定型数据分析习题答案

作业中的一些错误情况

1：解题过程不完整，没有明确指出所检验的假设和检验统计量。 2：算错检验统计量的值，或算错检验的p 值。

(P27Ex2)

解法一：总体总共分3类，要检验顾客是否对这三种肉食的喜好程度相同，这是一个分布的拟合优度检验问题。

（1）要检验的原假设为 0H :顾客对这三种肉食的喜好程度相同，

即要检验0H :顾客对这三种肉食的喜好程度的分布为?

??

?? ??31313

1羊肉牛肉猪肉，

（2）取检验统计量

∑=-=3

1

02

2)(i i i i np np n χ，检验分布为)13(2

-χ；

（3）题中200=n ，3,2,1,3

200

0==

i np i ，则检验统计量的值为（计算过程略） 73.153

200)320074(3200)320041(3200)320085(2

222≈-+-+-=χ

（4）计算P 值为: 05.0000384.0)73.15)2((2

<≈≥=χP p 值，

故在水平05.0=α下拒绝0H ,即调查数据不符合该均匀分布.

解法二（采用似然比检验+p 值形式）

（1）要检验的原假设为 0H :顾客对这三种肉食的喜好程度相同，

即要检验0H :顾客对这三种肉食的喜好程度的分布为?

??

?? ??31313

1羊肉牛肉猪肉，

（2）选取似然比检验统计量

∑∑==-=-=Λ-=r

i i i i r

i i i i n np

n n n p n G 10102

ln 2ln 2ln 2，检验分布为)1(2-r χ；

（3）题中200=n ，3,2,1,3

200

0==

i np i ，则检验统计量的值为（计算过程略）

88.16ln

23

1

2

≈=-=∑= i i

i i n np n G （4）计算P 值为: 05.000022.0)88.16)2((2

<≈≥=χP p 值，

故在水平05.0=α下拒绝0H ,即

顾客对这三种肉食的喜好程度的分布不是均匀分布.

注：若显著性水平取05.0=α，则临界值为99.5)2()13(2

95.02

05.01≈=--χχ。

(P27Ex3)

解法一：总体总共分10类，这是一个分布的拟合优度检验问题。 （1）要检验的原假设为:学生对这十门课的选择没有倾向性，

即要检验0H :学生选择这十门课的人数分布为?

??

?? ??10110101210

11课程课程课程 ， （2）取检验统计量∑=-=10

1

02

02

)(i i i i np np n χ，检验分布为)110(2

-χ；

（3）题中800=n ，10,,1,8010

800

0 ===i np i ，则检验统计量的值为（计算过程略）

125.580

)8091(80)8074(2

22

=-++-= χ

（4）计算P 值为: 05.0823.0)125.5)9((2

>≈≥=χP p 值，

故在水平05.0=α下不能拒绝0H ,即认为学生对这十门课的选择没有倾向性.

解法二（采用似然比检验+ p 值形式）

（1）要检验的原假设为：学生对这十门课的选择没有倾向性，

即要检验0H :学生选择这十门课的人数分布为???

?? ??10110101210

11课程课程课程 。

（2）选取似然比检验统计量

∑∑==-=-=Λ-=10

1010

102

ln 2ln 2ln 2i i i i i i i i n np

n n n p n G ，检验分布为)110(2-χ；

（3）题中800=n ，10,,1,8010

800

0 ===i np i ，则检验统计量的值为（计算过程略）

017.5ln

210

1

2

≈=-=∑= i i

i i n np n G （4）计算P 值为: 05.0833.0)017.5)9((2

>≈≥=χP p 值，

故在水平05.0=α下不能拒绝0H ,即认为学生对这十门课的选择没有倾向性.

注：若采用拒绝域法，临界值为92.16)9()110(2

95.02

05.01≈=--χχ。

(P27Ex4)

解法一：（采用卡方拟合优度检验法+拒绝域形式） （一）

总体总共分3类，这是一个不含未知参数的分布检验问题。 （1）要检验的原假设为

0H :股票投资的盈亏分布为????

??7.02.01.0亏持平盈，

统计得到的频数分别为1697，1780，2129。

（2）取检验统计量

∑=-=3

1

2

2?)?(i i i

i p n p n n χ，拒绝域为)}13({212-≥-αχχ，

（3）对显著性水平05.0=α，临界值为99.)2(2

95.05=χ，

（4）题中5606=n ，则检验统计量的值为

99.596.35112

.3924)2.39242129(2.1121)2.11211780(6.560)6.5601697(2222

>≈-+-+-=χ

故在水平05.0=α下拒绝0H ,即调查数据不符合该偏好分布.

（二）

总体总共分3类，这是一个不含未知参数的分布检验问题。 （1）要检验的原假设仍为

0H :股票投资的盈亏分布为?

??

?

??7.02.01.0亏持平盈， 统计得到的频数分别为151+122，240，517+240。

（2）取检验统计量

∑=-=3

1

22?)?(i i i

i p n p n n χ，拒绝域为)}13({212-≥-αχχ，

（3）对显著性水平05.0=α，临界值为991.5)2(2

95.0=χ，

（4）题中5606=n ，则检验统计量的值为

991.52.188889

)889757(254)254240(127)127273(2222

>≈-+-+-=χ

故在水平05.0=α下拒绝0H ,即调查数据不符合该偏好分布.

解法二：（采用似然比检验法+拒绝域形式） （一）

总体总共分3类，这是一个不含未知参数的分布检验问题。 （1）要检验的原假设为

0H :股票投资的盈亏分布为????

??7.02.01.0亏持平盈，

统计得到的频数分别为1697，1780，2129。

（2）选取似然比检验统计量∑∑==-=-=Λ-=3

1

3

102

ln 2ln 2ln 2i i i i i i i i n np n n

n p n G ，

检验分布为)13(2-χ，拒绝域为)}2({2

12αχ-≥G

（3）对显著性水平05.0=α，临界值为991.5)2(2

95.0=χ， （4）题中5606=n ，则检验统计量的值为

991.59.28002129

2

.3924ln 212917802.1121ln 178016976.560ln 169722>≈++-=）（G

故在水平05.0=α下拒绝0H ,即调查数据不符合该偏好分布.

（二）

总体总共分3类，这是一个不含未知参数的分布检验问题。 （1）要检验的原假设仍为

0H :股票投资的盈亏分布为????

??7.02.01.0亏持平盈，

统计得到的频数分别为273，240，757。

（2）选取似然比检验统计量∑∑==-=-=Λ-=3

1

3

102

ln 2ln 2ln 2i i i i i i i i n np n n

n p n G ，

检验分布为)13(2-χ，拒绝域为)}2({2

12αχ-≥G

（3）对显著性水平05.0=α，临界值为991.5)2(2

95.0=χ， （4）题中5606=n ，则检验统计量的值为

991.53.147757

889

ln 757240254ln 240273127ln 27322>≈++-=）（G

故在水平05.0=α下拒绝0H ,即调查数据不符合该偏好分布.

注1：有同学混淆了两种解法（卡方拟合优度检验法与似然比检验法）的记号与称呼。

注2：本题中两种方法得到的检验统计量的值相差很大。

(P28Ex5)

解法一：（卡方拟合优度检验）

总体总共分3类，分布中有1个未知参数，这是一个含参数的分布检验问题。 （1）要检验的原假设为

0H :红、白、粉红色花的分布为?

??

?

??pq q p 222粉红白红，其中1=+q p 。 （2）先在0H 为真时，似然函数为

1

0,)1(2)1(2)2()(13210860222232313321<<-=-==++p p p p p pq q p p L n n n n n n n n 取对数得

)1ln(132)ln(1082ln 60)(ln p p p L -++=

求关于p 的导数，并令之为0得对数似然方程为：

0132)1(10801132

108=--?=--p p p

p

解得p 的极大似然估计值为20

9

240108?=

=p

（3）算出0H 的分布列中

321,,p p p 的极大似然估计值

400

81

??21==p p

； 400

121

)2011()?1(?222==-=p p ；

200

99

20112092)?1(?2?3==-=p p p

。

（4）取检验统计量

∑=-=3

1

2

2?)?(i i i

i p n p n n χ，拒绝域为)}113({212--≥-αχχ，

（5）对显著性水平05.0=α，临界值为 3.84146)1(2

95.0=χ， （6）题中120=n ，,4.59200

99

120?,3.36400121120?,3.2440081120?321=?==?==?=p n p n p n ，

则检验统计量的值为

84.301224.04

.59)4.5960(3.36)3.3636(3.24)3.2424(2

222

<≈-+-+-=χ

故在水平05.0=α下不能拒绝0H ,即调查数据符合该偏好分布.

注：有同学误认为检验的临界值为991.5)2(2

95.0=χ。

解法二：（采用似然比检验） (1) (2) (3)步骤同上。 (4)算出无假定条件下诸

i p 的极大似然估计：

2.012024~11===n n p ，

3.012036~222===n n p ，5.0120

60~33===n n p ，

(5)选取似然比检验统计量

∑=-=Λ-=3

1

2

~?ln 2ln 2i i i i p p

n G ，拒绝域为)}1()113({21212ααχχ--=--≥G ，

(6)对显著性水平05.0=α，临界值为 3.84146)1(2

95.0=χ，

(7)则检验统计量的值为

01225

.0)5.020099

ln 603.0400121ln 362.040081ln 24(2~?ln 2ln 23

1

2

≈++-=-=Λ-=∑=i i i i p p n G

故在水平05.0=α下不能拒绝0H ,即调查数据符合该偏好分布.

注：p 值05.091.0)01225.0)1((2>≈≥χP

(P28Ex6)

解法一：（卡方拟合优度检验）

总体总共分4类，分布中有2个参数，这是一个含参数的分布拟合检验问题。 （1）要检验的原假设为

0H :人的血型分布为???

? ??

++pq qr q pr p r AB B A O 222222”型“”型“”型“”型“，其中1=++r q p

（2）先在0H 为真时，算出似然函数

58

1322436

2748

222)

()2()

2()()2()2(),,(4

321pq qr q pr p r

pq qr q pr p r r q p L n n n n ++=++=

在约束条件

1=++r q p 下，取r p q --=1，化似然函数为无约束二元函数：

58132224362748))1(())1(()2(),(r p p r p pr p r r p L ----+=

取对数得

))

1(ln(58))1ln((132)2ln(436ln 748),(ln 222r p p r p pr p r r p L --+--+++=注意到用微分法很难求出极大似然估计值的精确解,我们考虑近似计算。 首先由“O ”型和“B ”型两类的矩估计算出参数向量),(r p 的初始估计：

???≈≈??????≈=-≈=??????=--=2887.0?6116.0?7113.0506.0?16116.0374.0?132.0?)?1(374.0?222p r p

r

r p r 然后参照课本25页利用EXCEL 算得),(r p 的极大似然估计值

??

?≈≈611379.0?288632.0?r

p

（3）算出诸

r

p p ,

,1 的极大似然估计值

0.373784611379.0??2

21≈≈=r p

；

0.436236611379.0288632.02288632.0??2??2

22≈??+≈+=r p p p

0.132********.0)288632.01(?)?1(?2

2223≈--≈--=r p p

0.05772)611379.0288632.01(288632.02)??1(?2?4≈--??≈--=r p p p

且在0H 为真时，对数似然函数的最大值为-1162.1971)?,?(ln ≈r p

L 。

（4）取检验统计量

∑=-=4

1

2

2?)?(i i i

i p n p n n χ，拒绝域为)}214({212--≥-αχχ，

（5）对显著性水平05.0=α，临界值为 3.84146)1(2

95.0=χ，

（6）题中1000=n ，72.5705772.01000?,,784.373373784.01000?41=?==?=p n p

n ， 则检验统计量的值为（计算过程略）

84.3002121.072

.57)72.5758(78.373)78.373374(222

<≈-++-= χ

故在水平05.0=α下不能拒绝0H ,即调查数据符合该偏好分布.

解法二：（采用似然比检验） (1) (2) (3)步骤同上。 (4)算出无假定条件下诸

i p 的极大似然估计：