最新集合-知识点与题型归纳

●高考明方向1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合．2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3.理解并会求并集、交集、补集；能用Venn图表达集合的关系与运算.★备考知考情对于本节的考查，一般以选择题或填空题形式出现，难度中低档．命题的规律主要体现在集合与集合、元素与集合之间的关系以及集合的交集、并集、补集的运算，同时注意以集合为工具，考查对集合语言、集合思想的理解和运用，往往与映射、函数、方程、不等式等知识融合在一起，体现出一种小题目综合化的特点.在考查集合知识的同时突出考查准确使用数学语言能力及用数形结合、分类讨论思想解决问题的能力；以集合为载体考查对信息的收集、捕捉、加工能力．一、知识梳理《名师一号》P1知识点一元素与集合某些指定的对象集在一起就成为一个集合．其中每个对象叫做集合中的元素．1、集合中的元素具有三个特性确定性、互异性和无序性．2、集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用∈和∉来表示．3、常见数集的符号表示：4还可以用区间来表示集合．5、集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集知识点二集合间的基本关系知识点三集合的基本运算及性质1.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示意义{x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} ∁U A＝{x|x∈U且x∉A} 注意补集的相对性2.集合的运算性质并集的性质：A∪φ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A交集的性质：A∩φ＝φ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝φ；∁U(∁U A)＝A二、例题分析：（一)元素与集合之间的关系例1.(1) 《名师一号》P1 对点自测2已知集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B ＝________.答案：φ 注意：《名师一号》P2 高频考点 例1 规律方法(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合． 《名师一号》P2 问题探究 问题2φ、{φ}与{0}有什么区别与联系？φ是空集，不含任何元素．{φ}不是空集，它含有一个元素φ； 同样，{0}也不是空集，它含有一个元素0.由于空集是任何集合的子集，故φ⊆{0}，φ⊆{φ}；又根据φ是{φ}的一个元素，也可以得到φ∈{φ}．另外，{φ}∩{0}＝φ.例1.(2)(补充)2{1}==+P y x ,2{|1}==+Q y y x ,2{|1}==+E x y x ，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥， 则 （ ）()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G =答案：D练习:《名师一号》P2 高频考点 变式思考1(1) 已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案：2注意：集合与解析几何集合与平面解析几何结合是高考的又一热点，这类题型一般以集合为载体考查解析几何基本图形的性质 及相互之间的关系，解题关键是抓住表达式的几何意义．练习1：已知集合M ＝{(x ，y )|y －1＝k (x －1)，x ，y ∈R}， 集合N ＝{(x ，y )|x 2＋y 2－2y ＝0，x ，y ∈R}，那么M ∩N 中( ) A ．不可能有两个元素 B ．至多有一个元素 C ．不可能只有一个元素 D ．必含无数个元素解析：y －1＝k (x －1)表示经过定点(1,1)，斜率为k 的直线， 不包括通过(1,1)与x 轴垂直的直线即x ＝1.x 2＋y 2－2y ＝0，可化为x 2＋(y －1)2＝1，表示圆心在(0,1)， 半径等于1的圆，又(1,1)是圆上的点， ∴直线与圆有两个交点，故选C.练习2：已知集合(){},0A x y y =-≤， ()(){}22,1B x y xy a =+-≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞ B ．(],2-∞-C ．[]2,2-D ．(],2-∞-[)2,+∞答案：B例2．(1) 《名师一号》P1 对点自测3已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为________．解析:因为5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，所以m ＋2＝5或m 2＋4＝5， 即m ＝3或m ＝±1.当m ＝3时，M ＝{1,5,13}； 当m ＝1时，M ＝{1,3,5}；当m ＝－1时，M ＝{1,1,5}不满足互异性． 所以m 的值为3或1.注意：《名师一号》P2 问题探究 问题1如何正确认识集合的三大特性？集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到． 解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．例2．(2) 《名师一号》P2 高频考点 例1已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }， 则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析:由x －y ∈A ，及A ＝{1,2,3,4,5}得x >y ， 当y ＝1时，x 可取2,3,4,5，有4个； 当y ＝2时，x 可取3,4,5，有3个； 当y ＝3时，x 可取4,5，有2个； 当y ＝4时，x 可取5，有1个． 故共有1＋2＋3＋4＝10(个)，选D.注意：《名师一号》P2 高频考点 例1 规律方法(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． 分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．例2．(3) 《名师一号》P2 高频考点 例1（2）(07全国Ⅰ)设,a b R ∈,集合{1,,}{0,,}ba b a b a +=则b a -=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-解析:因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，得ba ＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.注意：利用互异性解题练习：(补充)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{x |x ＝a ·b ，“·”为通常的乘法运算，a ∈P ，b ∈Q }， 若P ＝{0,2,4}，Q ＝{1,2,6}，则P *Q 中元素的个数是( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6解析：由题意可知P *Q ＝{0,2,4,8,12,24}．故选D. 本题易形成错解：从P 中选取元素a 有3种选法， 对于它的每一种选法，在Q 中选取b 有3种选法， ∴共有3×3＝9种，∴选A.例3．(补充)在集合M ＝{0，12，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合，该集合恰满足条件“对∀x ∈A ，有1x ∈A ”的概率是________．解析：集合M 的非空子集有25－1＝31个，而满足条件“对∀x ∈A ，则1x ∈A ”的集合A 中的元素为1、12或2，且12，2要同时出现，故这样的集合有3个： {1}，{12，2}，{1，12，2}．因此，所求的概率为331.注意：1、一般地，若a A ，则元素a 一定满足集合 A 中元素的共同特征2、《名师一号》P2 对点自测4（2）含有n 个元素的集合的子集个数是2n ，真子集个数是2n －1，非空真子集的个数是2n －2.练习1：《名师一号》P2 高频考点 例1 变式思考1(2)若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素．当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝98.故a ＝0或98.练习2：(补充) 设集合(){},,U x y x R y R =∈∈，(){},20A x y x y m =-+>(){},0B x y x y n =+-≤，则点()(2,3)UP A C B ∈的充要条件是答案：1m >-且5n <（二）集合与集合之间的关系 例1．（1）《名师一号》P2 高频考点 例2（1）已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}， 若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析：当B ＝φ时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠φ时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是(－∞，4]．例1．（2）《名师一号》P2 高频考点 例2（2）设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}． 若(∁U A )∩B ＝φ，求m 的值．解析：A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝φ，得B ⊆A .∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0， ∴B ≠φ.∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4， 且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立， ∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3， 且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2. 经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．∴m ＝1或2.注意：《名师一号》P2 高频考点 例2 规律方法(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素， 对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 如A ⊆B 时，A 有两种情况：φ=A 与A φ≠(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时， 要对参数进行讨论．解含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要注意空集 (3)区分“包含于”、“包含”、“真包含”、“不包含” 关注区间端点值是否取到—具体检验！ (4)方程与不等式的解集练习1： 《名师一号》P3 高频考点 例3 变式思考3(1)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1， B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2，或x >4}D ．{x |0<x ≤2，或x ≥4}解析：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}， 所以∁R B ＝{x |x <2，或x >4}，此时A ∩∁R B ＝{x |0≤x <2，或x >4}．练习2:(补充)设集合1{|,}24k M x x k Z ==+∈， 1{|,}42k N x x k Z ==+∈， 则 （ ）()A M N = ()B M N ⊂≠ ()C M N ⊇ ()D MN φ=答案：B（三）集合的运算 例1．《名师一号》P2 高频考点 例3（2）已知R 是实数集，集合P ＝{x |y ＝ln(x 2＋2 014x －2 015)}， Q ＝{y |y ＝－x 2＋2x ＋3}，则(∁R P )∪Q ＝( )A ．(0,1]B ．[0,1]C ．(－2 015,1]D ．[－2 015,2]解析：集合P 表示函数y ＝ln(x 2＋2 014x －2 015)的定义域，由x 2＋2 014x －2 015>0，即(x －1)(x ＋2 015)>0，解得x <－2 015或x >1. 故P ＝(－∞，－2 015)∪(1，＋∞)， ∁R P ＝[－2 015,1]．集合Q 表示函数y ＝－x 2＋2x ＋3的值域， 设t ＝－x 2＋2x ＋3，则y ＝ t .因为t ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4≤4， 所以y ＝ t ∈[0,2]，即Q ＝[0,2]． 所以(∁R P )∪Q ＝[－2 015,2]，故选D.注意：1、正确解读集合语言集合的运算问题要依据交、并、补运算的定义求解 同时关注区间端点值是否取到 2、《名师一号》P2 问题探究 问题4数轴和Venn 图是进行交、并、补集运算的有力工具， 数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中 各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、 直角坐标系或Venn 图等工具，将抽象的代数问题具体化、 形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．例2．（1）《名师一号》P2 对点自测6设全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{1,2,3,5}，B ＝{2,4,6}， 则右图中的阴影部分表示的集合为( )A ．{2}B ．{4,6}C ．{1,3,5}D ．{4,6,7,8}解析 由图知即求(∁U A )∩B ，而∁U A ＝{4,6,7,8}， B ＝{2,4,6}，所以(∁U A )∩B ＝{4,6}．故选B.例2．（2）(补充) 已知集合{1,2,3,4,5}U =，若{}2AB =，(){}4U C A B =，()(){}1,5U U C A C B =，则A = ，B =答案：{}2,3A =，{}2,4B =温故知新P1 第8题（四）综合运用 《名师一号》P3 特色专题 1．以集合为载体的创新型问题以集合为载体的创新型问题，是高考命题创新型试题的一个热点， 常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等，此类 问题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．例1. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”， 记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z}，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论： ①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”． 其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【规范解答】 因为2 014＝402×5＋4，又因为[4]＝{5n ＋4|n ∈Z}，所以2 014∈[4]，故①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；因为所有的整数Z 除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；若a ，b 属于同一“类”，则有a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k ，所以a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]，反过来，如果a －b ∈[0]，也可得到a ，b 属于同一‘类’”，故④正确．故有3个结论正确．【名师点评】 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义---言听计从！．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型 集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的 一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．2．以集合为载体的交汇型问题集合的交汇性问题多与函数、方程、几何概型、三角、解析几何等问题相联系，突破集合交汇型问题的关键是：利用数形结合的方法， 即借助函数的图象以及解析几何中的相关图形，根据函数图象的特点 以及平面图形的直观性进行求解．例2.已知平面区域M ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧ y ≥mx ＋2m ，x 2＋y 2≤4， 在区域M 上随机取一点A ，点A 落在区域N 内的概率为P (N )，若P (N )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3π＋24π，则实数m 的取值范围为( ) A ．[0,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 C ．[－1,1] D ．[－1,0]【规范解答】 平面区域M ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}的面积为4π，设平面区域N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ y ≥mx ＋2m ，x 2＋y 2≤4的面积为S ， 因为12≤P (N )≤3π＋24π，所以12≤S 4π≤3π＋24π，2π≤S ≤3π＋2， 直线y ＝mx ＋2m 过定点(－2,0)，斜率为m ，数形结合可知，当m ＝0时，平面区域N 的面积为2π；当m ＝－1时，平面区域N 的面积为3π＋2.所以实数m 的取值范围为[－1,0]．故选D.【名师点评】两个集合表示的都是点集，故先作出两个集合表示的平面区域， 求出平面区域M 的面积，设平面区域N 的面积为S ，利用P (N )的取值范围，可求出S 的取值范围，再利用数形结合，即可求出参数m 的取值范围．练习1:(补充)定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }， 设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．18解析：(1)x ＝0时，z ＝0；(2)x ＝1时，由y ＝2得z ＝6，由y ＝3得，z ＝12.∴A ⊙B ＝{0,6,12}．答案：D练习2:(补充)3{|}4M x m x m =≤≤+,1{|}3N x n x n =-≤≤ 且M 、N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a - 叫做集合{}|x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的长度的最小值是 ．答案：112练习3:(补充)设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合A 、B 都是U 的子集，若{}135A B =，，，则称A 、B 为“理想配集”记作（A ，B ）。