数学模型投掷标枪

数学模型投掷标枪
Last revised by LE LE in 2021
数学建模课程设计报告
标枪投掷模型
学 院
专 业
学 号
姓 名
指导教师
成 绩
教师评语：
指导教师签字：

2014年7月16日

1 绪 论
课题的背景
标枪是的投掷项目之一，对核心力量与大腿手臂力量要求严格，但是实际上，标球
运动并不是一项只靠身体素质就能取得好成绩的运动，除了与选手的比赛状态有关外，
还与选手所采用的技术有关。而本次我们就来研究一下在确定的力量与身高下求最佳的
出手角度。进而再研究通过一定的训练使力量增加，研究力量与出手角度和距离的关
系。
建立标枪掷远模型。不考虑阻力，设标枪初速度为，出手高度为h，出手角度为

（与地面夹角），建立投掷距离与，h，的关系式，计算在确定的，h下，计算最
佳出手角度，进而研究出手速度与出手角度的关系。

预备知识
上述问题是最优化问题，首先应该考虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之
间的关系，这个需要用到一定的物理知识：抛体运动的水平位移和竖直位移的计算方
法。在得到这个关系后，进而转化为初速度、出手高度一定的情况下，求解最佳出手角
度。

2 计算机工具简介
MATLAB具有非常丰富的图像表达功能，它提供了丰富的作图命令，利用它们可以容
易地画出各种函数的二维或三维曲线图形，可以方便地实现数学计算的结果可视化，从
中掌握函数的性质和变化趋势，从而求出模型的最优解。本模型将首先计算出虑投掷距
离与初速度、出手高度和出手角度之间的函数关系式，接着在初速度、出手高度一定的
情况下，找出投掷距离与出手角度之间的关系。然后给出一组具体的初速度和出手高
度，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变
化趋势，最终求出最优解。再对出手角度与出手速度都未知求它们与最远距离的关系，
以及出手角度与出手速度的对最远距离的影响关系。

3 模型的假设
模型假设
(1)标枪运行的过程中没有任何阻力；
(2)可以将标枪看作一个质点；
(3)投射角度与投射初速度是两个相互独立的量；
(4)设当地的重力加速度为g，且取值为s，并在投掷的任意点都相等；
(5)标枪运动轨迹在同一平面内，且地面处处水平。
(6)不考虑标枪的旋转。

符号说明
：标枪初速度；
xv：在水平方向上的分量；

y
v
：在竖直方向上的分量；

g
：重力加速度；
h：投射高度；

：出手角度；

t
：标枪运行的时间；
x
：标枪在水平方向的位移（即为投掷距离）；
y
：标枪在竖直方向的位移。

4 模型的建立与求解
一、 在确定的，h下计算最佳出手角度
由题目所示，再根据物理知识可得，标枪投掷轨迹为一抛物线，且初速度和出手高
度h一定，因此可以建立一个平面直角坐标系，分别对水平和竖直两个方向进行分析，标
枪投掷出去后，它在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向受重力影响作竖直上抛运
动，加速度为g。所以标枪的运动轨迹为两个运动的叠加，图像如图1所示。

图 标枪投掷轨迹图
出手时的速度可以分解为：
水平方向：cosx
垂直方向：siny
则有水平位移和竖直位移分别为：
消去t，有
令方程中的y为0，有：
舍去负根，有：
取h=, =10m/s，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图。
a = [0::]
x = (25.*sin(2*a))./ + sqrt(((25.*sin(2*a))./.*((25.*sin(2*a))./ +
(360.*(cos(a)).*(cos(a)))./
plot(a, x)
title('标枪投掷距离与出手角度的关系')
xlabel('出手角度')
ylabel('投掷距离')
grid
结果如图所示：
图 标枪投掷距离与出手角度的关系图
由图可知，最大值的坐标为（, ）。

二、 研究不同的出手速度下最佳的出手角度

当v和h一定时，研究v的变化对出手角度的影响。x便为关于的函数，即：
则x对求一阶导数为：
令()0x，有：
解得：

所以在给定出手高度，对于不同的出手速度，21=arccos2ghghv为最佳出手角度。
将上式代入
中，得：
Matlab命令：
1.在给定出手速度v下要达到最大射程时对应的角度
函数文件：
function f=fun_sv(v)
f=*acos**+v*v))/pi*180;
绘出图像：
fplot('fun_sv',[0,100]);
xlabel('速度V m/s');
ylabel('角度');
title('v不同得到最大投掷距离时对应的角度曲线 ');
axis([0 50 0 60]);
结果如图所示：
图 出手速度不同时得到最大投掷距离对应的角度曲线

5 模型结果
模型的评价
标枪的投掷模型在运动员训练比赛中经常能够遇到，在运动员身体条件大致相当的
情况下，该模型具有一定的参考价值结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好
的通用性和推广性，而且模型的最终计算方法简便，计算过程简单，最终得到结果与理
论基本相符。但是由于条件限制，本模型考虑得是标枪在没有任何阻力的情况下，而实
际情况中都会有一定的阻力。此外，标枪投掷的距离由很多因素决定，重力加速度也会
随地域的不同而变化。我们建立的模型只是简单地研究了这个问题，比起实际问题的复
杂程度，有很多因素没有考虑到。
模型的推广
本模型不仅可以用于标枪投掷问题，还可以推广到其他运动中。运用该模型的目的
就是确定出手角度和最大投掷距离。此外，还可以根据此来引导运动员的一些运动习
惯，从而在训练和比赛中队运动员和教练有一定的理论指导意义。

结 论
标枪运动作为一个传统的比赛项目，对增强体质，特别是发展躯干和上下肢力量有
显着的作用。如何能够在比赛中取得更好的成绩，是个困扰很多运动员和教练的问题。
因此，能够通过数学模型的知识解决这个问题是很有意义的。
本模型首先建立了铅球投掷的轨迹图，然后根据物理知识，把该运动分为水平和竖直
两个方向来考虑，计算出虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的函数关系
式，接着在初速度、出手高度一定的情况下，找出投掷距离与出手角度之间的关系。然
后给出一组具体的初速度和出手高度，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度
的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。
得到结论是：在h=, =10m/s时，出手的角度约为（约为23度），投掷距离约为。

当出手角度为21=arccos2ghghv时，标枪投得最远。由图得，不同的出手速度对应
不同的最佳角度，速度不断增加的时候，角度趋于45°。根据不同运动员的具体情况可
从图中确定最佳出手角度。

参考文献
[1] 冯杰, 黄力伟, 王勤, 易成义. 数学建模原理与案例[M]. 北京: 科学出版社, 2007:
222-226.
[2] 姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学模型 ( 第三版 ) [M]. 北京: 高等教育出版社, :
135-153, 248-262, 358-375.