三角形四心与向量
三角形“四心“的向量统一形式及证明
三角形“四心“的向量统一形式及证明三角形的“四心”是指三角形内部的四个特殊点：重心、外心、垂心和内心。
以三角形的三个顶点A、B、C为坐标原点，分别取AD、BE、CF 为坐标轴，其中D、E、F分别为BC、AC、AB的三个中点。
则A、B、C的坐标分别为A(0, 0)B(1, 0)C(k, m)其中k、m为未知数，待求。
重心的坐标为三个顶点坐标的平均值，即G((0+1+k)/3, (0+0+m)/3) = (1/3*k, m/3)外心的坐标可以通过垂直平分线的交点求得。
设AB的垂直平分线为x=1/2，AC的垂直平分线为y=mx+b，交点为(Ox, Oy)。
由于垂直平分线是两条对称轴，所以可以得到下面两个方程：(1/2 + k) / 2 = Oxm * Ox + b = Oy解方程可以得到Ox = 1/4 + k/2Oy = m/4 + b垂心的坐标可以通过高的垂直线交点求得。
设高的垂直线分别为x=c1和y=mc2+b2，两条垂直线的交点为(Hx, Hy)。
由于高的垂直线是两条轴线，所以可以得到下面两个方程：c1 = 0mc2 + b2 = 0解方程可以得到Hx = 0Hy = -b2/m内心的坐标可以通过三条角平分线的交点求得。
设角A的平分线为y=mx+b1，角B的平分线为y=mx+b2，角C的平分线为y=mx+b3，三条平分线的交点为(Ix, Iy)。
由于角平分线相交于内心，所以可以得到下面三个方程：Ix = (k+b2-b1) / (2*m)Iy = m * Ix + b2由以上分析可以得到“四心”的坐标：重心G：(1/3*k, m/3)外心O：(1/4 + k/2, m/4 + b)垂心H：(0, -b2/m)内心I：((k+b2-b1) / (2*m), m * ((k+b2-b1) / (2*m)) + b2)证明这些点的向量统一形式，可以分别计算这些点和三个顶点之间的向量，观察它们是否有统一的形式。
三角形四心向量结论
三角形四心向量结论
三角形四心向量结论：
1、三角形有四个中心：重心，质心，内心，中心。
2、重心：三角形的重心是三角形两条边的交点，即三边的重心线的交点，是三边的平分线的交点，也就是三条边的中点。
3、质心：三角形的质心是三角形的三条边的重心，也就是三边的向量矢量的重心，以及三角形的面积重心。
4、内心：内心是三角形三个内角的公共点，是三角形的垂心，也叫外心，但是它不是三角形三边的重心。
5、中心：中心是三角形三个顶点的共同中点，它在三边上，也就是三条边的向量矢量中点。
它是三边中等分线的交点，也是三角形三条边的垂心。
【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下：一． 知识点总结 1）O 是 ABC 的重心OA OB OC 0 ;S BOC S AOC S AOB 1若 O 是 ABC 的重心，则 S ABCOC 0 ;3 故 OA OB PG 1 ( PA PB PC) G 为 ABC 的重心 .32）O 是 ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA ;若 O 是 ABC (非直角三角形 )的垂心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB ： ：tan A tan B tan C故 tan AOA tan BOBtan COC 0 3）O 是 ABC 的外心 2 OB 2 OC 2| OA | | OB | | OC | (或 OA )若 O 是 ABC 的外心： ：： ：sin2A : sin2B : sin2C则 S BOCSAOC SAOB sin BOC sin AOC sin AOB故 sin2AOA sin2BOB sin2COC 0 4）O 是内心 ABC 的充要条件是OA ( AB AC ) OB ( BA BC ) OC ( CA CB ) 0| AB | AC | BA | | BC | | CA | | CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记AB, BC,CA 的单位向量为 e 1 , e 2 ,e3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件可以写成： O A ( e 1 e 3 ) O B ( e 1 e 2 )O C (e 2 e 3 ) 0 O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOAbOB cOC 0若 O 是 ABC 的内心，则S BOC ：S AOC ：S AOB a ： b ：cA 故 aOA bOB cOC 0或 sinAOAsinBOB sinCOC 0 ;e 1| AB | PC | BC | PA | CA | PB 0 P ABC 的内心 ;e 2向量 ( ABAC )(0) 所在直线过 ABC 的内心 ( 是 BAC 的角平分 | AB | | AC |C 线所在直线 ) ；B二． 范例 (一)．将平面向量与三角形内心结合考查例 1． O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点PP 满足 OP OA ( AB AC ) ，0, 则 P 点的轨迹一定通过ABC 的（）AB AC（A ）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心解析：因为AB 是向量AB 的单位向量设AB与AC 方向上的单位向量分别为e1和e2，又ABOP OA AP ，则原式可化为AP ABC 中， AP 平分BAC ，则知选( e1B.e2 ) ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ，那么在点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB 是什么？没见过！想想，一个非零AB向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
三角形的“四心”与向量教师版
三角形的“四心”与向量的完美结合一、知识点总结Benz 定理（奔驰定理）：已知P 为三角形ABC ∆内任意一点，则0ρ=++∆∆∆S S S PAB PAC PBC1）O 是ABC ∆的重心=++⇔; 若O 是ABC ∆的重心，则,31ABC AOB AOC BOC S S S S ∆∆∆∆===故;,=++ 1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⋅=⋅=⋅⇔; 若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则,tan :tan :tan ::C B A S S S AOB AOC BOC =∆∆∆故tan tan tan =⋅+⋅+⋅C B A3）O 是ABC ∆的外心)222OC OB OA ====⇔或 若O 是ABC ∆的外心,则C B A AOB AOC BOC S S S AOB AOC BOC 2sin :2sin :2sin sin :sin :sin ::=∠∠∠=∆∆∆ 故02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A4）O 是内心ABC ∆的充要条件是0=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记,,的单位向量为321,,e e e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成0)()()(322131=+⋅=+⋅=+⋅e e e e e eO 是ABC ∆内心的充要条件也可以是=++c b a若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆ 故0sin sin sin 0=++=++OC C OB B OA A OC c OB b OA a 或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r rABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ruu u r u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二、典型例题【例 1】:O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACAC ABAB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心【解答】：因为ABAB 是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.变式1：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心解：由已知得()||cos ||cos AB ACAP AB B AC Cλ=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ， ∴()||cos ||cos AB BC AC BCAP BC AB B AC Cλ⋅⋅⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r =||||cos()||||cos ()||cos ||cos AB BC B AC BC CAB B AC Cπλ⋅-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r =(||||)BC BC λ-+u u u r u u u r = 0， ∴AP BC ⊥u u u r u u u r，即AP ⊥BC ，所以动点P 的轨迹通过△ABC 的垂心，选B.变式2: 已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心ACBPC解：设BC 的中点为D ，则2OB OCOD +=u u u r u u u ru u u r ，则由已知得()||cos ||cos AB AC DP AB B AC Cλ=+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ， ∴()||cos ||cos AB BC AC BC DP BC AB B AC C λ⋅⋅⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =||||cos()||||cos ()||cos ||cos AB BC B AC BC CAB B AC Cπλ⋅-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r =(||||)BC BC λ-+u u u r u u u r= 0 .∴DP ⊥BC ，P 点在BC 的垂直平分线上，故动点P 的轨迹通过△ABC 的外心. 选C .变式3：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心解：由已知得()||sin ||sin AB ACAP AB B AC Cλ=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，由正弦定理知||sin ||sin AB B AC C =u u u r u u u r ，∴()||sin AP AB AC AB Bλ=+u u u r u u u r u u u r u u u r ， 设BC 的中点为D ，则由平行四边形法则可知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上，所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心，故选A .【例2】.若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心【解答】：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r ，由平行四边形性质知12OE OD =u u u r u u u r，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）
三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
高三数学-专题复习-向量专题(1)向量与三角形四心内心、外心、重心、垂心(附向量知识点)
高三数学-三角形四心与向量关系 -内心、外心、重心、垂心（附向量知识点）一、三角形四心知识点（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、向量知识点☆零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量☆向量加法AB BC u u u r u u u r =AC u u ur 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．☆实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的☆两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =☆平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底☆平面向量的坐标运算：(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y r r ，1212a b x x y y rr (2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r，则a b r r ，02121 y y x x☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质☆两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r 与b r 的数量积（或内积） 规定0a r r☆向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影☆数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r 方向上的投影的乘积☆向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r☆乘法公式成立：2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a ba ab b r r r r r r 222a a b b r r r r☆向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA uu u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB= （001800 ）叫做向量a r与b r 的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充： 线段的定比分点设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212ll 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212P P P P P P P P 12121200所成的比（，在线段内，，在外），且x x x y y y P P P x x x y y y12121212121122 ，为中点时， 如：，，，，，， ABC A x y B x y C x y 112233则重心的坐标是， ABC G x x x y y y 12312333三、三角形四心与向量关系典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)( ， ,0 ，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 分析：如图所示ABC ，E D 、分别为边AC BC 、的中点.2 2 2 // 点P 的轨迹一定通过ABC 的重心，即选C .例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足， ,0 ，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分BAC ,点P 的轨迹一定通过ABC 的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足， ,0 ，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.BC=0点P 的轨迹一定通过ABC 的垂心，即选D .三、四心与向量的结合（1） 0OC OB OA O 是ABC 的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O0OC OB OA)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x33321321y y y y x x x x O 是ABC 的重心. 证法2：如图OC OB OA 02 OD OA OD AO 2D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 O 是ABC 的重心（2） OA OC OC OB OB OA O 为ABC 的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)( AC OB 同理BC OA ，AB OC O 为ABC 的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是 ABC 的内心BCDB CDO c b a 为ABC 的内心.证明：bc 、分别为方向上的单位向量，bc平分BAC , (AO bc)，令c b a bcc b a bc （bACc AB) 化简得0)( AC c AB b OA c b a0 OC c OB b OA a（4O 为ABC 的外心。
向量中三角形四心的结论和推导
向量中三角形四心的结论和推导一、引言在平面几何中，一个三角形有四个特殊的点，它们分别是三角形的重心、外心、内心和垂心。
这些点被称为三角形的四心。
在向量中，我们也可以推导出三角形的四心的坐标。
二、定义1. 向量向量是一个有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在平面直角坐标系中，一个向量可以表示为(x, y)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的投影长度。
2. 三角形三角形是由三条线段连接而成的图形。
它有三个顶点和三条边。
3. 重心重心是连接三角形每个顶点与对边中点所得线段交于一点的点。
4. 外心外接圆是通过三角形每个顶点并且垂直于对边所得圆。
外接圆圆心就是外心。
5. 内心内切圆是切于三角形每一条边并且内部没有其他点在其内部所得圆。
内切圆圆心就是内心。
6. 垂心垂足分别位于每条高线上，高线即从某个顶点垂直于对边所得线段。
7. 四边形四边形是由四条线段连接而成的图形。
它有四个顶点和四条边。
8. 向量的运算向量的加法：向量相加就是将它们的坐标对应位相加。
向量的减法：向量相减就是将它们的坐标对应位相减。
向量的数量积：两个向量之间的数量积等于这两个向量模长之积与这两个向量夹角余弦值之积。
三、结论1. 重心三角形ABC三个顶点坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。
则重心G坐标为：G = ((x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3)2. 外心三角形ABC三个顶点坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。
则外心O坐标为：OA = OB = OC = R其中R为外接圆半径，有以下公式：R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)其中a、b、c分别为三角形ABC三条边长度，A、B、C分别为对应角度。
O = ((x1^2+y1^2)(y2-y3)+(x2^2+y2^2)(y3-y1)+(x3^2+y3^2)(y1-y2))/(2(x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2))), ((x1^2+y1^2)(x3-x2)+(x2^2+y2^2)(x1-x3)+(x3^2+y3^2)(x2-x1))/(2(y1(x3-x2)+y2(x1-x3)+y3(x2-x1)))其中，(x,y)为向量的坐标。
三角形的“四心”的向量关系
三角形的“四心（重心，垂心，外心，内心）”的向量关系1．O 为ABC 的外心222OA OB OC ⇔==证明： O 为ABC 的外心||||||OA OB OC ⇔==222OA OB OC ⇔==。
2. O 为ABC 的重心0OA OB OC ⇔++=证明：O 为ABC 的重心211()[()()323OA AB AC OB OA OC OA ⇔=-∙+=--+-化简即得0OA OB OC ++=。
3．O 为ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔== 证明：O 为ABC 的垂心,,OA BC OB CA OC AB ⇔⊥⊥⊥0,0,0()0,()0,()0OA BC OB CA OC AB OA OC OB OB OA OC OC OB OA ⇔===⇔-=-=-=OA OB OB OC OC OA ⇔==4. O 为ABC 的内心0a O A b O Bc O C ⇔++=（其中,,a b c 为ABC 的三边长：||,||,||BC a CA b AB c ===）证明：O 为ABC 的内心（设D 为角A 平分线与对边的交点）||||||,||||||OA AB DC BD OB B OA A DO BD AC AB ⇔∠∠⇔==平分，平分（||||||||||||||||DC BD DC BD ac b AC AB AC AB +===++,应用了合比定理）OA b c a DO +⇔= ()()DO a DA a b ca b c OA b c DA b c b c OA OA++⇔=⇔=⇔++=+++又()()()BD cbBD cDC b AD AB c AC AD b c AD bAB c AC bDC =⇔=⇔-=-⇔+=+故()()()()a b c OA bAB cAC b OB OA c OC OA ++=-+=---- 得证做题中常见的结论①在△ABC 中，AB AC +一定过BC 边的中点，即通过△ABC 的重心。
三角形“四心”与向量的完美结合
三角形"四与向量的完美结合-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1三角形的''四心”与向量的完美结合三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式一. 知识点总结1)o 是AABC 的重心<=>OA+OB + OC=0 若O是AABC的jg心.则S^noc - Sax -S45 -护"釈・故OA + OB+dC = 0PG = j(PA + PB + PC) O G 为MBC的重心.2)0 是AABC的垂心oOA OB=OB OC = OC<OA 若O是AABC（1h直角三角形）的垂心,则S ABOC：S GX：S AAOB =A：tanB：tanC故tail AOA + tail BOB + tail COC = 03)0 是AABC的外心0 lOAimOBklOCI(或SX? =OB^=OC^) 若O是AABC的外心则S ABOC：S MOC： =sinZBCK^：sinZAOC：sinZAOB =sin2A :sin2B :sin2C故sInlAOA + sln2BOB + sln2COC = 04） O是内心AABC的充要条件是BCOA.(4^-^) = OB.(^-^) = OC.(^-^) = 0IABI AC I BA I IBCI I CAI ICBI引进单位向量•使条件变得更简洁。
如果记入氏阮,€入的单位向屋为引心息，则刚才0 是AABC 内心的充要条件可以写成OA.(e, ^e^) = OB (e, H-e^) = OC-(e^ + e^) = 0O是AABC内心的充要条件也可以是aOA + bOB + cOC = 0 若o 是AABC的内心•则b： c 故aOA + bOB + cOC = 6或sin A5X + sinBOB + sInCOC = 0IAS\PC+1^\M+\^\PB=0O P AABC的内心;解析：山莎•而=而无得莎而一而药=0・即两-阳=（x 即两-^5=0则PB 丄CA,同理PA 丄BC 、PC 丄AB 所以P 为AABC 的垂心•故选D.点评：本题考査半面向ft 有关运算・及“数《积为零，则两向ft 所在直线垂直〃、三角形垂心定义 等相关知识•将三角形垂心的定义与半面向《有关运算及“数量积为零•则两向暈所在直线垂直〃 等相关知识巧妙结合。
高考数学专题平面向量与三角形的四心(含解析)
2023届高考专题——平面向量与三角形的“四心”一、三角形的“四心”(1)重心：三角形的三条中线的交点；O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)垂心：三角形的三条高线的交点；O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；(3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)；(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0. 注意：向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．类型一 平面向量与三角形的“重心”问题例1 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( C )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点 [解析] 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]， ∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →] ＝21－λ3OD →＋1＋2λ3OC →， 而21－λ3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线， ∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．类型二 平面向量与三角形的“外心”问题例2 设P 是△ABC 所在平面内一点，若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，且AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，则点P 是△ABC 的( A )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[解析] 由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0，即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0，所以AB →·(PB →＋PA →)＝0.设D 为AB 的中点，则AB →·2PD →＝0，故AB →·PD →＝0.由AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝－2BC →·AP →，即(AB →＋AC →－2AP →)·BC →＝0.设E 为BC 的中点，则(2AE →－2AP →)·BC →＝0，则2PE →·BC →＝0，故BC →·PE →＝0.所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点，所以P 是△ABC 的外心．故选A ．跟踪练习在△ABC 中，O 为其外心，OA ―→·OC ―→＝3，且 3 OA ―→＋7OB ―→＋OC ―→＝0，则边AC 的长是________．[解析] 设△ABC 外接圆的半径为R ，∵O 为△ABC 的外心，∴|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝R ，又 3 OA ―→ ＋7 OB ―→＋OC ―→＝0，则 3 OA ―→＋OC ―→＝－7OB ―→，∴3OA ―→2＋OC ―→2＋2 3OA ―→·OC ―→＝7OB ―→2，从而OA ―→·OC ―→＝32R 2，又OA ―→·OC ―→＝3，所以R 2＝2，又OA ―→·OC ―→＝|OA ―→||OC ―→|cos ∠AOC ＝R 2cos ∠AOC ＝3，∴cos ∠AOC ＝32，∴∠AOC ＝π6，在△AOC 中，由余弦定理得AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos∠AOC ＝R 2＋R 2－2R 2×32＝(2－3)R 2＝4－23．所以AC ＝3－1． 类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题例3 (2022·济南质检)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB―→|AB ―→|cos B ＋|AC ―→||AC ―→|cos C ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心 [解析] OP ―→－OA ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，BC ―→·AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC ―→·AB ―→|AB ―→|cos B ＋BC ―→·AC ―→|AC ―→|cos C ＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫|BC ―→||AB ―→|cos π－B |AB ―→|cos B ＋|BC ―→||AC ―→|cos C |AC ―→|cos C ＝λ(－|BC ―→|＋|BC ―→|)＝0，所以BC ―→⊥AP ―→，动点P 在BC 的高线上，动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心，故选C ．类型四 平面向量与三角形的“内心”问题例4 在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝2，AD →＝12AB →＋34AC →，则直线AD 通过△ABC 的( D ) A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心[解析] ∵|AB →|＝3，|AC →|＝2，∴12|AB →|＝34|AC →|＝32.设AE →＝12AB →，AF →＝34AC →，则|AE →|＝|AF →|.∵AD →＝12AB →＋34AC →＝AE →＋AF →，∴AD 平分∠EAF ， ∴AD 平分∠BAC ，∴直线AD 通过△ABC 的内心．跟踪练习(2022·海南模拟)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP ―→＝x OB ―→＋y OC ―→，其中x ，y ∈[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A ．1063B ．1463C ．4 3D ．6 2 [解析] 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7．设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763．故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463． 二、三角形形状的判断在△ABC 中，①若|AB →|＝|AC →|，则△ABC 为等腰三角形；②若AB →·AC →＝0，则△ABC 为直角三角形；③若AB →·AC →<0，则△ABC 为钝角三角形；④若AB →·AC →>0，BA →·BC →>0，且CA →·CB →>0，则△ABC 为锐角三角形；⑤若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则△ABC 为直角三角形；⑥若(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 为等腰三角形．例5 (2022·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( C )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 [解析] 由题意知CB →·(AB →＋AC →)＝0.所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C ．〔变式训练4〕(1)若P 为△ABC 所在平面内一点．①若(OP →－OA →)·(AB →－AC →)＝0，则动点P 的轨迹必过△ABC 的垂心.②若OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)(λ≥0)，则动点P 的轨迹必过△ABC 的重心.③若CA →2＝CB →2－2AB →·CP →，则动点P 的轨迹必过△ABC 的外心.(2)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( D )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形[解析] (1)①由题意知AP →·CB →＝0，∴AP ⊥BC ，∴动点P 必过△ABC 的垂心；②由题意知AP →＝λ(AB →＋AC →)＝2λAM →(M 为BC 中点)∴P 、A 、M 共线，∴P 必过△ABC 的重心；③2AB →·CP →＝CB →2－CA →2＝(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝AB →·(CB →＋CA →)，即2AB →·CP →＝AB →·(CB →＋CA →)，∴AB →·(2CP →－CB →－CA →)＝AB →·(BP →＋AP →)＝0.∴以BP →，AP →为邻边的平行四边形的对角线互相垂直．∴点P 在线段AB 的中垂线上，∴P 必过△ABC 的外心．(2)因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ．又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D ．。
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三角形四心与向量 - 2 - - 3 - - 4 - - 5 - 212(,)BCxxy 221242214
2
()0()AHBCAHBCxxxyyxxxyy
212223
22123
2
()()0222()22QFACxxyQFACxyyxxxyyy
1212212243
23()(,),)22xxxxxxyQHxyy2（
22y
211221222123
212212212212
2()(,),)3233223()23()1 (,)(,)6321 =3xxxyxxyxxxyQGyxxxxxyxxxxxyQH222（
62y
66y22y
即=3QHQG，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2 例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证 OCOBOAOH. 证明 若△ABC的垂心为H，外心为O，如图. 连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD. ∴ABAD，BCCD.又垂心为H，BCAH，ABCH， ∴AH∥CD，CH∥AD， ∴四边形AHCD为平行四边形，
∴OCDODCAH，故OCOBOAAHOAOH. 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”； （2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。 “欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11． 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心. 求证 OHOG31
证明 按重心定理 G是△ABC的重心)(31OCOBOAOG 按垂心定理 OCOBOAOH 由此可得 OHOG31.
补充练习 1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足 OP=31 (21OA+OB21+2OC),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）
A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.AB边的中点 - 6 -
1. B取AB边的中点M，则OMOBOA2，由OP=31 (21OA+OB21+2OC)可得3MCOMOP23，∴MCMP32，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B. 2．在同一个平面上有ABC及一点Ｏ满足关系式： 2OA＋2BC＝2OB＋2CA＝2OC＋2AB，则Ｏ为ABC的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：0PAPBPC，则P为ABC的 （ C ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
)(ACABOAOP，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
0PAPCPAPBPBPC，则P点为三角形的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：0aPAbPBcPC，则P点为三角形的 （ B ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC中，动点P满足：CPABCBCA222，则P点轨迹一定通过△ABC的： （ B ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
7.已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→| +AC→|AC→| )·BC→=0且AB→|AB→| ·AC→|AC→| =12 , 则△ABC为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 解析：非零向量与满足(||||ABACABAC)·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又cosA||||ABACABAC=12 ，∠A=3，所以△ABC为等边三角形，选D． 8.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数m = 1 9.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA，则点O是ABC的（B ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 （C）三条中线的交点 （D）三条高的交点
10. 如图1，已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AMxAB， ANyAC，则113xy。
证 点G是ABC的重心，知GAGBGCO， 得()()AGABAGACAGO，有1()3AGABAC。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上）， 于是存在,，使得(1)AGAMAN且， 有AGxAByAC=1()3ABAC，
得113xy，于是得113xy。 - 7 -
例讲三角形中与向量有关的问题 教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法 2、向量的加法、数量积等性质 3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题 4、数形结合 教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题 教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题 教学过程： 1、课前练习
1.1已知O是△ABC内的一点，若222OCOBOA，则O是△ABC的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
1.2在△ABC中，有命题①BCACAB；②0CABCAB；③若0ACABACAB，则△ABC为等腰三角形；④若0ACAB，则△ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕 A、①② B、①④ C、②③ D、②③④
2、知识回顾 2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法 2.2 向量的有关性质 2.3 上述两者间的关联
3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
例1、已知△ABC中，有0BCACACABAB和21ACACABAB,试判断△ABC的形状。
练习1、已知△ABC中，aAB，bBC，B是△ABC中的最大角，若0ba，试判断△ABC的形状。 4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题 例2、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足222222ABOCACOBBCOA，则O是△ABC的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足,0,ACACABABOAOP，则动点P一定过△ABC的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足,0,21BCABOAOP，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例4、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足,0,coscosCACACBABABOAOP，则动点P一定过△ABC的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 - 8 -
练习3、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足,0,coscos2CACACBABABOCOBOP，则动点P一定过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且ACyANABxAM,，求证：311yx
6、小结 处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。
7、作业 1、已知O是△ABC内的一点，若0OCOBOA，则O是△ABC的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且0OCOBOA，则OBOA等于〔 〕
A、21 B、0 C、1 D、21
3、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若0OCcOBbOAa，则O是△ABC的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足APACAB3，则P是△ABC的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、平面上的三个向量OA、OB、OC满足0OCOBOA，1OCOBOA，求证：△ABC为正三角形。 6、在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求)(OCOBOA 三角形四心与向量的典型问题分析
向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。 在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的