最新)概率常考题型解析

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【新高考数学专题】概率统计常考的六种题型总结

概率统计常考的六种题型总结题型一概率统计的交汇例1.甲、乙两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是（）A．甲、乙两人的各科成绩的平均分相同B．甲成绩的中位数是83，乙成绩的中位数是85C．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D．甲成绩的众数是89，乙成绩的众数是87【答案】ABC【解析】对于选项A，甲成绩的平均数1743 =(687477838384899293)=99x⨯++++++++甲，乙成绩的平均数1743(646674768587989895)99x=⨯++++++++=乙，所以选项A是正确的；对于选项B，由茎叶图知甲成绩的中位数是83，乙成绩的中位数是85，故选项B正确；对于选项C，由茎叶图知甲的数据相对集中，乙的数据相对分散，故甲的各科成绩比乙的各科成绩稳定，故选项C正确；对于选项D，甲成绩的众数是83，乙成绩的众数是98，故选项D错误.故选ABC.练习1．（多选）以下对各事件发生的概率判断正确的是（）.A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是1 3B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如835=+，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为1 15C．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字l，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是5 36D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12【答案】BCD【解析】对于A ，画树形图如下：从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P （甲获胜）13=，P （乙获胜）13=，故玩一局甲不输的概率是23，故A 错误；对于B ，不超过14的素数有2，3，5，7，11，13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115，故B 正确；对于C ，基本事件总共有6636⨯=种情况，其中点数之和是6的有15（，），24（，），33（，），42（，），51（，），共5种情况，则所求概率是536，故C 正确；对于D ，记三件正品为1A ，2A ，3A ，一件次品为B ，任取两件产品的所有可能为12A A ，13A A ，1A B ，23A A ，2A B ，3A B ，共6种，其中两件都是正品的有12A A ，13A A ，23A A ，共3种，则所求概率为3162P ==，故D 正确.故选BCD.练习2．在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为)[4050，，)[5060，，)[6070，，)[7080，，)[8090，，[90]100，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（）A ．成绩在)[7080，的考生人数最多 B ．不及格的考生人数为1000 C ．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D ．考生竞赛成绩的中位数为75分【答案】ABC【解析】由频率分布直方图可得，成绩在[7080，）的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；成绩在[4060，）的频率为0.01100.015100.25⨯+⨯=，因此，不及格的人数为40000.251000⨯=，故B正确；考生竞赛成绩的平均分约为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；因为成绩在[4070，）的频率为0.45，在[7080，）的频率为0.3，所以中位数为0.05701071.670.3+⨯≈，故D 错误. 故选：ABC.高中数学资料共享群（734924357）题型二解答题与数列的交汇例2.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试。

高考数学概率与统计题型解析与答题技巧

高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。

对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。

下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。

一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。

它的特点是试验结果有限且等可能。

例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。

答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。

然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。

2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。

常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。

比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。

答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。

例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。

然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。

3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。

题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。

答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。

4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。

答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。

二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。

古典概型、概率的基本性质【八大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)2025年新高考数学一轮复习

古典概型、概率的基本性质【八大题型】【题型1 古典概型】................................................................................................................................................3【题型2 有放回与无放回问题的概率】................................................................................................................4【题型3 概率基本性质的应用】............................................................................................................................6【题型4 几何概型】................................................................................................................................................7【题型5 古典概型与函数的交汇问题】..............................................................................................................10【题型6 古典概型与向量的交汇问题】..............................................................................................................12【题型7 古典概型与数列的交汇问题】..............................................................................................................14【题型8 古典概型与统计综合】.. (16)1、古典概型、概率的基本性质【知识点1 古典概型及其解题策略】1．古典概型(1)事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.(2)古典概型的定义我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.(3)古典概型的判断标准一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.下列三类试验都不是古典概型：①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.2．古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.3．求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.(3)排列组合法：再求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识进行求解.4．古典概型与统计结合有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.【知识点2 概率的基本性质】1．概率的基本性质(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.【方法技巧与总结】1．概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=，即A,B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0.【题型1 古典概型】【例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为（）A．25B．35C．110D．310【解题思路】利用列举法结合古典概型分析求解.【解答过程】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，总共包含{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}，{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}这10个基本事件，抽到的2张卡片上的数都是奇数包含其中{1,3},{1,5},{3,5}这3个基本事件，所以抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为310.故选：D.【变式1-1】（2024·内蒙古包头·三模）将2个a和3个b随机排成一行，则2个a不相邻的概率为（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7【解题思路】求出所有的样本点，然后由古典概型的概率公式求解即可.【解答过程】2个a和3个b随机排成一行的样本空间为:Ω={aabbb,ababb,abbab,abbba,baabb,babab,babba,bbaab,bbaba,bbbaa}，共10个样本点，其中2个a不相邻的样本点有ababb,abbab,abbba,babab,babba,bbaba，共6个，所以所求概率为：P=610=35=0.6.故选：C.【变式1-2】（2024·西藏拉萨·二模）从3,4,5,6,7这5个数字中任取3个，则取出的3个数字的和为大于10的偶数的概率是（）A．23B．34C．25D．35【解题思路】列举所有的基本事件，再找到满足和为偶数的基本事件，根据概率公式计算即可.【解答过程】从3,4,5,6,7这5个数字中任取3个，有10种不同的结果：(3,4,5),(3,4,6),(3,4,7),(3,5,6),(3,5,7),(3,6,7),(4,5,6),(4,5,7),(4,6,7),(5,6,7)，其中取出3个数字的和为大于10的偶数的结果有6个：(3,4,5),(3,4,7),(3,5,6),(3,6,7),(4,5,7),(5,6,7)，所以所求概率P=610=35.故选：D.【变式1-3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中2个红球、1个白球、2）A．110B．15C．310D．25【解题思路】列出所有可能情况种数及对应颜色为一白一黑的情况种数计算即可得.【解答过程】设这五个球中白球为a，红球分别为b1、b2，黑球分别为c1、c2，则从袋中任取两球，有ab1、ab2、ac1、ac2、b1b2、b1c1、b1c2、b2c1、b2c2、c1c2共十种可能，其中一白一黑有ac1、ac2共两种可能，所以一白一黑的概率P=210=15．故选：B.【题型2 有放回与无放回问题的概率】【例2】（2024·全国·模拟预测）盒中装有1，2，3，4四个标号的小球．小明在盒中随机抽取两次（不放回），则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为（）4236【解题思路】由古典概率公式求解．【解答过程】由于抽取两次是不放回的，且盒子里有2个奇数球，2个偶数球，则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为：24×13=16，故选：D.【变式2-1】（23-24高三上·贵州·阶段练习）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为（）A ．15B ．13C ．25D ．23【解题思路】利用列举法，根据古典概型概率公式即得．【解答过程】从6张卡片中无放回抽取2张，共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15种结果，其中数字之和为3的倍数的有（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共5种结果，故抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为515=13.故选：B.【变式2-2】（23-24高二下··阶段练习）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A ．110B ．15C ．310D ．25【解题思路】利用古典概型概率公式即可求得抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率.【解答过程】记“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”为事件A ，则事件A 共包含以下10种情况：(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)，而有放回的连续抽取2张卡片共有5×5=25（种）不同情况，则P(A)=1025=25故选：D.【变式2-3】（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）从分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为（）5535【解题思路】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．【解答过程】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种取法，其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，共9种情况，则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率P =915=35；故选：A ．【题型3 概率基本性质的应用】【例3】（2024·全国·模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为215，“两个球都是白球”的概率为13，则“两个球颜色不同”的概率为（）A ．415B ．715C ．815D ．1115【解题思路】设“两个球都是红球”为事件A ，“两个球都是白球”为事件B ，“两个球颜色不同”为事件C ，则A ，B ，C 两两互斥，C =A ∪B ，再根据对立事件及互斥事件概率公式，即可求解.【解答过程】设“两个球都是红球”为事件A ，“两个球都是白球”为事件B ，“两个球颜色不同”为事件C ，则P (A )=215，P (B )=13，且C =A ∪B .因为A ，B ，C 两两互斥，所以P (C )=1―=1―P (A ∪B )=1―[P (A )+P (B )]=1―215―13=815.故选：C.【变式3-1】（24-25高二上·吉林·阶段练习）设A, B 是一个随机试验中的两个事件，且P (A )=12, P (B )=35, PA =12，则P (AB )=（）A ．13B ．15C ．25D ．110【解题思路】先利用和事件的概率公式求出P AB P (AB )=P (A )―P AB .【解答过程】因为P(A)=12，P(B)=35，所以P A =12,P(B )=25，又P A +=P (A )+P B ―P =12+25―P AB =12，所以P =25，所以P (AB )=P (A )―P AB =12―25=110.故选：D.【变式3-2】（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且P (A )=12，=712，+=14，则P (A +B )=（）A ．712B ．23C ．1112D ．34【解题思路】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可.【解答过程】因为P (A )=12，=712，故=12，P (B )=512，因为AB 与AB 为互斥事件，故+=AB +P =14，又AB +P (AB )=P (B ),P AB +P (AB )=P (A )，所以有P (B )―P (AB )+P (A )―P (AB )=512+12―2P (AB )=14，故P (AB )=13，故P (A +B )=P (A )+P (B )―P (AB )=12+512―13=712.故选：A.【变式3-3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知A ，B ，C ，D 四个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，只要打开开关A 则1，4B 则2，3号灯就会亮，只要打开开关C 则3，4号灯就会亮，只要打开开关D 则2，4号灯就会亮.开始时，A ，B ，C ，D 四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开A ，B ，C ，D 这四个开关中的两个不同的开关，则其中2号灯灯亮的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．56【解题思路】根据古典概型以及对立事件的概率关系列式计算可得解.【解答过程】由题意，随意打开A ，B ，C ，D 这四个开关中的两个不同的开关，共有AB,AC,AD,BC,BD,CD 种，其中只有打开AC 开关时2号灯不会亮，其余情况2号灯均会亮，所以2号灯灯亮的概率为1―16=56.故选：D.【题型4 几何概型】【例4】（2024·陕西榆林·模拟预测）七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为（）A ．18B ．38C ．516D ．332【解题思路】设小正方形边长为1，求出大正方形的边长，以及黑色平行四边形的底和高，再结合几何概型公式求解.【解答过程】设小正方形边长为1黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为故种子落入黑色平行四边形区域的概率为22=18．故选：A.【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）如图，正六边形OPQRST 的顶点是正六边形ABCDEF 的对角线的交点.在正六边形ABCDEF 内部任取一点，则该点取自正六边形OPQRST 内的概率为（）A B ．14C ．13D 【解题思路】先求出AB 的长，再分别求出正六边形ABCDEF 和正六边形OPQRST 的面积，再根据几何概型的面积比即可求得结论.【解答过程】设正六边形OPQRST 的边长为1，在正六边形ABCDEF 中，AC =CE =EA =BD =DF =FB ，则易得AC =3ST =3，所以AB =S 六边形ABCDEF =62=S 六边形OPQRST =62=所以所求概率为S 六边形OPQRSTS 六边形ABCDEF ==13.故选：C.【变式4-2】（2024·四川·模拟预测）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.其传承的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知､道德观念等.剪纸艺术遗产先后人选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.2024龙年新春来临之际，许多地区设计了一幅幅精美的剪纸作品，它们都以龙为主题，展现了中华民族对龙的崇拜和敬仰.这些作品不仅展示了剪纸艺术的独特魅力，还传递了中华民族对美好生活的向往和对和平的渴望.下图是由某剪纸艺术家设计的一幅由外围是正六边形，内是一个内切圆组合而成的剪纸图案，如果随机向剪纸投一点，则这点落在内切圆内的概率是（）A B ．3πC D 【解题思路】先求出正六边形的面积和内切圆的面积，由几何概型的公式代入即可得出答案.【解答过程】设正六边形的边长为2×22×6=而其内切圆的半径r =2=π×2=3π，由几何概型得P ==故选：C.【变式4-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，圆O 是正三角形ABC 的内切圆，则在△ABC 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）A 14B ―14C 12D ．1【解题思路】利用等面积法求出正三角形ABC 的边长与其内切圆半径的关系，再利用几何概型求解即可.【解答过程】设正三角形ABC 的边长为a ，内切圆的半径为r ，由S △ABC =S △OAB +S △OAC +S △OBC ，得12×a ×=3×12ar ，所以a =，所以S △ABC =2，内切圆得面积S 1=πr 2，所以阴影部分得面积为2―πr 2，=1―故选：D.【题型5 古典概型与函数的交汇问题】【例5】（2024·江西景德镇·模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a ，b ，则“在函数f (x )=x 2+ax +b 的图象与x 轴有交点的条件下，满足函数g (x )=a x ―b ―x(a+b )x 为偶函数”的概率为（）A ．417B ．219C ．519D ．319【解题思路】首先列出满足函数f (x )=x 2+ax +b 的图象与x 轴有交点的基本事件,再找出符合函数g (x )=a x ―b ―x(a+b )x 为偶函数的基本事件,最后根据古典概型的概率公式计算可得.【解答过程】解：函数f (x )=x 2+ax +b 的图象与x 轴有交点，则Δ=a 2―4b ≥0，则满足该条件的(a,b)有：(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，共有19个满足函数f (x )=x 2+ax +b 的图象与x 轴有交点的条件；函数g(x)=a x ―b ―x(a+b)x 为偶函数，只需ℎ(x)=a x ―b ―x 是奇函数，即ℎ(―x)=a ―x ―b x =―(a x ―b ―x)=―ℎ(―x)，所以a=b．函数g(x)=a x―b―x(a+b)x为偶函数：有(6,6)，(5,5)，(4,4)共3个．所以则“在函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有交点的条件下，满足函数g(x)=a x―b―x(a+b)x为偶函数”的概率P=319．故选：D．【变式5-1】（23-24高二上·山东菏泽·开学考试）已知集合A={0,1,2,3}，a∈A，b∈A，则函数f(x)=ax2 +bx+1有零点的概率为（）A．34B．12C．38D．516【解题思路】先得到共有16种情况，再得到符合要求的情况个数，相除得到答案.【解答过程】f(x)=ax2+bx+1中，a,b均有4种选择，共16种情况，当a=0,b=0时，f(x)=ax2+bx+1无零点，当a=0,b=1,2,3时，f(x)=bx+1有零点，当a≠0时，Δ=b2―4a≥0时，f(x)=ax2+bx+1有零点，若a=1，则b=2,3满足要求，若a=2，则b=3满足要求，故共有6种情况，满足要求，所以函数f(x)=ax2+bx+1有零点的概率为616=38.故选：C.【变式5-2】（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和n，则函数y=mx2―4nx+1在[1,+∞)上是增函数的概率是（）A．16B．14C．34D．45【解题思路】分析可知m、n∈{1,2,3,4,5,6}，由二次函数的单调性得出m≥2n，求出所有的基本事件数，并确定事件“m≥2n”所包含的事件数，利用古典概型的概率公式可求得结果.【解答过程】由题意可知，m、n∈{1,2,3,4,5,6}，若函数y=mx2―4nx+1在[1,+∞)上是增函数，则――4n2m =2nm≤1，即m≥2n.以(m,n)代表一个基本事件，所有的基本事件数为62=36个，满足m≥2n的基本事件有：(2,1)、(3,1)、(4,1)、(4,2)、(5,1)、(5,2)、(6,1)、(6,2)、(6,3)，共9个，由古典概型的概率公式可知，所求概率为P=936=14.故选：B.【变式5-3】（23-24高一下·广西崇左·阶段练习）已知集合A={1,2,3,4,5,6},a∈A,b∈A，则“使函数f(x)= ln(x2+ax+b)的定义域为R”的概率为（）A．1336B．1536C．1736D．1936【解题思路】先利用对数函数的定义和二次函数的知识求得函数f(x)定义域为R的充分必要条件，进而用列举法求得数组(a,b)的总组数和满足定义域为R的条件的组数，求得所求概率.【解答过程】由题意知a2―4b<0.又因为a∈{1,2,3,4,5,6},b∈{1,2,3,4,5,6}，所以数a,b形成的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),⋯,(6,6)，共36种情况，其中(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3)，(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)，共17种情况满足a2―4b<0，所以所求概率p=1736.故选：C.【题型6 古典概型与向量的交汇问题】【例6】（2024·安徽黄山·{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量m=(a,b)与向量n=(2,―1)垂直的概率为（）A．19B．29C．13D．23【解题思路】求出组成向量m=(a,b)的个数和与向量n=(2,―1)垂直的向量个数，计算所求的概率值．【解答过程】解：从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，可以组成向量m=(a,b)的个数是3×3=9（个)；其中与向量n=(2,―1)垂直的向量是m=(1,2)和m=(2,4)，共2个；故所求的概率为P=29．故选：B．【变式6-1】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知m,n∈{―2,―1,1,2}，若向量a=(m,n),b=(1,1)，则向量a与向量b夹角为锐角的概率为（）A．316B．14C．516D．38【解题思路】根据古典概型列出向量a的所有可能，由a与b的夹角为锐角找出所有符合题意的向量，即可求得其概率.【解答过程】向量a与向量b夹角为锐角等价于a⋅b>0且a与b不同向，即a⋅b=m+n>0，且m≠n；易知a共有16个，分别是(―2,―2)，(―2,―1),(―2,1),(―2,2),(―1,―2),(―1,―1),(―1,1),(―1,2),(1,―2),(1,―1),(1,1),(1,2),(2,―2),(2,―1),(2,1),(2,2)，满足条件的a为(―1,2),(2,―1),(1,2),(2,1)共4个，故所求的概率为416=14，故选：B．【变式6-2】（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a，从集合{3，4,6}中随机地取一个数b，则向量m=(b,a)与向量n=(1,―2)垂直的概率为（）A．112B．13C．14D．16【解题思路】先求出基本事件的个数，然后求解满足向量m⊥n的个数，结合古典概率的求解公式可求.【解答过程】解：从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a，{3，4,6}中随机地取一个数b，共有12种取法，当向量m=(b,a)与向量n=(1,―2)，b=2a，故m=(4,2)或m=(6,3)共2种取法，则所求概率P=212=16.故选：D.【变式6-3】（23-24高二上·湖北黄石·期中）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量a=(2m―3,n―1)，b=(1,―1)的夹角为θ，则θ为钝角的概率是（）A．518B．13C．1336D．1136【解题思路】先根据已知求出满足条件的m,n满足的关系式，然后分别令m=1,2,3,4,5,6，求得满足条件的n.然后即可根据古典概型概率公式，得出答案.【解答过程】由a//b可得，(2m―3)×(―1)―(n―1)×1=0，所以n=4―2m.因为θ为钝角，所以a⋅b<0，且a,b不共线，所以(2m―3)×1+(n―1)×(―1)<0n≠4―2m，即n>2m―2，且n≠4―2m.当m=1时，有n>0且n≠2，所以n可取1，3，4，5，6；当m=2时，有n>2，n可取3，4，5，6；当m=3时，有n>4，n可取5，6；当m=4，m=5，m=6时，n>2m―2>6，此时无解.综上所述，满足条件的m,n有11种可能.又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种，所以θ为钝角的概率p=1136.故选：D.【题型7 古典概型与数列的交汇问题】【例7】（23-24高三下·河南·阶段练习）记数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=an2―4an+b，在数集{―1,0,1}中随机抽取一个数作为a，在数集{―3,0,3}中随机抽取一个数作为b，则满足S n≥S2(n∈N∗)的概率为()A．13B．29C．14D．23【解题思路】将S n配方，S n≥S2恒成立等价于S2是S n的最小值，根据常数函数和二次函数性质，结合古典概型概率计算方法即可求解.【解答过程】由已知得S n=a(n―2)2+b―4a，如果a=0，则S n=b，满足S n≥S2，概率为13，如果a≠0，则S2是S n的最小值，根据二次函数性质可知，a＞0，故a=1，此时概率为13，∴S n≥S2的概率为13+13=23，故选：D．【变式7-1】（23-24高三上·河南许昌·阶段练习）意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n= a n―1+a n―2(n≥3,n∈N∗)，其中a1=1，a2=1.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）A．13B．6732021C．12D．6742021【解题思路】由斐波那契数列中偶数出现的周期性求前2021项中偶数的个数，再由古典概型概率求法求概率即可.【解答过程】由题设，斐波那契数列从第一项开始，每三项的最后一项为偶数，而20213=673...2，∴前2021项中有673个偶数，故从该数列的前2021项中随机地抽取一个数为偶数的概率为6732021.故选：B.【变式7-2】（2024·北京·模拟预测）斐波那契数列{F n}因数学家莱昂纳多⋅斐波那契(LeonardodaFibonaci)以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．因n趋向于无穷大时，F nF n+1无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列{F n}满足F1=F2=1，F n+2=F n+1 +F n，若从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为（）A．12B．712C．23D．34【解题思路】由题中给出的递推公式，求出数列的前12项，然后找出其中是奇数的个数，由古典概型的概率公式求解即可．【解答过程】解：由题意可知“兔子数列”满足F1=F2=1，F n+2=F n+1+F n，所以该数列前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，其中是奇数的有：1，1，3，5，，21，55，89，故从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为812=23．故选：C.【变式7-3】（2024·江苏·一模）若数列{a n}的通项公式为a n=(―1)n―1，记在数列{a n}的前n+2(n∈N*)项中任取两项都是正数的概率为P n，则（）A．P1=13B．P2n<P2n+2C．P2n―1<P2nD．P2n―1+P2n<P2n+1+P2n+2.【解题思路】由已知得数列{a n}的奇数项都为1，即奇数项为正数，数列{a n}的偶数项为―1，即偶数项为负数，当n=1时，P1=13，由此判断A选项；将2n―1代入，求得P2n―1；将2n代入，求得P2n；将2n+1代入，求得P2n+1；将2n+2代入，求得P2n+2，再运用作差比较法，可判断得选项.【解答过程】解：因为数列{a n}的通项公式为a n=(―1)n―1，所以数列{a n}的奇数项都为1，即奇数项为正数，数列{a n}的偶数项为―1，即偶数项为负数，又数列{a n}的前n+2(n∈N*)项中，任取两项都是正数的概率为P n，当n=1时，即前3项中，任取两项都是正数，概率为P1=13，故A正确；将2n―1代入，数列{a n}的前2n+1(n∈N*)项中，有(n+1)个正数，n个负数，任取两项都是正数的概率为P2n―1=C2n+1C22n+1=n(n+1)(2n+1)⋅(2n)=n+14n+2，将2n代入，数列{a n}的前2n+2(n∈N*)项中，有(n+1)个正数，(n+1)个负数，任取两项都是正数的概率为P2n=C2n+1C22n+2=n(n+1)(2n+1)⋅(2n+2)=n4n+2，将2n+1代入，数列{a n}的前2n+3(n∈N*)项中，有(n+2)个正数，(n+1)个负数，任取两项都是正数的概率为P2n+1=C2n+2C22n+3=(n+1)(n+2)(2n+3)⋅(2n+2)=n+24n+6，将2n+2代入，数列{a n}的前2n+4(n∈N*)项中，有(n+2)个正数，(n+2)个负数，任取两项都是正数的概率为P2n+2=C2n+2C22n+4=(n+1)(n+2)(2n+3)⋅(2n+4)=n+14n+6，所以P2n―P2n+2=n4n+2―n+14n+6=―2(4n+2)⋅(4n+6)<0，所以P2n<P2n+2，故B正确；P2n―1―P2n=n+14n+2―n4n+2=14n+2>0，所以P2n―1>P2n，故C错误；(P2n―1+P2n)―(P2n+1+P2n+2)=―=2n+14n+2―2n+34n+6=12―12=0，所以P2n―1+P2n=P2n+1+P2n+2，故D错误，故选：AB.【题型8 古典概型与统计综合】【例8】（2024·全国·模拟预测）第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在[76,84)的游客人数为18．(1)求频率分布直方图中a,b的值；(2)从抽取的50名游客中满意度评分在[60,68)及[92,100]的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在[60,68)的概率．【解题思路】（1）根据评分在[76,84)的游客人数为18和总人数为50得到b=0.045，利用频率之和为1得到方程，求出a=0.01；（2）根据分层抽样的方法得到评分在[60,68)的人数为2，设为x1,x2，满意度评分在[92,100]的人数为3，设为y1,y2,y3，列举出所有情况和2人中恰有1人的满意度评分在[60,68)的情况，求出概率.【解答过程】（1）由题知，b=1850×8=0.045，8×(a+0.015+0.025+0.030+0.045)=1，解得a=0.01．（2）由题知，抽取的50名游客中满意度评分在[60,68)的人数为0.01×8×50=4，满意度评分在[92,100]的人数为0.015×8×50=6，∴抽取的5人中，满意度评分在[60,68)的人数为2，设为x1,x2，满意度评分在[92,100]的人数为3，设为y1,y2,y3，∴从5人中随机抽取2人的不同取法为{x1,x2},{x1,y1}，{x1,y2},{x1,y3},{x2,y1},{x2,y2},{x2,y3},{y1,y2},{y1,y3}, {y2,y3}，共有10种不同取法，设“2人中恰有1人的满意度评分在[60,68)”为事件M，则事件M包含的取法为{x1,y1},{x1,y2},{x1,y3},{x2,y1}，{x2,y2},{x2,y3}，共有6种不同取法．∴P(M)=610=35．【变式8-1】（2024·四川成都·模拟预测）课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长t（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟．时长t[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]学生人数5010020012525(1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在[0,20)和[20,40)的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在[0,20)的概率．【解题思路】（1）利用频率分布表估算平均数即可得解.（2）求出两个指定区间内的人数，利用列举法求出概率.【解答过程】（1）依题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数t=10×50500+30×100500+50×200500+70×125500+90×25500=49，所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为49．（2）抽取的6人中寒假期间每天课外阅读平均时长在[0,20)内有：6×50150=2人，在[20,40)内有4人，记[0,20)内的2人为A，B，记[20,40)内的4人为a,b,c,d，从这6人中随机选2人的基本事件有：AB,Aa,Ab,Ac,AdBa,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd，共15种，其中至少有一人每天课外阅读平均时长在[0,20)的基本事件有AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd，共9种，设M=“选取的2人中至少有一人每天课外阅读平均时长在[0,20)”，则P(M)=915=35．【变式8-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：(1)①求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数；②用分层抽样的方法在[20，25)和[25，30]中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率.(2)①估计这40名同学周末学习时间的25%分位数；②将该班学生周末学习时间从低到高排列，那么估计第10名同学的学习时长；【解题思路】（1）利用图形的面积算出对应频率，乘以样本容量40即可得相应频数；先用分层抽样，再用超几何分布概率公式即可求出事件的概率；（2）由百分位数的定义结合频率分布直方图即可求出；利用第10名就是40名同学的25%，从而可以利用第25百分位数估计其学习时长，【解答过程】（1）①由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为(0.03+0.015)×5=0.225，则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为40×0.225=9人．②由图可知，则40名学生中周末的学习时间在[20,25)的人数为0.03×5×40=6人，则40名学生中周末的学习时间在[25,30]的人数为0.015×5×40=3人，从中用分层抽样抽取6人，即周末的学习时间在[20,25)的有4人，周末的学习时间在[25,30]的有2人，再从中选派3人接受检测，设检测的3人来自同一区间的事件为A，则P(A)=C 3 4C36=420=15;（2）①学习时间在5小时以下的频率为0.02×5=0.1<0.25，学习时间在10小时以下的频率为0.1+0.04×5=0.3>0.25，所以25%分位数在区间[5,10)内，则5+5×0.25―0.10.2=8.75，所以这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75小时．②第10名是40名同学的25%，因而问题相当于求25%分位数，也就是估计第10名同学的学习时长为8.75小时．【变式8-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占37．。

中考数学复习考点知识与题型专题讲解27--- 概率(解析版)

中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题27概率【知识要点】知识点一概率的有关概念概率的概念：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.事件类型：①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为知识点二概率计算利用列举法求概率方法一:直接列举法求概率当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。

方法二:列表法求概率当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

方法三：树状图法求概率当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

利用频率估计概率实际上，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大.【考查题型】考查题型一判断事件发生可能性的大小典例1．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）下列事件是必然事件的是（）A．任意一个五边形的外角和为540°B．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次C．13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的D．太阳从西方升起【答案】C【提示】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可【详解】解：A．任意一个五边形的外角和等于540，属于不可能事件，不合题意；B．投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次是随机事件，不合题意；C. 13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的，属于必然事件，符合题意；D．太阳从西方升起，属于不可能事件，不合题意；故选：C．变式1-1．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）下列事件中是不可能事件．．．．．的是()A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨【答案】C【提示】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．【详解】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合；B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合；C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合；故选C.变式1-2．（2021·湖北武汉市·中考真题）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（）A．两个小球的标号之和等于1B．两个小球的标号之和等于6C．两个小球的标号之和大于1D．两个小球的标号之和大于6【提示】随机事件是指在某个条件下有可能发生有可能不会发生的事件，根据此定义即可求解．【详解】解：从两个口袋中各摸一个球，其标号之和最大为6，最小为2，选项A：“两个小球的标号之和等于1”为不可能事件，故选项A错误；选项B：“两个小球的标号之和等于6”为随机事件，故选项B正确；选项C：“两个小球的标号之和大于1”为必然事件，故选项C错误；选项D：“两个小球的标号之和大于6”为不可能事件，故选项D错误．故选：B．变式1-3．（2021·江苏泰州市·中考真题）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关C．只闭合3个开关D．闭合4个开关【答案】B【提示】C D或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案．观察电路发现，闭合,A B或闭合,【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路，只闭合1个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意；闭合4个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意；只闭合2个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意；只闭合3个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意．故选B．考查题型二简单概率计算典例2．（2021·辽宁葫芦岛市·中考真题）一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（）A．16B．13C．12D．23【答案】D【提示】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【详解】解：摸到红球的概率为：42423=+．故选D．变式2-1．（2021·辽宁丹东市·中考真题）四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（）A．14B．12C．34D．1【答案】C【提示】由四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形四个图案．中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形四个图案．中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形，∴从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为：34．故选：C．变式2-2．（2021·广西中考真题）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（）A．16B．14C．13D．12【答案】C【提示】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，∴它有6种路径，∵获得食物的有2种路径，∴获得食物的概率是：21=63，故选：C．变式2-3．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是（）A．0.75B．0.625C．0.5D．0.25【答案】A【提示】根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，可得两个元件同时不正常工作的概率为0.25，进而由概率的意义可得一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率．【详解】解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，即某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，则两个元件同时不正常工作的概率为0.25；故在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为10.25=0.75，故选A.变式2-4．（2021·宁夏中考真题）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A．14B．12C．35D．34【提示】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；2、6、7；4、6、7；其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况，所以能构成三角形的概率是21 42 ，故选：B．变式2-5．（2021·辽宁阜新市·中考真题）一个不透明的袋子中有红球、白球共20个这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，共摸了100次，其中有30次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为( )A．12B．10C．8D．6【答案】D【提示】根据题意，可以计算出袋子中红球的个数，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，袋子中红球的个数约为：20×30100=6，故选D．变式2-5．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是110，则袋中黑球的个数为（）A．27B．23C．22D．18【提示】袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到5152310x=++，然后利用比例性质求出x即可．【详解】解：设袋中黑球的个数为x，根据题意得5152310x=++，解得22x=，即袋中黑球的个数为22个．故选C．变式2-6．（2021·浙江衢州市·中考真题）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（）A．13B．14C．16D．18【答案】A【提示】直接利用“Ⅱ”所示区域所占圆周角除以360，进而得出答案．【详解】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是：1201= 3603．故选：A．变式2-7．（2021·山东中考真题）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( )A．25B．12C．35D．无法确定【答案】B【提示】根据正六方形性质可得，阴影面积=空白部分面积,根据面积比求概率..【详解】如图，根据正六方形的性质可得，△AOC≅△ABC（SSS）,同理△EOC≅△EDC, △AFE≅△AOE, 所以，阴影面积=空白部分面积所以，飞镖落在白色区域的概率为1 2故选B变式2-8．（2021·广西桂林市·中考真题）如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转盘1次，则当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是（）A．12B．13C．14D．16【答案】D【提示】用阴影部分扇形个数除以扇形的总个数即可得．【详解】解：当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是16，故选：D．考查题型三用列举法求概率典例3．（2021·北京中考真题）不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A．14B．13C．12D．23【答案】C【提示】先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可．【详解】解：画树状图如下：所以共4种情况：其中满足题意的有两种，所以两次记录的数字之和为3的概率是21. 42故选C．变式3-1．（2021·四川绵阳市·中考真题）将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（）A．23B．12C．13D．16【答案】A【提示】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有一个篮子为空的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：三个不同的篮子分别用A、B、C表示，根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种，则恰有一个篮子为空的概率为62 93 ．故选：A．变式3-2．（2021·黑龙江牡丹江市·朝鲜族学校中考真题）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（）A．13B．49C．35D．23【答案】B【提示】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．【详解】解：列表如下：由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，所以摸出的两个球颜色相同的概率为49．故选：B．变式3-3．（2021·山东临沂市·中考真题）从马鸣、杨豪、陆畅，江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（）A．112B．18C．16D．12【答案】C【提示】列表得出所有等可能的情况数，找出所选两人恰好是马鸣和杨豪的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：列表得：所有等可能的情况有12种，其中恰好抽到马鸣和杨豪的情况有2种，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是21 126，故选C.考查题型四判断游戏公平性典例4．（2021·山东威海市·中考真题）小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子，以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜：若所得数值等于3，4，5，则小梅胜（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用上表修改游戏规则，以确保游戏的公平性【答案】（1）P（小伟胜）＝23，P（小梅胜）＝13；（2）游戏不公平；修改为：两次掷出的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜．【提示】（1）利用列表法表示所有可能出现的结果情况，并求出小伟胜、小梅胜的概率；（2）依据获胜的概率判断游戏的公平性，修改规则时，利用差的绝对值的形式，使两人获胜的概率相等即可．【详解】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：表中总共有36种可能的结果，每一种结果出现的可能性相同，“差的绝对值”为0，1，2共有24种，“差的绝对值”为3，4，5的共有12种，∴P（小伟胜）＝2436＝23，P（小梅胜）＝1236＝13，答：小伟胜的概率是23，小梅胜的概率是13；（2）∵23≠13，∴游戏不公平；根据表格中“差的绝对值”的不同情况，要使游戏公平，即两人获胜的概率相等，于是修改为：两次掷出的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜，这样小伟、小梅获胜的概率均为12．变式4-1．（2021·四川中考真题）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格：D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．垃圾分类知识测试成绩统计表请结合统计表，回答下列问题：（1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值；（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．【答案】（1）400人，180,35%m n ==；（2）1120人；（3）不公平，树状图见解析【提示】（1）由优秀的人数除以所占比例得出本次参与调查的学生人数；进而求出m 和n 的值；（2）由总人数乘以良好和优秀所占比例即可；（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果，找出和为奇数的结果有8种，再计算出小明参加和小亮参加的概率，比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平．【详解】（1）本次参与调查的学生人数为：20÷5%=400（人），m =400×45%=180，∵400﹣20﹣60﹣180=140，∴n =140÷400×100%=35%；（2）5600×2060400+=1120（人），即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为1120人；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，∴P （小明参加）=812=23， P （小亮参加）=1﹣23=13，∵23≠13，∴这个游戏规则不公平．变式4-2．（2021·山东青岛市·中考真题）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．【答案】这个游戏对双方公平，理由见解析【提示】画出树状图，求出配成紫色的概率即可求解．【详解】解：这个游戏对双方公平，理由如下：如图，∵由树状图可知，所有可能发生的组合有6种，能配成紫色的组合有3种，∴P（紫色）=31 =62，∴这个游戏对双方公平．考查题型五用频率估计概率典例5．（2021·湖南湘潭市·中考真题）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是（）A．0.25B．0.3C．25D．30【答案】B【提示】先计算出八年级（3）班的全体人数，然后用选择“5G时代”的人数除以八年级（3）班的全体人数即可．【详解】由图知，八年级（3）班的全体人数为：25+30+10+20+15=100（人）选择“5G时代”的人数为：30人∴选择“5G时代”的频率是：30=0.3 100故选：B．变式5-1．（2021·辽宁盘锦市·中考真题）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（）A．0.32B．0.55C．0.68D．0.87【答案】C【提示】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．【详解】解：样本中身高不低于170cm的频率5501300.681000+==，所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故选：C．变式5-2．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）A．26m B．27m C．28m D．29m【提示】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x ，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．【详解】假设不规则图案面积为x ，由已知得：长方形面积为20，根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：20x ，当事件A 实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A 发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，综上有：0.3520x =，解得7x =．故选：B ．变式5-3．（2021·辽宁营口市·中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（）A ．0.90B ．0.82C ．0.85D ．0.84【提示】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论．【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．故选：B．。

2024年中考复习-抢分通关06 统计和概率问题(3易错6题型)(解析版)

抢分通关06统计和概率问题（3易错6题型）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）统计和概率题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1．从考点频率看，平均数、中位数、众数是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须熟练各种情况下求解能力。

2．从题型角度看，以解答题的第四题或第五题为主，分值8分左右，着实不少！易错点一与其他知识综合求概率-．B盒有【例1】（2024·广东江门·一模）有A、B两个盒子．A盒内有三个球，分别标有数字1-、2、3二个球，分别标有数字1、2-．所有的球除所标数字，外形状大小完全相同．先从A盒中随机抽出一个球，记录其标有的数字为x，再从B盒中随机抽出一个球，记录其标有的数字为y，以此确定点M的一个坐标,x y．为()(1)用列表或画树状图的方法写出点M的所有可能坐标；(2)求点M落在第三象限的概率．（2）点M 共有6种可能的结果，其中事件2163P ==所以，点M 落在第三象限的概率为本题主要考查利用列表和画树状图计算概率.【例2】（2024·安徽合肥·一模）把一副扑克牌中的黑桃3，4，5，6抽出来放在一个不透明的纸盒里，然后从纸盒里随机取出一张牌，记作a ，再从剩下的3张牌中随机取出一张牌，记作b .(1)请用作树状图或列表的方法，求出两次取出的牌面数字之差的绝对值等于2的概率；(2)结合题（1）的树状图或列表，直接写出点(),a b 落在直线1y x =+上的概率是__________．公式可得出答案．（2）由表格可得点(,)a b 落在直线1y x =+上的结果数，再利用概率公式计算即可．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．【详解】（1）解：列表如下：34563(3,4)(3,5)(3,6)4(4,3)(4,5)(4,6)5(5,3)(5,4)(5,6)6(6,3)(6,4)(6,5)共有12种等可能的结果，其中两次取出的牌面数字之差的绝对值等于2的结果有：(3,5)，(4,6)，(5,3)，(6,4)，共4种，∴两次取出的牌面数字之差的绝对值等于2的概率为41123=．（2）由表格可知，点(,)a b 落在直线1y x =+上的结果有：(3,4)，(4,5)，(5,6)，共3种，∴点(,)a b 落在直线1y x =+上的概率是31124=．故答案为：14．【例3】（2024·安徽亳州·一模）在五张大小、材质完全相同的卡片上分别写上数字42136---，，，，，将这五张卡片放置于暗箱内摇匀．(1)从箱中随机摸出一张卡片，求卡片上写的数字是负数的概率；(2)先从箱中摸出一张卡片，将卡片上的数字作为点的横坐标，不放回，再摸出一张卡片，将卡片上的数字作为点的纵坐标，求确定的点恰好在反比例函数12y x =-的图象上的概率．∴从箱中随机摸出一张卡片，求卡片上写的数字是负数的概率为3 5；（2）解：列表如下：由表格可知一共有20种等可能性的结果数，其中确定的点恰好在反比例函数12yx=-的图象上的结果数有4种（横纵坐标乘积为12-），∴确定的点恰好在反比例函数12yx=-的图象上的概率为41205=．易错点二通过求概率确定游戏是否公平问题【例1】（2024·广东广州·一模）甲、乙两位同学相约玩纸牌游戏．(1)有4张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别有四个不同的数字32,2-，将这四张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．若甲从中随机选择一张牌翻开，求他选中的牌面数字是整数的概率；(2)双方约定：两人各摸出一张牌，放回洗匀后再摸一张，若摸出的两张牌面数字之积为正数，那么甲赢，否则乙赢．这个规定是否公平？为什么？共产生16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌面数字之积为正数的有∴甲赢的概率为81162 P==，乙赢的概率为1681162 P-==，∴甲赢的概率=乙赢的概率，本题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式,通过概率大小比较游戏是否公平.【例2】（2024·陕西西安·一模）小亮和小丽两位同学玩转转盘游戏，转盘上的数字如图所示，若转盘指针指向交界处则忽略不计，重新转动一次．(1)小亮先转一次转盘，则转到数字是3的倍数的概率为；(2)小亮转一次后，小丽再转一次，利用两人转出的数字之差的绝对值判断输赢，规定：若所得数值等于0，1，则小亮获胜，若所得数值等于2，3，4，则小丽获胜．请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平．共有25种等可能的结果，其中两人转出的数字之差的绝对值等于果有12种，∴小亮获胜的概率1325=，小丽获胜的概率1225=，从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．(1)第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为______；(2)小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）∵共有12种等可能的结果，两个数的差为非负数的情况有∴P（结果为非负数）61122==，P（结果为负数）∴游戏规则公平．易错点三求平均数、中位数、众数【例1】（2024·云南曲靖·模拟预测）为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下：月用水量/t1013141718户数31321则这10户家庭月用水量的中位数是．【答案】14吨【分析】本题考查了求中位数，正确理解中位数的定义是解题的关键．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．根据中位数的定义，即得答案．【详解】将表中数据为从小到大排列，处在第5位、第6位的是14吨，所以这10户家庭月用水量的中位数是14吨．故答案为：14吨．.本题考查了求中位数，正确理解中位数的定义是解题的关键．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．根据中位数的定义，即得答案．【例2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知一组数据：3，6，m，2，4，5，这组数据的众数是5，则中位数是.儿童设施、娱乐设施、健身设施4项．改造完成后，该政府部门对各项设施进行居民满意度考核，任选城区内的A，B两个小区下发满意度调查问卷，其结果（单位：分，满分100分）如下表：休闲设施儿童设施娱乐设施健身设施A小区80709080B小区70808090若各项设施以1:1:2:1的比例进行考核，则小区满意度更高．（填“A”或“B”）题型一求概率问题【例1】（2024·陕西西安·二模）小明、小华一起到西安游玩，他们决定在三个热门景点（A ．大雁塔；B ．秦始皇兵马俑；C ．城墙）中各自随机选择一个景点游玩．(1)小华选择到秦始皇兵马俑景点游玩的概率是；(2)用画树状图或列表的方法，求小明、小华选择到不同景点游玩的概率．【答案】(1)13；(2)图见解析，23．【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小明、小华选择到不同景点游玩的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）由题意得，小华选择到秦始皇兵马俑景点游玩的概率是13．故答案为：13；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小华、小明选择到不同景点游玩的结果共有6种，∴小华、小明选择到不同景点游玩的概率为6293．本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．【例2】（2024·江西南昌·一模）江西省将于2024年整体实施高考综合改革．其中，考试科目将不再分文理科，改为“3+1+2”模式：“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门：“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门；(1)选择历史的概率是________；(2)请用画树状图或列表的方法，求恰好选择思想政治和地理的概率．共有12种等可能的结果，其中恰好选择思想政治和地理有：∴恰好选择思想政治和地理的概率为2 12=1．（2024·山西吕梁·一模）截止2024年1月，山西省教育厅共公布了三批“山西省省级中小学研学实践教育示范基地名单”．小宇计划周末和妹妹一起到“研学基地”参观，他收集了如图所示的四个基地的卡片（A：太原古县城；B：六味斋；C：山西文旅数字体验馆；D：山西中医药博物馆），这些卡片的背面完全相同．(1)把这四张卡片背面朝上洗匀后，妹妹从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，小宇再随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求两人抽到同一张卡片的概率；(2)把这四张卡片背面朝上洗匀后，小宇和妹妹从中各随机抽取一张（不放回），然后根据抽到的卡片到相应的“研学基地”参观．请用列表或画树状图的方法求两人分别到太原古县城和山西文旅数字体验馆参观的概率．【答案】(1)1 4 ;(2)1 6【分析】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．（1）根据题意列表可得共有16种等可能的结果，其中两人抽到同一景点的结果有4种，进而由概率公式求解即可；（2）根据题意列表可得共有12种等可能的结果，其中两人分别到太原古县城和山西文旅数字体验馆参观的结果有2种，进而由概率公式求解即可．【详解】（1）解：列表如下：A B C DA(),A A(),B A(),C A(),D AB(),A B(),B B(),C B(),D BC(),A C(),B C(),C C(),D CD(),A D(),B D(),C D(),D D所有等可能的情况数为16种，两人抽到同一景点的结果有4种，所以两人抽到同一景点的概率为41 164=.（2）列表如下：A B C D A(),B A(),C A(),D A绿色或黄色光．(1)电路通电时，B灯发出绿色光的概率是；(2)电路通电时，请用树状图或列表格求出A、B两灯发出不同颜色光的概率．经典古诗词有机融合，营造出“一步一绝句，一灯一诗词；龙行五千年，华灯满城彩”的节庆文化氛围．中国古诗词作为中国文化的瑰宝，承载了丰富的历史和文化内涵，喜欢古诗词的宋宇和赵云两人制作了4张背面完全相同的卡片，并在卡片正面写上四首古诗（其中三首是李白的诗，一首是杜甫的诗），如图，现将卡片背面朝上洗匀后，宋宇从4张卡片中随机抽取一张进行朗诵后，放回，洗匀后，赵云再从4张卡片中随机抽取一张进行朗诵(1)宋宇朗诵的是李白的诗的概率为______；(2)请用列表法或画树状图的方法求宋宇和赵云两人朗诵的是同一首诗的概率．共有16种等可能的结果，其中宋宇和赵云两人朗诵的是同一首诗的结果共∴宋宇和赵云两人朗诵的是同一首诗的概率为题型二由频率估计概率问题【例1】（2024·江西·一模）主题为“安全骑行，从头殟开始”的安全教育活动在某市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表：经过路口的电动自行车数量/辆180230300260240280自觉佩戴头盔人数/人171216285250228266自觉佩戴头盔的频率0.950.940.950.960.95m(1)表格中m=______；(2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为______；（结果精确到0.01）(3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1200辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？【答案】(1)0.95(2)0.95(3)1140人【分析】本题考查运用频率估计概率，用样本反映总体，掌握通过大量实验得到的频率即为事件发生的概率是解题的关键.（1）根据自觉佩戴头盔人数÷经过路口的电动自行车数量计算即可；（2）根据实验发现频率稳定在0.95左右，即概率估计就为0.95；⨯解题即可.（3）根据样本的概率1200m=÷=，【详解】（1）解：2662800.95故答案为：0.95；（2）解：根据实验发现频率稳定在0.95左右则自觉佩戴头盔的频率为0.95，∴经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为0.95，故答案为：0.95；⨯=（人），（3）解：12000.951140答：佩戴了头盔的骑行者大约有1140人.本题考查运用频率估计概率，用样本反映总体，掌握通过大量实验得到的频率即为事件发生的概率是解题的关键.1．（2022·安徽·模拟预测）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外，其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表．摸球次数100400600700100013001500白球频率0.7020.7240.7310.7460.7490.7510.750(1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于______（精确到0.01）左右，从箱子中摸一次球，估计摸到蓝球的概率是______．(2)从该箱子里随机摸出1个球，不放回，再摸出1个球．用列举法求摸到1个蓝球、1个白球的概率．【答案】(1)0.75；0.25（或14）(2)摸到1个蓝球、1个白球的概率为12【分析】（1）运用频率估算概率的方法即可求解；根据概率和为1即可求解；（2）运用列表或画树状图求随机事件的概率的方法即可求解．【详解】（1）解：根据表格信息可得，摸到白球的频率将会稳定于0.75，摸到蓝球的概率是0.25，故答案为：0.75；0.25（或14）（2）解：由（1）知，袋中白球的个数约为40.753⨯=，蓝球的个数约为431-=，列表如下：1白2白3白蓝1白()21,白白()31,白白()1,蓝白2白()12,白白()32,白白()2,蓝白3白()13,白白()23,白白()3,蓝白蓝()1,白蓝()2,白蓝()3,白蓝中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．(1)请估计：当n 足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到0.1），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为__________；(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；(3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在35，需要往盒子里再放入多少个白球？【答案】(1)0.5，0.5(2)估算盒子里白、黑两种颜色的球各有20个(3)10个【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用．熟练掌握用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用是解题的关键．（1）根据用频率估计概率求解作答即可；（2）由题意知，盒子里白颜色的球有400.520⨯=（个），则黑颜色的球有402020-=（个）；（3）设需要往盒子里再放入x 个白球，依题意得，203405x x +=+，计算求解，然后作答即可．【详解】（1）解：由统计图可知，当n 足够大时，摸到白球的频率将会接近0.5，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为0.5，故答案为：0.5，0.5；（2）解：由题意知，盒子里白颜色的球有400.520⨯=（个），黑颜色的球有402020-=（个）；∴估算盒子里白、黑两种颜色的球各有20个；题型三条形统计图问题【例1】（2024·陕西宝鸡·一模）为了学生的身心健康，提高学生就餐满意度，某学校对全体学生开展了食堂满意度问卷调查，满意度以分数呈现，从低到高为1分，2分，3分，4分，5分共五档，调查人员随机抽取了40份调查问卷，将数据整理成如下统计图．(1)这40份调查问卷的众数是______分，中位数是______分；(2)学校规定：若学生所评分数的平均数低于3.5分，则食堂需要进行整改．根据这40份调查问卷的评分，判断学校食堂是否需要整改；(3)若全校共收回600份调查问卷，请估计这600份调查问卷中，评分在4分及以上（含4分）的有多少人？【答案】(1)4，3.5(2)学校食堂需要整改(3)估计这600份调查问卷中，评分在4分及以上（含4分）的有300人【分析】本题主要考查众数、中位数和加权平均数及样本估计总体思想，解题的关键是掌握众数、中位数和加权平均数的定义．（1）根据中位数、众数的定义求解即可；（2）根据加权平均数求解即可；（3）利用样本估计总体的思想求解即可．本题主要考查众数、中位数和加权平均数及样本估计总体思想，解题的关键是掌握众数、中位数和加权平均数的定义．【例2】（2024·河北石家庄·一模）某班进行中考体育适应性练习，球类运动可以在篮球、足球、排球中选择一种．该班体委将测试成绩进行统计后，发现选择足球的同学测试成绩均为7分、8分、9分、10分中的一种（满分为10分），并依据统计数据绘制了如下不完整的扇形统计图（如图1）和条形统计图（如图2）(1)该班选择足球的同学共有人，其中得8分的有人；(2)若小宇的足球测试成绩超过了参加足球测试的同学半数人的成绩，则他的成绩是否超过了所有足球测试成绩的平均分?通过计算说明理由．【答案】(1)20，3(2)小宇的测试成绩超过了平均分，理由见解析【分析】此题主要考查了扇形统计图和条形统计图，加权平均数的计算，读懂统计图并从统计图中获取解决问题的信息，熟练掌握加权平均数的计算公式是解决问题的关键．（1）根据得9分的人数是4人，对应的扇形圆心角为72︒即可求出总人数，进而可得出得8分的人数；1．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）某市教育行政部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校八年级学生一学期参加综合实践活动的天数，绘制成部分统计图如下．请根据图中信息，解答下列问题：(1)扇形统计图中α的值为________，“活动时间为4天”的扇形所对圆心角为________，八年级学生为________人；(2)补全条形统计图；(3)若该市共有6000名学生，请你估计其中“活动时间不少于4天”的学生大约有多少名？【答案】(1)25%，108︒，200(2)见解析(3)4500（3）解：∵“活动时间不少于4天”的学生占比：∴“活动时间不少于4天”的学生大约有：答：“活动时间不少于4天”的学生大约有2．（2024·安徽合肥·一模）在2024年4在2023年读课外书的数量进行了调查．所示图表是根据随机抽取的部分学生的读书数量情况整理的表格和两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解答下列问题．2023年学生的读书数量分组A B C D E0~3本4~8本9~14本15~20本超过20本(1)请将条形统计图补充完整；(2)请说明样本数据中，学生读书数量的中位数落在哪个范围内；(3)该校共有3600名学生，估计在2023年读课外书的数量超过20本的学生有多少名？【答案】(1)见解析(2)D 组，见解析(3)1260【分析】（1）先计算样本容量2020%100÷=（人），根据表中数据即可得到结论；（2）根据中位数的定义，计算判断即可；（3）利用样本估计总体的思想计算即可得到结论．本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，求中位数等等，正确的理解题意是解题的关键．【详解】（1）根据题意，得样本容量2020%100÷=（人），∴C 组的人数为100515203525----=（人），补图如下：（2）根据题意，中位数应是第50个数据，第51个数据的平均数，∵A 组数据为5个，B 组数据为15个，C 组数据为25个，∴455065,455165＜＜＜＜，故中位数落在D 组中．（3）根据题意，得在2023年读课外书的数量超过20本的学生有3536001260100⨯=（名）．题型四数据统计和分析【例1】（2024·河南信阳·一模）新郑红枣又名鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某外贸公司从甲、乙两个红枣厂家各随机抽取10盒进行检测，共分为三个等级：合格8085x ≤<，良好8595x ≤<，优秀95x ≥），下面给出了部分信息：10盒甲厂质量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，9810盒乙厂质量中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94抽取的甲、乙厂质量统计表厂家平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比甲9089a 26.640%乙90b 903930%根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：=a ______，b =______，m =______；(2)这个月乙厂可包装3000盒红枣，估计该月“优秀”等级的盒数；(3)根据以上数据，你认为外贸公司会选择______红枣厂家（填“甲”或“乙”）．请说明理由（写出一条理由即可）．【答案】(1)95，90，20．(2)900盒(3)甲红枣厂家，平均数一样，但“优秀”等级占比大，甲厂方差比乙厂小，质量比乙厂稳定，众数比乙厂大．【分析】题目主要考查数据的处理及利用样本估计总体，理解题意，熟练掌握中位数、众数等的计算方法是解题关键．（1）根据中位数，众数，百分比的概念或公式计算即可；（2）由乙的“优秀”等级所占百分比乘以包装总盒数即可；（3）根据平均数一样，比较优秀率、方差、众数即可判断．【详解】（1）解：甲厂10盒中数据出现最多的是95，故95a =，乙厂“优秀”等级所占百分比为30%，题目主要考查数据的处理及利用样本估计总体，理解题意，熟练掌握中位数、众数等的计算方法是解题关键．【例2】（2024·陕西商洛·一模）国家利益高于一切，国家安全人人有责，2023年4月15日是第八个全民国家安全教育日，某校开展了“树牢，总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，随机抽取m 名学生进行测试，对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩划分为()90100A x ≤≤，()8090B x ≤<，()7080C x ≤<，()6070D x ≤<四个等级，并制作出不完整的统计图如下：B 等级数据（单位：分）：80，80，81，82，85，86，86，88，89，80．根据以上信息，解答下列问题：(1)补全条形统计图，并填空：m =______，n =______；(2)抽取的m 名学生中，B 等级成绩的中位数是______分，众数是______分；(3)这所学校共有1800名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩能达到A 等级的学生人数．【答案】(1)50，20(2)83.5，80(3)720人1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）2023年10月8日第十九届亚运会在中国杭州圆满闭幕．某校举行了七、八年级亚运知识竞赛，现分别在两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行收集、整理和分析（其中成绩大于等于80的视为优秀）：【收频数据】七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82【整理、分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表：平均数中位数众数优秀率七年级80a7240%c八年级8080b%【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：a，b=，c=；(1)填空：=(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．(3)若该校七年级学生共1000人，八年级学生共1200人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀的学生的总人数．【答案】(1)78.5，80，60；题型五频数直方图【例1】（2024·安徽滁州·一模）在“双减”政策的落实中，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生每天的课后书面作业的时长（单位：min）情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生进行调查，整理数据（保留整数）得出如下不完整的统计图表（作业时长用minx表示）：A，B两所学校分别被抽取的50名学生每天的课后书面作业的时长频数分布表组别50.560.5x≤<60.570.5x≤<70.580.5x≤<80.590.5x≤<90.5100.5x≤<A学校人数5a1884B学校人数710b174x≤<的具体数据如下：A学校50名九年级学生中每天课后书面作业时长在70.580.580，78，77，77，77，76，76，76，75，75，75，75，75，74，74，73，72，72．请根据以上信息，完成下列问题：a______，b=______，补全频数直方图；(1)=(2)A学校50名九年级学生每天课后书面作业时长的中位数是______；(3)依据国家政策，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90min，估计两所学校1000名学生中，能在90min内（包含90min）完成当日课后书面作业的学生共有多少人．【答案】(1)15，12，图形见解析；(2)74.5(3)能在90min内（包含90min）完成当日课后书面作业的学生共有920人．【分析】（1）根据每个学校抽查人数为50人，结合频数分布表及分布直方图可进行求解；（2）中位数的定义：一组数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，如果这组数有偶数个，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数；（3）根据A、B学校能在90分钟内完成课后作业所占比例可进行求解．a=----=【详解】（1）解：505188415b=----=，5071017412补全频数分布直方图：。

高中数学概率与统计常考题型归纳

高中数学概率与统计(理科)常考题型归纳题型一:常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列. 解依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.所以ξ的分布列是【类题通法】(1)本题44人中恰有i 人参加甲游戏的概率P ＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i，这是本题求解的关键.(2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和.【变式训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124；(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23.P (ξ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14， P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，P (η＝1)＝C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49，P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1) ＝14×827＋1124×49＋14×29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118，∴所求概率为P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.题型二:离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).解用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.(2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝2 9，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝10 81，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝8 81 .故X的分布列为E(X)＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×81＝81.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【变式训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2 .②依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×2＋60×2＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X 1的数学期望为E(X1)＝20×16＋60×3＋100×6＝60(元)，X 1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X 2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×3＋80×6＝60(元)，X 2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.题型三:概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组75，80)，第2组80，85)，第3组85，90)，第4组90，95)，第5组95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图知：第3组的人数为5××40＝12.第4组的人数为5××40＝8.第5组的人数为5××40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人.①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则P(A)＝1－C310C312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为5 11 .②X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C24C26＝25，P(X＝1)＝C12C14C26＝815，P(X＝2)＝C22C26＝115.所以X的分布列为E(X)＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝3.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X服从超几何分布.【变式训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A 1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A 2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B 1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B 2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”，则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2. P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2) ＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝.题型四:统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值. 解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n∑ni ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n∑ni ＝1y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b^＝lxylxx＝2480＝，a^＝y－b^x＝2－×8＝－，故所求线性回归方程为y^＝－.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b^＝>0)，故x与y之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝×7－＝(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【变式训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：K2＝10060×40×55×45≈＞，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i(i ＝0，1，2，3).X 的分布列为均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。

高中数学概率与统计的常见题型解析

高中数学概率与统计的常见题型解析随着高中数学课程的深入，概率与统计成为了学生们必修的重要内容之一。

在这个领域里，有许多常见的题型需要我们掌握和熟练运用。

本文将对高中数学概率与统计的常见题型进行解析，帮助同学们更好地理解和应用。

一、概率计算题1.基本原理概率计算题是考察学生对基本原理的理解与运用能力。

基本原理包括“分子数/总数”和“事件发生的次数/总次数”等计算方法。

通常，这类题目要求计算某一事件发生的概率。

2.排列组合排列组合也是概率计算中重要的一部分，常见的排列组合题型有“抽签问题”和“求解概率的可能性”等。

解决这类题目，需要熟悉排列组合的计算方法，并注意根据题目要求确定计算的范围和顺序。

3.条件概率条件概率是指在已知某一条件下发生某一事件的可能性。

解决条件概率题型，需要根据条件和事件的关系确定计算的方法，并利用已知信息进行计算。

二、统计分析题1.数据收集统计分析题通常给出一组数据，要求学生进行整理和计算。

在解决这类题目时，需要注意数据的归类和整理，以及正确选择和运用统计方法。

2.频数分布表频数分布表是将一组数据按照区间进行分类和统计后所得到的表格。

在解答频数分布表的题目时，需要根据给出的条件计算出各个区间的频数和频率，并进行适当的分析和解释。

3.统计图表常见的统计图表有柱状图、折线图、饼图等。

解决统计图表题目时，需要对图表进行仔细观察和理解，计算出各个数据的相关指标，并进行适当的比较和分析。

三、综合题综合题是将概率计算和统计分析相结合，考察学生对概率与统计知识的综合运用能力。

解决综合题的关键在于分析题干给出的条件和要求，运用合适的方法进行计算和分析。

高中数学概率与统计的常见题型解析至此结束。

通过对这些题型的解析和学习，相信同学们对于高中数学概率与统计的应用能力会有很大的提升。

希望同学们能够认真对待这一领域，做好充分的准备，取得优秀的成绩！。

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精品文档精品文档概率知识点及考点分析

开封高中王国平(高中数学开封市高中数学二坊 ) 本章主要研究随机事件、互斥事件及概率的意义，并会计算互斥事件的概率；掌握古典概型、几何概型的概率计算. 一．知识点解读 1．随机事件和确定事件 (1)在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件． (2)在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件． (4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件． (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示． 2．频率与概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA

为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率． 3．互斥事件与对立事件 (1)互斥事件：若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生． (2)对立事件：若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生． 4．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率：P(A)＝1. (3)不可能事件的概率：P(A)＝0. (4)互斥事件的概率加法公式：①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．②P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)．

(5)对立事件的概率：P(A)＝1－P(A)． 5．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 6．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等． 7．古典概型的概率公式

P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数 8．几何概型事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型． 9．几何概型中，事件A的概率计算公式

P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 10．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．二．常考题型分析考点1.事件的关系与运算精品文档精品文档对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．例1．(2016·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两

个事件是( ) A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球” C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 解析：选D A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．

跟踪训练1。(易错题)（2016年《三维设计》）在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( ) A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件 B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件 C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件 D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件解析：选D 由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．

考点2。随机事件的频率与概率频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小，但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率．

例2．.(2016年高考新课标全国Ⅱ，18)某险种的基本保费为a(单位：元)，继

续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 精品文档精品文档 (1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值；

(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值； (3)求续保人本年度的平均保费的估计值. 解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2

的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.

跟踪训练2.(2016·合肥一模)某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为( )

A．13 B．23

C．14 D．34 解析：选B 由题意知，此人从小区A前往小区H的所有最短路径为：A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，

A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4个，所以P(M)＝46＝23，即他经过市中心O的概率为23.

考点3.互斥事件、对立事件的概率 (1)判断两个事件是否为互斥事件，就是判断它们能否同时发生，若不能同时发生，则是互斥事件，

不然就不是互斥事件．若两个事件互斥，且必有一个发生，则其为对立事件．两个事件互斥未必对立，精品文档精品文档但对立一定互斥． (2)互斥事件的概率加法公式必须在各个事件彼此互斥的前提下使用，即A，B互斥，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；A，B对立，P(A)＝1－P(B)．

例3．(2016·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04

求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？ (2)至少3人排队等候的概率是多少？解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥． (1)记“至多2人排队等候”为事件G，则 G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C) ＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则 H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F) ＝P(D)＋P(E)＋P(F) ＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.

跟踪训练3。（2015·湖北黄石二模)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率； (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解：(1)P(A)＝11 000，P(B)＝101 000＝1100， P(C)＝501 000＝120. 故事件A，B，C的概率分别为11 000，1100，120.