《线性代数》考研辅导讲义2

《线性代数》考研辅导讲义2

第二部分 矩阵

一.矩阵

矩阵的概念,n 阶矩阵,行矩阵(行向量),列矩阵(列向量),零矩阵O ,负矩阵,同型矩阵,矩阵的相等,单位矩

阵

二.矩阵的基本运算及其性质 1.矩阵的加法与数乘 设

(),()ij m n ij m n A a B b ??==,则()ij ij m n A B a b ?±=±,()ij m n kA ka ?=.

性质: (1)

A B B A +=+ (2)()()A B C A B C ++=++

(3)()A A O +-= (4)A O A +=

(5)1A A ?=

(6)()()()A A A λμλμμλ==

(7)()A A A λμλμ=+ (8)()A B A B λλλ+=+ (9)0A O λλ

=?=或A O = (10)(1)A A -?=-

2.矩阵的乘法与矩阵的幂

设

(),()ij m s ij s n A a B b ??==,则()ij m n C AB c ?==,其中

1

,1,2,,;1,2,,s

ij ik kj k c a b i m j n ====∑L L

【注意】

(1)A 与B 可乘的条件是:左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数;

(2)积矩阵C AB =的行数等于左矩阵A 的行数,列数等于右矩阵B 的列数.

性质: (1)()()AB C

A BC = (2)()()()k A

B kA B A kB == (3)(),()A B

C AC BC C A B CA CB +=++=+

(4)m m n m n n E A A E A ??==

【注意】

(1)

AB BA ≠,从而

22233223()2,()33A B A AB B A B A A B AB B ±≠±+±≠±+± 223322()(),()()A B A B A B A B A B A AB B -≠+-±≠±+m

若AB BA =,则称A 与B 可交换,此时,以上代数公式都成立.

(2)AB O =推不出A O =或B O =;但若AB O =且A 可逆,则B O =.

(3)AB AC =

推不出B C =,当若AB AC =且A 可逆,则B C =.

设A 为n 阶矩阵,则1,k k k A A A A A A k N -=?=?∈L 14243个

.规定:0

,0A E A =≠时.

性质: (1)k

l k l A A A +?= (2)()k l kl A A =

设

A 为n 阶矩阵,10()m m x a x a x a ?=+++L ,则

10()m m A a A a A a E ?=+++L

1122211()k k k k k k k k k k A E A C A C A C A E λλλλλ----+=+++++L

3.矩阵的转置 设

()ij m n A a ?=,则()T ji n m A a ?=.

性质: (1)()T T

A

A = (2)()T T T A

B A B ±=±

(3)()

T

T kA kA = (4)()T T T AB B A = (5)()()T k k T A A =

4.n 阶矩阵A 的行列式

性质: (1)

n n kA k A =;

(2)设,A B 为n 阶矩阵,则AB A B BA =?=,虽然AB BA ≠;

(3)

T A A

=.

【注意】 (1)A B A B

±≠± (2)

kA k A ≠ (3)A A ≠

当

0A ≠时,称A 为非奇异矩阵;否则,称A 为奇异矩阵(即0A =).

三.逆矩阵与伴随矩阵

设

A 为n 阶矩阵,若A

B BA E ==,则称A 可逆,B 是A 的逆矩阵,记为1B A -=.

n 阶矩阵()ij n n A a ?=的伴随矩阵

1121112222*12()()n n T ij ji n n nn A A A A A A A A A A A A ??

? ?

===

?

???

L

L M M M L

其中

(1)i j ij ij A M +=-是A

中元素ij a 的代数余子式.

性质: (1)11

()A

A --= (2)111()kA A k

--=

(3)1

11()

AB B A ---= (4)11()()T T A A --=

(5)

1

1A A -= (6)1

d b a b c a a b c d c d

--?? ?-????= ???

(7)1

A -是惟一的;

(8)

A 可逆0A ?≠,且1*

1A A A

-=; (9)

A 可逆A ?为非奇异矩阵;

(10)

A 可逆??n 阶矩阵

B ,使得AB E =(或BA E =),此时1A B -=.

伴随矩阵的性质: (1)*

*AA

A A A E ==;显然*A 可逆A ?可逆;

(2)*

1*()

n n kA k A -=;

(3)若

0A ≠,则*1*11*1

,()()A A A A A A A

---==

=; (4)

1

*n A A

-=;

(5) 若

0A ≠,则2

**()n A A

A -=;

(6)*

**()AB B A =;

(7)*

*()()T T A

A =;

(8)*

,()()1,()10,()1

n n n n R A n R A R A n R A n =??==-??<-?

当当当.

四.特殊矩阵 1.对角矩阵:12(,,,)n diag λλλΛ=L .对角矩阵的和、差、积、逆仍是对角矩阵,即

设

1212(,,,),(,,,)n n A diag a a a B diag b b b ==L L ,则

(1)1122(,,,)n n A B

diag a b a b a b ±=±±±L ;

(2)1122(,,,)n n AB diag a b a b a b =L ;

(3)12(,,,),k

k k k

n A diag a a a k N =∈L ;

(4)1

1111212(,,,),,,,n n A

diag a a a a a a ----=L L 全不为零.

2.数量矩阵(纯量矩阵):(,,,)kE diag k k k =L .在矩阵的运算中与数的运算完全相同.

3.三角矩阵:包括上、下三角矩阵.上(下)三角矩阵的和、差、积仍是上(下)三角矩阵.

4.对称矩阵:T A A =.有,,1,2,,.T ij ji A A a a i j n =?==L

若

,A B 为实对称矩阵,则1*,,,,T A B kA A A A -±都是对称矩阵.但

AB 为对称矩阵AB BA ?=.

5.反对称矩阵:

T A A =-,有,,1,2,,.T ij ji A A a a i j n =-?=-=L 从而若A 为反对称矩阵,则

0,1,2,,.ii a i n ==L 任何一个矩阵可以表示为对称矩阵与反对称矩阵之和,即

22

T T

A A A A A +-=+

.

6.正交矩阵:1T T T AA A A E A A -==?=.

(1)

1A =±;

(2)若AB 为n 阶正交矩阵,则1,,T A A AB -也是正交矩阵,但(1)kA k ≠±不是正交矩阵;

(3)

A 为正交矩阵A ?的行(或列)向量组为两两正交且单位化的向量组.

五.矩阵的初等变换与初等矩阵 1.矩阵的初等行(列)变换 行阶梯形矩阵、行最简形矩阵.

任一矩阵总可以经过有限次初等行变换变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.

典型例题

一.行矩阵（向量）与列矩阵（向量）的乘积 例1 设()()

1

212,T

n n A a a a B b b b =

=L

L ,求AB 与BA .

解

111212122

21

12,n n n i i i n n n n b a b a b a b a b a

b a AB a b BA b a b a b a =??

? ?

== ?

???

∑L L L L L L L

. 二.求k A 的方法

1.用

k A 的归纳定义计算:1k k A A A -=?.

例2 设101020101A ?? ?= ? ???

,则1

2n n A A --=.

解方法一:2

3222112,22,,22n n n n A A A A A A A A A A A O --==?===?-=L .

方法二:

22A A =,则1222(2)n n n A A A A A O ---=-=.

2.由0

()

k

k

i i k i k i A B C A B -=+=∑计算

要求:A 与B 可交换(即

AB BA =),且i A 容易计算而()j B O j k ==.

例3 设101010001A ?? ?= ? ???

,求n

A .

解方法一:2310210310010,010,,010*********n

n A A A ?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????

L .

方法二:注意A 是初等矩阵,即将E 的第三行加到第一行,所以

10010001n n n A A E AA AE ??

?

=== ? ???

L .

方法三:000000A E E B ?

=+=+ ? ???

,则

011222

()n n n n n n n n A E B C E C E B C E B --=+=+++L

又2

B O =,所以10010001n n A E nB ??

?=+= ? ???

.

3.

T A αβ=或A 能分解成此形状,其中,αβ

为n 维列向量

()()()()()k T k T T T T A αβαβαβαβαβ==L

11()()()()()()T T T T T k T T k A αβαβαβαββααββα--===L .

例4 设1112

12122

212

n n n n n n b a b a b a b a b a b a A b a b a b a ??

?

?= ?

???

L L L L L L L

,求k

A . 解()12

12T

n n b b A a a a b αβ?? ? ?== ? ???

L

M ,则11

()n

k

k i i i A a b A -==∑.

4.设

AP PB =或1P AP B -=或 A 能对角化,则11()k k A PBP PB P --==.

例5 设AP PB =,其中100(1,0,1),210211B diag P ?? ?=-=- ? ???,求A 及5

A .

解11

100100200,(210)611411A PBP P --????

? ?===- ? ? ? ?---????

, 5A 511PB P PBP A --===.

例6 设100200,611A ?? ?= ? ?--??

求k

A .

解方法一:

23200,,211A A A ?

== ? ?-??

所以2122,k k A A A A +==.

方法二:

(1)(1)A E λλλλ-=-+,则A 的特征值1230,1,1λλλ===-,则A 能对角化,且

1(0,1,1)P AP diag -=Λ=-,

其中

010120121P ?? ?=- ?

???

.由

1

A P P -=Λ,则

11

01(1)k k k A P P P P

--??

?=Λ= ? ?-??

,(其中

1210100411P --??

?= ? ?-??

).

5.若12

s A O A A O

A ??

?

?= ?

???O

,则12

k

k

k k s A O A A O A ?? ?

?= ? ? ??

?

O

. 例7 设1

000

10000000

010A λ??

?

?= ?

?

??

,求k

A .

解1

2A O A O A ??=

???,其中12100,0110A A λ????== ? ?????,则12k k

k A O A O A ??

= ???

. 12100,,(2)0100k k k A A k λ????==≥ ? ?????

,则1000100000000

00k k A λ

??

? ?

= ?

???

.

三.求1A -及解矩阵方程 1. 求

1A -

(1)*1

A A A

-=; (2)1

(|)(|)r A E E A -→;

(3)如果

()0()()f A A kE g A E A kE =?+=?+可逆,且1()()A kE g A -+=;

(4)分块求逆:

若12

s A O A A O

A ?? ?

?= ?

???O

,则1

11

12

1s A O A A O A ----?? ?

?= ? ? ??

?O

;

若12

s

O

A A A A O ?? ?

?= ? ???N ,则1111

1

1

s s O

A A A A O -----?? ?

?= ? ? ???

N . 例8 设300140003A ??

?= ? ???

,求1

(2)A E --.

解方法一:1002120001A E ??

?

-= ? ?

??

,则1001

0011

(2|)010*********r A E E ??

? ?-→- ? ??

?

M M M ,所以 1

(2)A E --10011

022001??

? ?=-

? ??

?

. 方法二:

1

22A O A E O A ??-=

???

,其中

()1210,112A A ??== ???

.而11

121

0,(1)1122A A --?? ?== ?-??

,则

1

(2)A E --1

112A O O

A --??=

???1001

1

022001??

? ?=- ? ??

?

. 例9 设n 阶矩阵A 满足2

6323650A

A E --=,求17

()9A E -+.

解 由条件得:7

(97)(78)9()(78)9

A E A E E A E A E E +-=?+-=,所以

17

()(78)9

A E A E -+=-.

例10 设1000120004500067A ?? ?-

?= ?- ?-??

,且1()()B E A E A -=+-,求1()E B -+.

解1()()()()2E B

E E A E A E A E B E -+=++-?++=,则

1()E B -+1000120002202

003

4E A

??

?-+

?== ?-

?-??

. 例11 设1

1,,,A B A B A B --++为n 阶可逆矩阵,则111()A B ---+等于( )

(A)

11A B --+ (B)A B + (C)1()A A B B -+ (D)1()A B -+

解 方法一:

1111111111()[()][()]()A B B BA E B B A A A A B B ----------+=+=+=+.

方法二:1

1111()[()]()()A

B A A B B E B A A B B -----++=++

11()()B B A A B B E --=++=.

例12 设,A B 为n 阶矩阵,且A B AB +=,证明:A E -与B E -均可逆,且AB BA =.

证

()()()A B AB A E E A B E A E B E E +=?-+-=-?--=,所以A E -与B E -均可

逆.

()()()()A E B E E B E A E E BA A B --=?--=?=+,则AB BA =.

2.解矩阵方程

将给定矩阵方程化成标准形式:(1)AX

C =;(2)XB C =;(3)AXB C =,解得X .

特别要注意的是:若已知A 且在给定方程中含有1

A -及

*A ,运用

11AA A A E --==及**AA A A A E ==

先化简,再解矩阵方程.

例13 若X 满足1*1

X A X A A --+=+,其中001020101A ?? ?= ? ???

,求X .

解

AX X A E E +=+,即()A E X E +=-,所以1

20

11()003101X A E --?? ?

?=-+=-

? ?-??

. 四.与

*A 有关的问题

例14 设121221

31334311

21A ??

?

?= ?

?-??

,求*

A .

解**()

2()0R A R A A O =?=?=.

例15 设0100002

00001000A n n ??

? ? ?=

?- ? ??

?

L L L L L

L L L L

,求11

n n

ij i j A ==∑∑.

解

11

100

10001

(1)!00

0021

00

01n n A n A n --?

?

? ?

?

?

=-≠?= ? ?

?

?

? ?-?

?L

L L L L L L L L

,由*1A A A -=,得

1

111

111(1)(1)!2n

n

n

n ij

i j i A A n n i -====+++=-∑∑∑. 例16 设100220345A ?? ?= ? ???

,则*1

()A -=.

解*1

()10

A A A

A -=

=. 例17 设12

A =

,则**

(2)A =. 解2

**

1**1(2)2()22n n n A

A A

A A ---===.

例18 设,A B 为n 阶矩阵,

2,3A B ==-,则*12A B -=.

解

1

*1*11222n n n A B A B A B

---=??=??

.

例19 设A 为n 阶非零矩阵,且*T A A =,证明:A 为正交矩阵.

证

2

2

2

*(1)0n

n T AA A E AA A E A A A A

-=?=?=?-=.又A O ≠,不妨设A 的第一

行的元素不全为零,由

T AA A E

=得

22

2111210

n A a a a =+++>L ,所以

1

A =,则

T AA A E E ==,即A 为正交矩阵.

例20 设1111121113A -??

?= ? ???

,求*1

()A -.

解*1

111521()()220101A A A A A ------?? ?===- ? ?

-??

. 五.与()R A 有关的问题

例21 求1

11

10

112343

517b A a ?? ?

-

?

= ? ?

??的秩. 解

11

1

1

01100120

0042r b A a b b ?? ?

-

?

→ ?-- ?

-??

,则 当1,2a b ≠≠时,()4R A =; 当1,2a b ≠=时,()3R A =; 当1,2a b =≠时, ()3R A =;

当1,2a

b ==时,()2R A =.

例22 证明:2

**

()n A A

A -=.

证 (1)若A 可逆,则1

2

*

1****1()()n n A A A A A A A A

A A A

----=?==?

=;

(2) 若A 不可逆,则2

*

****()()1(())()n R A n R A

R A O A O A

A -

例23 设m s s n A B O ??=,证明:()()R A R B s +≤.

证()()()1

21

2,n n B b b b AB Ab Ab Ab O O O =

==L

L

L

,则

,1,2,,j Ab O j n ==L

即12n b b b L 为1m s s A X O ??=的解,可由1m s s A X O ??=的基础解系线性表示,所以

12()(,,,)()n R B R b b b s R A =≤-L

即()()R A R B s +≤. 例24 设n 阶矩阵A 满足2A E =,证明:()()R A E R A E n ++-=.

分析()()R A R B n +=

(1)()(),

(2)()()()()(),0R A R B n AB O R A R B n R A R B R KE n k +≤?=???

+≥?+≥=≠?

证 (1)2()()()()A E A E A E O R A E R A E n +-=-=?++-≤;

(2)()()()()(2)R A E R A E R A E R E A R E n ++-=++-≥=.

例25 秩为r 的矩阵可表示为r 个秩为1的矩阵之和. 证 设()R A r =,则存在可逆矩阵P 和Q ,使得

12r

r E O PAQ A A A O O ??

==+++ ???

L 其中0

,1,2,,10j A j j r ??

? ?

?=←= ? ? ??

?

O

L O

第行.则 111111121()r r A P A A A Q P A Q P A Q ------=+++=++L L

且1

1()()1j j R P

A Q R A --==.

例26 设

A 为m n ?矩阵,

B 是A 的前s 行构成的s n ?矩阵,若()R A r =,证明:

()R B r s m ≥+-.

证方法一:

B B O A

C O C ??????==+ ? ? ???????

,则

()()()()B O r R A R R R B R C R B m s O C ????

=≤+=+≤+- ? ?????

,

所以()R B r s m ≥+-.

方法二:由(1)1()1()()m n m n

n B A R A R B R A C -?????

=?-≤≤ ???

,得 ()()()R B R A m s r s m ≥--=+-.

六.与初等矩阵有关的问题

例27 设

1413121124

2322214413433323144

43

42

4100010100(),,,00101000ij a a a a a

a a a A a B P a a a a a a a a ????? ? ? ? ?

=== ? ?

? ?

????210

00001001000001P ??

?

?

= ? ???

, 其中A 可逆,则1

B -=( )

(A)

112A P P - (B)112P A P - (C)112P P A - (D)1

21P A P -

解11111211212B

AP P B P P A PP A -----=?==.

七.与分块矩阵有关的问题

例28 设A 为n 阶矩阵,α为n 维列向量,b 为常数.令

*

,T T E O A P Q A A b ααα

????

== ? ?-??

??

(1)计算并化简PQ ; (2)证明:Q 可逆T

A b α

α?≠.

解 (1)1

()T T A PQ

O A b A ααα-??

= ?-??

; (2)

2

11(),()T T P Q PQ A b A P A Q A b A αααα--?==-=?=-,则

Q 可逆1110()00T T T Q A b A b A A b αααααα---?≠?-≠?-≠?≠.

例29 设,A B 为n 阶矩阵,证明:

E B

E AB E BA A E

=-=-.

证 (1)E O E B E

B A E A E O E AB ??????=

??? ?--??????

,则

E

O E B E B E AB

A E A E O E AB

?==---.

(2)E B E B E BA O E B E BA O E A E A

E A E --??????

=?=-

??? ?

??????. 或

2(1)(1)n n

E

B

B E E

A

E AB E BA A E

E

A

B E

-=

=-=-=-.

例30 设B 为r 阶可逆矩阵,C 为s 阶可逆矩阵,证明:

B D A O

C ??

= ???

为r s +可逆矩阵,且

1111

1

B B D

C A O C -----??-= ???

. 证方法一:1111

B D E O B B D

C E O C O E O C ----??-????

== ? ? ?????

??,则结论成立. 方法二:

0B D

A B C O C =

=?≠,则A 可逆.设11

12121

22X X A X X -??= ???

,由1

AA E -=,得 11122122r

s E O X X B D O E X X O C ??????= ? ? ???????

, 即112112221111111221222122,,,,,,,

BX DX E BX DX O X B X B DC X O X C CX O CX E ----+=??+=??==-==?=??=?. 例31 设A 可逆,且A 的每行元素之和均为a ,证明:

(1)0a ≠; (2)1

A -的每行元素之和等于1a

.

证 (1)

00A a B a =≠?≠.

(2)1121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n A A E e e e αααβββ-===L

L L ,由1A A E -=,得

11,1,2,,j j A A E A e j n α--=?==L .又12(,,,)T n a a a ααα+++=L L ,则

11111212111n n a a A A A A e e e a ααα----???? ? ? ? ?=+++=+++= ? ? ? ?????

L L M M

即()12111n a a a βββ???? ? ? ? ?= ? ? ? ?????L

M M ,则1211

()1n a βββ?? ? ?+++= ? ???L M ,所以 12111

(,,,)T n a a a

βββ+++=L L .