年上海市学业水平考试暨春季高考数学试卷
2021年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析
2021年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = ． 2．（4分）已知13z i =-，则||z i -= ．3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ． 4．（4分）不等式2512x x +<-的解集为 ． 5．（4分）直线2x =-10y -+=的夹角为 ． 6．（4分）若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，则1122a b a b = ． 7．（5分）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 ． 8．（5分）已知函数()3(0)31x xaf x a =+>+的最小值为5，则a = ． 9．（5分）在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是 ．10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 .11．（5分）已知椭圆221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 ．12．（5分）已知0θ>，存在实数ϕ，使得对任意*n N ∈，cos()n θϕ+<，则θ的最小值是 ． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是( ) A ．2()f x x =B ．()sin f x x =C ．()2x f x =D ．()1f x =14．（5分）已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，则下列关系中，正确的是( ) A ．A B ⊆B ．RRA B ⊆C ．A B =∅D ．A B R =15．（5分）已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( ) A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称16．（5分）在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC ∆，使得0AB CE ⋅=；②存在ABC ∆，使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是( ) A ．①成立，②成立 B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD ． （1）若PAB ∆为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45︒，求PC 与AD 所成角的大小．18．（14分）已知A、B、C为ABC∆的三个内角，a、b、c是其三条边，2a=，1 cos4C=-．（1）若sin2sinA B=，求b、c；（2）若4cos()45Aπ-=，求c．19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足||||20-=PA PB千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60︒处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现||||30-=QA QBQC QD-=千米，||||10千米，求||OQ（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1︒）20．（16分）已知函数()f x x =． （1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a ，对任意2n ，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项． （1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ； （3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = 21 ．【解析】因为等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则101939221a a d =+=+⨯=．故答案为：21． 【评注】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题． 2．（4分）已知13z i =-，则||z i -【解析】13z i =-，∴1312z i i i i-=+-=+，则|||12|zi i -=+=． 【评注】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 4π ．【解析】圆柱的底面半径为1r =，高为2h =，所以圆柱的侧面积为22124S rh πππ==⨯⨯=侧．故答案为：4π．【评注】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题． 4．（4分）不等式2512x x +<-的解集为 (7,2)- ． 【解析】252571100222x x x x x x +++<⇒-<⇒<---，解得，72x -<<．故答案为：(7,2)-． 【评注】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 5．（4分）直线2x =-10y -+=的夹角为 6π． 【解析】直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2π10y -+=3π， 故直线2x =-10y -+=的夹角为236πππ-=，故答案为：6π．【评注】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题． 6．（4分）若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，则1122a b a b = 0 ． 【解析】对于方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，有111111222222,,x y a b c b ac D D D a b c b a c ===， 根据题意，方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，所以0D =，即11220a b D a b ==，故答案为：0． 【评注】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．（5分）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 64 ．【解析】由题意，32nn C C >，且34n n C C >，所以6n =，所以令1x =，6(1)x +的系数和为6264=． 故答案为：64．【评注】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题． 8．（5分）已知函数()3(0)31x xaf x a =+>+的最小值为5，则a = 9 ． 【解析】()33112153131x xx x a a f x a =+=++--=++，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．【评注】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题． 9．（5分）在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是 (4,0)(0,4)- ．【解析】无穷等比数列{}n a ，∴公比(1,0)(0,1)q ∈-，∴lim 0n n a →∞=，∴11lim()4n n a a a →∞-==，214(4,0)(0,4)a a q q ∴==∈-．故答案为：(4,0)(0,4)-．【评注】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 23种 .【解析】由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323C C C C +++-=+++-=（种）．故答案为：23种．【评注】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．11．（5分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 1x =-【解析】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立方程组24y cxy x c ⎧=⎨=+⎩，解得x c =，2y c =，所以点P 的坐标为(,2)c c ，所以212PF F F ⊥，又22112,PF F F c PF ===所以所以12(222PF PF c a +=+==，则1c =，所以抛物线的准线方程为：1x c =-=故答案为：1x =【评注】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12．（5分）已知0θ>，存在实数ϕ，使得对任意*n N ∈，cos()n θϕ+<，则θ的最小值是 25π． 【解析】在单位圆中分析，由题意可得n θϕ+的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOx BOx π∠=∠=，所以3AOB πθ>∠=，因为对任意*n N ∈都成立，所以2*N πθ∈，即2kπθ=，*k N ∈， 同时3πθ>，所以θ的最小值为25π．故答案为：25π．【评注】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是( ) A ．2()f x x =B ．()sin f x x =C ．()2x f x =D ．()1f x =【解析】选项A ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A 错误，选项B ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B 错误，选项C ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C 正确， 选项D ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D 错误，故选：C ． 【评注】本题考查了反函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题． 14．（5分）已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，则下列关系中，正确的是( ) A ．A B ⊆B ．RRA B ⊆C ．A B =∅D ．A B R =【解析】已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，解得{|2B x x =或1,}x x R -∈，{|1,}RA x x x R =-∈，{|12}RB x x =-<<；则A B R =，{|2}A B x x =，故选：D ．【评注】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．15．（5分）已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( ) A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称 B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称 【解析】根据题意，依次判断选项： 对于A ，()cos12xf x π=+，()f x 为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A 错误，对于B ，()cos()f x x π=，()f x 为偶函数且关于直线1x =对称，存在最大值，B 错误， 对于C ，假设()f x 有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为(,)a M ， ()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，则()f x 的图象存在最低点(,)a M --，又由()f x 的图象关于点(1,1)对称，则(,)a M --关于点(1,1)对称的点为(2,2)a M ++， 与最大值为M 相矛盾，则此时()f x 无最大值，C 正确， 对于D ，()sin2xf x π=，()f x 为奇函数且关于直线1x =对称，D 错误，故选：C ．【评注】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC ∆，使得0AB CE ⋅=；②存在ABC ∆，使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是( ) A ．①成立，②成立 B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【解析】不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =---，(1,)CE x y =-，若0AB CE ⋅=，则2(12)(1)20x x y -+--=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立； ②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE 与CG 不共线，即②不成立．故选：B ．【评注】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD ． （1）若PAB ∆为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45︒，求PC 与AD 所成角的大小．【解析】（1）PAB ∆为等边三角形，且E 为AB 中点，4AB =，PE ∴=，又PE ⊥平面ABCD ，∴四棱锥P ABCD -的体积211433ABCD V PE S =⋅=⨯=正方形． （2）PE ⊥平面ABCD ，PFE ∴∠为PF 与平面ABCD 所成角为45︒，即45PFE ∠=︒，PEF ∴∆为等腰直角三角形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，4PE FE ∴==，PB ∴== //AD BC ，PCB ∴∠或其补角即为PC 与AD 所成角，PE ⊥平面ABCD ，PE BC ∴⊥，又BC AB ⊥，PE AB E =，PE 、AB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ，BC PB ∴⊥，在Rt PBC ∆中，tan PB PCB BC ∠==，故PC 与AD 所成角的大小为 【评注】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos()45A π-=，求c ．【解析】（1）因为sin 2sin A B =，可得2a b =，又2a =，可得1b =，由于222222211cos 22214a b c c C ab +-+-===-⨯⨯，可得c =（2）因为4cos()sin )45A A A π-=+=，可得cos sin A A +=，又22cos sin 1A A +=，可解得cos A =，sin A =，或sin A =cos A因为1cos 4C =-，可得sin C tan C =，可得C 为钝角，若sin A =cos A =tan 7A =，可得tan tan tan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+==<-，可得B 为钝角，这与C 为钝角矛盾，舍去，所以sin 10A =，由正弦定理2sin sin cA C=，可得c = 【评注】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60︒处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1︒）【解析】（1）由题意可得10a =，20c =，所以2300b =，所以双曲线的标准方程为221100300x y -=，直线:OP y =，联立双曲线方程，可得x =，y P 的坐标为． （2）①||||30QA QB -=，则15a =，20c =，所以2175b =，双曲线方程为221225175x y -=；②||||10QC QD -=，则5a =，15c =，所以2200b =，所以双曲线方程为22125200y x -=，两双曲线方程联立，得Q ，所以||19OQ ≈米，Q 点位置北偏东66︒．【评注】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．20．（16分）已知函数()f x x =． （1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，()f x x =，由|1|10x +-，得|1|1x +，解得2x -或0x ．∴函数的定义域为(,2][0,)-∞-+∞；（2）()f ax ax =，()f ax a ax a =⇔=+，设0ax a t +=，∴t =有两个不同实数根，整理得2a t t =-，0t ， 211()24a t ∴=--+，0t ，当且仅当104a <时，方程有2个不同实数根，又0a ≠，a ∴的取值范围是1(0,)4；（3）当x a -时，211())24f x x x ===-+，在1[,)4+∞上单调递减，此时需要满足14a-，即14a -，函数()f x 在[,)a -+∞上递减；当x a <-时，()f x x x ==，在(,2]a -∞-上递减， 104a -<，20a a ∴->->，即当14a -时，函数()f x 在(,)a -∞-上递减． 综上，当1(,]4a ∈-∞-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减．【评注】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a ，对任意2n ，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项． （1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ； （3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．【解析】（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，2312a a a ∴=+解得31a =，3212a a a =+解得34a =，经检验，31a =，（2）证明：1470a a a ===，322a a ∴=，或232a a =，经检验，232aa =； ∴32524a a a ==，或2512aa a =-=-（舍)，∴254a a =； ∴52628a a a ==，或2654aa a =-=-（舍)，∴268a a =； ∴628216a a a ==，或2868aa a =-=-（舍)，∴2816a a =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14； （3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，0r a =，则212r r a a --=，即121r r r a a a ----=-，0r a ∴=，则3111221111111()()1()(),*222222i r i i r r r r a a a a a a i N --+---==--=-⋅-⋅⋅-=-⋅-∈，∴11()4r max a +=，同理，2*1111111()1()(),22224j s r j j s r r a a a j N ---++=-⋅-⋅⋅-=-⋅-⋅∈，∴11()16s max a +=，同理，11()64t max a +=，111r s t a a a +++∴++的最大值2164． 【评注】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题．。
2020年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析
2020年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．（4分）集合{1,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则a = ． 2．（4分）不等式13x>的解集为 ． 3．（4分）函数tan 2y x =的最小正周期为 ．4．（4分）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为 ． 5．（4分）已知3sin22sin x x =，(0,)x π∈，则x = ． 6．（4分）若函数133x x y a =+为偶函数，则a = ． 7．（5分）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l 的距离为 ．8．（5分）已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 ．9．（5分）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB = ． 10．（5分）已知{3,2,1,0,1,2,3}A =---，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有 种．11．（5分）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，（1n =，2，3)，112||||1n n n n A A A A n +++⋅=+（1n =，2，3)，则15||A A 的最小值为 ．12．（5分）已知()f x =其反函数为1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为 ． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）计算：1135lim (35n n n n n --→∞+=+ )A ．3B ．53C ．35D ．514．（5分）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线16．（5分）数列{}n a 各项均为实数，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，且行列式123n n n n a a c a a +++=为定值，则下列选项中不可能的是( )A ．11a =，1c =B ．12a =，2c =C ．11a =-，4c =D ．12a =，0c =三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ． （1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．18．（14分）已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =． （1）若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．19．（14分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？20．（16分）已知抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．（1）若点M ，求M 与焦点的距离； （2）若1t =-，(1,1)P ，(1,1)Q -，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质； （2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[,)x a ∈+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围； （3）当{2A =-，}m ，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值．2020年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．（4分）集合{1,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则a = 3 ． 【解析】3A ∈，且A B ⊆，3B ∴∈，3a ∴=，故答案为：3． 【评注】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题． 2．（4分）不等式13x >的解集为 1(0,)3． 【解析】由13x >得130x x ->，则(13)0x x ->，即(31)0x x -<，解得103x <<， 所以不等式的解集是1(0,)3，故答案为：1(0,)3．【评注】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题． 3．（4分）函数tan 2y x =的最小正周期为 2π． 【解析】函数tan 2y x =的最小正周期为2π，故答案为：2π． 【评注】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题． 4．（4分）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为 2 ．【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈．复数z 满足26z z i +=+，36a bi i ∴-=+， 可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =-．则z 的实部为2．故答案为：2．【评注】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．（4分）已知3sin22sin x x =，(0,)x π∈，则x = 1arccos 3．【解析】3sin22sin x x =，6sin cos 2sin x x x =，(0,)x π∈，sin 0x ∴≠，1cos 3x ∴=，故1arccos 3x =． 故答案为：1arccos 3．【评注】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键． 6．（4分）若函数133x x y a =+为偶函数，则a = 1 ． 【解析】根据题意，函数133x x y a =+为偶函数，则()()f x f x -=，即()()113333x xx xa a --+=+， 变形可得：(33)(33)x x x x a ---=-，必有1a =；故答案为：1．【评注】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．7．（5分）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l【解析】直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，当12//l l 时，210a -=，解得1a =±；当1a =时1l 与2l 重合，不满足题意；当1a =-时12//l l ，此时1:10l x y --=，2:10l x y -+=；则1l 与2l 的距离为d =．【评注】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题．8．（5分）已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 10 ．【解析】41435(2)10C x x =，所以展开式中3x 的系数为10．故答案为：10． 【评注】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题．9．（5分）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB = 194． 【解析】在ABC ∆中，2AB =，3BC =，4AC =，∴由余弦定理得，222416911cos 222416AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯，∴111124162AB AC =⨯⨯=，且D 是BC 的中点，∴21111119()()(4)22224AD AB AB AC AB AB AB AC =+=+=⨯+=．故答案为：194． 【评注】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）已知{3,2,1,0,1,2,3}A =---，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有 18 种． 【解析】当3a =-，0种， 当2a =-，2种， 当1a =-，4种； 当0a =，6种， 当1a =，4种； 当2a =，2种， 当3a =，0种，故共有：2464218++++=．故答案为：18．【评注】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目．11．（5分）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，（1n =，2，3)，112||||1n n n n A A A A n +++⋅=+（1n =，2，3)，则15||A A 的最小值为． 【解析】设12||A A x =，则232||A A x =，344538||,||23x A A A A x==，设1(0,0)A ，如图，求15||A A 的最小值，则：2(,0)A x ，3422(,),(,)2x A x A x x -，52(,)23x A x--，∴2222152242||()()23493x x A A x x=-+-=+，当且仅当22449x x=，即x =15||A A ∴． 【评注】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．12．（5分）已知()f x =1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为 3[,)4+∞ ． 【解析】因为1()y f x a -=-与()y f x a =+互为反函数，若1()y f x a -=-与()y f x a =+有实数根，则()y f x a =+与y x =有交点，x ，即221331()244a x x x =-+=-+，故答案为：3[,)4+∞．【评注】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）计算：1135lim (35n nn n n --→∞+=+ )A ．3B ．53C ．35D ．5【解析】111133()5355limlim 5335()15n n nn n n n n ---→∞→∞-++==++．故选：D ． 【评注】本题考查数列极限的求法，是基础的计算题． 14．（5分）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解析】（1）若αβ=，则2222sin cos sin cos 1αβαα+=+=，∴“αβ=“是“22sin cos 1αβ+=“的充分条件；（2）若22sin cos 1αβ+=，则22sin sin αβ=，得不出αβ=，∴“αβ=”不是“22sin cos 1αβ+=”的必要条件，∴“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的充分非必要条件．故选：A ．【评注】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义，22sin cos 1αα+=，正弦函数的图象，考查了推理能力，属于基础题．15．（5分）已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线【解析】2AB ，2CD ∴，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，设(,)A m t ，(,)D t n ，所以(,)P m n ，因为2212m t +=，2212t n +=，消去t 可得：22212m n -=，故选：B ．【评注】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题． 16．（5分）数列{}n a 各项均为实数，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，且行列式123nn n n a a c a a +++=为定值，则下列选项中不可能的是( ) A ．11a =，1c =B ．12a =，2c =C ．11a =-，4c =D ．12a =，0c =【解析】行列式131223nn n n n n n n aa a a a a c a a ++++++=-=，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，∴2122123n n n n n n a a a ca a a c +++++⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 作差整理得：1n n a a +=（常数列，0c =），或120n n n a a a ++++=，当120n n n a a a ++++=，则12n n n a a a +++=-及212n n na a a c ++=-， ∴方程220n nx a x a c ++-=有两根1n a +，2n a +，∴△2224()430n n n a a c c a =--=->，因为B 错，故选：B ． 【评注】本题考查行列式，以及方程求解，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ． （1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．【解析】（1）PD ⊥平面ABCD ，PD DC ∴⊥．3CD =，5PC ∴=，4PD ∴=，2134123P ABCD V -∴=⨯⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为12．（2）ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，BC PD ∴⊥，BC CD ⊥，又PD CD D =，BC ∴⊥平面PCD ， BC PC ∴⊥，异面直线AD 与PB 所成角为60︒，//BC AD ，∴在Rt PBC ∆中，60PBC ∠=︒，3BC =，故PC =Rt PDC ∆中，3CD =，PD ∴=【评注】本题考查几何体的体积，空间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力，是中档题．18．（14分）已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =． （1）若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．【解析】（1）数列{}n a 为公差为d 的等差数列，1070S =，11a =，可得110109702d +⨯⨯=，解得43d =，则4411(1)333n a n n =+-=-；（2）数列{}n a 为公比为q 的等比数列，418a =，11a =，可得318q =，即12q =，则11()2n n a -=，111()122()1212nn n S --==--，100n nS a >，即为11112()100()22n n --->， 即2101n >，可得7n ，即n 的最小值为7．【评注】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19．（14分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？【解析】（1）投放点1(120,0)ω，2(60,0)ω，60(10)f 表示与(10,0)B 距离最近的投放点（即2ω）的距离， 所以60(10)|6010|50f =-=，同理分析，60(80)|6080|20f =-=，60(95)|12095|25f =-=， 由题意得，60(){|60|,|120|}min f x x x =--， 则当|60||120|x x --，即90x 时，60()|60|f x x =-；当|60||120|x x ->-，即90x >时，60()|120|f x x =-； 综上60|60|,90()|120|,90x x f x x x -⎧=⎨->⎩；（2）由题意得(){||,|120|}t min f x t x x =--，所以||,0.5(120)()|120|,0.5(120)t t x x t f x x x t -+⎧=⎨->+⎩，则()t f x 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，所以222113(120)603600244S t t t t =+-=-+，由题意，(60)S S <，即2360360027004t t -+<，解得2060t <<，即垃圾投放点2ω建在(20,0)与(60,0)之间时，比建在中点时更加便利． 【评注】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题．20．（16分）已知抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．（1）若点M，求M 与焦点的距离； （2）若1t =-，(1,1)P ，(1,1)Q -，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）解：抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．点M，∴点M的横坐标22M x ==，2y x =，12p ∴=， M ∴与焦点的距离为192244M p MF x =+=+=． （2）证明：设200(,)M y y ，直线0201:1(1)1y PM y x y --=--，当1x =-时，0011A y y y -=+， 直线0201:1(1)1y QM y x y ++=--，1x =-时，0011By y y --=-，1A B y y ∴=-，A B y y ∴⋅为常数1-． （3）解：设200(,)M y y ，(,)A A t y ，直线200020:()A y y MA y y x y y t--=--， 联立2y x =，得22220000000A A y t y t y y y y y y y y ---+-=--，2000p A y t y y y y -∴+=-，即00A P Ay y t y y y -=-，同理得00B Q By y t y y y -=-，1A B y y ⋅=，2200200()()1A B P Q A B y ty y y t y y y y y y -++∴=-++， 要使P Q y y 为常数，即1t =，此时P Q y y 为常数1，∴存在1t =，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数1．【评注】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（18分）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质； （2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[,)x a ∈+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围； （3）当{2,}A m =-，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值． 【解析】（1）()f x x =-为减函数，()(1)f x f x ∴<-，()f x x ∴=-具有A 性质；()2g x x =为增函数，()(1)g x g x ∴>-，()2g x x ∴=不具有A 性质；（2）依题意，对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立，∴1()()f x x x a x=+为增函数（不可能为常值函数），由双勾函数的图象及性质可得1a ，当1a 时，函数单调递增，满足对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立， 综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞． （3）D 为整数集，具有A 性质的函数均为常值函数，当0m 时，取单调递减函数()f x x =-，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数； 当m 为正偶数时，取()0,1,n f x n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数；当m 为正奇数时，根据对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，可得()()()(1)(1)()f x m f x f x m f x f x f x m -++--，则()(1)f x f x =+，所以()f x 为常值函数， 综上，m 为正奇数．【评注】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力，属于中档题．。
高考复习试卷习题资料之上海市春季高考数学试卷
高考复习试卷习题资料之上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．1．（3分）函数y=log2（x+2）的定义域是．2．（3分）方程2x=8的解是．3．（3分）抛物线y2=8x的准线方程是．4．（3分）函数y=2sinx的最小正周期是．5．（3分）已知向量，．若，则实数k=．6．（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是．7．（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．8．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=．9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为．10．（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．11．（3分）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=．12．（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．13．（3分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（3分）设f﹣1（x）为函数f（x）=的反函数，下列结论正确的是（）A．f﹣1（2）=2 B．f﹣1（2）=4 C．f﹣1（4）=2D．f﹣1（4）=415．（3分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3） B．（2，3）C．（﹣3，2） D．（3，2）16．（3分）函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．17．（3分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．18．（3分）若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称19．（3分）（1+x）10的二项展开式中的一项是（）A．45x B．90x2 C．120x3 D．252x420．（3分）既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x21．（3分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：1622．（3分）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（）A．Z∪∁UN B．N∩∁UN C．∁U（∁u∅）D．∁U{0}23．（3分）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件24．（3分）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（7分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．26．（7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．27．（8分）已知数列{an}的前n项和为S，数列{bn}满足b，求．28．（13分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．29．（12分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．30．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠PnAPn+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．31．（18分）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．1．（3分）函数y=log2（x+2）的定义域是（﹣2，+∞）．【分析】要使函数有意义，只需令x+2＞0即可．【解答】解：欲使函数有意义，须有x+2＞0，解得x＞﹣2，所以函数的定义域为（﹣2，+∞）．故答案为：（﹣2，+∞）．【点评】本题考查函数定义域的求法，属基础题．2．（3分）方程2x=8的解是3．【分析】由已知条件2x=8=23，可得x=3，由此可得此方程的解．【解答】解：由2x=8=23，可得x=3，即此方程的解为3，故答案为 3．【点评】本题主要考查指数方程的解法，属于基础题．3．（3分）抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣2．【分析】根据抛物线方程的标准形式，可得抛物线以原点为顶点，开口向右，由2p=8算出=2，即可得到抛物线的准线方程．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=8x∴抛物线以原点为顶点，开口向右．由2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=﹣2故答案为：x=﹣2【点评】本题给出抛物线的标准方程，求抛物线的准线方程，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．4．（3分）函数y=2sinx的最小正周期是2π．【分析】根据函数y=2sinωx的最小正周期是，运算可得结果．【解答】解：函数y=2sinx的最小正周期是==2π，故答案为2π．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．5．（3分）已知向量，．若，则实数k=．【分析】根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可．【解答】解：由，得1×（k﹣6）﹣9k=0，解得k=﹣，故答案为：．【点评】本题考查向量共线的充要条件，若，则⇔x1y2﹣x2y1=0．6．（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5．【分析】利用辅助角公式把所给的函数解析式化为y=5sin（x+∅），再根据正弦函数的值域，求得它的最大值．【解答】解：∵函数y=4sinx+3cosx=5（sinx+cosx）=5sin（x+∅），（其中，cos∅=，sin∅=）故函数的最大值为5，故答案为5．【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题．7．（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．【分析】利用模长公式|z|=，代入计算即可得出复数2+3i（i是虚数单位）的模．【解答】解：∵复数2+3i，∴2+3i的模=．故答案为：．【点评】本题考查复数的概念及模长计算公式，是一道基础题．8．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=7．【分析】根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入题中的数据得b2=25+64﹣2×5×8×cos60°=49，解之即可得到b=7．【解答】解：∵在△ABC中，a=5，c=8，B=60°，∴根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=25+64﹣2×5×8×cos60°=49解之得b=7（舍负）故答案为：7【点评】本题给出△ABC两条边长及其夹角大小，求第三边的长度．着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题．9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．【分析】连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角．【解答】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故∠BA1D=60°故答案为：60°【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键．10．（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．【分析】先求对立事件“选出的3人中只有男同学或只有女同学”的概率，然后根据对立事件的概率和为1可得答案．【解答】解：从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为：=，则选出的3人中男女同学都有的概率为：1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，属基础题．11．（3分）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=．【分析】设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得，解得a、b的值，即可求得数列的前n项和Sn的解析式．【解答】解：设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得，解得，故数列的前n项和Sn=，故答案为．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的结构特征，用待定系数法函数的解析式，属于基础题．12．（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836．【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53），即可得出答案．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53）=4836．可求得2000的所有正约数之和为 4836．故答案为：4836．【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．13．（3分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【分析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选：B．【点评】本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．14．（3分）设f﹣1（x）为函数f（x）=的反函数，下列结论正确的是（）A．f﹣1（2）=2 B．f﹣1（2）=4 C．f﹣1（4）=2D．f﹣1（4）=4【分析】本题的关键是求函数f（x）=的反函数，欲求原函数的反函数，即从原函数式f （x）=中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵f﹣1（x）为函数f（x）=的反函数，∴f﹣1（x）=x2，（x≥0），∴f﹣1（2）=4，f﹣1（4）=16，故选：B．【点评】本题考查反函数的求法及不等关系，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．15．（3分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3） B．（2，3）C．（﹣3，2） D．（3，2）【分析】题意可得首先求出直线的斜率为：k=，即可得到它的一个方向向量（1，k），再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案．【解答】解：由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选：D．【点评】本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，是基础题．16．（3分）函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案．【解答】解：因为﹣＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B、C；又f（x）的定义域为（0，+∞），故排除选项D，故选：A．【点评】本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握．17．（3分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A 不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．18．（3分）若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称【分析】由题意可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2关于x轴对称．【解答】解：若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2关于x轴对称，故选：A．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数与复平面内对应点间的关系，属于基础题．19．（3分）（1+x）10的二项展开式中的一项是（）A．45x B．90x2 C．120x3 D．252x4【分析】根据（1+x）10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=•xr，即可得出结论．【解答】解：（1+x）10的二项展开式的通项公式为Tr+1=•xr，故当r=3时，此项为120x3，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的某一项，属于中档题．20．（3分）既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x【分析】根据函数的奇偶性排除A、C，再根据函数的单调性排除D，经检验B中的函数满足条件，从而得出结论．【解答】解：由于函数y=sinx和 y=sin2x都是奇函数，故排除A、C．由于函数y=cosx是偶函数，周期等于2π，且在（0，π）上是减函数，故满足条件．由于函数y=cos2x是偶函数，周期等于π，在（0，）上是减函数，在（，π）上是增函数，故不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．21．（3分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=，解之得=，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．【解答】解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为S1=4，S2=4∵两个球的表面积之比为1：4，∴===，解之得=（舍负）因此，这两个球的体积之比为==（）3=即两个球的体积之比为1：8故选：C．【点评】本题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比．着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题．22．（3分）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（）A．Z∪∁UN B．N∩∁UN C．∁U（∁u∅）D．∁U{0}【分析】根据题目中条件“全集U=R”，对各个选项一一进行集合的运算，即可得出答案．【解答】解：∵全集U=R，∴Z∪∁UN=R，N∩∁UN=∅，∁U（∁u∅）=∅，∁U{0}={x∈R|x≠0}．故选：A．【点评】本题主要考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．23．（3分）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充要条件的定义可知，只要看“b2﹣4ac＜0”与“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”能否相互推出即可．【解答】解：若a≠0，欲保证函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a＞0且△=b2﹣4ac＜0．但是，若a=0时，如果b=0，c＞0，则函数f（x）=ax2+bx+c=c的图象恒在x轴上方，不能得到△=b2﹣4ac＜0；反之，“b2﹣4ac＜0”并不能得到“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”，如a＜0时．从而，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件．故选：D．【点评】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次函数的性质，难度一般．学生要熟记二次函数的性质方能得心应手的解题．24．（3分）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项．【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（﹣a，0）、B（a，0）；因为=λ•，所以y2=λ（x+a）（a﹣x），即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆．当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程．当λ=0时，是直线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的方程．故选：D．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（7分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．【分析】因为CC1∥AA1．根据异面直线所成角的定义得∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，从而∠BC1C=．在Rt△BC1C中，求得BC，从而求出S△ABC，最后利用柱体的体积公式即可求出该三棱柱的体积．【解答】解：因为 CC1∥AA1．所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C=．在Rt△BC1C中，BC=CC1tan∠BC1C=6×=2，从而S△ABC==3，因此该三棱柱的体积为V=S△ABC×AA1=3×6=18．【点评】本题考查三棱柱体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．26．（7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．【分析】设出矩形的边FP的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可．【解答】解：如图，设矩形为EBFP，FP长为x米，其中0＜x＜40，健身房占地面积为y平方米．因为△CFP∽△CBA，以，，求得BF=50﹣，从而y=BF•FP=（50﹣）•x=﹣=﹣≤500．当且仅当x=20时，等号成立．答：该健身房的最大占地面积为500平方米．【点评】本题考查函数的实际应用，表示出函数的表达式是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．27．（8分）已知数列{an}的前n项和为S，数列{bn}满足b，求．【分析】先由Sn求出an，进而得到bn，由bn的表达式可判断数列{bn}是无穷等比数列，从而可得答案．【解答】解：当n≥2时，=﹣2n+2，且a1=S1=0，所以an=﹣2n+2．因为=，所以数列{bn}是首项为1、公比为的无穷等比数列．故==．【点评】本题考查数列的极限、等差数列的前n项和，解答本题的关键是根据Sn与an的关系求出an．28．（13分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．【分析】（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为．根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即===，解得，即k=．故直线l的方程为或．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目．29．（12分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F的坐标，由得出P点和A点的关系，由代入法求动点P的轨迹方程；（2）设出点Q的坐标，在设出其关于直线y=2x的对称点Q′的坐标，由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q′在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标．【解答】解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），则，因为F的坐标为（1，0），所以，由，得（x﹣xA，y﹣yA）=﹣2（xA﹣1，yA）．即，解得代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=8﹣4x．（2）设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q′（x，y），则，解得．若Q′在C上，将Q′的坐标代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或．所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（）．【点评】本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了代入法求曲线方程，考查了存在性问题的求解方法，属中档题．31．（18分）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．【分析】（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，由于函数y=x3﹣3x是奇函数，利用题设真命题知，函数g（x）图象对称中心．（2）设h（x）=的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数，从而求出a，b的值，即可得出图象对称中心的坐标．（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．【解答】解：（1）平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，由于函数y=x3﹣3x是奇函数，由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，﹣2）．（2）设h（x）=的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数．设f（x）=h（x+a）﹣b，则f（x）=﹣b，即f（x）=．由不等式的解集关于原点对称，则﹣a+（4﹣a）=0，得a=2．此时f（x）=﹣b，x∈（﹣2，2）．任取x∈（﹣2，2），由f（﹣x）+f（x）=0，得b=1，所以函数h（x）=图象对称中心的坐标是（2，1）．（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的对称性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．30．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠PnAPn+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．【分析】（1）利用{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐标；（2）表示出tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论．【解答】解：（1）设A（0，t）（t＞0），根据题意，xn=2n﹣1．由，知，而tanθ3=tan（∠OAP4﹣∠OAP3）==，所以，解得t=4或t=8．故点A的坐标为（0，4）或（0，8）．（2）由题意，点Pn的坐标为（2n﹣1，0），tan∠OAPn=．∴tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn）==．因为≥，所以tanθn≤=，当且仅当，即n=4时等号成立．∵0＜θn＜，y=tanx在（0，）上为增函数，∴当n=4时，θn最大，其最大值为．【点评】本题考查等比数列，考查差角的正切函数，考查基本不等式的运用，正确运用差角的正切公式是关键．高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用．【重点知识梳理】1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作y ＝f(x)，x ∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么称对应f ：A→B 为集合A 到集合B 的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．【高频考点突破】考点一、函数的基本概念例1、有以下判断：(1)f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≥0，－1，x<0表示同一函数； (2)函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；(3)f(x)＝x2－2x ＋1与g(t)＝t2－2t ＋1是同一函数； (4)若f(x)＝|x －1|－|x|，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0.其中正确判断的序号是________．【特别提醒】两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x 表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x －1，g(t)＝2t －1，h(m)＝2m －1均表示同一函数．【变式探究】试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y ＝1，y ＝x0；(2)y ＝x －2·x ＋2，y ＝x2－4；(3)y ＝x ，y ＝3t3；(4)y ＝|x|，y ＝(x)2.考点二、求函数的解析式例2、(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x2＋1x2，求f(x)的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，求f(x)．【方法技巧】函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f(x)与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)(如A 级T6)．【变式探究】(1)已知f(x ＋1)＝x ＋2x ，求f(x)的解析式；(2)设y ＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x ＋2，求f(x)的解析式．考点三、分段函数例3、设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ∈－∞，1，x2，x ∈[1，＋∞，若f(x)>4，则x 的取值范围是______．【方法技巧】求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．【变式探究】已知f(x)的图象如图，则f (x)的解析式为________．。
高考复习试卷习题资料之上海市春季高考数学试卷6
高考复习试卷习题资料之上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．1．（3分）函数y=log2（x+2）的定义域是．2．（3分）方程2x=8的解是．3．（3分）抛物线y2=8x的准线方程是．4．（3分）函数y=2sinx的最小正周期是．5．（3分）已知向量，．若，则实数k=．6．（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是．7．（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．8．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=．9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为．10．（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．11．（3分）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=．12．（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．13．（3分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（3分）设f﹣1（x）为函数f（x）=的反函数，下列结论正确的是（）A．f﹣1（2）=2 B．f﹣1（2）=4 C．f﹣1（4）=2D．f﹣1（4）=415．（3分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3） B．（2，3）C．（﹣3，2） D．（3，2）16．（3分）函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．17．（3分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．18．（3分）若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称19．（3分）（1+x）10的二项展开式中的一项是（）A．45x B．90x2 C．120x3 D．252x420．（3分）既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x21．（3分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：1622．（3分）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（）A．Z∪∁UN B．N∩∁UN C．∁U（∁u∅）D．∁U{0}23．（3分）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件24．（3分）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（7分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．26．（7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．27．（8分）已知数列{an}的前n项和为S，数列{bn}满足b，求．28．（13分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．29．（12分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．30．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠PnAPn+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．31．（18分）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．1．（3分）函数y=log2（x+2）的定义域是（﹣2，+∞）．【分析】要使函数有意义，只需令x+2＞0即可．【解答】解：欲使函数有意义，须有x+2＞0，解得x＞﹣2，所以函数的定义域为（﹣2，+∞）．故答案为：（﹣2，+∞）．【点评】本题考查函数定义域的求法，属基础题．2．（3分）方程2x=8的解是3．【分析】由已知条件2x=8=23，可得x=3，由此可得此方程的解．【解答】解：由2x=8=23，可得x=3，即此方程的解为3，故答案为 3．【点评】本题主要考查指数方程的解法，属于基础题．3．（3分）抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣2．【分析】根据抛物线方程的标准形式，可得抛物线以原点为顶点，开口向右，由2p=8算出=2，即可得到抛物线的准线方程．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=8x∴抛物线以原点为顶点，开口向右．由2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=﹣2故答案为：x=﹣2【点评】本题给出抛物线的标准方程，求抛物线的准线方程，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．4．（3分）函数y=2sinx的最小正周期是2π．【分析】根据函数y=2sinωx的最小正周期是，运算可得结果．【解答】解：函数y=2sinx的最小正周期是==2π，故答案为2π．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．5．（3分）已知向量，．若，则实数k=．【分析】根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可．【解答】解：由，得1×（k﹣6）﹣9k=0，解得k=﹣，故答案为：．【点评】本题考查向量共线的充要条件，若，则⇔x1y2﹣x2y1=0．6．（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5．【分析】利用辅助角公式把所给的函数解析式化为y=5sin（x+∅），再根据正弦函数的值域，求得它的最大值．【解答】解：∵函数y=4sinx+3cosx=5（sinx+cosx）=5sin（x+∅），（其中，cos∅=，sin∅=）故函数的最大值为5，故答案为5．【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题．7．（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．【分析】利用模长公式|z|=，代入计算即可得出复数2+3i（i是虚数单位）的模．【解答】解：∵复数2+3i，∴2+3i的模=．故答案为：．【点评】本题考查复数的概念及模长计算公式，是一道基础题．8．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=7．【分析】根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入题中的数据得b2=25+64﹣2×5×8×cos60°=49，解之即可得到b=7．【解答】解：∵在△ABC中，a=5，c=8，B=60°，∴根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=25+64﹣2×5×8×cos60°=49解之得b=7（舍负）故答案为：7【点评】本题给出△ABC两条边长及其夹角大小，求第三边的长度．着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题．9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．【分析】连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角．【解答】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故∠BA1D=60°故答案为：60°【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键．10．（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．【分析】先求对立事件“选出的3人中只有男同学或只有女同学”的概率，然后根据对立事件的概率和为1可得答案．【解答】解：从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为：=，则选出的3人中男女同学都有的概率为：1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，属基础题．11．（3分）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=．【分析】设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得，解得a、b的值，即可求得数列的前n项和Sn的解析式．【解答】解：设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得，解得，故数列的前n项和Sn=，故答案为．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的结构特征，用待定系数法函数的解析式，属于基础题．12．（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836．【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53），即可得出答案．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53）=4836．可求得2000的所有正约数之和为 4836．故答案为：4836．【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．13．（3分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【分析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选：B．【点评】本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．14．（3分）设f﹣1（x）为函数f（x）=的反函数，下列结论正确的是（）A．f﹣1（2）=2 B．f﹣1（2）=4 C．f﹣1（4）=2D．f﹣1（4）=4【分析】本题的关键是求函数f（x）=的反函数，欲求原函数的反函数，即从原函数式f （x）=中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵f﹣1（x）为函数f（x）=的反函数，∴f﹣1（x）=x2，（x≥0），∴f﹣1（2）=4，f﹣1（4）=16，故选：B．【点评】本题考查反函数的求法及不等关系，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．15．（3分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3） B．（2，3）C．（﹣3，2） D．（3，2）【分析】题意可得首先求出直线的斜率为：k=，即可得到它的一个方向向量（1，k），再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案．【解答】解：由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选：D．【点评】本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，是基础题．16．（3分）函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案．【解答】解：因为﹣＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B、C；又f（x）的定义域为（0，+∞），故排除选项D，故选：A．【点评】本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握．17．（3分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A 不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．18．（3分）若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称【分析】由题意可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2关于x轴对称．【解答】解：若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2关于x轴对称，故选：A．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数与复平面内对应点间的关系，属于基础题．19．（3分）（1+x）10的二项展开式中的一项是（）A．45x B．90x2 C．120x3 D．252x4【分析】根据（1+x）10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=•xr，即可得出结论．【解答】解：（1+x）10的二项展开式的通项公式为Tr+1=•xr，故当r=3时，此项为120x3，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的某一项，属于中档题．20．（3分）既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x【分析】根据函数的奇偶性排除A、C，再根据函数的单调性排除D，经检验B中的函数满足条件，从而得出结论．【解答】解：由于函数y=sinx和 y=sin2x都是奇函数，故排除A、C．由于函数y=cosx是偶函数，周期等于2π，且在（0，π）上是减函数，故满足条件．由于函数y=cos2x是偶函数，周期等于π，在（0，）上是减函数，在（，π）上是增函数，故不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．21．（3分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=，解之得=，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．【解答】解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为S1=4，S2=4∵两个球的表面积之比为1：4，∴===，解之得=（舍负）因此，这两个球的体积之比为==（）3=即两个球的体积之比为1：8故选：C．【点评】本题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比．着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题．22．（3分）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（）A．Z∪∁UN B．N∩∁UN C．∁U（∁u∅）D．∁U{0}【分析】根据题目中条件“全集U=R”，对各个选项一一进行集合的运算，即可得出答案．【解答】解：∵全集U=R，∴Z∪∁UN=R，N∩∁UN=∅，∁U（∁u∅）=∅，∁U{0}={x∈R|x≠0}．故选：A．【点评】本题主要考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．23．（3分）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充要条件的定义可知，只要看“b2﹣4ac＜0”与“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”能否相互推出即可．【解答】解：若a≠0，欲保证函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a＞0且△=b2﹣4ac＜0．但是，若a=0时，如果b=0，c＞0，则函数f（x）=ax2+bx+c=c的图象恒在x轴上方，不能得到△=b2﹣4ac＜0；反之，“b2﹣4ac＜0”并不能得到“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”，如a＜0时．从而，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件．故选：D．【点评】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次函数的性质，难度一般．学生要熟记二次函数的性质方能得心应手的解题．24．（3分）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项．【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（﹣a，0）、B（a，0）；因为=λ•，所以y2=λ（x+a）（a﹣x），即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆．当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程．当λ=0时，是直线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的方程．故选：D．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（7分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．【分析】因为CC1∥AA1．根据异面直线所成角的定义得∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，从而∠BC1C=．在Rt△BC1C中，求得BC，从而求出S△ABC，最后利用柱体的体积公式即可求出该三棱柱的体积．【解答】解：因为 CC1∥AA1．所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C=．在Rt△BC1C中，BC=CC1tan∠BC1C=6×=2，从而S△ABC==3，因此该三棱柱的体积为V=S△ABC×AA1=3×6=18．【点评】本题考查三棱柱体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．26．（7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．【分析】设出矩形的边FP的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可．【解答】解：如图，设矩形为EBFP，FP长为x米，其中0＜x＜40，健身房占地面积为y平方米．因为△CFP∽△CBA，以，，求得BF=50﹣，从而y=BF•FP=（50﹣）•x=﹣=﹣≤500．当且仅当x=20时，等号成立．答：该健身房的最大占地面积为500平方米．【点评】本题考查函数的实际应用，表示出函数的表达式是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．27．（8分）已知数列{an}的前n项和为S，数列{bn}满足b，求．【分析】先由Sn求出an，进而得到bn，由bn的表达式可判断数列{bn}是无穷等比数列，从而可得答案．【解答】解：当n≥2时，=﹣2n+2，且a1=S1=0，所以an=﹣2n+2．因为=，所以数列{bn}是首项为1、公比为的无穷等比数列．故==．【点评】本题考查数列的极限、等差数列的前n项和，解答本题的关键是根据Sn与an的关系求出an．28．（13分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．【分析】（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为．根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即===，解得，即k=．故直线l的方程为或．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目．29．（12分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F的坐标，由得出P点和A点的关系，由代入法求动点P的轨迹方程；（2）设出点Q的坐标，在设出其关于直线y=2x的对称点Q′的坐标，由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q′在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标．【解答】解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），则，因为F的坐标为（1，0），所以，由，得（x﹣xA，y﹣yA）=﹣2（xA﹣1，yA）．即，解得代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=8﹣4x．（2）设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q′（x，y），则，解得．若Q′在C上，将Q′的坐标代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或．所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（）．【点评】本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了代入法求曲线方程，考查了存在性问题的求解方法，属中档题．31．（18分）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．【分析】（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，由于函数y=x3﹣3x是奇函数，利用题设真命题知，函数g（x）图象对称中心．（2）设h（x）=的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数，从而求出a，b的值，即可得出图象对称中心的坐标．（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．【解答】解：（1）平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，由于函数y=x3﹣3x是奇函数，由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，﹣2）．（2）设h（x）=的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数．设f（x）=h（x+a）﹣b，则f（x）=﹣b，即f（x）=．由不等式的解集关于原点对称，则﹣a+（4﹣a）=0，得a=2．此时f（x）=﹣b，x∈（﹣2，2）．任取x∈（﹣2，2），由f（﹣x）+f（x）=0，得b=1，所以函数h（x）=图象对称中心的坐标是（2，1）．（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的对称性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．30．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠PnAPn+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．【分析】（1）利用{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐标；（2）表示出tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论．【解答】解：（1）设A（0，t）（t＞0），根据题意，xn=2n﹣1．由，知，而tanθ3=tan（∠OAP4﹣∠OAP3）==，所以，解得t=4或t=8．故点A的坐标为（0，4）或（0，8）．（2）由题意，点Pn的坐标为（2n﹣1，0），tan∠OAPn=．∴tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn）==．因为≥，所以tanθn≤=，当且仅当，即n=4时等号成立．∵0＜θn＜，y=tanx在（0，）上为增函数，∴当n=4时，θn最大，其最大值为．【点评】本题考查等比数列，考查差角的正切函数，考查基本不等式的运用，正确运用差角的正切公式是关键．高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.充分理解逻辑联结词的含义，注意和日常用语的区别；2.对量词的练习要在“含一个量词”框架内进行，不要随意加深；3.注意逻辑与其他知识的交汇．【重点知识梳理】1．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的充要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．【特别提醒】等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．【高频考点突破】考点一命题的四种形式及其关系例1、已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是 () A．否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题【答案】D【拓展提高】(1)熟悉概念是正确书写或判断命题的四种形式真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接 判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例． 【变式探究】命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 【答案】 C考点二 充要条件的判断例2、已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是( ) A ．p ：m≤－2或m≥6；q ：y ＝x2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点 B ．p ：f －xf x ＝1；q ：y ＝f(x)是偶函数 C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β D ．p ：A∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁UB ⊆∁UA 【答案】 D【拓展提高】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化。
2021年高考数学试卷(上海)(春考)(解析卷)
2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = 21 ．【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．【解析】：因为等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则101939221a a d =+=+´=．故答案为：21．2．已知13z i =- ．【解析】：z =Q 31i i -=则|||12|z i i -=+=．【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 4p ．【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．【解析】：圆柱的底面半径为1r =，高为2h =，所以圆柱的侧面积为22124S rh p p p ==´´=侧．故答案为：4p ．【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．4．不等式2512x x +<-的解集为 (7,2)- ．【思路分析】由已知进行转化702x x +<-，进行可求．【解析】：252571100222x x x x xx +++<Þ-<Þ<---，解得，72x -<<．故答案为：(7,2)-．【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．5．直线2x=-10y -+=的夹角为 6p ．【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【解析】：Q 直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2p，10y -+=，倾斜角为3p，故直线2x =-10y -+=的夹角为236ppp-=故答案为：6p．【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．6．若方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î无解，则1122a b a b = 0 ．【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．【解析】：对于方程组111222a xb yc a x b y c +=ìí+=î，有111111222222,,x y a b c b a c D D D a b c b a c ===，当0D ¹时，方程组的解为x y D x DD y Dì=ïïíï=ïî，根据题意，方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î无解，所以0D =，即11220a b D a b ==，故答案为：0．【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 64 ．【思路分析】由已知可得6n =，令1x =，即可求得系数和．【解析】：由题意，32nn C C >，且34n n C C >，所以6n =，所以令1x =，6(1)x +的系数和为6264=．故答案为：64．【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．8．已知函数()3(0)31x x af x a =+>+的最小值为5，则a = 9 ．【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成()31131x x af x =++-+，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．【解析】：()3311153131x xx x a a f x =+=++--=++…，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题．9．在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a ®¥-=，则2a 的取值范围是 (4-，0)(0È，4) ．【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比q 的取值范围，再由极限的运算知14a =，从而得解．【解析】：Q 无穷等比数列{}n a ，\公比(1q Î-，0)(0È，1)，\lim 0n n a ®¥=，\11lim()4n n a a a ®¥-==，214(4a a q q \==Î-，0)(0È，4)．故答案为：(4-，0)(0È，4)．【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 23种 .A 运动B 运动C 运动D 运动E 运动7点8-点8点9-点9点10-点10点11-点11点12-点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【思路分析】由题意知至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意，由此求出结果．【解析】：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323C C C C +++-=+++-=（种)．故答案为：23种．【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．11．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F Ð=°，则抛物线的准线方程是 1x =【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线1PF 的方程并与抛物线联立，求出点P 的坐标，由此可得212PF F F ^，进而可以求出1PF ，2PF 的长度，再由椭圆的定义即可求解．【解析】：设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立方程组24y cxy x c ì=í=+î，解得x c =，2y c =，所以点P 的坐标为(,2)c c ，所以2PF F F ^，又22112,PF F F c PF ===所以所以PF =，所以12(222PF PF c a +=+==，则1c =-，1x c =-=故答案为：1x =-．【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12．已知0q >，存在实数j ，使得对任意*n N Î，cos()n q j +<q 的最小值是 25p ．【思路分析】在单位圆中分析可得3pq >，由2*N pqÎ，即2kpq =，*k N Î，即可求得q 的最小值．【解析】：在单位圆中分析，由题意可得n q j +的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOx BOx pÐ=Ð=，所以3AOB pq >Ð=，因为对任意*n N Î都成立，所以2*N p q Î，即2kp q =，*k N Î，同时3pq >，所以q 的最小值为25p ．故答案为：25p ．【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是( )A ．2()f x x =B ．()sin f x x=C ．()2xf x =D ．()1f x =【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．【解析】：选项A ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A 错误，选项B ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B 错误，选项C ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C 正确，选项D ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D 错误，故选：C ．【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题．14．已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，则下列关系中，正确的是( )A ．A BÍB ．R R A BÍððC ．A B =ÆI D ．A B R=U 【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．【解析】：已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，解得{|2B x x =…或1x -…，}x R Î，{|1R A x x =-…ð，}x R Î，{|12}R B x x =-<<ð；则A B R =U ，{|2}A B x x =I …，故选：D ．【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．15．已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( )A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称【思路分析】根据题意，依次判断选项：对于ABD ，举出反例可得三个选项错误，对于C ，利用反证法可得其正确．【解析】：根据题意，依次判断选项：对于A ，()cos 12xf x p =+，()f x 为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A 错误，对于B ，()cos()f x x p =，()f x 为偶函数且关于直线1x =对称，存在最大值，B 错误，对于C ，假设()f x 有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为(,)a M ，()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，则()f x 的图象存在最低点(,)a M --，又由()f x 的图象关于点(1,1)对称，则(,)a M --关于点(1,1)对称的点为(2,2)a M ++，与最大值为M 相矛盾，则此时()f x 无最大值，C 正确，对于D ，()sin 2xf x p =，()f x 为奇函数且关于直线1x =对称，D 错误，故选：C ．【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．在ABC D 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC D ，使得0AB CE ×=uuu r uuu r；②存在三角形ABC D ，使得//()CE CB CA +uuu r uuu r uuu r ；它们的成立情况是( )A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【思路分析】设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，由向量数量的坐标运算即可判断①；F 为AB 中点，可得()2CB CA CF +=uuu r uuu r uuu r，由D 为BC 中点，可得CF 与AD 的交点即为重心G ，从而可判断②【解析】：不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =---uuu r ，(1,)CE x y =-uuu r，若0AB CE ×=uuu r uuu r，则2(12)(0x x y -+-=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立；②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=uuu r uuu r ，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE uuu r 与CG uuu r不共线，即②不成立．故选：B ．【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ^平面ABCD ．（1）若PAB D 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°，求PC 与AD 所成角的大小．【思路分析】（1）由13ABCD V PE S =×正方形，代入相应数据，进行运算，即可；（2）由PE ^平面ABCD ，知45PFE Ð=°，进而有4PE FE ==，PB =//AD BC ，知PCB Ð或其补角即为所求，可证BC ^平面PAB ，从而有BC PB ^，最后在Rt PBC D 中，由tan PBPCB BCÐ=，得解．1）PAB D Q 为等边三角形，且E 为AB 中点，4AB =，PE \=，又PE ^平面ABCD ，\四棱锥P ABCD -的体积211433ABCD V PE S =×=´=正方形．（2）PE ^Q 平面ABCD ，PFE \Ð为PF 与平面ABCD 所成角为45°，即45PFE Ð=°，PEF \D 为等腰直角三角形，E Q ，F 分别为AB ，CD 的中点，PE \PB \==//AD BC Q ，PCB \Ð或其补角即为PC 与AD 所成角，PE ^Q 平面ABCD ，PE BC \^，又BC AB ^，PE AB E =I ，PE 、AB Ì平面PAB ，BC \^平面PAB ，BC PB \^在Rt PBC D 中，tan PB PCB BC Ð==故PC 与AD 所成角的大小为．【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC D 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos(45A p -=，求c ．【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解b 的值；利用余弦定理即可求解c 的值．（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cos A ，sin A ，sin C 的值，进而根据正弦定理可得c 的值．【解析】：（1）因为sin 2sin A B =，可得2a b =，又2a =，可得1b =，由于1cos 4C ==-，可得c =（2）因为4)5A =，可得cos A +又22cos sin A +，可解得cos A =，sin A =sin A =cos A =因为cos sin C ，tan C =，若sin A =cos A =，可得tan 7A =，可得tan tan tan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+==<-，可得B C 为钝角矛盾，舍去，所以sin A =2sin sin c A C=，可得c =．【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1)°【思路分析】（1）求出a ，c ，b 的值即可求得双曲线方程，求出直线OP 的方程，与双曲线方程联立，即可求得P 点坐标；（2）分别求出以A 、B 为焦点，以C ，D 为焦点的双曲线方程，联立即可求得点Q 的坐标，从而求得||OQ ，及Q 点位置．【解析】：（1）由题意可得10a =，20c =，所以2300b =，所以双曲线的标准方程为221100300x y -=，直线:OP y =，联立双曲线方程，可得x =，y =，即点P 的坐标为．（2）①||||30QA QB -=，则15a =，20c =，所以2175b =，双曲线方程为221225175x y -=；②||||10QC QD -=，则5a =，15c =，所以2200b =，所以双曲线方程为225y -两双曲线方程联立，得，所以||19OQ »米，Q 点位置北偏东66°．20．（16分）已知函数()f x x =-．（1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ¹，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．【思路分析】（1）把1a =代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；（2）()f ax a ax a =Û=+，设0ax a t +=…，得2a t t =-，0t …，求得等式右边关于t 的函数的值域可得a 的取值范围；（3）分x a -…与x a <-两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数()f x 在定义域内具有单调性的a 的范围．【解析】：（1）当1a =时，()f x x =-，由|1|10x +-…，得|1|1x +…，解得2x -…或0x …．\函数的定义域为(-¥，2][0-U ，)+¥；（2）()f ax ax -，()f ax a ax a =Û+，设ax a t +=t 有两个不同实数根，整理得2a t t =-，0t …，211(24a t \=--+，0t …，当且仅当104a <…时，方程有2个不同实数根，又0a ¹，a \的取值范围是1(0,)4；（3）当x a -…时，211())24f x x x =-=-=--+，在1[4，)+¥上单调递减，此时需要满足14a -…，即14a -…，函数()f x 在[a -，)+¥上递减；当x a <-时，()f x x x ==，在(-¥，2]a -上递减，104a -<Q …，20a a \->->，即当14a -…时，函数()f x 在(,)a -¥-上递减．综上，当(a Î-¥，14-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减．【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a …，对任意2n …，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项．（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．【思路分析】（1）根据n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项建立等式，然后将1a ，2a ，4a 的值代入即可；（2）根据递推关系求出5a 、8a ，然后根据等比数列的定义进行判定即可；（3）分别求出1r a +，1s a +，1t a +的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求．【解析】：（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，2312a a a \=+解得31a =，3212a a a =+解得34a =，经检验，31a =，（2）证明：1470a a a ===Q ，322a a \=，或232a a =，经检验，232aa =；\32524a a a ==，或2512a a a =-=-（舍)，\254aa =；\52628a a a ==，或2654a a a =-=-（舍)，\268aa =；\628216a a a ==，或2868a a a =-=-（舍)，\2816aa =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14；（3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，0r a =，则212r r a a --=，即121r r r a a a ----=-，0r a \=，则3111221111111()()1()(,*222222i r i i r r r r a a a a a a i N --+---==--=-×-××-=-×-Î，\11()4r max a +=，同理，2*1111111()1()(),22224j s r j j s r r a a a j N ---++=-×-××-=-×-×Î，\11()16s max a +=，同理，11()64t max a +=，111r s t a a a +++\++的最大值2164．【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题．。
高考复习试卷习题资料之上海市春季高考数学试卷4
高考复习试卷习题资料之上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．1．（3分）函数y=log2（x+2）的定义域是．2．（3分）方程2x=8的解是．3．（3分）抛物线y2=8x的准线方程是．4．（3分）函数y=2sinx的最小正周期是．5．（3分）已知向量，．若，则实数k=．6．（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是．7．（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．8．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=．9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为．10．（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．11．（3分）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=．12．（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．13．（3分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（3分）设f﹣1（x）为函数f（x）=的反函数，下列结论正确的是（）A．f﹣1（2）=2 B．f﹣1（2）=4 C．f﹣1（4）=2D．f﹣1（4）=415．（3分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3） B．（2，3）C．（﹣3，2） D．（3，2）16．（3分）函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．17．（3分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．18．（3分）若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称19．（3分）（1+x）10的二项展开式中的一项是（）A．45x B．90x2 C．120x3 D．252x420．（3分）既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x21．（3分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：1622．（3分）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（）A．Z∪∁UN B．N∩∁UN C．∁U（∁u∅）D．∁U{0}23．（3分）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件24．（3分）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（7分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．26．（7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．27．（8分）已知数列{an}的前n项和为S，数列{bn}满足b，求．28．（13分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．29．（12分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．30．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠PnAPn+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．31．（18分）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．1．（3分）函数y=log2（x+2）的定义域是（﹣2，+∞）．【分析】要使函数有意义，只需令x+2＞0即可．【解答】解：欲使函数有意义，须有x+2＞0，解得x＞﹣2，所以函数的定义域为（﹣2，+∞）．故答案为：（﹣2，+∞）．【点评】本题考查函数定义域的求法，属基础题．2．（3分）方程2x=8的解是3．【分析】由已知条件2x=8=23，可得x=3，由此可得此方程的解．【解答】解：由2x=8=23，可得x=3，即此方程的解为3，故答案为 3．【点评】本题主要考查指数方程的解法，属于基础题．3．（3分）抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣2．【分析】根据抛物线方程的标准形式，可得抛物线以原点为顶点，开口向右，由2p=8算出=2，即可得到抛物线的准线方程．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=8x∴抛物线以原点为顶点，开口向右．由2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=﹣2故答案为：x=﹣2【点评】本题给出抛物线的标准方程，求抛物线的准线方程，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．4．（3分）函数y=2sinx的最小正周期是2π．【分析】根据函数y=2sinωx的最小正周期是，运算可得结果．【解答】解：函数y=2sinx的最小正周期是==2π，故答案为2π．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．5．（3分）已知向量，．若，则实数k=．【分析】根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可．【解答】解：由，得1×（k﹣6）﹣9k=0，解得k=﹣，故答案为：．【点评】本题考查向量共线的充要条件，若，则⇔x1y2﹣x2y1=0．6．（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5．【分析】利用辅助角公式把所给的函数解析式化为y=5sin（x+∅），再根据正弦函数的值域，求得它的最大值．【解答】解：∵函数y=4sinx+3cosx=5（sinx+cosx）=5sin（x+∅），（其中，cos∅=，sin∅=）故函数的最大值为5，故答案为5．【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题．7．（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．【分析】利用模长公式|z|=，代入计算即可得出复数2+3i（i是虚数单位）的模．【解答】解：∵复数2+3i，∴2+3i的模=．故答案为：．【点评】本题考查复数的概念及模长计算公式，是一道基础题．8．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=7．【分析】根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入题中的数据得b2=25+64﹣2×5×8×cos60°=49，解之即可得到b=7．【解答】解：∵在△ABC中，a=5，c=8，B=60°，∴根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=25+64﹣2×5×8×cos60°=49解之得b=7（舍负）故答案为：7【点评】本题给出△ABC两条边长及其夹角大小，求第三边的长度．着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题．9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．【分析】连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角．【解答】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故∠BA1D=60°故答案为：60°【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键．10．（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．【分析】先求对立事件“选出的3人中只有男同学或只有女同学”的概率，然后根据对立事件的概率和为1可得答案．【解答】解：从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为：=，则选出的3人中男女同学都有的概率为：1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，属基础题．11．（3分）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=．【分析】设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得，解得a、b的值，即可求得数列的前n项和Sn的解析式．【解答】解：设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得，解得，故数列的前n项和Sn=，故答案为．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的结构特征，用待定系数法函数的解析式，属于基础题．12．（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836．【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53），即可得出答案．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53）=4836．可求得2000的所有正约数之和为 4836．故答案为：4836．【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．13．（3分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【分析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选：B．【点评】本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．14．（3分）设f﹣1（x）为函数f（x）=的反函数，下列结论正确的是（）A．f﹣1（2）=2 B．f﹣1（2）=4 C．f﹣1（4）=2D．f﹣1（4）=4【分析】本题的关键是求函数f（x）=的反函数，欲求原函数的反函数，即从原函数式f （x）=中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵f﹣1（x）为函数f（x）=的反函数，∴f﹣1（x）=x2，（x≥0），∴f﹣1（2）=4，f﹣1（4）=16，故选：B．【点评】本题考查反函数的求法及不等关系，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．15．（3分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3） B．（2，3）C．（﹣3，2） D．（3，2）【分析】题意可得首先求出直线的斜率为：k=，即可得到它的一个方向向量（1，k），再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案．【解答】解：由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选：D．【点评】本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，是基础题．16．（3分）函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案．【解答】解：因为﹣＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B、C；又f（x）的定义域为（0，+∞），故排除选项D，故选：A．【点评】本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握．17．（3分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A 不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．18．（3分）若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称【分析】由题意可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2关于x轴对称．【解答】解：若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2关于x轴对称，故选：A．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数与复平面内对应点间的关系，属于基础题．19．（3分）（1+x）10的二项展开式中的一项是（）A．45x B．90x2 C．120x3 D．252x4【分析】根据（1+x）10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=•xr，即可得出结论．【解答】解：（1+x）10的二项展开式的通项公式为Tr+1=•xr，故当r=3时，此项为120x3，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的某一项，属于中档题．20．（3分）既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x【分析】根据函数的奇偶性排除A、C，再根据函数的单调性排除D，经检验B中的函数满足条件，从而得出结论．【解答】解：由于函数y=sinx和 y=sin2x都是奇函数，故排除A、C．由于函数y=cosx是偶函数，周期等于2π，且在（0，π）上是减函数，故满足条件．由于函数y=cos2x是偶函数，周期等于π，在（0，）上是减函数，在（，π）上是增函数，故不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．21．（3分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=，解之得=，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．【解答】解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为S1=4，S2=4∵两个球的表面积之比为1：4，∴===，解之得=（舍负）因此，这两个球的体积之比为==（）3=即两个球的体积之比为1：8故选：C．【点评】本题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比．着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题．22．（3分）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（）A．Z∪∁UN B．N∩∁UN C．∁U（∁u∅）D．∁U{0}【分析】根据题目中条件“全集U=R”，对各个选项一一进行集合的运算，即可得出答案．【解答】解：∵全集U=R，∴Z∪∁UN=R，N∩∁UN=∅，∁U（∁u∅）=∅，∁U{0}={x∈R|x≠0}．故选：A．【点评】本题主要考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．23．（3分）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充要条件的定义可知，只要看“b2﹣4ac＜0”与“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”能否相互推出即可．【解答】解：若a≠0，欲保证函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a＞0且△=b2﹣4ac＜0．但是，若a=0时，如果b=0，c＞0，则函数f（x）=ax2+bx+c=c的图象恒在x轴上方，不能得到△=b2﹣4ac＜0；反之，“b2﹣4ac＜0”并不能得到“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”，如a＜0时．从而，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件．故选：D．【点评】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次函数的性质，难度一般．学生要熟记二次函数的性质方能得心应手的解题．24．（3分）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项．【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（﹣a，0）、B（a，0）；因为=λ•，所以y2=λ（x+a）（a﹣x），即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆．当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程．当λ=0时，是直线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的方程．故选：D．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（7分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．【分析】因为CC1∥AA1．根据异面直线所成角的定义得∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，从而∠BC1C=．在Rt△BC1C中，求得BC，从而求出S△ABC，最后利用柱体的体积公式即可求出该三棱柱的体积．【解答】解：因为 CC1∥AA1．所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C=．在Rt△BC1C中，BC=CC1tan∠BC1C=6×=2，从而S△ABC==3，因此该三棱柱的体积为V=S△ABC×AA1=3×6=18．【点评】本题考查三棱柱体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．26．（7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．【分析】设出矩形的边FP的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可．【解答】解：如图，设矩形为EBFP，FP长为x米，其中0＜x＜40，健身房占地面积为y平方米．因为△CFP∽△CBA，以，，求得BF=50﹣，从而y=BF•FP=（50﹣）•x=﹣=﹣≤500．当且仅当x=20时，等号成立．答：该健身房的最大占地面积为500平方米．【点评】本题考查函数的实际应用，表示出函数的表达式是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．27．（8分）已知数列{an}的前n项和为S，数列{bn}满足b，求．【分析】先由Sn求出an，进而得到bn，由bn的表达式可判断数列{bn}是无穷等比数列，从而可得答案．【解答】解：当n≥2时，=﹣2n+2，且a1=S1=0，所以an=﹣2n+2．因为=，所以数列{bn}是首项为1、公比为的无穷等比数列．故==．【点评】本题考查数列的极限、等差数列的前n项和，解答本题的关键是根据Sn与an的关系求出an．28．（13分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．【分析】（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为．根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即===，解得，即k=．故直线l的方程为或．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目．29．（12分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F的坐标，由得出P点和A点的关系，由代入法求动点P的轨迹方程；（2）设出点Q的坐标，在设出其关于直线y=2x的对称点Q′的坐标，由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q′在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标．【解答】解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），则，因为F的坐标为（1，0），所以，由，得（x﹣xA，y﹣yA）=﹣2（xA﹣1，yA）．即，解得代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=8﹣4x．（2）设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q′（x，y），则，解得．若Q′在C上，将Q′的坐标代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或．所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（）．【点评】本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了代入法求曲线方程，考查了存在性问题的求解方法，属中档题．31．（18分）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．【分析】（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，由于函数y=x3﹣3x是奇函数，利用题设真命题知，函数g（x）图象对称中心．（2）设h（x）=的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数，从而求出a，b的值，即可得出图象对称中心的坐标．（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．【解答】解：（1）平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，由于函数y=x3﹣3x是奇函数，由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，﹣2）．（2）设h（x）=的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数．设f（x）=h（x+a）﹣b，则f（x）=﹣b，即f（x）=．由不等式的解集关于原点对称，则﹣a+（4﹣a）=0，得a=2．此时f（x）=﹣b，x∈（﹣2，2）．任取x∈（﹣2，2），由f（﹣x）+f（x）=0，得b=1，所以函数h（x）=图象对称中心的坐标是（2，1）．（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的对称性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．30．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠PnAPn+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．【分析】（1）利用{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐标；（2）表示出tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论．【解答】解：（1）设A（0，t）（t＞0），根据题意，xn=2n﹣1．由，知，而tanθ3=tan（∠OAP4﹣∠OAP3）==，所以，解得t=4或t=8．故点A的坐标为（0，4）或（0，8）．（2）由题意，点Pn的坐标为（2n﹣1，0），tan∠OAPn=．∴tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn）==．因为≥，所以tanθn≤=，当且仅当，即n=4时等号成立．∵0＜θn＜，y=tanx在（0，）上为增函数，∴当n=4时，θn最大，其最大值为．【点评】本题考查等比数列，考查差角的正切函数，考查基本不等式的运用，正确运用差角的正切公式是关键．高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.以量词为载体，判断命题的真假；2.考查基本逻辑联结词的含义，在与其他知识交汇处命题． 【重点知识梳理】 1．命题能判断真假的语句叫做命题． 2．全称量词与全称命题(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词． (2)全称命题：含有全称量词的命题． (3)全称命题的符号表示形如“对M 中所有x ，p(x)”的命题，可用符号简记为“∀x ∈M ，p(x)”． 3．存在量词与存在性命题(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词。
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稍后公布！！考试及志愿填报2019年上海春季高考录取时间安排及候补资格确认流程填报多久出录取结果及录取查询入口（一）考试内容2019年春季考试由统一文化考试和院校自主测试两部分组成。
（二）统一文化考试1。
统一文化考试科目及计分办法统一文化考试科目为语文、数学、外语3门科目。
语文、数学每科目总分150分。
外语科目考试分为笔试（含听力）和听说测试，笔试（含听力）分值为140分，听说测试分值为10分，总分150分；外语科目的考试语种分设英语、俄语、日语、法语、德语、西班牙语6种，由报考学生任选1种。
统一文化考试成绩总分为450分。
根据本市高考改革相关规定，统一高考外语科目考试实行一年两考，考试时间分别为1月和6月。
其中，1月的外语科目考试即为2019年春季考试外语科目考试。
2。
统一文化考试时间安排2019年1月5日-7日举行全市统一文化考试，各科目考试时间为：语文1月5日9：00-11：30数学1月5日13：30-15：30外语笔试（含听力）1月6日9：00-11：00外语听说测试1月7日8：00起考试时长：语文150分钟，数学120分钟，外语笔试（含听力）120分钟、听说测试20分钟。
统一文化考试均在标准化考场进行。
3。
统一文化考试成绩公布与查询2019年1月28日，考生可登录“上海招考热线”网站（）查询统一文化考试成绩。
市教育考试院于当日公布志愿填报最低控制线。
考生如对统一文化考试成绩有疑问，可于2019年1月29日9：00- 16：00在“上海招考热线”网站申请成绩复核，1月30日12：00起可再次登录该网站查看复核结果。
（三）志愿填报1。
考生统一文化考试成绩总分达到市教育考试院公布的志愿填报最低控制线，方可填报春季考试招生志愿。
其中，应届考生7门科目（思想政治、历史、地理、物理、化学、生命科学、信息科技）的高中学业水平合格性考试成绩须全部合格。
2013年上海春季高考(暨学业水平考)数学试卷
D 1C 1B 1A 1D CAB2013年上海市普通高等学校春季招生统一考试（暨上海市普通高中学业水平考试）数学试卷考生注意：1．本试卷两考合一，春季高考=学业水平考+附加题；春季高考，共31道试题，满分150分．考试时间120分钟 （学业水平考，共29道试题，满分120分．考试时间90分钟；其中第29题，第31题为附加题，满分30分．考试时间30分钟）．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题） 在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码 贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格 填对得3分，否则一律得零分．1．函数2log (2)y x =+的定义域是 . 2．方程28x=的解是 . 3．抛物线28y x =的准线方程是 . 4．函数2sin y x =的最小正周期是 .5．已知向量(1 )a k =，，(9 6)b k =-，．若//a b ，则实数k = .6．函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 . 7．复数23i +（i 是虚数单位）的模是 .8．在ABC ∆中，角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B ===，，，则b= . 9．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为 . 10．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 . （结果用数值表示）11．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S . 12．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2236=23⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 .二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上， 将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分． 13．展开式为ad bc -的行列式是（ ） （A ）a b d c(B) a c b d (C) a d b c (D) b ad c14．设-1()f x为函数()f x = ）(A) 1(2)2f-= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f -= (D) 1(4)4f -=15．直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）(A) (2 3)-， (B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16．函数12()f x x -=的大致图像是（ ）17．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ）(A)11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b-<- 18．若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（ ） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称19．10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）（A ）45x （B ）290x （C ） 3120x （D ）4252x20．既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（ ） （A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ）（A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22．设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（ ）（A ）u ZC N （B ）C u NN （C ）C (C )u u ∅ （D ）C {0}u23．已知 a b c R ∈、、，“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件24．已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N ．若2MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）（A ）圆 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ）双曲线三、解答题（本大题共有7题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．25．（本题满分7分）如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，16AA =，异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6π，求该三棱柱的体积．26．（本题满分7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中B ∠为直角，AB 长40米，BC 长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．27．（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-+，数列{}n b 满足2n a n b =，求12limn n b b b →∞+++（）． B 1A 1C 1ACBABC已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(1 0)F ，，短轴的两个端点分别为12 B B 、． （1）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程．29．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知抛物线24C y x =：的焦点为F . （1）点 A P 、满足2AP FA =-. 当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程；（2）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的 点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记1n n n P AP θ+∠=，n N *∈． （1）若31arctan3θ=，求点A 的坐标； （2）若点A的坐标为(0，求n θ的最大值及相应n 的值.31．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．已知真命题：“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数 ()y f x a b =+- 是奇函数”.（1）将函数32()3g x x x =-的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式， 并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标； （2）求函数22()log 4xh x x=- 图像对称中心的坐标； （3）已知命题：“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得 函数()y f x a b =+- 是偶函数”。
2015年上海市高三学业水平考试暨春季高考数学试卷(含答案,有附加题)
，解为
x y
2 1
，则
a
b
；
9. 方程 lg(2x 1) lg x 1的解集为
；
10.
在(x
1 x2
)9
的二项展开式中，常数项的值为
；
11. 用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为
；（结果用数值表示）
12. 已知点 A(1, 0) ，直线 l : x 1，两个动圆均过点 A 且与 l 相切，其圆心分别为 C1 、C2 ，
f (n)min
f (6)
25 ,故：k 14
25 14
附加题
1. C；
2. B；
3. D；
4. 2 2 ；
5. 3 ；
6.
f
(x)
x, 1,
1 x 0
；
0 x 1
7.（1）不存在，定义域不为 R ；（2） x ； 2
6
=
(2n1 2)(2n2 2)
(2n 11) 2n2 4 = (2n1 2)(2n2 2) 当 n 6, f (n 1) f (n) 0 ,即 f (6) f (7) f (8) f (n), (n 6)
又:
f (4)
5 2
f
(5) 11 6
f
(6)
25 , 所以 14
D. 存在 a ，使得 P1 不是 P2 的子集；存在 b ，使得 Q1 是 Q2 的子集
三. 解答题（本大题共 5 题，共 8+8+8+12+12=48 分）
25. 如图，在正四棱柱中 ABCD A1B1C1D1 ， AB 1， D1B 和平面 ABCD 所成的角的大
小为 arctan 3 2 ，求该四棱柱的表面积； 4
2019年高考数学真题试卷(上海卷)(春考)含逐题详解
2019年上海市春季高考数学试卷2019.01一. 填空题（本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{3,5,6}B =,则AB =2. 计算：22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 3. 不等式|1|5x +<的解集为 4. 函数2()f x x =(0)x >的反函数为5. 设i 为虚数单位,3i 65i z -=+,则||z 的值为6. 已知二元线性方程组22214x y x a y a+=-⎧⎨+=⎩有无穷多解,则实数a =7. 在61()x x+的二项展开式中,常数项的值为 8. 在ABC 中,3AC =,3sin 2sin A B =,且1cos 4C =,则AB =9. 首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动,其 中甲连续参加2天,其余每人各参加1天,问有多少种不同的安排种数 （结果用数值表示）10. 如图,正方形OABC 的边长为a (1)a >,函数23y x =交 AB 于点Q ,函数12y x -=与BC 交于点P ,当||||AQ CP + 最小时,a 的值为11. 已知P 为椭圆22142x y +=上任意一点,Q 与P 关于x 轴对称,1F ,2F 为椭圆的左右焦点,若有121F P F P ⋅≤,则向 量1F P 与2F Q 的夹角范围为12. 已知t ∈R ,集合[,1][4,9]A t t t t =+++,0A ∉,若存在正数λ,对任意a A ∈. 都有A aλ∈,则t 的值为二. 选择题（本大题共4题,每题5分,共20分） 13. 下列函数中,值域为[0,)+∞的是（ ）A. 2x y =B. 12y x = C. tan y x = D. cos y x = 14. 已知a ,b ∈R ,则“22a b >”是“||||a b >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件15. 已知平面α,β,γ两两垂直,直线a ,b ,c 满足：a α⊆,b β⊆,c γ⊆,则直线a ,b ,c 不可能是（ ）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面16. 平面直角坐标系中,两动圆1O ,2O 的圆心分别为1(,0)a ,2(,0)a ,且两圆均过定点(1,0). 两圆与y 轴正半轴分别交于点1(0,)y ,2(0,)y ,若12ln ln 0y y +=,点1211(,)a a 的轨迹为Γ. 则Γ所在的曲线可能是（ ）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线三. 解答题（本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分）17. 如图,正三棱锥P ABC -中,侧棱长为2,底面边长为3,M ,N 分别是PB 和BC 的中点. （1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小. （2）求三棱锥P ABC -的体积.18. 已知数列{}n a 中,13a =,前n 项和为n S . （1）若{}n a 为等差数列,且415a =,求n S .（2）若{}n a 为等比数列,且lim 12n n S →∞<,求公比q 的取值范围.19. 改革开放40年,我国卫生事业取得巨大成就,卫生总费用增长了数十倍. 卫生总费用包 括个人现在支出,社会支出,政府支出,下表为2012年~2015年我国卫生费用中个人现金 支出,社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比.年份卫生总费用 （亿元）个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数（亿元） 占卫生总费用比重（%） 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重（%） 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重（%） 2012 28119.00 9656.32 A 10030.70 35.67 8431.98 29.99 2013 31668.95 10729.3433.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14 2014 35312.40 B 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96 201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）计算A ,B 的数据,并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占 比和社会支出占比的变化趋势.（2）设1t =表示1978年,第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+.研究函数()f t 的单调性,并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.20. 已知抛物线24y x =,F 为焦点,P 为准线l 上一动点,线段PF 与抛物线交于点Q . 定义||()||FP d P FQ =. （1）若点P 坐标为8(1,)3--,求()d P .（2）求证：存在常数a ,使得2()||d P FP a =+恒成立.（3）设1P ,2P ,3P 为准线l 上的三点,且1223||||PP P P =,试比较13()()d P d P +与22()d P 的大小.21. 若{}n a 是等差数列,公差(0,]d π∈,数列{}n b 满足：sin()n n b a =,n ∈*N . 记{|,}n S x x b n ==∈*N . （1）设10a =,23d π=,求集合S . （2）设12a π=,试求d 的值,使得集合S 恰有两个元素.（3）若集合S 恰有三个元素,且n T n b b +=,其中T 为不超过7的正整数,求T 所有可能值.2019年上海市春季高考数学试卷2019.01一. 填空题（本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{3,5,6}B =,则AB =2. 计算：22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 3. 不等式|1|5x +<的解集为 4. 函数2()f x x =(0)x >的反函数为5. 设i 为虚数单位,3i 65i z -=+,则||z 的值为6. 已知二元线性方程组22214x y x a y a+=-⎧⎨+=⎩有无穷多解,则实数a =7. 在61()x x+的二项展开式中,常数项的值为 8. 在ABC 中,3AC =,3sin 2sin A B =,且1cos 4C =,则AB =9. 首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动,其 中甲连续参加2天,其余每人各参加1天,问有多少种不同的安排种数 （结果用数值表示）10. 如图,正方形OABC 的边长为a (1)a >,函数23y x =交 AB 于点Q ,函数12y x -=与BC 交于点P ,当||||AQ CP + 最小时,a 的值为11. 已知P 为椭圆22142x y +=上任意一点,Q 与P 关于x 轴对称,1F ,2F 为椭圆的左右焦点,若有121F P F P ⋅≤,则向 量1F P 与2F Q 的夹角范围为12. 已知t ∈R ,集合[,1][4,9]A t t t t =+++,0A ∉,若存在正数λ,对任意a A ∈. 都有A aλ∈,则t 的值为二. 选择题（本大题共4题,每题5分,共20分） 13. 下列函数中,值域为[0,)+∞的是（ ）A. 2x y =B. 12y x = C. tan y x = D. cos y x = 14. 已知a ,b ∈R ,则“22a b >”是“||||a b >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件15. 已知平面α,β,γ两两垂直,直线a ,b ,c 满足：a α⊆,b β⊆,c γ⊆,则直线a ,b ,c 不可能是（ ）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面16. 平面直角坐标系中,两动圆1O ,2O 的圆心分别为1(,0)a ,2(,0)a ,且两圆均过定点(1,0). 两圆与y 轴正半轴分别交于点1(0,)y ,2(0,)y ,若12ln ln 0y y +=,点1211(,)a a 的轨迹为Γ. 则Γ所在的曲线可能是（ ）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线三. 解答题（本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分）17. 如图,正三棱锥P ABC -中,侧棱长为2,底面边长为3,M ,N 分别是PB 和BC 的中点. （1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小. （2）求三棱锥P ABC -的体积.18. 已知数列{}n a 中,13a =,前n 项和为n S . （1）若{}n a 为等差数列,且415a =,求n S .（2）若{}n a 为等比数列,且lim 12n n S →∞<,求公比q 的取值范围.19. 改革开放40年,我国卫生事业取得巨大成就,卫生总费用增长了数十倍. 卫生总费用包 括个人现在支出,社会支出,政府支出,下表为2012年~2015年我国卫生费用中个人现金 支出,社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比.年份卫生总费用 （亿元）个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数（亿元） 占卫生总费用比重（%） 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重（%） 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重（%） 2012 28119.00 9656.32 A 10030.70 35.67 8431.98 29.99 2013 31668.95 10729.3433.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14 2014 35312.40 B 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96 201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）计算A ,B 的数据,并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占 比和社会支出占比的变化趋势.（2）设1t =表示1978年,第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+.研究函数()f t 的单调性,并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.20. 已知抛物线24y x =,F 为焦点,P 为准线l 上一动点,线段PF 与抛物线交于点Q . 定义||()||FP d P FQ =. （1）若点P 坐标为8(1,)3--,求()d P .（2）求证：存在常数a ,使得2()||d P FP a =+恒成立.（3）设1P ,2P ,3P 为准线l 上的三点,且1223||||PP P P =,试比较13()()d P d P +与22()d P 的大小.21. 若{}n a 是等差数列,公差(0,]d π∈,数列{}n b 满足：sin()n n b a =,n ∈*N . 记{|,}n S x x b n ==∈*N . （1）设10a =,23d π=,求集合S . （2）设12a π=,试求d 的值,使得集合S 恰有两个元素.（3）若集合S 恰有三个元素,且n T n b b +=,其中T 为不超过7的正整数,求T 所有可能值.参考答案一. 填空题1. {3,5}2. 23. (6,4)-4. 1()f x -=(0)x >5. 6. 2- 7. 15 8.9. 24 10. 11. 1[arccos ,]3ππ- 12. 3-或1二. 选择题13. B 14. C 15. B 16. A三. 解答题17.（1）,（2）34. 18.（1）22n S n n =+,（2）3(1,0)(0,)4-. 19.（1）:34.34A ,:11295.41B ,个人现金支出占比逐渐减少,社会支出占比逐渐增多. （2）单调递增,51t =,2028年首次超过12万亿. 20.（1）83,（2）2a =,（3）132()()2()d P d P d P +>.21.（1）{,（2）23d π=或d π=,（3）3,4,5,6.。
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个人整理精品文档，仅供个人学习使用 1 / 15 年上海市学业水平考试暨春季高考数学试卷 一. 填空题（本大题共题，每题分，共分） 1. 复数34i（i为虚数单位）的实部是.
2. 若2log(1)3x，则x.
3. 直线1yx与直线2y的夹角为.
4. 函数()2fxx的定义域为.
5. 三阶行列式135400121中，元素5的代数余子式的值为.
6. 函数1()fxax的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a.
7. 在ABC中，若30A，45B，6BC，则AC.
8. 4
个人排成一排照相，不同排列方式的种数为（结果用数值表示）.
9. 无穷等比数列{}na的首项为2，公比为13，则{}na的各项的和为.
10. 若2i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程250xax的一个虚根，
则a. 11. 函数221yxx在区间[0,]m上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围
是. 12. 在平面直角坐标系xOy中，点, AB是圆22650xyx上的两个动点，且满足
||23AB，则||OAOBuuruuur的最小值为.
二. 选择题（本大题共题，每题分，共分） 13. 满足sin0且tan0的角属于（ ）
（）第一象限 （）第二象限 （）第三象限 （）第四象限 14. 半径为1的球的表面积为（ ）
（） （）43 （）2 （）4
15. 在6(1)x的二项展开式中，2x项的系数为（ ）
（）2 （）6 （）15 （）20 16. 幂函数2yx的大致图像是（ ） 个人整理精品文档，仅供个人学习使用 2 / 15 17. 已知向量(1,0)ar，(1,2)br，则向量br在向量ar方向上的投影为（ ）
（）1 （）2 （）(1,0) （）(0,2) 18. 设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（ ）
（）直线l平行于直线m （）直线l与直线m异面 （）直线l与直线m没有公共点 （）直线l与直线m不垂直
19. 在用数学归纳法证明等式212322nnnL *(N)n的第(ii)步中，假设
nk时原等式成立，那么在1nk时需要证明的等式为（ ）
（）2212322(1)22(1)(1)kkkkkkL
（）212322(1)2(1)(1)kkkkL （）221232212(1)22(1)(1)kkkkkkkL （）21232212(1)2(1)(1)kkkkkL
20. 关于双曲线221164xy与221164yx的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ）
（）焦距相等，渐近线相同 （）焦距相等，渐近线不相同 （）焦距不相等，渐近线相同 （）焦距不相等，渐近线不相同
21. 设函数()yfx的定义域为R，则“(0)0f”是“()yfx为奇函数”的（ ）
（）充分不必要条件 （）必要不充分条件 （）充要条件 （）既不充分也不必要条件
22. 下列关于实数, ab的不等式中，不恒成立的是（ ）
（）222abab （）222abab （）22abab （）22abab
个人整理精品文档，仅供个人学习使用 3 / 15 23. 设单位向量1eur与2eur既不平行也不垂直，对非零向量1112axeyerurur、2122bxeyerurur有
结论：若12210xyxy，则//abrr；若12120xxyy，则abrr. 关于以上两个结论，正确的判断是（ ） （）成立，不成立 （）不成立，成立 （）成立，成立 （）不成立，不成立
24. 对于椭圆22(,)22:1 (,0,)abxyCababab. 若点00(,)xy满足2200221xyab. 则称该
点在椭圆(,)abC内，在平面直角坐标系中，若点A在过点(2,1)的任意椭圆(,)abC内或椭圆(,)abC上，则满足条件的点A构成的图形为（ ） （）三角形及其内部 （）矩形及其内部 （）圆及其内部 （）椭圆及其内部 三. 解答题（本大题共题，共分）
25. （本题满分分）如图，已知正三棱柱111ABCABC的体积为93，底面边长为3，求
异面直线1BC与AC所成的角的大小.
26. （本题满分分）已知函数()sin3cosfxxx，求()fx的最小正周期及最大值，并
指出()fx取得最大值时x的值.
27. （本题满分分）如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的
圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处. 已知灯口直径是24cm，灯深个人整理精品文档，仅供个人学习使用 4 / 15 10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离.
28. （本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分.
已知数列{}na是公差为2的等差数列.
（1） 若134,,aaa成等比数列，求1a的值；
（2） 设119a，数列{}na的前n项和为nS. 数列{}nb满足1111, 2nnnbbb， 记12nnnncSb*()nN，求数列{}nc的最小项0nc（即0nncc对任意*nN成立）.
29. （本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分.
对于函数(), ()fxgx，记集合{|()()}fgDxfxgx. 个人整理精品文档，仅供个人学习使用 5 / 15 （）设()2||fxx，()3gxx，求fgD； （）设1()1fxx，21()()313xxfxa，()0hx，如果12RfhfhDD. 求实数a的取值范围.
年上海市春季高考数学试卷 二卷 个人整理精品文档，仅供个人学习使用 6 / 15 一. 选择题:(分) .若函数()sin()fxx
是偶函数,则的一个值是 ( )
() 0 () 2 () () 2 .在复平面上,满足14z的复数z的所对应的轨迹是( ) () 两个点 ()一条线段 ()两条直线 () 一个圆 .已知函数()yfx的图像是折线ABCD,如图,其中(1,2),(2,1),ABCDE,若直线ykxb与()yfx的图像恰有四个不
同的公共点,则k的取值范围是( )
() (1,0)(0,1)U () 11(,)33 () (0,1] () 10.3
二. 填空题:(分) .椭圆221259xy的长半轴的长为
.已知圆锥的母线长为,母线与轴的夹角为030,则该圆锥的侧面积为 .小明用数列na记录某地区年月份天中每天是否下过雨,方法为:当第k天下过雨时,记1ka,当第k天没下过雨时,记1ka(131)k,他用数列nb记录该地区该月每天气
象台预报是否有雨,方法为:当预报第k天有雨时,记1nb,当预报第k天没有雨时,记1nb记录完毕后,小明计算出112233313125ababababL,那么该月气象台预报准确的总天数为
三. 解答题:(分) 对于数列na与nb,若对数列nc的每一项nc,均有kkca或kkcb,则称数列nc是na与nb的一个“并数列”。 个人整理精品文档，仅供个人学习使用 7 / 15 （1） 设数列na与nb的前三项分别为1231231,3,5,1,2,3aaabbb，若nc是na与nb一个“并数列”求所有可能的有序数组123(,,)ccc； （2） 已知数列na，nc均为等差数列，na的公差为，首项为正整数t；nc
的前项和为，前项的和为，若存在唯一的数列nb，使得nc是na与nb
的一个“并数列”，求t的值所构成的集合。
年上海市学业水平考试暨春季高考数学试卷（答案） 一. 填空题（本大题共题，每题分，共分） .复数34i（i为虚数单位）的实部是. 个人整理精品文档，仅供个人学习使用 8 / 15 .若2log(1)3x，则x. .直线1yx与直线2y的夹角为4. .函数()2fxx的定义域为2,.
.三阶行列式135400121中，元素5的代数余子式的值为. .函数1()fxax的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a. .在ABC中，若30A，45B，6BC，则AC23. .4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为（结果用数值表示）. .无穷等比数列{}na的首项为2，公比为13，则{}na的各项的和为.
.若2i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程250xax的一个虚根，则a. .函数221yxx在区间[0,]m上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是[1,2].
.在平面直角坐标系xOy中，点, AB是圆22650xyx上的两个动点，且满足||23AB，则||OAOBuuruuur的最小值为.
二. 选择题（本大题共题，每题分，共分）
.满足sin0且tan0的角属于（ ） （）第一象限 （）第二象限 （）第三象限 （）第四象限 .半径为1的球的表面积为（ ）
（） （）43 （）2 （）4
.在6(1)x的二项展开式中，2x项的系数为（ ） （）2 （）6 （）15 （）20 .幂函数2yx的大致图像是（ ）