数学模型--投掷标枪

数学建模课程设计报告

标枪投掷模型

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2014年7月16日

1 绪论

1.1 课题的背景

标枪是田径运动的投掷项目之一，对核心力量与大腿手臂力量要求严格，但是实际上，标球运动并不是一项只靠身体素质就能取得好成绩的运动，除了与选手的比赛状态有关

外，还与选手所采用的技术有关。而本次我们就来研究一下在确定的力量与身高下求最佳

的出手角度。进而再研究通过一定的训练使力量增加，研究力量与出手角度和距离的关系。

建立标枪掷远模型。不考虑阻力，设标枪初速度为，出手高度为h，出手角度为（与地面夹角），建立投掷距离与，h，的关系式，计算在确定的，h下，计算最佳出手角度，进而研究出手速度与出手角度的关系。

1.2 预备知识

上述问题是最优化问题，首先应该考虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间

的关系，这个需要用到一定的物理知识：抛体运动的水平位移和竖直位移的计算方法。在

得到这个关系后，进而转化为初速度、出手高度一定的情况下，求解最佳出手角度。

2 计算机工具简介

MATLAB具有非常丰富的图像表达功能，它提供了丰富的作图命令，利用它们可以容易

地画出各种函数的二维或三维曲线图形，可以方便地实现数学计算的结果可视化，从中掌

握函数的性质和变化趋势，从而求出模型的最优解。本模型将首先计算出虑投掷距离与初

速度、出手高度和出手角度之间的函数关系式，接着在初速度、出手高度一定的情况下，

找出投掷距离与出手角度之间的关系。然后给出一组具体的初速度和出手高度，利用

MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。再对出手角度与出手速度都未知求它们与最远距离的关系，以及出手角度

与出手速度的对最远距离的影响关系。

3 模型的假设

3.1 模型假设

(1) 标枪运行的过程中没有任何阻力；

(2) 可以将标枪看作一个质点；

(3) 投射角度与投射初速度是两个相互独立的量；

(4) 设当地的重力加速度为g，且取值为9.8m/s ，并在投掷的任意点都相等；

(5) 标枪运动轨迹在同一平面内，且地面处处水平。

(6) 不考虑标枪的旋转。

3.2 符号说明

：标枪初速度；

v ：在水平方向上的分量；

x

v ：在竖直方向上的分量；

y

g ：重力加速度；

h：投射高度；

：出手角度；

t ：标枪运行的时间；

x ：标枪在水平方向的位移（即为投掷距离）；

y ：标枪在竖直方向的位移。

4 模型的建立与求解

一、在确定的，h下计算最佳出手角度

由题目所示，再根据物理知识可得，标枪投掷轨迹为一抛物线，且初速度和出手高度h一定，因此可以建立一个平面直角坐标系，分别对水平和竖直两个方向进行分析，标

枪投掷出去后，它在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向受重力影响作竖直上抛运动，

加速度为g 。所以标枪的运动轨迹为两个运动的叠加，图像如图 1 所示。

y

h

x

图4.1 标枪投掷轨迹图

出手时的速度可以分解为：

水平方向：x cos

垂直方向：y sin

则有水平位移和竖直位移分别为：

x cos t

1

y h sin t gt

2

2

消去t ，有

g

2

y x tan

2 2

2 cos

x h 令方程中的y 为0，有：

x 1 2 2 2 2 sin 2 sin 2 2 h c os

2

( )

2g 2g g

x 2 2 2 2 2 sin 2 sin 2 2 h c os

2

( )

2g 2g g

舍去负根，有：

x 2 2 2 2 sin 2 sin 2 2 h cos

2

( )

2g 2g g

取h=1.8m, =10m/s，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图。

a = [0:0.01:1.57]

x = (25.*sin(2*a))./19.6 + sqrt(((25.*sin(2*a))./19.6).*((25.*sin(2*a))./19.6)

+ (360.*(cos(a)).*(cos(a)))./9.8)

plot(a, x)

title(' 标枪投掷距离与出手角度的关系')

xlabel(' 出手角度')

ylabel(' 投掷距离')

grid

标准文案

实用文档

图4.2 标枪投掷距离与出手角度的关系图

由图可知，最大值的坐标为（0.40, 6.50 ）。

二、研究不同的出手速度下最佳的出手角度

当v 和h一定时，研究v 的变化对出手角度的影响。x 便为关于的函数，即：

2 2 2 2

sin 2 sin 2 2 hcos

2

x( ) ( )

2g 2g g

则x 对求一阶导数为：

x

1 2 4 2 2 2 2 2 cos2 1 v sin 2 cos2 2v hsin 2 sin 2 2 h cos

2

( ) ( ) ( )

2

g 2 g g 2g g

令x ( ) 0 ，有：

4 4 2 2 3 2 2 4 2 2

15 cos 2 (4gh 16gh )cos 2 ( 4g h 15 16gh )cos 2

2 2 2

4gh cos2 4g h 0

解得：

1

= arccos 2

gh

2 gh v

所以在给定出手高度，对于不同的出手速度，

1

= arccos

2

gh

2

gh v

为最佳出手角度。