(ⅲ)当x 11时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：
③当a <0时，令f ′(x )＝0得x 1＝1
a ，x 2＝1.
f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：
综上所述，a 的取值范围为(1，＋∞)．
(理)(2018·北京卷，18)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝ f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． [解析] (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，
所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . f ′(1)＝(1－a )e.
由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0，所以a 的值为1. (2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .
若a >1
2，则当x ∈????1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值． 若a ≤1
2，则当x ∈(0,2)时，
x －2<0，ax －1≤1
2
x －1<0，
所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是(1
2
，＋∞)．
8．(文)(2018·天津卷，20(1)(2))设函数f (x )＝(x －t 1)(x －t 2)(x －t 3)，其中t 1，t 2，t 3∈R ，且t 1，t 2，t 3是公差为d 的等差数列．
(1)若t 2＝0，d ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若d ＝3，求f (x )的极值．
[解析] (1)由已知，可得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1，因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1，又因为曲线y ＝f (x )在点(0, f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0.
(2)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)( x －t 2) (x －t 2－3) ＝( x －t 2)3－9 ( x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x － t 32＋9t 2. 故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.
令f ′(x )＝0，解得x ＝ t 2－3，或x ＝ t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：
＝(3)3－9×3＝－6 3.
(理)(2018·天津卷，20(1)(2))已知函数f (x )＝a x ，g (x )＝log a x ，其中a >1. (1)求函数h (x )＝f (x )－x ln a 的单调区间；
(2)若曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线与曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线平行，证明x 1＋g (x 2)＝－2ln (ln a )ln a
.
[解析] (1)由已知，h (x )＝a x －x ln a ，有h ′(x )＝a x ln a －ln a . 令h ′(x )＝0，解得x ＝0.
由a >1，可知当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如表：
所以函数h (2)由f ′(x )＝a x ln a ，可得曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线斜率为ax 1ln a .
由g ′(x )＝1x ln a ，可得曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线斜率为1
x 2ln a .
因为这两条切线平行，故有ax 1ln a ＝1
x 2ln a ，
即x 2ax 1(ln a )2＝1.
两边取以a 为底的对数，得log a x 2＋x 1＋2log a (ln a )＝0，所以x 1＋g (x 2)＝－2ln (ln a )
ln a
.
命题方向1 (文)导数的几何意义 (理)导数的几何意义与定积分
例1 (1)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线
与曲线y ＝1
x
(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为(1,1).
[解析] y ′＝e x ，则y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 切＝1，又曲线y ＝1
x (x >0)上点P 处
的切线与y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，所以y ＝1
x
(x >0)在点P 处的斜率为－1，设P (a ，b )，
则曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝a ＝－a －
2＝－1，可得a ＝1，又P (a ，b )在y
＝1
x
上，所以b ＝1，故P (1,1)． (2)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b
x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲
线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是－3.
[解析] ∵y ＝ax 2＋b
x ，
∴y ′＝2ax －b
x
2，
由题意可得???
4a ＋b
2＝－5，
4a －b 4＝－7
2，
解得?
???
?
a ＝－1，
b ＝－2.
∴a ＋b ＝－3.
(3)(理)若函数f (x )，g (x )满足??－1
1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正
交函数．给出三组函数：
①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 1
2x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( C ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
[解析] 对于①，?
?－1
1 (sin 12x cos 1
2x )d x
＝??－1
11
2
sin x d x ＝1
2?
?－1
1sin x d x ＝1
2
(－cos x )|1－1 ＝1
2{－cos1－[－cos(－1)]} ＝1
2(－cos1＋cos1)＝0. 故①为一组正交函数；
对于②，??－1
1 [(x ＋1)(x －1)]d x ＝?
?－1
1 (x 2－1)d x ＝(13x 3－x )|1
－1＝13－1－(－13＋1)＝23－2＝－4
3
≠0， 故②不是一组正交函数；
对于③，??－1
1 (x ·x 2)d x ＝?
?－1
1x 3d x ＝(14x 4)|1
－1＝0. 故③为一组正交函数． 故选C. 『规律总结』
1．求曲线y ＝f (x )的切线方程的三种类型及方法
(1)已知切点P (x 0，y 0)，求y ＝f (x )在点P 处的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程．
(2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f (x )的切线方程．
设切点P (x 0，y 0)，通过方程k ＝f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程． (3)已知切线上一点(非切点)，求y ＝f (x )的切线方程：
设切点P (x 0，y 0)，利用导数求得切线斜率f ′(x 0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，再由点斜式或两点式写出方程．
2．根据过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．
3．(理)利用定积分求平面图形的面积的两个关键点
关键点一：正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．
关键点二：根据图形的特征，选择合适的积分变量．在以y 为积分变量时，应注意将曲线方程变为x ＝(y )的形式，同时，积分上、下限必须对应y 的取值．
易错提醒：求曲线的切线方程时，务必分清点P 处的切线还是过点P 的切线，前者点P 为切点，后者点P 不一定为切点，求解时应先求出切点坐标．
G 跟踪训练en zong xun lian
1．(2018·洛阳二模)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为( A )
A ．9x －y －16＝0
B ．9x ＋y －16＝0
C ．6x －y －12＝0
D ．6x ＋y －12＝0
[解析] 由题意可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3是偶函数，则a ＝0，所以f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，则f (2)＝2，f ′(2)＝9，则所求切线方程为y －2＝9(x －2)，即为9x －y －16＝0.
2．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b 的值为( C )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
[解析] 依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin0＝2×0＋b ，b ＝0；
m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.
3．(理)由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1
x 及x 轴所围成的图形的面积是( D )
A ．15
4
B ．174
C ．1
2
ln 2
D ．2ln 2
[解析] 由定积分的几何意义，得围成的面积???
12
2
1
x d x ＝ln x |212＝ln 2－ln 12＝ln 4＝2ln 2.
命题方向2 利用导数研究函数单调性
例2 (2018·河南息县第一高级中学段
测)已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .
(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间；
(2)若g (x )＝f (x )＋2
x ，在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围．
[解析] (1)f ′(x )＝2x －2
x ，
令f ′(x )>0，得x >1； 令f ′(x )<0，得0所以f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)． (2)由题意g (x )＝x 2＋a ln x ＋2
x ，
g ′(x )＝2x ＋a x －2
x
2，
若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≥2
x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，
设φ(x )＝2
x
－2x 2.
∵φ(x )在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝0， ∴a ≥0；
若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ∴实数a 的取值范围为[0，＋∞)． 『规律总结』
1．f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0.
2．f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常函数，函数不具有单调性．
G 跟踪训练en zong xun lian
(文)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－4
3处取得极值．
(1)确定a 的值；
(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性．
[解析] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－4
3处取得极值，所以f ′(－
4
3
)＝0， 即3a ·169＋2·(－43)＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.
(2)由(1)得g (x )＝(1
2
x 3＋x 2)e x ，
故g ′(x )＝(32x 2＋2x )e x ＋(12x 3＋x 2)e x ＝(12x 3＋52x 2＋2x )e x ＝1
2x (x ＋1)(x ＋4)e x .
令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－40，故g (x )为增函数； 当－10时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数． 综上知g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数， 在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．
(理)(2018·广州一模)已知x ＝1是f (x )＝2x ＋b
x ＋ln x 的一个极值点．
(1)求函数f (x )的单调递减区间；
(2)设函数g (x )＝f (x )－3＋a
x ，若函数g (x )在区间[1,2]内单调递增，求a 的取值范围．
[解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2－b x 2＋1
x
，x ∈(0，＋∞)．
因为x ＝1是f (x )＝2x ＋b
x ＋ln x 的一个极值点，
所以f ′(1)＝0，即2－b ＋1＝0.
解得b ＝3，经检验，适合题意，所以b ＝3. 因为f ′(x )＝2－3x 2＋1x ＝2x 2＋x －3
x 2，
解f ′(x )<0，得0所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1]． (2)g (x )＝f (x )－3＋a x ＝2x ＋ln x －a
x (x >0)，
g ′(x )＝2＋1x ＋a
x
2(x >0)．
因为函数g (x )在[1,2]上单调递增， 所以g ′(x )≥0在[1,2]上恒成立， 即2＋1x ＋a
x 2≥0在[1,2]上恒成立，
所以a ≥－2x 2－x 在[1,2]上恒成立， 所以a ≥(－2x 2－x )max ，x ∈[1,2]．
因为在[1,2]上，(－2x 2－x )max ＝－3，所以a ≥－3.
定积分的简单应用求体积
定积分的简单应用求体 积 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么 （2） 定积分的几何意义是什么 （3） 微积分基本定理是什么 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲） 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V 分析： 在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：
2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有： 22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳： 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 22300|a a V a dx a x a πππ=?==?
高二定积分的简单应用(理科)
年 级 高二 学科 数学 内容标题 定积分的简单应用（理科） 编稿老师 胡居化 一、教学目标 1. 能用定积分知识解决在物理学中的一些简单问题及求曲边图形的面积等问题 2. 体会数与形结合的思想、等价转化的数学思想的应用. 二、知识要点分析 1. 定积分在物理学中的简单应用 （1）变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体在时间t=a 到时间t=b （a
（2）求曲边图形面积的一般步骤： （a ）画图，并将图形分割成若干个曲边梯形 （b ）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上下限. （c ）确定被积函数 （d ）求出各曲边梯形的面积和，即各种定积分的绝对值之和. 【典型例题】 知识点一：定积分在物理学中的简单的应用 例1：一物体在力F ?? ?>+≤≤=) 2(,43) 20(,10)(x x x x （单位：N ）的作用下沿力F 相同的方向， 从x=0处运动到x=4处（单位：米），这力F （x ）所做的功是（ ） A . 44 B . 46 C . 48 D . 50 【题意分析】本题考查物理学中的变力做功问题，物体在x=0到x=4距离内所做的功是函 数F （x ）在区间［0，4］上的定积分. 【思路分析】由已知F （x ）的表达式是分段函数，故物体所做的功是函数F （x ）在［0，2］，［2，4］上的积分之和. 【解题步骤】由定积分的物理意义知： ????++=+=42202042)43(10)()(dx x dx dx x F dx x F W ＝4222 0|)42 3(|10x x x ++ ＝46， 故选（B ） 【解题后的思考】本题考查的知识点是利用定积分求变力做功的问题，易错点是：认为F （x ）在区间［0，4］内所做的功是 ? +4 )43(dx x . 例2：一物体做变速直线运动，其v －t 曲线（如图所示），求物体在s s 62 1 -内的运动路程. 【题意分析】本题考查物理学中变速直线运动路程问题，由v （t ）曲线知：0)(≥t v ，故在 s s 621-间的物体运动的路程是v （t ）在区间]6,2 1 [上的定积分.
最新【强烈推荐】高二数学-导数定积分测试题含答案
高二数学周六（导数、定积分）测试题 （考试时间：100分钟，满分150分） 班级 姓名 学号 得分 一、选择题(共10小题，每小题5分,共50分) 1. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为 （ ） A.1 B.2 C.－1 D. 0 2. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 （ ） A ．(x-1)3+3(x-1) B ．2(x-1)2 C ．2(x-1) D ．x-1 3. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则 0(1)(1)3lim x f x f x x →--+= ( ) A ．3 B ．23- C ． 13 D ．32- 4. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 5．函数)0,4 (2cos π 在点x y =处的切线方程是 （ ） A ．024=++πy x B ．024=+-πy x C ．024=--πy x D ．024=-+πy x 6.曲线3cos (0)2 y x x π=≤≤ 与坐标轴围成的面积是 （ ） A. 4 B. 52 C. 3 D. 2 7．一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=4 1t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是 （ ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 8．函数3 13y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C. 极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 9. 已知自由下落物体的速度为V=gt ，则物体从t=0到t 0所走过的路程（ ）
§1.7定积分的简单应用
定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==? =??及，所以两曲线的交点为 （0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 2 0S =(x -x )dx 321 3 023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 2 x y =y x A B C D O
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标， 直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的 面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 334 82822044 2222140||(4)|23 x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图， 再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 例3.求曲线], [sin 320π∈=x x y 与直线,,3 20π==x x x 轴所围成的图形面积。
北师大版数学高二选修2试题 4.3定积分的简单应用--简单几何体的体积
4.3定积分的简单应用 定积分在物理中应用及简单几何体的体积同步练习 1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间 [a ，b ]上的 定积分 ，即?=b a dt t v s )(． 2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是 ()dt t ?-5 3sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走过的路程为 3 25 ． 4．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W = F （b —a ）． 5．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的 功W =?b a dx x F )(． 6．一物体在力F (x ) =10(02)34(2)x x x ≤≤?? +>?（单位：N ）的作用下沿与力F (x )做功为（ B ） A ．44J B ．46J C ．48J D ．50J 7．证明：把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·() Mmh k k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径． 证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f = G ·122 m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2 ()Mm k x +故该物体从地面升到h 处所做的功为 0()h W f x =?d x =20() h Mm G k x ?+?·d x = GMm 201()h k x +? d (k + 1) = GMm 01()|h k x -+ =11()() Mnh GMm k G k h k k h -+=?++． 8．直线2y x =，1x =，2x =与x 轴围成的平面图形绕旋x 轴转一周得到一个圆台，
高二数学导数测试题(经典版)
一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对 ２.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度 为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 ３.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 ４.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ ５.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图 所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-７.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1
常用求导与定积分公式(完美)
一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数 )(x f y =在对应区间 x I 内也可导，且
)(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx =g 或()()y f u x ?'''=g 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+?
定积分的简单应用(6)
§1.7 定积分的简单应用（一） 一：教学目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 解：201y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图阴影部分的面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 33482822044 2222140||(4)|3323 x x x =+-=. 例3.求曲线],[sin 3 20π ∈=x x y 与直线,,3 20π ==x x x 轴所围成的图形面积。 答案： 2 33 2320 = -=? ππo x xdx S |cos sin ＝ 练习 1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。 答案：3 32 33323132 23 1= -+=--? |))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 2 x y =y x = A B C D O
定积分及微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c高中数学导数与积分知识点
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
高中培优讲义定积分及其简单应用
第十三讲定积分及其简单应用 教学目标：1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2、了解微积分基本定理的含义. 一、知识回顾课前热身 知识点1、定积分 (1)定积分的相关概念在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质 ①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. (4)．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 知识点2、微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|b a，即∫b a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)． 基础练习 1.∫421 x d x等于( ) A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 解析：选D ∫421 x d x＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移
导数与定积分单元测试
导数与定积分测试卷 一、 选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1.曲线2)(3 -+=x x x f 在点P 处的切线平行于直线14-=x y ，则点P 的坐标为（ ） )0,1.(A )8,2.(B )0,1.(C 和)4,1(-- )8,2.(D 和)4,1(-- 2.若2)(0'-=x f ，则=--+→h h x f h x f h ) ()(000 lim （ ） 2.-A 4.-B 6.-C 8.-D 3.函数13)(3 +-=x x x f 在]0,3[-上的最大、最小值分别是（ ） 1,1.-A 17,1.-B 17,3.-C 19,3.-D 4.若函数b bx x x f 33)(3 +-=在)1,0(内有极小值，则b 的取值范围是（ ） 10.<b C 2 1.< b D 5.由曲线x x f = )(和3 )(x x g =所围成图形的面积可用定积分表示为（ ） dx x dx x A ? ? + 1 3 1 . dx x dx x B ? ?- 1 1 03 . dx x dx x C ? ? - - 1 1 3 . dx x dx x D ? ? - 1 3 1 . 6.设))(()(),...,()(),()(,sin )('1'12'010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+，则=)(2011x f （ ） x A sin . x B sin .- x C cos . x D cos .- 7.设653 1)(2 3+++= x ax x x f 在区间]3,1[上为单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） ),5.[+∞- A ]3,.(--∞ B ),5[]3,.(+∞- ?--∞C ]5, 5.[- D 8.已知函数2 2 3 )(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10，则b a +的值为（ ） 07.或-A 16-.或B 0.C 7.-D 9.设)100)...(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则=)1(' f （ ） 99.-A ！ 100.-B ！ 100.C ！ 0.D 10.由曲线1,2,===y x e y x 围成的区域的面积为（ ） e e A -2 . 1.2 --e e B 3.2 -e C e D -3.
常用的求导和定积分公式(完美)
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211 )(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21 (arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =， )(x v v =都可导，则
（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'='??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的 反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数）
定积分的简单应用
定积分的简单应用 海口实验中学陈晓玲 一、教材分析 “定积分的简单应用”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章1.7的内容。从题目中可以看出，这一节教学的要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念，计算，几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。 二、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标） 1、知识与技能目标： （1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、过程与方法目标： 通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、情感态度与价值观目标： 通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。 三、教学重点与难点 1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点：将实际问题化归为定积分的问题。 四、教学用具：多媒体 五、教学设计
教学环节教学设计师生 互动 设计意图 一、 创设情境 引出新课1、生活实例： 实例1：国家大剧院的主题构造 类似半球的构造，如何计算建造时中间玻璃段的使用面积？ 边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算使用面积可以通过计算 曲边梯形的面积实现。 实例2：一辆做变速直线运动的汽车，我们如何计算它行驶的 路程？ 2、复习回顾： 如何计算曲边梯形的面积？ 3、引入课题： 定积分的简单应用 学生:观 察。 教师：启 发，引导 学生：思 考，回 忆。 学生：疑 惑，思 考，感 受。 教师：启 发，引 导。 学生：复 习，回忆 老师：引 入课题 数学源于生活，又服 务于生活。 通过对国家大剧院的 观察，创设问题情境，体 验数学在现实生活中的 无处不在，激发学生的学 习热情，引导他们积极主 动的参与到学习中来。 启发学生把物理问题 与数学知识联系起来，训 练学生对学科间的思维 转换和综合思维能力。 学生感受定积分的工 具性作用与应用价值。 在生活实例的启发 下，引导学生把所学知识 与实际问题联系起来，回 忆如何计算曲边梯形面 积。 这是这节课的知识基 础。 引入本节课的课题。 哎呀，里程表坏了，你 能帮我算算我走了多 少路程吗? x y o y f(x) = a b A ?=b a dx x f A) (
知识讲解_定积分的简单应用(基础)
定积分的简单应用 【学习目标】 1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。 【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积： ()[()()]b b a a S f x dx f x g x dx ==-?? 2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线 ()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积： ()()[()()]b b b a a a S f x dx f x dx g x f x dx = =-=-? ?? 3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上 ()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积： ()c a S f x dx = + ? ()b c f x dx ? ＝()c a f x dx -?＋()b c f x dx ?. 4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围
成图形的面积： 1212[()()]()()b b b a a a S f x f x dx f x dx f x dx =-=-??? 要点诠释： 研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积； ② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）； 要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 （1）画出图形； （2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式； （5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。 要点三、定积分在物理中的应用 ① 速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间 [,]a b 上的定积分，即()b a S v t dt =?. ②变力作功 物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W = ()b a F x dx ? . 要点诠释： 1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情 况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】 类型一、求平面图形的面积 【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
1.7定积分的简单应用
§1.7定积分的简单应用（二课时） 一：教学目标 知识与技能：初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；让学生深刻理解定积 分的几何意义以及微积分的基本定理。 过程与方法：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方 法 情感态度与价值观：体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）， 培养学生唯物主义思想。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程：（第一课时） 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x y x ?=?==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 20 0x dx = -? ? ，所以 ?1 20S =x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线3 6y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =- ，曲线y = x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形 2 x y =y x A B C D O
导数与定积分测试题
高二理科数学导数与定积分测试题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1. ?1 0dx e x =（ ） A. 1 B. 1-e C.e D.1+e 2. 曲线2)(3-+=x x x f 的一条切线平行于直线14-=x y ，则切点P 0的坐标为( ) A ．(0，－1)或(1,0) B ．(1,0)或(－1，－4) C ．(－1，－4)或(0，－2) D ．(1,0)或(2,8) 3. 函数)1()1()(2-+=x x x f 在1=x 处的导数等于（ ） A. 1 B.2 C.2 D.4 4. 函数x x x x f -+=23)(的单调递减区间是（ ） A. )31,1(- B. )1,31(- C. )31,1(-- D. )1,31 ( 5. 若2 09,T x dx T =?则常数的值为( ) A. 9 B.-3 C. 3 D. -3或3 6.已知函数x x x f ln )(=，则函数)(x f （ ） A. 在e x = 处取得极小值 B. 在e x = 处取得极大值 C.在e x 1 = 处取得极小值 D. 在e x 1 = 处取得极大值 7.函数f(x)在其定义域可导，)(x f y =的图象如右图所示，则导函数)('x f 的图象为( ) 8.若函数a x x x x f +++-=93)(23在区间[-2,-1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为（ ） A.-5 B.7 C.10 D.-19 9．已知k x kx x f 22)(2++=在(1,2)存在单调递增区间，则k 的取值围是（ ） A. 21 1-<<-k B. 21 1->-k D. 21 -导数与定积分
洞口三中2008年下学期高二数学（理科）训练测试试题 姓名________ 学号_____ 测试内容：选修2-2:导数、定积分以及其简单应用 一、选择题： 1、曲线 3y x =在点)8,2(处的切线方程为（ ） A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 2．设2 1sin x y x -=，则'y =（ ） A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin )1(sin 22--- 3．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18 B ．38/3 C ．16/3 D ．16 4.函数y=2x 3-3x 2 -12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A 、5 、-15 B 、5 、 4 C 、-4、 -15 D 、5 、 -16 5.设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为（ ） A ．单调递增 B 、有增有减 C 、单调递减 D 、不确定 6、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ B ） A. 2e B. e C. ln 2 2 D. ln 2 7、由直线21=x ，x=2，曲线x y 1 =及x 轴所围图形的面 积是（ ） A. 415 B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2 8、若21()ln(2)2 f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数， 则b 的取值范围是（ ） A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞- 9、设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．a>-1/3 D ．a<-1/3 10、已知函数(),()y f x y g x ==的导函数的图象如下图，那么(),()y f x y g x ==图 象可能是 二、填空题
最新定积分的简单应用导学案
定积分的简单应用导 学案
定积分的简单应用导学案 学科：高二数学课型：新授课课时：2课时编写时间：2013－3－15 编写人：邓朝华审核人：陈平班级：姓名： 【导案】 【学习目标】 1．熟练掌握应用定积分求解平面图形的面积问题。 2．掌握应用定积分解决变速直线运动的路程和变力做功等问题。 3．培养学生的建模水平和解决实际问题的能力。 【学习重难点】 重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。 难点：将实际问题化归为定积分的问题。 【学案】 1．计算平面图形面积的一般步骤 在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先____________，再借助 ________________直观确定出____________________以及积分的____________。 2．变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a, b]上的定积分，即s=____________________________. 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10
3．变力作功 （1）恒力F的作功公式 一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为____________。 （2）变力F(x)的作功公式 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a＜b)，那么变力F(x)所作的功为W=________________。 4．例题分析 【例1】计算由曲线y2=x, y=x2所围图形的面积S。 【例2】计算由直线y=x-4，曲线 以及x轴所围图形的面积S. 【例3】一辆汽车的速度-时间曲线如图所示。求汽车在这1min行驶的路程。 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10
