解析解析几何中定点定值问题

1. 已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2

，短轴长为

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是

椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．

求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．

解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则

22222,2,c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩ 解得

2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆C 的标准方程为 22

143

x y +=． ………………… 4分 （Ⅱ）由方程组22143x y y kx m

⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得

()2223484120k x kmx m +++-=． ………………… 6分 由题意△()()()22284344120km k

m =-+->， 整理得：22340k m +-> ① ………………7分

设()()1122,,M x y N x y 、，则

122

834km x x k +=-+， 212241234m x x k -=+ ． ………………… 8分 由已知，AM AN ⊥， 且椭圆的右顶点为A (2,0)，

∴ ()()1212220x x y y --+=． ………………… 10分

即 ()()()221212

1240k x x km x x m ++-+++=， 也即 ()()22222412812403434m km k km m k k

--+⋅+-⋅++=++， 整理得2271640m mk k ++=．

解得2m k =- 或 27

k m =-，均满足① ……………………… 11分

当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去； 当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝

⎭，过定点2(,0)7， 故直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7． ……………………… 13分

2. 在直角坐标系xOy 中，点M 到F 1(3,0)-、F 2(3,0)的距离之和是4，点M 的轨迹C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线l ：y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．

（1）求轨迹C 的方程；

（2）当0AP AQ ⋅=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．

解：（1）∵点M 到(3,0)-，(3,0)的距离之和是4，

∴M 的轨迹C 是长轴长为4，焦点在x 轴上焦距为23的椭圆，

其方程为 2

214

x y +=．………………………………………………………3分 （2）将y kx b =+，代入曲线C 的方程，

整理得

222(14)8440k x kbx b +++-=，………………………

……………5分

因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，

所以222222

644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+>． ①

设1122()()P x y Q x y ，，，，则 122814kb x x k

+=-+， 21224414b x x k -=+． ② ……………………………………7分

且 2212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++． ③

显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点(2,0)A -，

所以11(2,)AP x y =+u u u r ，22(2,)AQ x y =+u u u r ，

由0AP AQ ⋅=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=．

将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=，………………………10分 所以(2)(65)0k b k b --=，即2b k =或65b k =

．经检验，都符合条件①． 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．

显然，此时直线l 经过定点(2,0)-点．即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为65()56y kx k k x =+=+．显然，此时直线l 经过定点6(,0)5

-点，且不过点A ． 综上，k 与b 的关系是：65b k =

，且直线l 经过定点6(,0)5-点．…………13分 3. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为12

，以原点为圆心，椭圆的短半轴

为半径的圆与直线0x y -+=相切．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆

C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值

范围．

解：（Ⅰ）由题意知12c e a =

=， 所以22222214

c a b e a a -===． 即2243

a b =．

又因为b =

= 所以24a =，23b =．

故椭圆C 的方程为22

143

x y +=．…………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 由22(4),1.4

3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(43)3264120k x k x k +-+-=． ① …………………………………………6分

设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．

直线AE 的方程为212221

()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221

()y x x x x y y -=-+． 将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入， 整理，得12121224()8

x x x x x x x -+=+-． ② 由①得 21223243k x x k +=+，2122641243

k x x k -=+代入② 整理，得1x =．

所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ．……………………………………9分 （Ⅲ）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且

(,)M M M x y ，(,)N N N x y 在椭圆C 上． 由22(1),1.4

3y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(43)84120m x m x m +-+-=． 易知0∆>． 所以22843M N m x x m +=+，2241243M N m x x m -=+， 2

2943

M N m y y m =-+． 则M N M N OM ON x x y y ⋅=+u u u u r u u u r 2225125334344(43)

m m m +=-=--++．