)第22题中给出的. (《六套卷》第四卷(文理科)第22题)已知曲线C 1:⎩⎨⎧==θθsin 3cos y x (θ为参数),曲线C 2:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 21cos 21y x (α为参数).(Ⅰ)化曲线C 1、C 2的方程为普通方程,并说明他们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若曲线C 3:⎩⎨⎧+-==t y t x 1(t 为参数)和曲线C 2相交于A 、B 两点,点P 是曲线C 1上的动点,使确定点P 使ΔABP 的面积S 取得最大值. [解析]:(Ⅰ)由C 1:⎩⎨⎧==θθsin 3cos y x ⇔x 2+32y =1⇒C 1是焦点在y 轴上的椭圆;由C 2:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 21cos 21y x ⇔(x-1)2+(y-1)2=2⇒C 2是以M(1,1)为圆心,半径r=2的圆;(Ⅱ)由C 3:⎩⎨⎧+-==t y tx 1⇔x-y-1=0⇒点M 到C 3的距离d 1=22⇒|AB|=6;设P(cos θ,3sin θ)⇒点P 到C 3的距离d=22⋅|cos θ-3sin θ-1|=22|2sin(θ-6π)+1|⇒当θ=32π时,d max =223⇒P(-21,33),S max =233.两题的设问方式相同,结构同构,第(Ⅰ)问均是三种方程的互化,尤其第(Ⅱ)问的本质均是利用椭圆的参数方程,求椭圆的一点到直线距离的最小值,或最大值.3.着重于数学应用的创新[例8]:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第21题)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X. (Ⅰ)求X 的分布列；(Ⅱ)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,P i (i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则P 0=0,P 8=1,P i =aP i-1+bP i +cP i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c= P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{P i+1-P i }(i=0,1,2,…,7)为等比数列; (ii)求P 4,并根据P 4的值解释这种方案的合理性.今年高考数学试题,让人“震惊”的是:一改以往延续了18年全国Ⅰ卷解答题的布局,转而概率竟然成为压轴题,这本身就是一种大的变革;第21题压轴题源于实际,充分体现了数学的应用性与重要性,融概率与数列于一身,呈现了综合应用的创新性,该类试题曾经常出现在大学自主招生考试中,如:(2011年清华大学保送生考试试题)甲、乙等4人相互转球,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可能地传给另外3人中的任何一人.(Ⅰ)经过2次传球后,球在甲、乙手中的概率各是多少？(Ⅱ)经过n 次传球后,球在甲手中的概率记为P n (n=1,2,…),试求出P n+1与P n 的关系式,并求P n 的表达式及∞→n lim P n .[解析]:(Ⅰ)“经过2次传球后,球在甲手中”=“第二次传球时,甲外的其余3人之一将球传给甲”⇒球在甲手中的概率=31;球在乙手中的概率有两种解法:(法一)“经过2次传球后,球在乙手中”=“第一次转球,球不在乙手中,且第二次传球传给乙”⇒球在乙手中的概率=32×31=92;(法二)第二次传球,球不在甲手中的概率=1-31,而球在乙及其他2人手中的概率相等=31(1-31)=92;(Ⅱ)“经过n+1次传球后,球在甲手中”=“经过n 次传球后,球不在甲手中,且第n+1次传球传给甲”⇒P n+1=31(1-P n )⇒P n =41[1-(-31)n-1]⇒∞→n limP n =41.该题源于转球模型:[母题]:(传球模型)对于任意一个由N 个点组成的网络,如果对于这N 个点中的任意一个点都与另外的N-1个点相连,那么从其中任意一个点A 出发,每次都等概地选择一条道路到达另外一点,则求经i 步后又回到点A 的概率P i =11)1()1()1(----+-i i i N N n .[解析]:设P i 为从点A 出发经i 步后又回到点A 的概率,则P 0=1,P 1=0.又第i-1步不在点A 而在另外N-1个点上的概率为1-P i-1,从而第i 步回到点A 的概率为11-N (1-P i-1)⇒P i =11-N (1-P i-1)⇒P i =11)1()1()1(----+-i ii N N n .利用母题及其解题方法,可解第21题压轴题:X-11[解析]:(Ⅰ)X 的所有可能取值为-1,0,1;且P(x=-1)=(1-α)β,P(x=1)=α(1-β)⇒P(x=0)=1-P(x=-1)- P(x=1)=αβ+(1-α)(1-β),所以X 的分布列为:(Ⅱ)(i)由α=0.5,β=0.8⇒a=P(X=-1)=0.4,b=P(X=0)=0.5,c=P(X=1)=0.1⇒P i =0.4P i-1+0.5P i +0.1P i+1⇒ Pi+1-P i =4(P i -P i-1),又因为P 1-P 0=P 1≠0⇒{P i+1-P i }(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为P 1的等比数列; (ii)由(i)得:P i+1-P i -P 1×4n-1⇒P 8=P 1+(P 2-P 1)+(P 3-P 2)+…+(P 8-P 7)=3148-P 1;由P 8=1⇒3148-P 1=1⇒P 1=1438-⇒P 4=3144-P 1=3144-⋅1438-=1414+=2571;P 4表示最终认为甲药更有效的概率,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率仅为P 4=2571,说明这种试验方案合理. 第21题压轴题难在何处？首先是题情陌生,除非参加数学竞赛和大学自主招生的同学,可能接触过此类试题;二是综合性强,根据概率意义,建立关于概率的递推关系(第21题压轴题中略去了这一步),并利用数列的思想方法求概率;三由于文字过多,且读一遍未必能理解题意,因此,读懂这道题就是一个难点.同类的大学自主招生试题还有:1.(2002年上海交通大学保送生考试试题)A,B 两人轮流掷一个骰子,第一次由A 先掷,若A 掷到一点,下次仍由A 掷,若A 掷不到一点,下次换B 掷,对B 同样适用规则,如此依次投掷,记第n 次由A 掷的概率为A n . (Ⅰ)求A n+1与A n 的关系; (Ⅱ)求∞→n lim A n .[解析]:(Ⅰ)第一次由A 先掷⇒A 1=1;“第n+1次由A 掷”=“第n 次由A 掷,且第n+1次由A 掷”+“第n 次由B 掷,且第n+1次由A 掷”⇒A n+1=61A n +(1-61)(1-A n )⇒A n+1=-32A n +65; (Ⅱ)(法一)由A n+1=-32A n +65⇒A n+1-21=-32(A n -21)⇒A n -21=21(-32)n-1⇒A n =21+21(-32)n-1⇒∞→n lim A n =21;(法二)设∞→n lim A n =x ⇒∞→n lim A n+1=x 由A n+1=-32A n +65⇒∞→n lim A n+1=-32∞→n lim A n +65⇒x=-32x+65⇒x=21⇒∞→n lim A n =21.2.(2011年“华约”自主招生试题)投掷一枚硬币(正反等可能),记投掷n 次不连续出现三次正面向上的概率为P n . (Ⅰ)求P 1,P 2,P 3和P 4;(Ⅱ)写出P n 的递推公式,并指出单调性; (Ⅲ)∞→n lim P n 是否存在？有何统计意义.[解析]:(Ⅰ)P 1=P 2=1,P 3=1-(21)3=87,P 4=(第4次出现反面向上,其概率为21,且前3次不连续出现三次正面向上,其概率为P 3)21P 3+(第4次出现正面向上,除去第3,2次出现正面向上,第1次出现反面向上)21P 3-(21)4=P 3-(21)4=1613;(Ⅱ)P n =(第n 次出现反面向上)21P n-1+(第n 次出现正面向上,除去第n-1,n-2次出现正面向上,第n-3次出现反面向上) 21P n-1-(21)4P n-4⇒P n =21P n-1+21P n-1-(21)4P n-4⇒P n =P n-1-161P n-4(n ≥5);由P n =P n-1-161P n-4⇒P n <P n-1⇒{P n }单调递减;(Ⅲ)由{P n }单调递减,且P n >0⇒∞→n lim P n 存在;由P n =P n-1-161P n-4⇒∞→n lim P n =∞→n lim P n-1-161∞→n lim P n-4⇒∞→n lim P n =0;其统计意义是:当n →∞时,P=0,即当投掷次数充分大时,不连续出现三次正面向上的事件是小概率事件.广泛的应用性是数学的本质属性,2019年全国Ⅰ卷充分体现了“着重于数学应用的创新”:除第21题压轴题外还有4题,文理第4题均以著名的“断臂维纳斯”雕像为例,命制应用题;理科第6题以我国P (1-α)β αβ+(1-α)(1-β) α(1-β)古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置了排列组合题,体现了数学原理和方法在解决问题中的价值和作用;理科第15题，引入非常普及的篮球运动,以其中比赛的预估和比赛场次的提出问题;文科第17题以商场服务质量管理为背景,设计了统计应用问题.数学应用问题不仅每年必考,而且难度有逐年加大之趋势,2016年、2017年理科应用问题都为第19题,2018年理科应用问题是第20题,而今年移到了21题压轴题,其难度与用意不言而喻.2019年全国Ⅰ卷不仅提高了应用题的数量,而且加大了应用题的难度.可能受新课标的影响,新的高中教材删除的内容,如“三视图、线性规划等”没有出现在今年的高考试题中.总之,整套试题基本体现了由“以能力立意”过渡到“以素养立意”命题,试题难度虽有所上升,但其在高校选拔中的特殊地位和作用仍是不可替代,为今后的教学指明了方向.。