特殊化思想在几何中的应用
特殊化思想在中学数学解题中的应用
２ ＜ｌ 即 ｏ ＜－ ， ａ ， ＜口 去 故选 Ａ 然而这里运用 ＿ ．
了特殊值 求解 ， 更显 方法 之 优．
３ 分析 特殊 因素 。 发现 一般 规律 对一 些较 为抽 象 的数 学 问题 ， 般 规 律 一 又无显 露 ， 时 ， 此 可利 用 特 殊 因素 来探 路 ， 进
而发现 规律 ， 出正 确结论 ． 得
求， 寻求 出问题 的解 题思路 和 结论． ２ 巧用特 殊 因素 ， 化解 题方 案 优
规律 ， 一 般 或 抽 象 复 杂 的数 学 问 题 ， 用 对 采 “ 以退 为进 ” 的策 略 ， 过特 殊 的情形 、 通 简单 的 事例探 求 问题 的 结论 ， 一思 想 称 为 数 学 解 这
０ 给 出下 列不 等式 ： ，
①， ６ － ｆ － ａ ＞ｇ 口 一ｇ －ｂ ； （ ） （ ） （ ） （ ） ②厂 ６ 一， － ａ ＜ｇ 口 一ｇ －ｂ ； （） （ ） （） （ ） ③， ｎ －ｆ（ ｂ ＞－ （） ｇ（ ａ ； （） － ） ｇ ｂ － － ）
④ 厂 口 一 厂 －ｂ ＜ ｇ ６ 一ｇ －ａ ． （） （ ） （） 为突破 口 ， 并 去探求 解
题思 路．
例 １ 定 义 在 区间 （ ｏ ， 。 的 奇 函 一 。 ＋ｏ ）
数 ， ） （ 为增 函 数 ， 函数 ｇ（ 在 区 间 ［ ， 偶 ｚ） ０ ＋ｏ ） ｏ 的图像 与 厂 ｚ 的 图像 重 合 ． ｎ ６ （） 设 ＞ ＞
法求 出结果 ， 时 ， 巧 妙 地 运 用 特 殊 因素 ， 此 应
寻求最 优方案 ， 能 收到事半 功倍 之效 ． 方
例 ２ 若定 义 在 区 间 （ １ Ｏ 内 的 函数 一 ，） ， ｚ 一ｌｇ （ ＋ １ 满足 ， ） ， 口的取 （ ） ｏｚ ｚ ） （ ＞Ｏ 则 值 范 围是 （ ） ．
特殊化思想在数学中的应用
象 函数 具 体 化 ，利 用 特 殊 函数 解 决
问题．
积
） ，则 Ｖ 的 最 大值 是 （ ）
Ａ． ３ Ｂ
．
等 Ｃ ． １ Ｄ ． １
从 题 干 或 选 择 支 出 发 ，通过 选
择 特 殊 值 代 入 ，或 将 情 形 特 殊 化 。
从 而 产 生 特 例 ；利 用 问 题 在 某一 特
分 析 ：函数 厂 （ ） ＝ 满足条件．
‘ ．
体 的 数 值 ，使参 数 变 为 常 数 ，转化
成简单熟悉的题型．
２ ． 特 殊 点 法
，（ ． － ２ ０ １ ２ ） ，（ ． － ２ ０ １ １ ） 一 （ ２ ０ １ １ ）
。 ＝
－ ２。
（ ２ ０ １ ２ ） ＝ ａ ‘ 啪 ‘ 如 …一 ‘ …
利 用 原 函 数 图 像 上 的 特 殊 点
＝
Ｍ
２ ｆ ）
） 且 ，（ ０ ） ≠０，可 以借 助
２一
（ 一个或多个 ） ，探 寻 新 函数 图像 上 点 的情 况 。能有 效 地 进行 选 项 排 除．
３ ． 特 殊 位 置 法
，
函数ｆ（ ｘ ） ＝ ｃ ｏ ｓ ｘ 进行分析．
ａ Ｏ ＝ｌ
Ｄ
例： 已知， ） ＝ ｆ １ ｘ ＋
ｌ ｘ Ｅ
，
［Ｉ ０ ）
－
，
２ ＋ １
，
∈
［ ０１ ］
，
，
分析：当 脚 时 ， ｒ － － ｆ（ － ｏ ） （ ０ ）
＝ １ ，可排 除 Ａ；
再如 ： （ １ ）若 ｘ ＞ ０ ，ｙ ＞ ０都 有
特殊化方法在数学解题中的应用
特殊化方法在数学解题中的应用大数学家希尔伯特说：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未获成功的原因，就在于这样的事实，即有一些比手头问题更简单、更容易的问题没有完全解决，或者完全没有解决。
这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们，这种方法是解决数学困难的最重要的杠杆之一。
”这段话深刻地说明了特殊化方法的重要作用。
以下是特殊化方法在具体环境中的一些应用：1、利用特殊值(图形)解选择题某些选择题按常规方法解比较困难或者运算繁琐，若利用特殊值(图形)来解则非常简捷。
例l 给定一个三角形，设它的周长、外接圆半径长、内切圆半径长分别为不妨考虑三角形的一些特殊情况。
当这个三角形的三个顶点彼此非常接近时，则该三角形各边的边长均远小于，这时(A)和（C）显然都不成立。
当这个三角形是顶角很小的等腰三角形时，腰长接近于外接圆直径长，显然(B)也不能成立。
因此应选(D)。
尤其在当下，初中数学，尤其是初三数学已经渗透了高中知识，但是有时候初中生的思维还无法达到高中生的思维，所以在解决这种类似的题目时，将题目中的信息特殊化一下，往往会得到意想不到的结果。
2、利用特殊化方法探求问题的结论有些与定值、定点、定直线有关的问题，可以用特殊化方法将问题引向极端，舍弃题中不确定的因素，先求出这个定值、定点、定直线，从而使解题有明确的方向。
都有一个共同的实数解，并求此实数解。
若能知道这个实数解是多少，则问题就变成，验证这个实数解是原方程的解。
题目很难吧，尤其还是四次方程，更是难上加难，但是不要忘了题目中曾说过“都有一个共同的实数解” ，我们就对式子进行特殊化处理一下，对取特殊值，就可以将等式左边消去一项，得到一个方程组，先应用我们学过的加减消元，然后，应用因式分解，最后通过验证得到它们的公共解。
看看，是不是全是我们初中生学过的方法？3、利用特殊化方法探索解题思路数学问题经过特殊化处理后，常常能帮助我们获得该问题某一侧面的信息，这样经过几次特殊化后，就能得到较多的信息，从而有助于找到解决问题的方法。
特殊化思想在数学探究中的应用
僵局． 通过解决特殊情形方法启迪
类 比思维 ， 获得一般化问题的解法． 例 １两 人轮流 在 圆桌 上摆 硬 币 （ 大小相同） ，每次摆一个 ． 每个 硬币不能重叠 ，也不能有一部分在 桌子 的边 缘外 ． 经过充 分多次 这样
Ｇ ，可 以证 明 尸 ／Ｇ Ｈ Ｑ ／ Ｈ，从 而 证
切 线放在垂 直 轴 的 特 殊 位 置 上 ，容易确定此
时 ＡＯ Ｒ 的 面 Ｑ
） ｍ ＼
例 ５无 论 ａ为 任何 实数 值 ， 曲线 ． 一 ａ＋ ０ － ５ ０是否 ４ ２ｙ ２ａ ２ ＝
总能经过一个定点？
Ｑ Ｒ． Ｏ
积 为 ｎ 即 我 ６（
因 为 ａ 、 ／Ｑ Ｒ都 与点 Ｐ 、ｂ Ｏ 在 双 曲 线 上 的位 置 无 关 ， 所 以
广东教育 ・ 教研
２０ ０ ９年第 ５期
智
如 “ 定点” “ 定值”等问题 ，此类 问题的 目标常常是未知的，这就增 加 了解 题的难度 ． 在许多时候 因此
可以取 问题 的特殊情形进行探究 ， 使探究的 目标明确 ，容易使问题获
解．
育
广
角
由于点 Ｐ （ ２ ｙ）是 双曲线上
Ａ Ｄ
Ｃ 的值． 分析 ：先用特殊值法进行探究
方法 ，是 一种 以退 求进 的解 题策 略 ，是我们进行探究活动的重要手
段 和 方法 ．
一
分析 ：由于 Ｐ 、Ｑ的动态 性 ，
所以难于获得一般性结论 ，于是先
、
特 殊 化 的 启 迪 诱 导
考虑极端情形 ：把 点 Ｐ 、Ｑ分别移 到极 端 点——分 别 与点 Ａ 、Ｄ重 合 ，则 显 而 易 见 有 尸 Ｑ∥ 平 面
特殊化思维在数学解题中的运用
＝ 2000x( x x 1) 2000 x 2000x ＝ 2000( ＝2000 由此，将
2
EDC A 100
0
0
x
2
x 1) 2000
2
x
x 1 当 作 一 个 整 体 ， 比 直 接 解
BDE 80 0 ABC C DEC 40 DE DC ∠ABC＝∠C =>∠1=∠2=200
2 x 3 x 的解是（
C.x=3
） D.x=－1
B. x1 3 ， x 2 1
分析：考虑到二次根式的非负性，若 x=3，则－x=－3 ＜0，此时与二次根式的非负性矛盾，故即可弃 B、C，而－x 并非一定为负数，故方程必有解，从而知答案为 D。 例 3：当 分析： 由
x x
2
x 5 0 时，则 x x
第二次相遇于 D 处，此时甲实走 2s-4，乙实走 s+4
2015 年 26 期
23
2s 4
v
s4
甲
v
乙
v v
甲
乙
2s 4 2s 4 s 6 s4 s4 6
巧妙利用速度之比确立方程，问题便迎刃而解了。
x y 40 2 x 4 y 100
诚然能解，但繁琐难计，若要注“全体兔子起立！ ” ，此 时鸡和兔都只有两只脚， 故共有脚 40×2＝80 （只） ， 而 100-80 ＝20（只）脚自然是兔子的所有前脚，从而轻易得出兔子的 数目为 10 只。 例 2：方程 A.无解 例 5：在△ABC 中，∠ABC=∠C，∠A=1000，BE 是∠ABC 的角平分线，求证：AE+BE＝BC 分析：这是一个比较繁杂的直线形问题，因为需要通过 一系列的计算推导，若想到圆，则可避开这一系列的过程， 使问题化难为易。
特殊化与一般化在中学数学解题中的应用
苏州大学本科生毕业设计（论文）目录摘要-------------------------------------------------------------------------------------（1）Abstract---------------------------------------------------------------------------------（1）前言-------------------------------------------------------------------------------------（2）第1章中学数学中的特殊化-----------------------------------（3）第1.1节何为特殊化---------------------------------------------------------（3）第1.2节特殊化的应用------------------------------------------------------（3）第1.3节如何培养中学生的特殊化思维---------------------------------（5）第2章中学数学中的一般化-----------------------------------（5）第1.1节何为一般化---------------------------------------------------------（5）第1.2节一般化的应用------------------------------------------------------（5）第1.3节如何培养中学生的一般化思维---------------------------------（7）第3章特殊化与一般化的辩证关系-----------------------------（8）结论-------------------------------------------------------------------------------------（9）参考文献-------------------------------------------------------------------------------（9）苏州大学本科生毕业设计（论文）摘要在中学学习过程中，数学思想方法是学习数学、运用数学的灵魂。
特殊化思想在高中数学解题中的应用探讨
特殊化思想在高中数学解题中的应用探讨作者：陈晓玲来源：《考试与评价》2019年第07期【摘要】特殊和一般的辩证关系，是数学研究中常用的解题思想。
本文针对特殊化思想在数学解题中的应用进行探讨，为特殊化解题思想的教学和学生解题中特殊化思想的应用提供参考。
【关键词】特殊化思想 ;高中数学 ;解题 ;应用特殊化思想作为数学的一种重要思想和方法，其在高考中出现和应用的频率越来越高。
作为一种辩证的数学解题思想，特殊化思想在数学解题中的应用更考验学生的知识广度和数学应用能力。
但特殊化思想作为一种常用的数学解题思想，其在数学解题中的应用也有一些技巧和方法，掌握这些技巧和方法将极大的提高学生的解题速度和解题能力。
1. 巧设特殊解析式一类函数具有的通性，和不同函数具有的特性，是我们之所以学习函数的关键。
在解答函数问题时，如果题干没有给出特定的函数，而是给出了几点性质，我们可以将这类函数具体化，通过假设的函数解析式，来对题干中的函数性质进行判断。
通过这种假设函数解析式的方法，能够帮助我们在选择题中排除错误答案，也能在大题的解答中用于解题思路的探索和解题结果正确与否的判断。
例：某奇函数f（x）是定义在区间（-∞，+∞）的奇函数，现有函数g（x）图像与f（x）重合，已知函数g（x）在区间[0，+∞]之间，问以下不等式哪个成立？A：f（b）-f（-a）g（a）-g（-b）C：f（a）-f（-b）=g（b）-g（-a）; D：f（a）-f（-b）该问题题干并没有给出具体的函数，但根据题干我们可以假设函数为f（x）=x，g（x）=|x|，取a、b的值为区间内任一自然数，我们很轻易的就能够判断正确的选项为B。
2. 巧用特殊因素，优化解题方案在数学解题中，无论题干给出的已知条件多么奇怪，它一定会对解题有所帮助。
在解题过程中，我们要善用特殊化思想，对题干中的特殊因素进行深入思考。
因为这些特殊因素往往都是解题的关键点，只要运用这些特殊的因素来探路，那么你很容易就能发现题目所存在的规律，而发现了解题规律，难题也就不是难题了。
特殊化思想在初中数学解题中的应用策略研究
特殊化思想在初中数学解题中的应用策略研究作者：刘松风来源：《中学课程辅导·教师通讯》2020年第14期【内容摘要】数学是一门具备较强逻辑性的学科，在实际教学过程中，数学学科更加注重习题解答步骤本身的规划性。
在此背景下，为了能够帮助学生更好的了解以及掌握数学解题方法，教师需要教授学生一些特殊化的解题策略，以此解决那些用普通解题思路无法解决的难题。
本文对这种特殊化的解题策略进行了分析，并通过典型实例探究了初中数学解题过程中特殊化思想的应用策略。
【关键词】特殊化思想初中数学解题培养学生的数学意识与应用数学方法之间存在着密切的联系，数学方法包括了待定系数法、换元法、归纳法、基本图形法以及综合分析法等。
数学家G·波利亚提出，数学存在两个方面的内容，一方面数学被认为是一门严谨科学，由此可见，数学更加像是一个系统化的演绎科学，可是从另一方面来看，数学也像是一种实验性归纳科学。
特殊化思想更像是数学发现以及创造过程中相对具体的一面，这些内容主要凸显在数学基础教育工作中。
当前，随着新课程改革的持续深入，让学生合作交流、自主探讨，获得问题解决的最终结论，在探讨以及交流的整个过程中，让学生自主发挥自身的能力，以后遇到与之类似的问题，能够先讨论特殊情况，然后将其划归为一般方法，以此提升学生学习能力，实现减负和增效的目的。
数学课程并非是将现有的结论转移给学生，而是按照数学思想的实际发展脉络，创设问题的情境，然后利用多种方法，设计一系列的问题，使得学生能够通过对大量图形以及实际问题的分析，从直观想象———猜想———归纳，最终对内容进行验证和证明，使得学生能够参与到数学建构的整个构成中，逐渐的认识与掌握事物，培养创造能力，有效提升数学素质。
一、特殊化思想概述特殊化思想是将原问题作为一般，形成特殊问题，在对特殊问题进行解决的过程中实现对原问题的解答。
特殊化思想被看作是一种划归策略。
相较于一般思想来说，特殊化问题更加的具体、简单以及直观，容易被理解，并且在解决特殊问题的进程中，通常会孕育了一般问题解决方法。
浅析特殊化方法在解题中的应用
浅析特殊化方法在解题中的应用作者：吕文军来源：《新一代》2011年第01期摘要：特殊化方法是众多数学思想方法中的一种，若学生在解题中能灵活运用好此方法，往往能化繁为简，化难为易。
关键词：解题方；特殊化方法中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2011）01-0255-01特殊与一般是对立的统一，在人类的认识活动中，常常通过“特殊”去探索“一般”，从“一般”去研究“特殊”。
特殊化与一般化不仅在科学研究中有着重要地位和作用，而且在数学解题中也是经常使用的两种重要方法。
我们知道由于共性存在于个性之中，“特殊”比“一般”往往显的简单、直观、具体和鲜为人们所熟知，因而当我们处理问题时，若能注意到问题的普遍性寓于特殊之中，从而去考虑有没有可能把待解决的问题化归为某个特殊问题，这样的思维方式即为特殊化方法。
从“特殊”看问题的方法，归纳起来大致包括两个方面：一方面是从简单情形看问题，另一方面是从特殊对象看问题。
一、从简单情形看问题当我们所遇到的问题较为复杂或较为抽象，而一时无从下手时，就可以先考虑一些较简单的、特殊的、易于下手的情形。
通过它们摸索出一些经验，或对答案作出估计，然后再设法解决问题本身。
例如高中代数中有关数列的问题，我们常采用此法且屡试不爽。
下面再列举几个简例以说明此法在解题中的作用。
例1：对于定义域是R的任何奇函数都有（）A、f(x)-f(-x)>0 (x∈R)B、f(x)-f(-x)≤0(x∈R)C、f(x)•f(-x)≤0 (x∈R)D、f(x)•f(-x)＞0(x∈R)解：因f(x)为奇函数，我们不妨举一特例，设f（x）=x则有f(x)-f(-x)=2x与0的大小与X 的取值有关，故可排除A、B选项。
f(x)•f(x)=-x2显然小于或等于0，故正确答案为D。
例2:若F(x)=(1+)•f(x) (x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零则f(x)是（）。
A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶D、非奇非偶分析：此题若我们按常规思路，从奇、偶函数的定义入手去判断的奇偶性，解答过程则相当繁琐冗长。
特殊与一般的思想
、特殊与一般的思想和其它方法对比解析1．什么是特殊化思想对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.2．什么是一般化思想当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.【例1】设三棱柱111ABC A B C -的体积为,,V P Q 分别是侧棱11,AA CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为 （Ａ）16V （Ｂ）14V （Ｃ）13V （Ｄ）12V【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算.方法一 常规方法如图2-18,因为1PA QC =，所以PQ 将三棱柱的侧面11AAC C 分成面积相等的两个梯形，从而11B APQC B PA C Q V V --=.又1111133B A B C V V V -==柱体，且三棱柱111ABC A B C -被分成两个四棱锥B APQC -与11B PA C Q -以及三棱锥111B A B C -三部分，所以13B APQC V V -=. 方法二 特殊化的方法. 仔细分析题目的已知条件会发现，三棱柱的形态没给出具体限制，是一般的三棱柱；侧棱11,AA CC 上的两点,P Q 只有1PA QC =的要求，而没有具体位置的限制.从选项来看，所求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定，用特殊化方法求解本题可以体现出快捷的特点.首先可以把三棱柱特殊化为直三棱柱，其次还可以将点,P Q 分别为11,AA CC 的中点；也可以使点P 趋近于点A ，点Q 趋近于点1C ，即使10PA QC =→，使四棱锥特殊化为三棱锥，实际上，这种处理方法也包含有极限的思想.经过特殊化处理后，再求解几何体的体积就要简单得多.除常规方法外的这两种特殊化方法所体现的正是特殊与一般的思想，用特殊的方法来解决一般的问题.A B C A 1B 1C 1P Q【例2】已知函数1()lg 1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -= （Ａ）b （Ｂ）b - （Ｃ）1b （Ｄ）1b- 【分析及解】为了说明本题所体现的出来的数学思想方法，我们先来看解决本题的三种方法. 方法一 常规方法本题所研究的函数是确定的，其函数解析式已知且不含有参数.如果把,a b 看成是两个用字母表示的数，则它们也是确定的，已知的.于是由()f a b =，得1lg 1a b a-=+.又1()lg1a f a a+-=-，那么为求得()f a -的值，实际上就是求1lg 1a a +-怎样用关于b 的解析式来表示，就是求1lg 1a a +-与1lg 1a a-+的关系.到此，不难发现，有1111lg lg()lg 111a a a a a a -+--==--++，于是()f a b -=-. 方法二 一般化方法如果我们探究()f a 与()f a -的关系，产生猜想：如果()f x 是奇函数或偶函数，那么由()f a 的值求()f a -的值就会变得相当简单.()f x 具有奇偶性吗？()f x 的定义域为{11}x x -<<，关于原点对称.在定义域内任取x 和x -有1111()()lg lg lg()lg101111x x x x f x f x x x x x-+-++-=+=⋅==+-+-. 所以()f x 是定义域()1,1-内的奇函数，于是()()f a f a b -=-=-.方法三 特殊化方法考虑到是选择题，,a b 是用字母表示的数，那么不妨取特殊值来进行研究.令12a =，则11112()lg lg lg312312fb -===-=+，那么1112()lg lg31212f b +-===--.比较四个选项后，便可得出，只有（Ｂ）成立.对于这样一个求函数值的常规问题，其解法中蕴涵着特殊与一般的思维方法.如果将方法一与方法二相比较，方法一是对具体函数、具体函数值的研究，可以认为是对特殊问题的特殊研究.而方法二则是研究这个具体函数的一个一般性质，只要函数()f x 是奇函数，无论其解析式是否为1lg 1a a-+，都有()()f a f a b -=-=-.这种研究问题的方法体现出的恰是由特殊到一般的思维方法.由特殊函数，研究它的一个性质，再由一般函数的性质，得出一般的结论.不过最终还要回到这个特殊函数上来，得出所求结果，又由一般回到了特殊.这种特殊 —— 一般 —— 特殊的研究过程是特殊与一般思想方法的一种思维模式.如果将方法一与方法三相比较，由于方法一中含有字母已知数，而方法三中则是将字母具体化、特殊化，研究它的一咱特殊情况.这种研究问题的方法体现出的恰是由一般到特殊的思维方法.将用字母表示的一般函数值的研究，转化为某个特殊数值的特殊函数值的研究.不过最终还要回到一般上来，利用“特殊情况下命题不成立，那么在含有这个特殊情况的一般情况下这个命题必定不成立”得出一般结论.这种一般 —— 特殊 —— 一般的研究过程是特殊与一般思想方法的又一种思维模式.可以认为，本例是体现特殊与一般思想方法的一个典型范例.二、特殊与一般的思想应用举例【例3】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=59S S （A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）21 分析：确定一个等差数列需要两个独立条件，而题设中只给出了一个条件，因此不能确定这个等差数列，也就不能求出它的各项，自然也就求不出95,S S 的值.可以另辟蹊径，构造一个符合条件的特殊数列解此问题.解：由已知条件9535=a a ，令9,535==a a ，得公差23595-=--=d ， 13)2(291=-⨯-=a ，求出45,4595==S S ，所以159=S S ，选（A ）. 评析：符合条件的等差数列有无穷多个，虽然95,S S 的值不确定，但是由选择项可知，59S S 的值是确定的，即不因95,S S 的变化而变化，因此可以通过构造符合条件的特殊数列得出结果，也就是一般性结果，体现了由特殊到一般的“先退后进”的数学思想.【例4】定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5（提示：取()sin f x x =）【例5】在△OAB 中，O 为坐标原点，),1,(sin ),cos ,1(θθB A ]2,0(πθ∈，则当△OAB 的面积达到最大值时，=θ（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π 分析：由已知，1sin 0,1cos 0≤<<≤θθ， 可以把△OAB 放在平面直角坐标系中边长为1的 一个正方形的内部（如图），即构造一个特殊的正 方形，使它与△OAB 之间建立关于面积大小的一种关系，在此思路下寻求题目中所求的θ值.解：在正方形ODEC 中，得)1,1(),0,1(),1,0(E D C ，所以AEB ODA OBC OAB S S S S ∆∆∆∆---=1)cos 1)(sin 1(21cos 21sin 211θθθθ-----= θ2sin 4121-=， 由]2,0(πθ∈可知， 当θ2sin 取最小值0时，OAB S ∆取最大值21，此时2πθ=，选（D ）. 评析：本题解法的特殊化思想体现了特殊情境的构造，即通过条件，把△OAB 放在一个正方形的内部，在新的特殊情境之中发现解题思路并求出问题的解.【例6】若π02x <<，则下列命题正确的是（ ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3sin πx x > （提示：取4x π=，可排除A 、D ；取6x π=，可排除C ） 【例7】已知⎩⎨⎧+-=,log ,4)13()(x a x a x f a .1,1≥<x x 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （A ）)1,0( （B ）)31,0( （C ）)31,71[ （D ）)1,71[分析：已知函数)(x f 是一个分段函数，从形的方面看，)(x f 的图象由一条直线的一部分和对数曲线的一部分组成，由条件，图象从左到右应呈下降趋势，若采用由特殊到一般的思想求解，可以对a 赋特殊值，并检验是否符合题意. 解：取31=a ，得⎪⎩⎪⎨⎧=,log ,34)(31x x f .1,1≥<x x 如图，显然，)(x f 在),(+∞-∞上不是减函数，可排除选项（A ），（D ）； 再取91=a ，得⎪⎩⎪⎨⎧+-=,log ,9432)(91x x x f .1,1≥<x x 如图， 0)1()32(==f f ，即)(x f 在),(+∞-∞上不是减函数，可排除选项（B ），综上，选（C ）. 评析：求参数取值范围的选择题一般可考虑用特殊值方法求解，根据选择项对参数赋予适当的特殊值，再根据题设条件进行检验.究竟对参数赋予哪些特殊值，通常要结合参数所在的数学式中的位置及相应的数学概念等来考虑，这种特殊化的思想在解此类问题时往往是行之有效的.【例8】在数列{}n a 中，2,121==a a ，且n n n a a )1(12-+=-+，*)(N n ∈，则=100S _____________.分析：可以考虑先求n S 或n S 2，再求100S ，这里采用先求n S 2的方法.解：由n n n a a )1(12-+=-+，得111)1(1--+-+=-n n n a a )2(≥n ，两式相加得2)()(121=+-+-++n n n n a a a a )2(≥n ，而2,121==a a ，得)()()(21243212n n n a a a a a a S ++++++=-)2(2)]12(3[)12(53+=++=++++=n n n n n ， 所以，26005250100=⨯=S . 评析：本题的解法采用的是一般化的思想，即把待求的100S 这一特殊值放在一般的n S 2中加以研究，正是因为一般性中蕴涵着特殊性，能使我们从该数列的本质特征入手，“先进后退”的解决了问题.【例9】．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 11…… ………………………………………【例10】若对任意x ∈R ，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <-B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥（提示：取1a =±）【例11】两个相同的正四棱锥组成如图（1）所示的几何体，可放入棱长为1的正方体图（2）内，使正四棱锥的底面与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个分析：由已知，图（1）所示的几何体体积由正四棱锥的底面正方形的面积决定，根据该底面与正方体的位置关系，可考虑用一个特殊的平面衬托该底面，以此分析它与正方体的面的关系及该底面的面积情况.解：把图（1）所示的几何体放入棱长为1的正方体图（2）内，沿正四棱锥的底面所在平面将正方体切开，截面如图（3）所示，由平面几何知识可知，一个正方形有无穷多个边长各不相等的内接小正方形，设其面积为S ，则图（1）所示的几何体体积等于S 31，选（D ）. 评析：本题解法的特殊化思想体现在选取一个特殊的位置，即特殊的截面，使正四棱锥的底面和正方体的面可以依托在此截面内，从而将空间问题转化为易于研究的平面问题，这里的特殊化起到了寻找转化途径的作用.【例12】在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数图（3）图（2）图（1）Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数 【分析及解】由条件知()f x 是以2为周期的周期函数，取()cos f x x π=，求单调区间. 令22k x k ππππ-≤≤，解得增函数区间为[]21,2k k -，取2k =，得增区间[34]，； 令22k x k ππππ≤≤+，解得减函数区间为[]2,21k k +，取1k =-，得减区间[21]--，； 从而选C.【例13】（07上海）．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111p q n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ）A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 【分析及解】取1,2p q ==，得22111111111lim lim lim lim 21121121111pq n n n n n n n n n n n n ∞∞∞∞⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→→→→ 从而选C.【例14】（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、… 堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f __________ ；=)(n f __________（答案用n 表示）.…分析：通过观察与计算，得出 )4(),3(),2(),1(f f f f ，然后归纳探求其内在的变化规律，猜想出结论的一般形式，并给出证明.解：1)1(=f ，654310)2(6)3(,64324)1(3)2(⨯⨯==+=⨯⨯==+=f f f f ， 665420)3(10)4(⨯⨯==+=f f ，下一堆球的个数等于其第一层球的个数与上一堆球的个数之和，而各堆第一层球的个数分别是 ,10,6,3,1，2)1(+n n ，于是可得676535)4(265)5(⨯⨯==+⨯=f f ，… ，)1(2)1()(-++=n f n n n f ， 猜想：6)2)(1()(++=n n n n f ，此命题可用数学归纳法证明（略）. 评析：归纳是通过对某类事物中的若干特殊情形分析得出一般结论的思维方法，本题的核心就是由特殊的)4(),3(),2(),1(f f f f 得到一般的6)2)(1()(++=n n n n f ，其主要意义是它的猜测发现，其重要作用是启发解决问题的思路.【例15】（2006年浙江卷）如图，正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________________.分析：为了解决此问题，可考虑平面几何中与此类同的问题：求边长为1的正三角形上的所有点在一条直线上的射影构成的线段长的取值范围.从解决平面问题的方法中得到解决立体问题的思路.解：在上述平面几何问题中，让正三角形绕其一个顶点旋转，如图，当正三角形的一条边平行于直线a 时，在直线a 上的射影为正三角形的边，是最大射影长为1；当正三角形的一条边垂直于直线a 时（图中b a ⊥），在直线a 上的射影为正三角形的高，是 最小射影长为23（证明略），得射影的取值范围是]1,23[. 有了平面几何问题的结论和已知棱AB ∥平面α，可类比得到立体几何问题的结论：当正四面体ABCD 的棱CD ∥α时，可得正四面体在α内的射影最大面积，是对角线长为1（正四面体的棱长）的正方形的面积等于21，当α⊥CD 时，可得正四面体在α内的射影最小面积，是底边长为1（正四面体的棱长）且对应高为22（对棱CD AB ,间的距离）的三角形的面积等于42，由此可得所求射影图形面积的取值范围是]21,42[（射影图及证明略）.α D C B A评析：本题的解法采用了由特殊（平面）到一般（空间）的类比方法，关键是从联想的角度先考虑平面几何中的类似问题（相对容易一些），从中挖掘出立体几何中相关问题的突破点，也为充分发挥空间想象能力提供重要线索.四、复习建议1．明确特殊化思想的特点特殊情形相对一般情形而言是比较简单、直观和具体的，因而常常易于找出特殊情形的解答，而且普遍性存在于特殊性之中，一些特殊情形的解答过程常常蕴含着一般问题的解法途径或思路，因此，特殊化思想是探索一般性问题的解题途径的重要思想之一.2．明确一般化思想的特点从一般性问题入手，可以使我们的视野更为广阔，避免在枝节问题上纠缠，容易触及问题的本质.同时，由于限制条件减少，涉及范围增大，更容易引起联想，发现各种条件与结论之间的内在联系.因此，从一般到特殊，是人们认识事物的另一个重要侧面，它与从特殊到一般是相辅相成、和谐统一的两个方面.3．注意与其他数学思想方法的联合运用在同一道题中，有时需要运用多种数学思想方法，因此复习时要全面复习高中阶段的重要数学思想方法，不能重此轻彼，复习时要注意这一点.4．能适时正确的选用要清楚特殊与一般的数学思想方法的适用条件，如特殊化处理的可行性，有时虽然能用特殊化思想解答，但是比起其他方法未必是最佳解法.另外在解答题中，由于需要写出解答过程，因此对于一般性的结论，要防止用特殊代替一般的解答等.。