2013广东文科试题及答案
2013届广州市调研测试文科综合政治试题及参考答案
广州市2013届高三年级调研测试文科综合政治部分2013．1 本试卷共4页，共14题，满分100分。
考试用时约50分钟。
一、选择题：本题包括12小题，每小题4分，共48分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
多选、错选均不得分。
24．某企业的成功经营之道在于“控制着创新节奏，重新定义着产品类别；在消费者没有意识到需求之前，就已经提前了解。
”这说明，实现企业的发展必须①注重借鉴吸收②善于紧跟市场消费潮流③坚持自主创新④善于创造新的消费需求A．①③ B．③④ C．①② D．②④25．截至2012年底，中央财政用于公共租赁住房和城市棚户区改造相关配套建设支出补助资金达987亿元。
这主要表明财政具有＿＿＿＿的作用。
A．促进资源合理配置 B．促进社会公平C．促进国民经济平稳运行 D．提高消费水平26．工业生产者出厂价格指数（简称PPI）反映了工业企业产品第一次出售时出厂价格的变化趋势和变动幅度。
造成下图所示经济现象的主要原因是①产能过剩②调结构③控物价④市场需求不足A．①② B．③④ C．①④ D．②③27．据统计显示，2012年中国企业海外并购额达到创纪录的572亿美元。
12月7日，国有控股企业中海油以151亿美元成功收购加拿大尼克森公司，是中国企业对海外上市公司的最大一笔收购。
企业的对外并购①是我国企业顺应经济全球化加快走出去步伐的表现②是我国实施贸易保护主义应对金融危机的必然要求③有利于我国更好地利用国际国内两种资源抵御风险④有利于我国扩大国有经济在国民经济中的支配地位A．①② B．③④ C．②④ D．①③28．面对某市政府启动的“植树增绿行动”，市民潘某决定“收声做事”，一是实地调研了解种树决策的合理性及其缺陷，二是给政府有关部门打电话询问情况并表达态度。
潘某的“做事”启示我们A．要充分利用舆论监督这一最有效的监督方式B．拓宽民意反映渠道是科学决策的重要前提C．坚持实事求是原则，负责任地行使监督权D．要参与民主管理，不因人微言轻而放弃监督权29．近年来，全国人大及其常委会就社会各界所关注的问题如财政预算决算、保障性住房建设、教育改革等等，开展了多次的专题询问。
2013年广东高考文科数学精美word版逐题详解教案资料
学习-----好资料2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）逐题详解【详解提供】广东佛山市南海区南海中学钱耀周1参考公式:V?Sh Sh表示锥体的高.表示椎体的底面积,,其中椎体的体积公式3只有一项,分,在每小题给出的四个选项中5分,共50一、选择题:本大题共10小题,每小题.是符合题目要求的????22Rx?xRT?|x?2x?0,S?x|x?2x?0,x??ST( )则,1．设集合,????????2,0,2?2,00?0,2DCA .B．．．??????00,2M???2,0SN?T AA．故选；易得所以,,,【解析】??1xlg????fx( )??????????????,1,?1,????,1?1,11??1,??1的定义域是2．函数1?xDBCA .．．．01?x??1x?x??1 CC；依题意且故选．,解得,?【解析】01?x??开始??yix?R y?x,ix?yi4?i3?( )则,的模是3．若,n 输入5342DBA .C．．．3??xy?xi?3?4i?4,y?1s?i?1,D, ；依题意所以,【解析】i3x?yi?4?5 D．的模为所以故选,否ni??15?????cos?sin是 ( ) ,那么4．已知?输出s52?????s1is??1212??结束BDCA .．．．5555 1?i?i?51???????cossin CC；由诱导公式可得．,故选【解析】??25??第5题图sn3 ( )5．执行如图所示的程序框图的值为,则输出的,若输入的值是7412DCA .B．．．3i?2s?2,?s?1,i C；第二次循环后:；；第一次循环后:【解析】4i?s?4,4 C.,选；循环终止,第三次循环后:故输出 ( )则该三棱锥的体积是6．某三棱锥的三视图如图所示,1121BA .DC．．．633侧视图正视图12B,高为；由三视图可知该三棱锥的底面积为,【解析】2111??V??2 B.,所以故选俯视图题图6第332221?xy?1y?x?( )且与圆．垂直于直线7相切于第一象限的直线方程是更多精品文档．学习-----好资料0?0x?y?1x?y?1?0?x?y?2x?y?2?0DCA .B．．．2?y??x AA．,故选画出直线和圆,不难得到切线方程为；数形结合!【解析】??,l( )下列命题中正确的是,是两个不同的平面8．设,为直线??????////l//l????ll//BA .则,若,则,．若,???????l//l?//??//l?l DC,,,,．若．若则则BACDB．是典型错误命题,；选【解??1,0FCC ( ) 的方程是,在椭圆9．已知中心在原点的椭圆,的右焦点为离心率等于析】1222222222yxyyyxxx?1?1??1???1?DA .CB．．．433424341?e22222a?c?13?4b??aca?DD．从而；依题意,所以,,故选,,【解析】2: 有如下四个命题的分解,10．设是已知的平面向量且,关于向量0?aaa????cba??；, 给定向量总存在向量,使；②给定向量和,总存在实数,和使①ca?b?ccbb????ca??b③给定单位向量和正数使,总存在单位向量和实数；,cb????ca??b.④和使,总存在单位向量和单位向量给定正数,cb( ),则真命题的个数是上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线abcb3421DBA .C．．．BBB比．:对于④,；考查平面向量基本定理,成立的有①②,故选说明【解析】??1??. 和如给定,就不一定存在单位向量和单位向量,使c?a?bcab??c如图,给定单位向量和正数,可知,的模确定,的方向确定对于③bb OAa?AB?c. 等式不能成立时,20分4小题，每小题5分，共二、填空题：本题共5小题，考生作答)13(一)必做题(11～题????aa?aaa?2?1 ,则是首项为________,公比为11．设数列．的等比数列423n115?4?8?1?2?aa?a??a8a???4,aa??2,15. ；依题意所以,【解析】4324213??x?a2a1,y xax?lny?______.则轴12．若曲线在点处的切线平行于,111???a?2axy A 0a?1?2. ；求导得,,依题意所以【解析】3 22x0???y3x?CB?1yx,yx?z?1?x??1?____.则满足约束条件已知变量的最大值是,13. 13?O x1??1y????y?x?z1,4A55.,,；画出可行域如图所示其中且最大值为取得最大值时的点为【解析】 ,只计前一题的得分）,考生只能从中选做一题,两题全答的题（二）选做题（14、15??x2cos?C极轴为以极点为坐标原点,已知曲线的极坐标方程为14.,)(坐标系与参数方程选讲选做题C_____________. 则曲线轴的正半轴建立直角坐标系,的参数方程为更多精品文档．好资料学习-----?cos?1?x???2??222,01?x?y2?x1?yx?1?C,圆心为的普通方程为,即,(曲线为参数)；?【解析】?siny???cos1?x???C1?r).(,所以曲线半径为参数的参数方程为??siny?BC?3?AB3?BCABCD,,中)如图,在矩形,15. (几何证明选讲选做题AC?BE?EDE_________.,垂足为则,E21ABCRt?32AC?,,由射影定理可得中；依题意,在【解析】A D2题图第1532??30?ABCADE??AEAC?AE?AB所以(也可以由 ,中,得到),在由余弦定理可得22132133222??ED?3????29???AEAE?2ADED??ADcos30所以. ,22442.,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤满分80分三、解答题:本大题共6小题, 12分）16．（本小题满分????cosxf(x)?2R x?.已知函数,??12?????33??????????2?,f?f?cos,若,求求的值； (Ⅱ． ) (Ⅰ) ??????2635??????????????1?f2coscos?2??Ⅰ【解析】(；)????41233?????433???????2,???cossin因为(Ⅱ,所以, ,) ??255??????134?????????????????cos??cos??f??2cossin???2.????????55561246????????分）．（本小题满分131750:的频数分布表如下:克)个,其质量(单位从一批苹果中,随机抽取??90,95Ⅰ) 根据频率分布表计算苹果的重量在的频率；(??????80,8595,10080,854的有,其中重量在和的苹果中共抽取(Ⅱ) 用分层抽样的方法从重量在个?几个????95,10080,85124. 和)在(Ⅱ中抽出的中各有个苹果中,任取,个求重量在个的概率) ??90,95?的频率为)【解析】(Ⅰ依题意,苹果的重量在；550141??80,851?5?? (Ⅲ220????95,10080,85ad,,bc24包(Ⅲ,.抽样比为的有) . (所以重量在,Ⅱ个55?155重量在,,个苹果中) 设抽取的重量在的为中的为从中任取个更多精品文档．学习-----好资料????????????????95,100,80,85b,,da,c,,,ad,,db,cca,b6中各满足重量在,共含的基本??????d,,b,,aa,ca?31. 共所以所求概率为有个个的基本事件为.,62事件有:和个；31分）（本小题满分18．13AC,D,EAB BCABCFAD?AE1的中边上的点分别是,,如图1,在边长为是的等边三角形,中2?BC BCFGA?AFDEAFABF?. 沿,折起,交于点得到如图,将2所示的三棱锥其中点,与2AAEG GEDDC FBCFB2图1图BCF//DE平面(Ⅰ) 证明:；?CFABF平面(Ⅱ) 证明:；2?AD VDEGF?. 时,求三棱锥(Ⅲ) 当的体积3AEAD?BCAB?ACDE//AEAD?1 ,所以因为中,；,,【解析】(Ⅰ)方法一:(面面平行)在图所以ACAB BCFDG?BCFDG//BF?BF2 ,平面,,在图因为中,平面由翻折的不变性可知GGE?DGBCFBCFDGE//BCFDG//GE// ,又同理可证平面,所以平面平面所以平面,BCFDE//DGE?DE.平面又,所以平面AEAD?BC//AB?ACDEAE?AD2, ,所以,,方法二:在图所以中,由翻折不变性可知ACAB BCF//BC?BCFDEDE?BCF.所以平面平面平面,因为,1222?BCBCBF?CF??CFBF?BFCF?2因为中,(,,所以,Ⅱ) 在图22FAF?BF?CF?CFAFABF.又平面,,所以DGFCFCF??GEGE?GE//ABFABF,所以平面平面)知,平面Ⅲ() 因为,所以(,由Ⅱ33311?AGGF???AF???DGGE?AD, ,依题意可得6323233111331?V??S?????DEG?F. 所以的体积所以三棱锥,??2*a14n??4S?a N n?aaaSn构成等比、,设DGF?324363326363 14分）20．（本小题满分各项均为正数的数列的前满足项和为,且、,n1n?n1452n.数列5?aa?4 :；（Ⅰ）证明12??a的通项公式；（Ⅱ）求数列n更多精品文档．好资料学习-----1111????n. （Ⅲ）证明:对一切正整数，有2aaaaaa1n31?2n2 22?a4a?51???14S4?a?4Sa?4n1?n0?a所以,. 【解析】（Ⅰ）在,中令可得而,2121n?1n2??2211?S?a4?n?41??4n4S?a2n?).(可得（Ⅱ）由n1n?1?nn2??22244a?a?a?2a??a2a?a?0a?,,因为即,两式相减,可得所以,n1nn?nnn?1n?1n??a.2的等差数列把第1项去掉后于是数列,是公差为n2????2a?aaa3aa?a24aaa?6??成等比数列可得、、, 由,,即解得5142142522225?a?4a2?1a?a?a,可得由于是,12121????1?2n?a1?2?n?1a. 所以是首项为1,所以数列公差为2的等差数列,nn11111?????, （Ⅲ）因为??????1?1?22n?1aa22n?1n2n??1n?n??111111111111?????????????1??????. 所以??????????aa2a2n?1a3aa23522n?12n?12????????31122nn?20．（本小题满分14分）32????0ccF?0,0??y?2x ClP为直:已知抛物线的距离为的顶点为原点,其焦点设到直线.2BPA,PBA,ClP.??yP,xlAB的方程；作抛物线,过点的两条切线其中线为切点上的点,C的方程；(Ⅰ) 求抛物线上的定点时,求直线为直线(Ⅱ) 当点00BFAF?lP. (Ⅲ) 当点求在直线的最小值上移动时,0?c?2322cyx?4c?0c?1C?. ,结合,依题意,设抛物线由的方程为解得【解析】(Ⅰ) 222yx?4C. 的方程为所以抛物线1122?y?4x?x?xyy C求导得 (Ⅱ) 抛物????21y,y??yBy,Axx,xxPBPA,, 的斜率分别为(其中设则切线的方程为,,即4222xx11线,,),1221211244222xxx??111y?x??y0?2yxx?2y?xx??y?y PA即,即,的方程为所以切线11111222xx?2y?2y?0PB同理可得切线的方程为22??yP,x xx?2y?2y?0xx?2y?2y?0PB,PA所以因为切线,,均过点2211000000????y,,yx,x xx?2y?2y?0的两组解所以. 为方程002211xx?2y?2y?0AB.??????所以直线的方程为00AF?y?1BF?y?1, ,(Ⅲ) 由抛物线定义可知21?y?1y?11y???yy?AFBF?y所以212112xx?2y?2y?0???00222x y?yx2y??0?y联立方程整理得消去,?0002x?4y?更多精品文档．学习-----好资料22y?y?x?2yyy?y由一元二次方程根与系数的关系可得,0021021??22?2yy??y?xy?y1?1?AF?BF?y所以0021102??x?y?2yx,Pl,所以又点上,在直线0000291??222??2yy?5y?1?2y??y?x2?2所以??00000022??91BF?AF?y?.时, 且最小值为取得最小值,所以当022分）（本小题满分1421．????23R?xx?x??kxfk. 设函数??xf1k?求函数的单调区间；时Ⅰ) 当,(????k?kf,x m0k?M. 上的最小值时,求函数在(Ⅱ)当和最大值????232?1xx??f3xx?x?x?xf?21k?当时, ,【解析】(Ⅰ)2???????xf?0xf0?4?3????21?RR. 在上单调递增上恒成立因为,,所以在所以??????f??x,. 无递减区间所以,的单调递增区间为??2????22?12xkx?f3x??31?4??2kk?4?3??? ) (Ⅱ,判别式 ?????0?3?k?x0xf?f0??RR上单调递增. 所以在在当时,上恒成立,即,y????????3k???kM?ffx2k,?k?m?fkkk?上的最小值,最大值所以在；122x 3k?k??3k?k x2?????xx3??k0x?f0??.????2?0,1?x1?f3x?2kx?x,, 当时,令,即得21k的对称轴为, 因为且恒过30x?k?x?, 画出大致图像如图所示,可知21?????xxff x:当的变化如下表变化时,,????????????xfmaxMminm?fk,fx?f?k,.,由表可知,12更多精品文档．学习-----好资料??????????223k?f?km01?x?kf?xx?fk??x?kxx?k?. ,所以因为222222????2??????????22330kx?1?xk?k?kf?x?f?kx??kx?x?2??k?,因为??111111??3?kk??2M?f?k.所以????????3?kk?k??2fMk?k,k?mfk??xf0?k. 上的最小值当,综上所述时，函数，最大值在不吝赐教,有错难免更多精品文档．。
广东省广州市2013届高三毕业班综合测试(二)文科数学试题 Word版含答案
试卷类型：B2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2013.4 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“x ∃∈R ，2450x x ++≤”的否定是A ．x ∃∈R ，2450x x ++> B ．x ∃∈R ，2450x x ++≤ C ．x ∀∈R ，2450x x ++> D ．x ∀∈R ，2450x x ++≤2．如果函数()()ln 2f x x a =-+的定义域为(),1-∞，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．23．对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是A ．=a b a bB ．+=+a b a bC ．()()=a b c a b cD ．2=a a a4．若直线()1y k x =+与圆()2211x y ++=相交于A 、B 两点，则AB 的值为A ．2B ．1C ．12D ．与k 有关的数值5．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q +=A ．3-B ．1-C ．1D ．36．执行如图1所示的程序框图，输出的S 值为A ．225B ．196C ．169D ．144（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”或“﹕=”）7．若函数cos y x ω=()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫⎪⎝⎭，，则ω的最小值为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．98．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两 部分，则截面的面积为A ．14π B ．π C ．94π D ．4π9．已知01a <<，01x y <<≤，且log log 1a a x y =，那么xy 的取值范围是 A ．(20a ⎤⎦， B ．(]0a ， C ．10a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．210a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，10．某校高三（1）班50个学生选择选修模块课程，他们在A 、B 、C 三个模块中进行选择，且至少需要选择1图2则三个模块都选择的学生人数是A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为 ． 12．已知α为锐角，且3c o s 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin α= ． 13．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足13BE BD =，延长AE 交BC 于点F ，则BFFC的值为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：图3（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于．．．0.2的概率．17．（本小题满分12分）某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面上． （1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离． 18．（本小题满分14分）如图4， 在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠=． （1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时， 求BC 的长． 19．（本小题满分14分）在等差数列{}n a 中，125a a +=，37a =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =-()0a a ∈≠R 且．（1）若()f x 在定义域上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值．PA B图421．（本小题满分14分）经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ． （1）求轨迹M 的方程；（2）证明：BAD CAD ∠=∠；（3）若点D 到直线AB AD ，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程．2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．分，满分50分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．ks5u11．14π-12． 13．36；3981 14．1415三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分） 解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.95.14.78⨯+⨯+⨯++=．据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．………………………………………………3分（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8，所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，， ()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，， ()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形．…………………………………………………7分其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，， ()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种．……………………10分所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102=153． ………………12分 17．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222co s 2A B A C BCBAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为BAC ∠为△ABC的内角，所以3BAC π∠=．……………………………………………………4分 （2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分设外接圆的半径为R ，在△ABC 中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分 因为70BC =，由（1）知3A π=，所以sin A =．所以2R ==，即R =．…………………8分 过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD中，OB R ==703522BC BD ===， 所以2OD ==………………………………………………………11分=． 所以点O到直线BC的距离为m ．……………………………………………………………12分 方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等， 所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………5分 连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分 由（1）知3BAC π∠=， 所以3BOC 2π∠=． 所以3BO π∠=．…………………………………………………………………………………………9分在Rt △BOD 中，703522BC BD ===， 所以35tan tan 603BD OD BOD ===∠．…………………………………………………………11分所以点O到直线BC的距离为3m ．……………………………………………………………12分18．（本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分14分） （1）证明：因为90PAB PAC ∠=∠=，所以P A A ⊥，PA AC ⊥．………………………………1分因为A B =，所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………………………………2分因为BC ⊂平面ABC，所以BC PA ⊥．………………………………………………………………3分因为90ACB ∠=，所以B ⊥．……………………………………………………………………4分 因为P A =，所以BC ⊥平面PAC ．…………………………………………………………5分因为BC ⊂平面PBC，所以平面PBC ⊥平面PAC ．………………………………………………6分（2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥， 所以PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分 因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x <<，……………8分所以AC =9分因为13P ABC ABC V S PA -=⨯△16=………………………………………………………………………………10分=PAB()224162x x +-≤⨯…………………………………………………………………………11分 13=．…………………………………………………………………………………………12分当且仅当224x x =-，即x =时等号成立．………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC-的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分方法2：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ， 所以PA是三棱锥P A-的高．………………………………………………………………………7分因为90ACB ∠=，设ABC θ∠=02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，…………………ks5u ………………………8分则cos 2cos BC AB θθ==，sin 2sin AC AB θθ==．……………ks5u ……………………9分所以112cos 2sin sin 222ABC S BC AC θθθ=⨯⨯=⨯⨯=△．……ks5u …………………………10分所以13P ABC ABC V S PA -=⨯△1sin 23θ=． ………………………………………………………………………………11分 因为02πθ<<， 所以当4πθ=，P ABCV -有最大值13． …………………………………………………………………12分 此时2c 4BC π==………………………………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC-的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分19．（本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1235,7.a a a +=⎧⎨=⎩即1125,27.a d a d +=⎧⎨+=⎩……………………ks5u …………………………………………2分解得11,3.a d =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………………………………3分所以()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-． 所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-*()n ∈N ． …………………………………………………4分（2）因为()()111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ……………………………………………5分所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1223341111111n n n n n S a a a a a a a a a a -+=+++++1111111111111113434737103353233231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11133131nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．………………………………ks5u ………………………………………7分假设存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列， 则21m n S S S =．……………………………………………………………………………………………8分 即2131431m n m n ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．………………………………………………………………………………9分所以224361m n m m =-++．因为0n >，所以23610m m -++>． 即23610m m --<．因为1m >，所以1133m <<+<． 因为*m ∈N ，所以2m =．……………………………………………………………………………12分此时22416361m n m m ==-++．…………………………………………………………………………13分所以存在满足题意的正整数m 、n ，且只有一组解，即2m =，16n =． ………………………14分 20．（本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分14分） 解：（1）因为函数2()2ln f x x a x =-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．……………………………………………………………………1分且2()2af x x x'=-．………………………………………ks5u ……………………………………2分若()f x 在定义域上是增函数， 则2()20a f x x x'=-≥在(0,)+∞上恒成立．…………………………………………………………3分即2a x ≤在(0,)+∞上恒成立，所以0a ≤． …………………………………………………………4分由已知0a ≠，所以实数a 的取值范围为(),0-∞．……………………ks5u ………………………………………5分（2）①若0a <，由（1）知，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数．所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =．…………………………………………………6分②若0a >，由于(2222()x x x a f x x x+-'==， 所以函数()f x 在区间(上为减函数，在区间)+∞上为增函数．………………………7分1≤，即01a <≤时，)[1,2]⊂+∞，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数， 所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(1)1f =．…………………………………………………………9分（ⅱ）若12<≤，即14a <≤时，函数2()2ln f x x a x =-在区间(为减函数，在)2上为增函数，所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为ln fa a a =-．……………………………………11分2>，即4a >时，([1,2]⊂，函数()f x 在区间[1,2]上为减函数， 所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(2)42ln 2f a =-． ……………………………………………13分综上所述，当1a ≤且0a ≠时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =． 当14a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]的最小值为ln fa a a =-．当4a >时，函数()f x 在区间[1,2上的最小值为(2)42ln 2f a =-．………………14分21．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分） 解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y ，依题意得，1y +．…………………………1分整理，得24x y=．所以轨迹M的方程为24x y =．…………………………………………………2分方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………………………………1分且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线． 所以动圆圆心P的轨迹M的方程为24x y =．………………………………………………………2分（2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=． 设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．…………………………3分 由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， AB CDOxylE则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．………………………………………………4分因为2210101011444ACx x x x k x x --==+，2220202011444ABx x x x k x x --==+．……………………………5分由于()120102020444A C ABx x x x x x x k k +---+=+==，即A C k k =-．………………………6分所以B∠=．…………………………………………………………………………………7分（3）方法1：由点D 到AB 的距离等于AD ，可知BAD ∠45=．…ks5u ………………………8分不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+． 由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………10分所以)()00042AB x x =---=-．由（2）知C AD ∠=∠45=，同理可得02AC =+．………………………………11分所以△ABC的面积200012244202S x =⨯-⨯+=-=，解得03x =±．……………………………………………………………………………………………12分当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =， 直线BC的方程为()13142y x -=+，即64x y -+=．…………………………………………13分当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-， 直线BC的方程为()493742y x -=-+，即64x y +-=． ……………………………………14分方法2：由点D 到AB 的距离等于，可知BAD ∠45=．…………………………………8分由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥． 由（2）知104AC x x k -=，204AB x x k -=． 所以1020144AC ABx x x xk k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分 因为02AB ==-，同理2A C =+． ………………………………………………………………………………11分以下同方法1．。
2013年广东高考文科数学(精美word版)逐题详解
正视图侧视图俯视图第6题图2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）逐题详解【详解提供】广东佛山市南海区南海中学 钱耀周参考公式:椎体的体积公式13V Sh =,其中S 表示椎体的底面积,h 表示锥体的高.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,S x x x x =+=∈R ,{}2|20,T x x x x =-=∈R ,则S T = ( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】A ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以{}0S T = ,故选A ． 2．函数()()lg 11x f x x +=-的定义域是( )A . ()1,-+∞B ．[)1,-+∞C ．()()1,11,-+∞D ．[)()1,11,-+∞【解析】C ；依题意1010x x +>⎧⎨-≠⎩,解得1x >-且1x ≠,故选C ．3．若()34i x yi i +=+,,x y ∈R ,则x yi +的模是( )A . 2B ．3C ．4D ．5【解析】D ；依题意34y xi i -+=+,所以4,3x y ==-, 所以43x yi i +=-的模为5,故选D ． 4．已知51sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭,那么cos α= ( ) A . 25- B ．15-C ．15D ．25【解析】C ；由诱导公式可得51sin cos 25παα⎛⎫+==⎪⎝⎭,故选C ．5．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出的s 的值是 ( )A . 1B ．2C ．4D ．7 【解析】C ；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；循环终止,故输出4,选C . 6．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 ( )A .16 B ．13C ．23D ．1 【解析】B ；由三视图可知该三棱锥的底面积为12,高为2,所以1112323V =⨯⨯=,故选B . 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( )A . 0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=【解析】A ；数形结合!画出直线和圆,不难得到切线方程为y x =-故选A ． 8．设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 【解析】B ；ACD 是典型错误命题,选B ．9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ,离心率等于12,在椭圆C 的方程是 ( ) A . 22134x y += B ．2214x += C ．22142x y += D ．22143x y +=【解析】D ；依题意1c =,12e =,所以2a =,从而24a =,2223b a c =-=,故选D ．10．设a 是已知的平面向量且0a ≠ ,关于向量a的分解,有如下四个命题:① 给定向量b ,总存在向量c ,使a b c =+ ；② 给定向量b 和c,总存在实数λ和μ,使a b c λμ=+ ；③ 给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a b c λμ=+ ；④ 给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c,使a b c λμ=+ .上述命题中的向量b ,c 和a在同一平面内且两两不共线,A . 1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】B ；考查平面向量基本定理,成立的有①②,故选B ．说明:对于④,比如给定a 和1λμ==,就不一定存在单位向量b 和单位向量c ,使a b =+ 对于③,给定单位向量b 和正数μ,可知b λ 的方向确定,c μ 的模确定,c AB μ<时,等式不能成立.二、填空题：本题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20(一)必做题(11～13题)11．设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234a a a a +++=________． 【解析】15；依题意2342,4,8a a a =-==-,所以1234124815a a a a +++=+++=. 12．若曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴,则a =______.【解析】12；求导得12y ax x '=-,依题意210a -=,所以12a =.13. 已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩,则z x y =+的最大值是____.【解析】5；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最大值时的点为()1,4A ,且最大值为5.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为_____________.【解析】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)；曲线C 的普通方程为222x y x +=,即()2211x y -+=,圆心为()1,0,A EDCB 第15题图半径1r =,所以曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).15. (几何证明选讲选做题)如图,在矩形ABCD 中,AB =3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED =_________.；依题意AC =在Rt ABC ∆中,由射影定理可得,2AB AE AC =⋅,所以AE =也可以由30ABC ∠=︒得到),在ADE ∆中,由余弦定理可得 2222cos30ED AD AEAD AE =+-⋅︒3219234224=+-⨯⨯=,所以2ED =三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (Ⅱ) 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, cos sin 66124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭341555⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭.17．（本小题满分13分）从一批苹果中,随机抽取50个,其质量(单位:克)的频数分布表如下:(Ⅰ) 根据频率分布表计算苹果的重量在90,95的频率；(Ⅱ) 用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个,其中重量在[)80,85的有几个?(Ⅲ) 在(Ⅱ)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[)80,85和[)95,100中各有1个的概率. 【解析】(Ⅰ)依题意,苹果的重量在[)90,95的频率为202505=； (Ⅱ) 抽样比为415155=+,所以重量在[)80,85的有1515⨯=个. (Ⅲ) 设抽取的4个苹果中,重量在[)80,85的为a ,重量在[)95,100中的为,,b c d .从中任取2个,包含的基本事件有:{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d ,共6个；满足重量在[)80,85和[)95,100中各有1个的基本事件为{}{}{},,,,,a b a c a d ,共3个.所以所求概率为3162=. 18．（本小题满分13分）F ABC F DEG 图1图2如图1,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图2所示的三棱锥A BCF -,其中BC =.(Ⅰ) 证明://DE 平面BCF ； (Ⅱ) 证明:CF ⊥平面ABF ； (Ⅲ) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积V . 【解析】(Ⅰ)方法一:(面面平行)在图1中,因为AD AE =,AB AC =,所以AD AEAB AC=,所以//DE BC ； 由翻折的不变性可知,在图2中,//DG BF ,因为DG ⊄平面BCF ,BF ⊂平面BCF所以//DG 平面BCF ,同理可证//GE 平面BCF ,又DG GE G = ,所以平面//DGE 平面BCF 又DE ⊂平面DGE ,所以//DE 平面BCF .方法二:在图2中,由翻折不变性可知AD AE =,AB AC =,所以AD AEAB AC=,所以//DE BC , 因为DE ⊄平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,所以//DE 平面BCF .(Ⅱ) 在图2中,因为12BF CF ==,2BC =,222BF CF BC +=,所以CF BF ⊥ 又CF AF ⊥,BF AF F = ,所以CF ⊥平面ABF .(Ⅲ) 因为//GE CF ,由(Ⅱ)知CF ⊥平面ABF ,所以GE ⊥平面ABF ,所以GE ⊥平面DGF ,依题意可得1123DG GE AD ===,236GF AF AG =-=-=,所以1123636DGF S ∆=⨯⨯=,所以三棱锥F DEG -的体积113363324V =⨯=. 20．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441n n S a n +=--,*n ∈N ,且2a 、5a 、14a 构成等比数列.（Ⅰ）证明:2a （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明:对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< . 【解析】（Ⅰ）在21441n n S a n +=--中令1n =,可得212441S a =--,而20a >,所以2a =（Ⅱ）由21441n n S a n +=--可得()214411n n S a n -=---(2n ≥).两式相减,可得22144n n n a a a +=--,即()2212n n a a +=+,因为0n a >,所以12n n a a +=+,于是数列{}n a 把第1项去掉后,是公差为2的等差数列.由2a 、5a 、14a 成等比数列可得25214a a a =,即()()2222624a a a +=+,解得23a =,由2a 11a =,于是212a a -=,所以数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列,所以()12121n a n n =+-=-. （Ⅲ）因为()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 所以()1223111111111111112335212122212n n a a a a a a n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）设函数()32f x x kx x =-+()k ∈R . (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当0k <时,求函数()f x 在[],k k -上的最小值m 和最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()32f x x x x =-+,()2321f x x x '=-+因为()224310∆=--⨯⨯<,所以()0f x '>在R 上恒成立,所以()f x 在R 上单调递增. 所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞,无递减区间.(Ⅱ) ()2321f x x kx '=-+,判别式()()22243143k k ∆=--⨯⨯=-当0∆≤,即0k <时,()0f x '≥ 在R 上恒成立,所以f 所以()f x 在[],k k -上的最小值()m f k k ==,最大值M = 当0∆>,即k <,令()0f x '=得13k x =2x = 因为()2321f x x kx '=-+的对称轴为3k x =,且恒过()0,1,画出大致图像如图所示,可知120k x x <<<,当x 变化时,()f x ',()f x 的变化如下表:由表可知,()(){}2min ,m f k f x =,()(){}1max ,M f k f x =-.因为()()()()32222222210f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>,所以()m f k k ==. 因为()()()()()()23232111111210f x f k x kx x k k x k x k k ⎡⎤--=-+---=+-++<⎣⎦, 所以()32M f k k k =-=--.综上所述,当0k <时，函数()f x 在[],k k -上的最小值()m f k k ==，最大值()32M f k k k =-=--.有错难免,不吝赐教。
2013年广东高考文科数学(全解析)逐题详解
正视图侧视图俯视图第6题图2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）逐题详解【详解提供】广东佛山市南海区南海中学 钱耀周参考公式:椎体的体积公式13V Sh =,其中S 表示椎体的底面积,h 表示锥体的高.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,S x x x x =+=∈R ,{}2|20,T x x x x =-=∈R ,则S T = ( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】A ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以{}0S T = ,故选A ． 2．函数()()lg 11x f x x +=-的定义域是( )A . ()1,-+∞B ．[)1,-+∞C ．()()1,11,-+∞D ．[)()1,11,-+∞【解析】C ；依题意1010x x +>⎧⎨-≠⎩,解得1x >-且1x ≠,故选C ．3．若()34i x yi i +=+,,x y ∈R ,则x yi +的模是( )A . 2B ．3C ．4D ．5【解析】D ；依题意34y xi i -+=+,所以4,3x y ==-, 所以43x yi i +=-的模为5,故选D ． 4．已知51sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭,那么cos α= ( ) A . 25- B ．15-C ．15D ．25【解析】C ；由诱导公式可得51sin cos 25παα⎛⎫+==⎪⎝⎭,故选C ．5．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出的s 的值是 ( )A . 1B ．2C ．4D ．7 【解析】C ；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；循环终止,故输出4,选C . 6．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 ( )A .16 B ．13C ．23D ．1 【解析】B ；由三视图可知该三棱锥的底面积为12,高为2,所以1112323V =⨯⨯=,故选B . 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( )A . 0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=【解析】A ；数形结合!画出直线和圆,不难得到切线方程为y x =-故选A ． 8．设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 【解析】B ；ACD 是典型错误命题,选B ．9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ,离心率等于12,在椭圆C 的方程是 ( ) A . 22134x y += B ．2214x += C ．22142x y += D ．22143x y +=【解析】D ；依题意1c =,12e =,所以2a =,从而24a =,2223b a c =-=,故选D ．10．设a 是已知的平面向量且0a ≠ ,关于向量a的分解,有如下四个命题:① 给定向量b ,总存在向量c ,使a b c =+；② 给定向量b 和c,总存在实数λ和μ,使a b c λμ=+ ；③ 给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a b c λμ=+ ；④ 给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c,使a b c λμ=+ . 上述命题中的向量b ,c 和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )A . 1B ．2C ．3D ．4 【解析】C ；考查平面向量基本定理,成立的有①②③,故选B ．说明:对于④,比如给定a和1λμ==,就不一定存在单位向量b 和单位向量c ,使a b c =+.二、填空题：本题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分 (一)必做题(11～13题)11．设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234a a a a +++=________． 【解析】15；依题意2342,4,8a a a =-==-,所以1234124815a a a a +++=+++=. 12．若曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴,则a =______. 【解析】12；求导得12y ax x '=-,依题意210a -=,所以12a =. 13. 已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩,则z x y =+的最大值是____.【解析】5；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最大值时的点为()1,4A ,且最大值为5.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为_____________. 【解析】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)；曲线C 的普通方程为222x y x +=,即()2211x y -+=,圆心为()1,0,A EDCB 第15题图半径1r =,所以曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).15. (几何证明选讲选做题)如图,在矩形ABCD 中,AB =3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED =_________.；依题意AC =在Rt ABC ∆中,由射影定理可得,2AB AE AC =⋅,所以AE =也可以由30ABC ∠=︒得到),在ADE ∆中,由余弦定理可得 2222cos30ED AD AEAD AE =+-⋅︒3219234224=+-⨯⨯=,所以2ED =三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (Ⅱ) 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, cos sin 66124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭341555⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭.17．（本小题满分13分）从一批苹果中,随机抽取50个,其质量(单位:克)的频数分布表如下:(Ⅰ) 根据频率分布表计算苹果的重量在90,95的频率；(Ⅱ) 用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个,其中重量在[)80,85的有几个?(Ⅲ) 在(Ⅱ)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[)80,85和[)95,100中各有1个的概率. 【解析】(Ⅰ)依题意,苹果的重量在[)90,95的频率为202505=； (Ⅱ) 抽样比为415155=+,所以重量在[)80,85的有1515⨯=个. (Ⅲ) 设抽取的4个苹果中,重量在[)80,85的为a ,重量在[)95,100中的为,,b c d .从中任取2个,包含的基本事件有:{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d ,共6个；满足重量在[)80,85和[)95,100中各有1个的基本事件为{}{}{},,,,,a b a c a d ,共3个.所以所求概率为3162=. 18．（本小题满分13分）F ABC F DEG 图1图2如图1,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图2所示的三棱锥A BCF -,其中BC =.(Ⅰ) 证明://DE 平面BCF ； (Ⅱ) 证明:CF ⊥平面ABF ； (Ⅲ) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积V . 【解析】(Ⅰ)方法一:(面面平行)在图1中,因为AD AE =,AB AC =,所以AD AEAB AC=,所以//DE BC ； 由翻折的不变性可知,在图2中,//DG BF ,因为DG ⊄平面BCF ,BF ⊂平面BCF所以//DG 平面BCF ,同理可证//GE 平面BCF ,又DG GE G = ,所以平面//DGE 平面BCF 又DE ⊂平面DGE ,所以//DE 平面BCF .方法二:在图2中,由翻折不变性可知AD AE =,AB AC =,所以AD AEAB AC=,所以//DE BC , 因为DE ⊄平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,所以//DE 平面BCF .(Ⅱ) 在图2中,因为12BF CF ==,2BC =,222BF CF BC +=,所以CF BF ⊥ 又CF AF ⊥,BF AF F = ,所以CF ⊥平面ABF .(Ⅲ) 因为//GE CF ,由(Ⅱ)知CF ⊥平面ABF ,所以GE ⊥平面ABF ,所以GE ⊥平面DGF ,依题意可得1123DG GE AD ===,236GF AF AG =-=-=,所以1123636DGF S ∆=⨯⨯=,所以三棱锥F DEG -的体积113363324V =⨯=. 20．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441n n S a n +=--,*n ∈N ,且2a 、5a 、14a 构成等比数列.（Ⅰ）证明:2a （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明:对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< . 【解析】（Ⅰ）在21441n n S a n +=--中令1n =,可得212441S a =--,而20a >,所以2a =（Ⅱ）由21441n n S a n +=--可得()214411n n S a n -=---(2n ≥).两式相减,可得22144n n n a a a +=--,即()2212n n a a +=+,因为0n a >,所以12n n a a +=+,于是数列{}n a 把第1项去掉后,是公差为2的等差数列.由2a 、5a 、14a 成等比数列可得25214a a a =,即()()2222624a a a +=+,解得23a =,由2a 11a =,于是212a a -=,所以数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列,所以()12121n a n n =+-=-. （Ⅲ）因为()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 所以()1223111111111111112335212122212n n a a a a a a n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）设函数()32f x x kx x =-+()k ∈R . (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当0k <时,求函数()f x 在[],k k -上的最小值m 和最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()32f x x x x =-+,()2321f x x x '=-+因为()224310∆=--⨯⨯<,所以()0f x '>在R 上恒成立,所以()f x 在R 上单调递增. 所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞,无递减区间.(Ⅱ) ()2321f x x kx '=-+,判别式()()22243143k k ∆=--⨯⨯=-当0∆≤,即0k <时,()0f x '≥ 在R 上恒成立,所以f 所以()f x 在[],k k -上的最小值()m f k k ==,最大值M = 当0∆>,即k <,令()0f x '=得13k x =2x = 因为()2321f x x kx '=-+的对称轴为2k x =,且恒过()0,1,画出大致图像如图所示,可知120k x x <<<,当x 变化时,()f x ',()f x 的变化如下表:由表可知,()(){}2min ,m f k f x =,()(){}1max ,M f k f x =-.因为()()()()32222222210f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>,所以()m f k k ==. 因为()()()()()()23232111111210f x f k x kx x k k x k x k k ⎡⎤--=-+---=+-++<⎣⎦, 所以()32M f k k k =-=--.综上所述,当0k <时，函数()f x 在[],k k -上的最小值()m f k k ==，最大值()32M f k k k =-=--.。
2007-2013年广东省数学高考选修真题(文科)
倾心教学 2007-2013年广东省高考真题《极坐标与参数方程》文科 2007年文科 第14题．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l的方程为sin3，则点(2,)6到直线l的距离为 ． 【答案】2 第15题．（几何证明选讲选做题）如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，3BC过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D， 则∠DAC= ．
【答案】30
2008年文科 第14题．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12,CC的极坐标方程分别为cos3,4cos(0,0)2，则曲线1C 2C交点的极坐标为 ．
【答案】通过联立解方程组cos3(0,0)4cos2解得236，即两曲线的交点为(23,)6． 第15题．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切点，切点为A，PA＝2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R= ． 【答案】依题意，我们知道PBAPAC，由相似三角形的性质我们有2PAPBRAB，即222213221PAABRPB
．
2009年文科 第14题．（坐标系与参数方程选做题）若直线tytx3221（t为参数）与直线41xky垂直，则常数k=________．
【答案】6
【解析】将1223xtyt化为普通方程为3722yx，斜率132k， 倾心教学 2 当0k时，直线41xky的斜率24kk，由123412kkk得6k， 当0k时，直线3722yx与直线41x不垂直，综上可知，6k． 第15题．（几何证明选讲选做题）如图3，点A，B，C是圆O上的点，且4AB，o30ACB，则圆O的面积等于 ．
【答案】16
【解析】连结AO，OB，因为 30ACBo，所以60AOBo，AOB为等边三角形，故圆O的半径4rOAAB，圆O的面积216Sr．
2013年高考数学(文科)-广东卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）B数学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：球的体积，其中R 为球的半径. 锥体的体积公式为，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合则=A. B. C. D. 2.函数的定义域是 A. B. C. D.3.若则复数的模是A.2B.3C.4）D.54.已知，那么 34=3V R π1=3V Sh 22S=|x|x +20,|,|x|x -20,|x x R T x x R =∈==∈，S T ⋂|0||02|，|2,0|-|2,0,2|-lg(1)1x y x +=-(1,)-+∞[1,)-+∞(1,1)(1,)-+∞ [)1,1(1,)-+∞ ()34,,,i x yi i x y R +=+∈x yi +51sin()25πα+=cos α=2.5A -1.5B -1.5C 2.5D5.执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输入s 的值是6.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是7.垂直于直线且于圆 的直线方程是8.设为直线，是两个不同的平面.下列命题中正确的是9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1,0），离心率等于，则C 的方程是.1A .2B .3C .7D 1.6A 1.3B 2.3C .1A 1y x =+.0A x y +=.10B x y ++=.10C x y +-=.0D x y +=l ,αβ.,,A l l αβαβ 若则.,,B l l αβαβ⊥⊥ 若则.,,C l l αβαβ⊥ 若则.,,D l l αβαβ⊥⊥ 若则1210.设是已知的平面向量且.关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量b,总存在向量c ，使；②给定向量b 和c,总存在实数和，使；③给定向量b 和正数，总存在单位向量c,使.④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c,使.上述命题中的向量b,c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
广东省“十校”2013年高三联考文科综合试题及答案
广东省“十校”2013年高三联考文科综合试题及答案广东省“十校”2013届高三联考文科综合试题及答案十校分别是：湛江一中、北江中学、茂名一中、阳江中学、广州一中、化州一中、高州中学、新会一中、信宜中学等十校本试卷共12页，41小题，满分300分。
考试用时150分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第I卷选择题（共140分）一、选择题：本大题共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、下图所示为我国著名的林木景观图。
图中各景观所在地区自然环境的叙述，正确的是A．丁—风力侵蚀，千沟万壑 B．乙—雪域高原，冻土广布C．丙—土壤贫瘠，水源充足 D．甲—冬冷夏热，光照充足2、下列说法正确的是A．陆地上不同的地区，由于所处的纬度位置不同形成了不同的陆地自然带。
B．风化作用的能量主要来自于太阳辐射，其产物为其他外力作用创造了条件。
C．海洋水体运动的主要动力是地转偏向力。
D．水循环加剧了不同纬度热量收支不平衡的矛盾。
3、我国某地某月第一天和最后一天的日出时间（北京时间）分别为5：48，6：07，该月可能是A．3月 B．9月 C．6月 D．12月读“某城市气温和降水的统计资料图”，回答4—5题。
4、该城市所处的气候区最可能是A．温带海洋性气候 B．温带大陆性气候C．温带季风气候 D．亚热带季风气候5、水汽压的高低可以反应水汽含量的多少，图1是该城市近地面水汽压等值线图，哪种原因可导致等值线数值自外向内减小A．城市绿地面积比郊区大 B．城市地面蒸发能力弱C．城市地面可供蒸发的水分少 D．气旋过境下图表示2004年、2010年安徽省农作物播种面积结构变化图。
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广东省江门市2013 届一般高中高三调研测试文科综合历史试题及答案12．秦皇、武、宋祖均被是比擅长治理国家的君主，是因他都A ．提升丞相地位B．重儒家思想C．化中央集D ．大力展工商13．以下关于中国封建社会外易的法，正确的选项是A ．期行开放的外政策B ．主要目的是取最大的利益C．政府外事基本无论 D ．外税收成政府主要收入本源14．武帝“用主父偃，令侯以私恩裂地，分其子弟⋯⋯”和采董仲舒的“ 黜百家，独尊儒”都体了怎的思想A ．“君神授”思想B．“大一”思想C．反制思想D．理学思想15．《申》曾道：1919 年 6 月北京某机关接到里昂三十天无云，二十八日下午三，⋯⋯ 突有某国代表拒字，各国代表大震。
日本代表尤惊异之邑云云，似拒字者即系我国代表。
资料明A ．五四运获得了完整利B ．我国代表在会中了决定性作用C．中国政府了国家主 D ．我国代表遇到了国内民众运的影响16．日本今井武夫在《支那事的回想》中写道：“在中国事的开，日本方面有一部分人以一个回合就可以使中国立城下之盟。
种思想如白天梦一消失了。
”以下法的是A ．“事”是指日本全面侵B ．“事”促成了中国全民族抗日C．“事”引了中美关系走向破裂 D ．淞沪会致了日本“白天梦的消失”17．“消失的旧光一九四三，在回的路上好慢，老邻居小弄堂⋯⋯”是歌曲《上海1943》中的一段歌，以下状况在1943 年的上海不行能出的是A ．曹先生与徐小姐在院看影B．小姐基本上是乘坐上班C．先生极采集全国各地的况 D ．夏太太在家收看上海台的目18．中国向来是世界和平的定力量，20 世50年月以来，中国外交往向来持和平共的基本源，是因①它表现了中国传统儒家哲学的中庸之道，为国际社会所倡议②促进世界和平与发展是中外国交的基本目标之一③“一边倒”政策提出后，不利于发展对外关系④它可以为国内改革创建优异的国际环境A ．①③④B．①②④C．①②③D．①②③④19．下表中新中国教育获得了巨大的成就，这主若是因为1965 年学校数比旧中国最多时增加1965 年在校学生比旧中国最多时增加高等学校434所1．1 倍67．4 万人3．3 倍中等学校80993 所14．1 倍1432 万人6．9倍小学1681000所4．9倍11626． 9万人3．9倍A ．建立起了人民教育事B．确立了教育要面向代化的方C．行科教国展略 D ．普及了九年制教育20．“他否定全部外在威，呼用理性的阳光散的黑暗，⋯⋯ 倡议科学、自由和相同。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科A卷)解析
图 2俯视图侧视图正视图2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A 卷）解析本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．锥体的体积公式：13V Sh =．其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}- 【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A ，5分到手，妙！ 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C ！ 3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】：复数的运算、复数相等，目测4,3x y ==-，模为5，选D . 4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【解析】：考查三角函数诱导公式，51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C. 5．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．7【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可. 6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．1 【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B. 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是 A ．0x y += B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y ++=【解析】本题考查直线与圆的位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x kk =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了. 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【解析】基础题，1,2,c a b === D.10．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；ks5u③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ；图 1④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则. 利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.【品味选择题】文科选择题答案：ACDCC BABDB.选择题3322再次出现！今年的选择题很基础，希望以后高考年年出基础题！二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 【解析】这题相当于直接给出答案了1512．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ． 【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴= 13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是．【解析】画出可行域如图，最优解为()1,4，故填 5 ； （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=，易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ． 【解析】本题对数值要敏感，由AB =3BC =，可知60BAC ∠=从而302AE CAD =∠=，212DE ==. 【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，4sin 5θ=-，1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭．图 3图 4【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了. 17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．【解析】（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450； （2）重量在[)85,80的有54=15+15⋅个； （3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[)100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)P ==. 【解析】这个基础题，我只强调：注意格式！ 18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,DAD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中BC =(1) 证明：DE //平面BCF ；(2) 证明：CF ⊥平面ABF ；ks5u (3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -． 【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE=AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BF CF ==. 在三棱锥A BCF -中，BC =，222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.111111132323323324F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.19．（本小题满分14分）{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等 证明：2a =求数列{}n a 的通项公式；证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<． （1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，20n a a >∴=（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n nn n aa a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 【解析】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知n S 求n a ，{}n a 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成1n =，2n ≥来做后，不会求1a ，没有证明1a 也满足通项公式. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PAPB ，其中,A B为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．【解析】（1）依题意d ==1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ks5u ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理， 20202y x x y -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=； （3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+， 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=，2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为92【解析】2013广州模直接命中了这一题，广一模20题解法2正是本科第（2）问的解法，并且广一模大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子：我的意中人是个盖世英雄，有一天他会踩着七色云彩来娶我，我只猜中了前头，可是我却猜不中这结局……形容这次高考，妙极！ 21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈． (1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ． 【解析】：()'2321fx xkx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321f x x kx =-+，其开口向上，对称轴3kx =，且过()01，（i）当(241240k k k ∆=-=+-，即0k ≤<时，()'0f x ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == ,当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii）当(241240k k k ∆=-=>，即k <()'23210f x x kx =-+=解得：12x x ==,注意到210k x x <<<,(注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断)()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=--> 所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==ks5u【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知x k = 时最小，x k =-时最大，只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.。
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图 21俯视图侧视图正视图
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（文科A卷）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 锥体的体积公式：13VSh．其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合2{|20,}SxxxxR，2{|20,}TxxxxR，则ST A．{0} B．{0,2} C．{2,0} D．{2,0,2} 2．函数lg(1)()1xfxx的定义域是 A．(1,) B．[1,) C．(1,1)(1,) D．[1,1)(1,) 3．若()34ixyii，,xyR，则复数xyi的模是 A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知51sin()25，那么cos A．25 B．15 C．15 D．25 5．执行如图1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是 A．1 B．2 C．4 D．7 6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A．16 B．13 C．23 D．1 7．垂直于直线1yx且与圆221xy相切于第一象限的直线方程是 A．20xy B．10xy C．10xy D．20xy 8．设l为直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A．若//l，//l，则// B．若l，l，则// C．若l，//l，则// D．若，//l，则l 9．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(1,0)F，离心率等于21，则C的方程是
图 1是否结束输出s
i=i +1
i ≤ n
i=1, s=1输入n开始s=s+(i-1) A．14322yx B．13422yx C．12422yx D．13422yx 10．设a是已知的平面向量且0a，关于向量a的分解，有如下四个命题： ①给定向量b，总存在向量c，使abc； ②给定向量b和c，总存在实数和，使abc； ③给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc； ④给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc； 上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．设数列{}na是首项为1，公比为2的等比数列，则1234||||aaaa
12．若曲线2lnyaxx在点(1,)a处的切线平行于x轴，则a ．
13．已知变量,xy满足约束条件11103yxyx，则zxy的最大值是 ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题） 已知曲线C的极坐标方程为2cos．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为 ． 15．（几何证明选讲选做题） 如图3，在矩形ABCD中，3,AB3BC，BEAC，垂足为E，则ED ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数()2cos,12fxxxR．
(1) 求3f的值； (2) 若33cos,,252，求6f． 图 4
GE
F
A
BC
D
图 5D
G
BFC
AE
17．（本小题满分13分） 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)
频数（个） 5 10 20 15 (1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率； (2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？ (3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．
18．（本小题满分13分） 如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，,DE分别是,ABAC边上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE
交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥ABCF，其中22BC． (1) 证明：DE//平面BCF； (2) 证明：CF平面ABF； (3) 当23AD时，求三棱锥FDEG的体积FDEGV． 19．（本小题满分14分） 设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，满足21441,,nnSannN且2514,,aaa构成等比数列． (1) 证明：2145aa； (2) 求数列na的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数n，有1223111112nnaaaaaa．
20．（本小题满分14分） 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点0,0Fcc到直线:20lxy的距离为322．设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线,PAPB，其中,AB为切点． (1) 求抛物线C的方程； (2) 当点00,Pxy为直线l上的定点时，求直线AB的方程； (3) 当点P在直线l上移动时，求AFBF的最小值．
21．（本小题满分14分） 设函数xkxxxf23)( Rk． (1) 当1k时,求函数)(xf的单调区间； (2) 当0k时,求函数)(xf在kk,上的最小值m和最大值M． 图 4
GE
F
A
BC
D
图 5DG
BFC
AE
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（文科A卷）解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ACDCC BABDB 二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．
11. 15 12. 12a 13. 5 14. 1cossinxy （为参数） 15. 212 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 【解析】(1)2cos2cos133124f
（2）33cos,,252，24sin1cos5， 1=2cos2coscossinsin64445f
．
17．（本小题满分13分） 【解析】（1）苹果的重量在95,90的频率为20=0.450； （2）重量在85,80的有54=15+15个； （3）设这4个苹果中85,80分段的为1，100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有： （1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在85,80和100,95中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62P. 18．（本小题满分13分） 【解析】（1）在等边三角形ABC中，ADAE ADAEDBEC,在折叠后的三棱锥ABCF中
也成立，//DEBC ,DE平面BCF， BC平面BCF，//DE平面BCF；
（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AFBC①，12BFCF.
在三棱锥ABCF中，
2
2BC，222BCBFCFCFBF② BFCFFCFABF平面；
（3）由（1）可知//GECF，结合（2）可得GEDFG平面.
11111131332323323324FDEGEDFGVVDGFGGF
19．（本小题满分14分） 【解析】（1）当1n时，22122145,45aaaa，21045naaa （2）当2n时，214411nnSan，22114444nnnnnaSSaa 222
1442nnnnaaaa
,102nnnaaa
当2n时，na是公差2d的等差数列.
2514,,aaa构成等比数列，25214aaa，2222824aaa，解得23a,
由（1）可知，212145=4,1aaa
21312aa na是首项11a,公差2d的等差数列.
数列na的通项公式为21nan.
（3）
1223111111111335572121nnaaaaaann
11111111123355721211111.2212nnn
20．（本小题满分14分） 【解析】（1）依题意023222cd，解得1c（负根舍去）
抛物线C的方程为24xy；
（2）设点11(,)Axy,22(,)Bxy，),(00yxP，
由24xy,即214yx,得y12x. ∴抛物线C在点A处的切线PA的方程为)(2111xxxyy，