组合数学练习题_带答案
组合数学卢开澄课后习题答案
组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。
卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。
在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。
第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。
习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。
答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
综上所述，B=C。
1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。
（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。
答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。
（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。
习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。
（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。
第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。
习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。
2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。
答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。
《组合数学》测试题含答案
测 试 题——组合数学一、选择题1. 把101本书分给10名学生，则下列说法正确的是（）A.有一名学生分得11本书B.至少有一名学生分得11本书C.至多有一名学生分得11本书D.有一名学生分得至少11本书2. 8人排队上车，其中A ，B 两人之间恰好有4人，则不同的排列方法是（）A.!63⨯B.!64⨯C. !66⨯D. !68⨯3. 10名嘉宾和4名领导站成一排参加剪彩，其中领导不能相邻，则站位方法总数为（）A.()4,11!10P ⨯B. ()4,9!10P ⨯C. ()4,10!10P ⨯D. !3!14-4. 把10个人分成两组，每组5人，共有多少种方法（）A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510510C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49 D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛4949 5. 设x,y 均为正整数且20≤+y x ，则这样的有序数对()y x ,共有（）个6. 仅由数字1，2，3组成的七位数中，相邻数字均不相同的七位数的个数是（）A.128 B7. 百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数为（）8. 设n 为正整数，则∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛nk k n 02等于（）A.n 2B. 12-n C. n n 2⋅ D. 12-⋅n n9. 设n 为正整数，则()kknk k n 310⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=的值是（） A.n 2 B. n2- C. ()n2-10. 设n 为正整数，则当2≥n 时，∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk k k 22=()A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3nB. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+21n C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31n D. 22+⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 11. ()632132x x x +-中23231x x x 的系数是（）12. 在1和610之间只由数字1，2或3构成的整数个数为（）A.2136-B. 2336- C. 2137- D. 2337-13. 在1和300之间的整数中能被3或5整除的整数共有（）个14. 已知(){}o n n f ≥是Fibonacci 数列且()()348,217==f f ，则()=10f （）15. 递推关系3143---=n n n a a a 的特征方程是（） A.0432=+-x x B. 0432=-+x x C. 04323=+-x x D. 04323=-+x x16. 已知()⋯⋯=⨯+=,2,1,0232n a nn ，则当2≥n 时，=n a （）A.2123--+n n a aB. 2123---n n a aC.2123--+-n n a aD. 2123----n n a a17. 递推关系()⎩⎨⎧=≥+=-312201a n a a n n n 的解为（）A.32+⨯=nn n aB. ()221+⨯+=nn n aC. ()122+⨯+=nn n a D. ()n n n a 23⨯+=18. 设()⋯⋯=⨯=,2,1,025n a nn ，则数列{}0≥n n a 的常生成函数是（）A.x 215- B. ()2215x - C.()x 215- D. ()2215x -19. 把15个相同的足球分给4个人，使得每人至少分得3个足球，不同的分法共有（）种20. 多重集{}b a S ⋅⋅=4,2的5-排列数为（）21. 部分数为3且没有等于1的部分的15-分拆的个数为（）22. 设n,k 都是正整数，以()n P k 表示部分数为k 的n-分拆的个数，则()116P 的值是（）23. 设A ，B ，C 是实数且对任意正整数n 都有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=1233n C n B n A n ，则B 的值是（）24. 不定方程1722321=++x x x 的正整数解的个数是（） A.26 B.2825. 已知数列{}0≥n n a 的指数生成函数是()()t t e e t E 521⋅-=，则该数列的通项公式是（）A.nn n n a 567++= B. n n n n a 567+-= C. n n n n a 5627+⨯+= D. nn n n a 5627+⨯-=二、填空题1. 在1和2000之间能被6整除但不能被15整除的正整数共有_________个2. 用红、黄、蓝、黑4种颜色去图n ⨯1棋盘，每个方格涂一种颜色，则使得被涂成红色的方格数是奇数的涂色方法共有_______种 3. 已知递归推关系()31243321≥-+=---n a a a a n n n n 的一个特征根为2，则其通解为___________ 4. 把()3≥n n 个人分到3个不同的房间，每个房间至少1人的分法数为__________5. 棋盘⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的车多项式为___________6. 由5个字母a,b,c,d,e 作成的6次齐次式最多可以有_________个不同类的项。
二年级组合数学趣味题带答案
二年级组合数学趣味题带答案一、小明有三本不同的书，他想把它们放在书架上，有多少种不同的放法？A. 1种B. 3种C. 6种D. 9种（答案）C。
解析：这是一个排列问题，三本不同的书放在书架上，第一本有3个位置可选，第二本有剩下的2个位置可选，第三本只有最后1个位置，所以总共有3×2×1=6种放法。
二、小红有两颗红色的糖果和两颗蓝色的糖果，她想把它们分给两个小朋友，每个小朋友得到两颗，有多少种分法？A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种（答案）C。
解析：考虑两个小朋友为A和B，糖果用R表示红色，B表示蓝色。
那么分法有：AA-RR，AB-RB，AB-BR，BB-RR，BA-RB，BA-BR，共6种，但因为两个小朋友是没有区别的，所以要去掉重复的情况，即3种分法。
三、小华要从数字1、2、3中选出两个数字组成一个两位数，有多少种不同的组合？A. 2种B. 3种C. 4种D. 6种（答案）D。
解析：这是一个排列问题，从3个数字中选出2个数字组成一个两位数，第一个数字有3种选择，第二个数字有剩下的2种选择，所以总共有3×2=6种组合。
四、小丽有三件不同的上衣和两条不同的裤子，她想要穿一套衣服 （一件上衣和一条裤子），有多少种不同的穿法？A. 2种B. 3种C. 5种D. 6种（答案）D。
解析：这是一个组合问题，小丽有三件上衣和两条裤子，每件上衣都可以和两条裤子搭配，所以总共有3×2=6种穿法。
五、小强有四个不同的玩具，他想把它们分成两堆，每堆两个，有多少种分法？A. 2种B. 3种C. 4种D. 6种（答案）B。
解析：这是一个组合问题，四个不同的玩具分成两堆，每堆两个，可以看作是从4个玩具中选出2个放在一堆，剩下的自动成为另一堆。
由于两堆是无区别的，所以分法有(4×3)/(2×1)=6种，但因为两堆是无序的，所以要除以2，即3种分法。
六、小芳有五种不同颜色的彩笔，她想从中选出三种颜色来画画，有多少种不同的选法？A. 5种B. 10种C. 15种D. 20种（答案）B。
组合数学课后习题答案
第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。
12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。
当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。
故符合要求的不同分组共有12)2()12(21111+-=-----=∑n k n k n k n 种。
组合数学课后习题答案
组合数学课后习题答案问题1求解以下组合数：(a)C(5, 2)(b)C(7, 3)(c)C(10, 5)解答：(a)C(5, 2) 表示从5个不同元素中选取2个的组合数。
根据组合数的定义，我们可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算组合数。
计算 C(5, 2)： C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2 = 10所以 C(5, 2) = 10。
(b)C(7, 3) 表示从7个不同元素中选取3个的组合数。
计算 C(7, 3)： C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / 3 = 35 * 2 = 70所以 C(7, 3) = 70。
(c)C(10, 5) 表示从10个不同元素中选取5个的组合数。
计算 C(10, 5)： C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252所以 C(10, 5) = 252。
问题2在一个集合 {a, b, c, d, e} 中，求解以下问题：(a)有多少种不同的3个元素的子集？(b)有多少种不同的4个元素的子集？(c)有多少种不同的空集合？(a)在一个集合 {a, b, c, d, e} 中选取3个元素的子集。
子集的元素个数为3，所以我们需要从5个元素中选取3个。
利用组合数的公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，我们可以计算组合数。
组合数学试题及答案
组合数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在组合数学中，从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示为：A. C(n, m)B. P(n, m)C. A(n, m)D. nCm答案：A2. 如果一个集合有10个元素，从中任取3个元素的组合数为：A. 120B. 210C. 1001D. 1000答案：B3. 组合数学中的排列数与组合数的关系是：A. P(n, m) = C(n, m) * m!B. C(n, m) = P(n, m) / m!C. P(n, m) = C(n, m) + m!D. P(n, m) = C(n, m) * n!答案：B4. 以下哪个公式用于计算组合数？A. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)B. P(n, m) = n! / (n-m)!C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A5. 如果一个集合有8个元素，从中任取2个元素的排列数为：A. 28B. 56C. 8!D. 7!答案：B6. 组合数学中，排列数P(n, m)的定义是：A. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的排列方式的数量B. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的组合方式的数量C. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的排列方式的数量，不考虑顺序D. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的组合方式的数量，考虑顺序答案：A7. 以下哪个公式用于计算排列数？A. P(n, m) = n! / (n-m)!B. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A8. 如果一个集合有15个元素，从中任取5个元素的组合数为：A. 3003B. 3000C. 1365D. 15504答案：D9. 组合数学中的二项式系数表示为：A. C(n, m)B. P(n, m)C. A(n, m)D. B(n, m)答案：A10. 以下哪个公式用于计算二项式系数？A. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)B. P(n, m) = n! / (n-m)!C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 从5个不同元素中取出3个元素的组合数为 ________。
组合数学练习题及解析
组合数学练习题及解析组合数学是数学中的一个分支，主要研究离散对象之间的组合关系。
它在计算机科学、统计学、运筹学等领域中具有广泛的应用。
本文将提供一些组合数学的练习题，并附上详细的解析，以帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、排列组合1. 从10个人中选出3个人组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素的组合问题。
根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120种选择方式。
2. 有10个小球，5个红色，5个蓝色，从中选取3个小球组成一个集合，问有多少种不同的集合？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素并忽略其顺序的组合问题。
根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!)= 120种不同的集合。
3. 从字母A、B、C、D、E中任选3个字母组成一个字符串，问有多少种不同的字符串？解析：这是一个从5个元素中选取3个元素并考虑其顺序的排列问题。
根据排列的公式，可以得到答案为P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5*4*3 = 60种不同的字符串。
二、组合数学问题1. 假设有8本不同的书放在一排，问有多少种不同的放置方式？解析：这是一个考虑顺序的排列问题。
根据排列的公式，可以得到答案为P(8, 8) = 8! = 40320种不同的放置方式。
2. 有5个不同的水果，需要选择2个水果放入一个篮子中，问有多少种不同的放置方式？解析：这是一个从5个元素中选取2个元素并考虑其顺序的排列问题。
根据排列的公式，可以得到答案为P(5, 2) = 5! / (5-2)! = 5*4 = 20种不同的放置方式。
3. 一家公司有10个员工，其中3个员工必须参加一个会议，问有多少种不同的选取方式？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素的组合问题。
根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120种不同的选取方式。
最新组合数学习题答案(1-4章全)
第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。
满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。
满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有：7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有(7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有mn C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
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组合数学练习题第一章排列组合1, 在1到10000之间，有多少个每位上数字全不相同而且由偶数构成的整数？本题分为四种情况:1位整数有4个: 2, 4, 6, 82位整数有4*4种方案, 有16个3位整数有4*4*3种方案, 有48个4位整数有4*4*3*2种方案, 有96个总共有4+16+48+96=164个这样的整数.2, 一教室有两排，每排9个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。
(1)本问中, 第一排和第二排各有5名和4名同学被确定, 那么14名同学中还有5名同学没有固定在哪一排, 所以可以根据这5名同学的不同排列来计算, 分5种情况考虑; 1)从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学进行全排列、另外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5名同学中选出3名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名同学中选出1名同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐法安排数全部加起来就是结果.C(5,4)*P(9,9)*P(9,5)+C(5,3)*P(9,8)*P(9,6)+C(5,2)*P(9,7)*P(9,7)+C(5,1)*P(9,6)*P(9,8)+P(9,5)*P(9,9)(2)本问中, 第一排和第二排所坐的同学的数量被确定, 分别是5名和4名, 那么要从14名同学中把省下的5名同学选出来, 然后再按照坐在不同排的情况进行计算, 同样分5种情况考虑; 1) 从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学进行全排列、另外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5名同学中选出3名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名同学中选出1名同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐法安排数全部加起来再乘以从14名同学中任选出5名同学方法的数就是结果.C(14,5)*[P(9,9)*P(9,5)+P(9,8)*P(9,6)+P(9,7)*P(9,7)+P(9,6)*P(9,8)+ P(9,5)*P(9,9)] 3, n对夫妇,要求排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？围一圆桌而坐且要求每对夫妇坐在一起,又有多少种方案?(1)本问中, 男女各有n名, 分别进行全排列各有n!种方案, 将他们交叉排列就有(n!)2种方案, 同时男在女前或女在男前又是不同的方案, 所以要乘以2, 所以方案数为--- 2 (n!)2(2)本问较第一问要去掉变为圆周排列后的重复度, 总的人数为2n, 用第一问的方案数除以2n, 所以方案数为--- (n!)2/n(3)本问中, 每对夫妇交换位置坐的方案数为2n, 再把每对夫妇看成单个元素进行圆周全排列, 方案为n!/n, 最后把两种方案数相乘, 所以方案数为--- 2n n!/n4, 有16名选手，其中6名只能打后卫，8名只能打前锋，2名能打前锋或后卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选法？根据2名既能打前锋也能打后卫选手的不同情况来计算方案(1) 方法一, 分成6种情况: 1) 这2名选手全部打前锋; 2) 这2名选手全部打后卫; 3) 从2名选手中选出1名打前锋, 另一名不上场; 4) 从2名选手中选出1名打后卫, 另一名不上场; 5) 2名选手全部上场, 分别打前锋和后卫; 6) 2名选手全部不上场; 把这些方案加起来就是全部选法.C(8,5)*C(6,4)+C(8,7)*C(6,2)+2C(8,6)*C(6,4)+2C(8,7)*C(6,3)+C(8,6)*C(6,3)+C(8,7)*C(6,4) = 2800(2) 方法二, 分成3种情况: 1) 把这2名选手全部加入前锋后选组进行组合; 2) 把这2名选手合部加入后卫后选组进行组合; 但这两种方案中这2名选手全部不上场的方案是重复的, 所以要减掉一个2名选全部不上场的方案数; 3) 上面的方案中也包括了2名选手中只有1名上场的情况, 所以省下只考虑2名选手都上场, 但分别打前锋和后位的方案; 把这些方案加起来就是全部选法.C(6,4)*C(10,7)+C(8,4)*C(8,7) -C(8,7)*C(6,4)+ C(6,3) *C(8,6) = 28005, 从1到10这10个正整数中每次取出一个并登记，然后放回，连续取5次，得到一个由5个数字组成的数列。
按这种方式能够得到多少个严格递减数列？能够得到多少个不减数列？(1) C(10,5) = 10!/((10-5)!5!) = 252(2) C(10+5-1,5) = 14!/((14-5)!5!) = 20026,证明 ()∑=nk k n kC 1,＝12-n n 。
证明:将等式左边展开为:C(n,1)+2C(n,2)+3C(n,3)+…+kC(n,k)+…+ (n-1)C(n,n-1)+nC(n,n)设这个多项式等于Q设等式1为Q = Q将等式1左右两边分别加上下面的等式P:nC(n,0)+(n-1)C(n,1)+…+C(n,n-1)得到等式2, 等式右边合并项为: nC(n,0)+nC(n,1)+…+nC(n,n -1)+nC(n,n)提取公因子n, 等于n[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n -1)+C(n,n)]根据定理, 等式右边等于n2n由定理C(n,r) = C(n,n-r) 可将P 变型为P’:nC(n,n)+(n-1)C(n,n-1)+…+2C(n, 2)+C(n,1)P’就等于Q等式2左边是Q+P, 等于2Q等式2左右两边同时除以2, 得到等式3: Q = n2n /2 = n2n-1多项式Q 就是题目中等式的左项, 所以证明题目中等式左右相等第二章 母函数与递推关系1, 设平面内有n 条直线两两相交，且无三线共点。
问这样的n 条直线把平面分割成多少个不重叠的区域？解：设集合{a 0,a 1,…,a n }为本题的解，当有0条线的时候，平面只有一个区域，所以a 0=1，当有1条直线的时候，平面被分为2个区域，当有2条线的时候，平面被分为4个区域，也就是说每增加一条直线，这条直线都会穿过上次每条线所构成的相邻的区域，被穿过区域的个数为(n-1)+1个，即n 个，所以有下面的递推关系：a n = a n-1 + n 初始条件为：a 0=1 a 1=2先求一般解设特征方程：X - 1 = 0 r = 1a’n = A ×1n = A再求特解, 因为1是特征方程的根, 所以设特解a*n = k 0n + k 1n 2, 代入原特征多项式a n – a n-1 = k 0n + k 1n 2 - k 0(n-1) - k 1(n-1)2 = k 0 + 2 k 1n – k 1 = n可得出k 0 = k 1 = 1/2特解为: a*n = n/2 + n 2/2一般解为: a n = A + n/2 + n 2/2当n=0时，有A = 1a n = 1 + n(n+1)/22, 求下列递推关系的一般解：（1）11425,2.n n n a a a -⎧-=⨯⎨=⎩；解: 先求一般解设特征方程：X - 4 = 0 r = 4a ’n = A ×4n再求特解, 因为3是特征方程的根, 所以设特解a*n = p5n , 代入原特征多项式a n – 4a n-1 = p5n – 4p5n-1 = 2×5n当n=1 时, 有5p – 4p = 10 所以p = 10特解为: a*n = 10×5n ,一般解为: a n = A ×4n + 10×5n当n=1时，有2 = 4A + 50，所以A = -12a n = (-12) ×4n + 10×5n（2） 1201693,1, 3.n n n n a a a a a --⎧-+=⎨==⎩。
解: 先求一般解设特征方程：X 2 - 6X + 9 = 0 (X - 3)2 = 0 r 1 = r 2 = 3通解为: a ’n = (A + B*n)3n = 3n再求特解, 因为3是特征方程的重根, 所以设特解a*n = pn 23n , 代入原特征多项式a n – 6a n-1 + 9a n-2 = pn 23n - 6p(n-1) 23n-1 + 9p(n-2) 23n-2 = 3n当n=2时, 有36p – 18p = 9 所以p = 1/2特解为: a*n = n23n/2,一般解为: a n = (A + B*n +n2/2)3n根据a0和a1的值，可列出方程组：A = 13(A + B + 1/2) = 3 可求出B = -1/2一般解为: a n = (1 –n/2 +n2/2)3n3, 求解下列递推关系: (n-1)a n-(n-2)a n-1-2a n-2=0(n 2), a0=0,a1=1.4, 设有2个红球，1个黑球，2个白球，问(1)有多少种不同的选取方法，试加以枚举？(2),从中任取3个，有多少种不同的取法？解: 设红球多项式为1+t+t2, 黑球多项式为1+t, 红球多项式为1+t+t2所以的取球方法可以用多项式(1+t+t2)( 1+t)( 1+t+t2)表示多项式展开=1+3t+5t2+5t3+3t4+t5一共有1+3+5+5+3+1=18种选取方式从中任取3个球的方式有5种5, 用{1, 3,6,8}组成的3和6出现偶数次的4位数的个数是多少?解：根据题目可设指数型母函数为：G e(x) = (1 + x + x2/2! + x3/3! +x4/4!)2×( 1 + x2/2! +x4/4!)2将等式右侧展开，其中x4项为：80×x4/4!即可以组成80个不同的4位数6, 求由直线x+2y=n与坐标轴围成的三角形内(含边界)整点的个数S n第三章 容斥原理与鸽巢原理1,求由1、2、3、4组成的10位数中，1、3、4都至少出现一次的数的个数。
解: 设A1为1不出现的集合, A2为3不出现的集合, A3为4不出现的集合，可求出: 全集个数为|U| = 410每个数字分别不出现的个数为|A1| = |A2| = |A3| = 310分别有2个数字不出现的个数为|A1|∩|A2| = |A1|∩|A3| = |A 2|∩|A 3| = 210分别有3个数字不出现的个数为|A1|∩|A2|∩|A3| = 110题目所求为:|A1|∩|A2|∩|A3|= |A1|U|A2|U|A3|= |U| - C(3,1)×|A1| + C(3,2)×|A1|∩|A2| - |A1|∩|A2|∩|A3|= 410 - 3×310 + 3×210 - 12,求从10到9999的正整数中是n 2是但不是n 3,n 4形式的数的个数解: 从10到9999中一共有9990个正整数, 其中为n 2的数有99-3=96个,n 为4到99,设这个集合为全集,这其中又为n 2的数有9-1=8个,n 为2到9,设这个集合为A1,全集中为n 3的数有4-1=3个,n 为2,3,4,设这个集合为A2, A1中的82=64，A2中的43=64，所以|A1|∩|A2|=1，题目所求为:|U| - |A1|U|A2| = |U| - |A1| - |A2| + |A1|∩|A2| = 96 – 8 – 3 + 1 = 86 (个)3, 设n 为大于1的奇数，证明：在1221,21,,21n --- 中必有一个数能被n 整除.4, 某学者每周上班工作35小时，每天工作的小时数是整数，每天工作时间不少于5小时也不多于8小时。