高职高考数学课程函数与导数

第一编 函数与导数 第一章 集合 ★知识梳理 一、集合的有关概念 1.定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。 2.关于集合的元素的特征：确定性、互异性、无序性 3.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种)

即：a是集合A的元素，就说a属于集合A ， 记作 a∈A ，

a不是集合A的元素，就说a不属于集合A， 记作 aA 4.常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N

或N Z

Q R

C

5、集合的分类 原则：集合中所含元素的多少 ①有限集 含有限个元素，如A={-2，3} ②无限集 含无限个元素，如自然数集N，有理数 ③空 集 不含任何元素，如方程x2+1=0实数解集。专用标记：Φ 注：与 不同，∈ 6.集合的3种表示方法：列举法、描述法、图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。 例:“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆} 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。 格式：{x∈A| P（x）} 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。 例:不等式12x的解集可以表示为：{|12}xRx或{|3,}xxxR 图示法： 韦恩图(Venn图)：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

数轴法：{x∈R|3

0 3 10 3 10 0 3 10 0 二： 集合间的基本关系 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 BA （或)AB A中的任一元素都属于B

(1)AA（A包含于A，或A包含A） (2)A (3)若BA且BC，则AC (4)若BA且BA，则AB

A(B)

或BA

真子集 AB （或BA） BA，且B中至少有一元素不属于A

（1）A（A为非空子集）

(2)若AB且BC，则AC BA

集合 相等 AB

A中的任一元素都

属于B，B中的任一元素都属于A

(1)AB

(2)BA A(B)

注：集合A中元素的个数记为n，则它的子集的个数为：2n 真子（非空子）集的个数：2n-1，非空真子集个数：2n-2

三：集合的基本运算

名称 记号 意义 性质 示意图

交集 AB {|,xxA且

}xB

（1）AAA

（2）A （3）ABA ABB BA

并集 AB {|,xxA或

}xB

（1）AAA （2）AA （3）ABA ABB BA

补集 {|,}xxUxA且 ⑴ CUA=U-A

★重、难点突破 1．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A （2）任何集合都是它本身的子集，即AA （3）子集、真子集都有传递性，即若BA，CB，则CA 2．集合的运算性质

（1）交集：①ABBA；②AAA；③A；④ABA，BBA ⑤BAABA； （2）并集：①ABBA；②AAA；③AA；④ABA，BBA ⑤ABABA； （3）交、并、补集的关系： ①()UACAU，()UACA， AACCUU)(

②BCACBACUUU)(，BCACBACUUU)(

第二章 函数与基本不等式 第一节 函数的概念 1. 函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系ƒ，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A． 2. 构成函数的三要素： 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。 3. 函数的表示法： 表示函数常用方法有列表法、解析法、图像法 4. 映射的概念： 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。

第二节 简单的分段函数与简单应用 分段函数： 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数叫做分段函数。 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 复合函数： 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f是g的复合函数。 第三节 函数单调性

1. 增函数和减函数： 设函数y=f(x)的定义域为I： ()fx()gx()gx()fx

1()fx()fx

()nfx()fx()()fxgx()fx()gx()fx

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x)在区间D上是增函数。 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1区间上是减函数.

2. 单调性与单调区间： 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或单调减函数，那么就是说这个函数在这个区间M上具有单调性（区间M称为单调区间） 3. 判断函数单调性方法：（1）定义法；（2）利用函数的运算性质. 如，若 ， 为增函数，则： ① + 为增函数；

② 为减函数（ ＞ 0）； ③ 为增函数（ ≥0）； ④ 为增函数 （ ＞ 0， ＞ 0）； ⑤ -- 为减函数.

4. 当a＞0时，二次函数y = ax2 的单调区间为（--a，0 ]，单调区间为 （0，+∞）. 5. 当k＞0时，y = kx + b在R上为增函数；当k﹤0时，y=kx+b在R上为减函数. 6. 函数y = x-1的单调递减区间为（--∞，0）和（0，+∞）.

第四节 函数的奇偶性 1. 奇函数偶函数的概念： 一般地，对于函数ƒ(x)的定义域内的任意一个x，都有ƒ(－x)=ƒ(x)，那么ƒ(x)就叫做偶函数． 一般地，对于函数ƒ(x)的定义域内的任意一个x，都有ƒ(－x)=—ƒ(x)，那么ƒ(x)就叫做奇函数．

2.判断函数的奇偶性 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

若ƒ(－x) = ƒ(x)，则ƒ(x)为偶函数；

增函数 减函数 1()yfx

y x O

若－ƒ(x) = ƒ(－x)，则ƒ(x)为奇函数； 若ƒ(－x) = ƒ(x) 且ƒ(－x) = －ƒ(x)，则 ƒ(x) 既是奇函数又是偶函数. 若存在x，使得ƒ(－x) ≠－ƒ(x)且ƒ(－x) ≠ƒ(x)，则ƒ(x)既不是奇函数又不是偶函数.

3.函数奇偶性和单调性的相关关系 （1） 注意函数y = ƒ(x) 与y = kƒ(x) 的单调性与k（k≠0）有关. （2） 注意函数y = ƒ(x) 与 的单调性之间的关系. （3） 奇函数在 [ a，b ] 和 [－b，－a ]上有相同的单调性. （4） 偶函数在 [ a，b ] 和 [－b，－a ]上有相反的单调性.

第五节 函数的图象与性质 1. 基本初等函数及其图象 （1）正比例函数的一般形式是y=kx+b (k≠0)的函数图象是一条直线

（2）二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的抛物线

（3）反比例函数 y＝kx (k≠0) 的图象是一条双曲线

奇 + 偶 = 非奇非偶 奇 + 奇 = 奇 偶 + 偶 = 偶 奇 X 奇 = 偶 偶 ÷偶 = 偶 奇 －偶 = 非奇非偶 奇 －奇 = 奇 偶 －偶 = 偶 偶 X 偶 = 偶 奇 ÷偶 = 奇 奇 ÷奇 = 偶 奇 X 偶 = 奇 偶 ÷奇 = 奇

k、b的符号 k＞0，b＞0 k＜0，b＞0 图像的大致位置

a＞0 a＜0

图 象 )0()0(||aaaa

aann

)1,,,0(*nNnmaaanmn

m

2. 图象变换 （1）平移变换：

（2）对称变换： 第六节 指数运算 1. 根式 （1）根式的概念：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00n。

当n是奇数时，aann，当n是偶数时， （2）分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定：

)1,,,0(11*nNnmaaaanmn

m

nm

k的符号 k＞0 k＜0 图像的大致位置

原图象对应的函数 图象变换过程（a＞0，b＞0） 变换后图象对应的函数 y＝ƒ(x) 向左平移a个单位长度 y＝ƒ(x+a)

y＝ƒ(x) 向右平移a个单位长度 y＝ƒ(x-a) y＝ƒ(x) 向上平移b个单位长度 y＝ƒ(x)+b y＝ƒ(x) 向下平移b个单位长度 y＝ƒ(x)-b

函数A 函数B A与B图象间的对称关系 y＝ƒ(x) y＝ƒ(-x) 关于y轴对称

y＝ƒ(x) y＝-ƒ(x) 关于x轴对称 y＝ƒ(x) y＝-ƒ(-x) 关于原点对称

o y x y

x o