第七章 应力状态

第七章应力状态（训练题）答案

（一）填空与改错题：

1、有 一 个 主 应力不为零时称为单向应力状态；当有 二 个 主 应力不为零时称为二向应力状态或 平面 应力状态；当 三 个 主 应力都不为零时称为三向应力状态或 空间 应力状态；

2、构件受力如图所示，图A ）的危险点在 固定端（如考虑自重），应力状态为 单

向 应力状态，应力大小为（2

4

F

d σπ=）；图B ）的危险点在 BC 段表面，应力状

态为 纯剪切应力状态，应力大小为（max 3

32e

M d

τπ=）；图C ）的危险点在 固定端上下边缘，应力状态为 二向应力状态，应力大小为（max 332Fl

d σπ=，max 3

16e M d

τπ=）；图D ）的危险点在 轴表面 ，应力状态为 二向 应力状态，应力大小为

（max 24F

d σπ=，max

3

16e M d τπ=）。

3、图（1）所示为一单元体的应力状态，已知正应力为σ，切应力为τ=σ/2，则单元体的最大切应力τmax 和沿z 方向的正应变εz 应为 C） 。

),

1(,23),,2)max max μσ

εστσεστ−====E

B E A z z )21(,2),,43)max max μσ

εστσεστ−====E

D E C z z

解：

E

E z σσσμσεσσστσ

σσ

σσσ=

−−=

=−=

∴−==

=)]22([1

4

32

2

,2

,3

1max 321∵

4．图（2）所示为A 、B 两点的应力状态，设σ>τ>0，则A 点处于 三 向应力状态；B 点处于 二 向应力状态，其主应力σ2= σ － τ ；若为脆性材料时，按第一理论进行强度计算，两点中 B 点更危险。

5．当某点主应力σ1，σ2，σ3，及μ已知时，材料的EI =常数。若材料为铸铁，一般应选取第 一 和第 二 强度理论进行强度计算，相当应力应为（11r σσ=）和（()2123r σσμσσ=−+）；若材料为钢，一般应选取第 三 和第 四 强度理论，相当应力为（313r σσσ=−）和（

4r σ=

）。

（二）作图题与计算题：

1、在图示各单元体中，

试用解析法和图解法求斜截面ab 上的应力。应力的单位为MPa 。

A) B)

A) 解：=70MPa x σ，=70MPa y σ−，=0x τ，30α

=

()()

cos 2sin 222

70707070 cos(230)0sin(230)22

35MPa

x y

x y

x ασσσσσατα

+−=

+

−+−−−=+×°−××°= ()sin 2cos 22

7070 sin(230)0cos(230)2

60.62MPa

x y

x ασστατα

−=

+−−=×°+××°=

B) 解：=100MPa x σ，=50MPa y σ，=0x τ，60α

=

cos 2sin 2221005010050 cos(260)0sin(260)22

62.5MPa

x y

x y

x ασσσσσατα

+−=

+

−+−=+

×°−××°=

sin 2cos 2210050 sin(260)0cos(260)2

21.65MPa

x y

x ασστατα−=

+−=×°+××°=

2、应力状态如图，应力单位MPa 。 试用解析法和图解法求：（1）主应力大小，

主平面位置；（2）在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；

（3）最大切应力。

A) B)

A) 解：=50MPa x σ，=0y σ，=20MPa x τ

max min 57MPa 7σσ===− 主平面方位：020

tan 20.85002

2

x

x y

τασσ=−

=−

=−−−

所以，019.33α=−

主应力：157MPa σ=，20σ=，37MPa σ=−

13

max 32MPa 2

σστ−=

=

B) 解：=50MPa x σ，=0y σ，=20MPa x τ−

max min 57MPa 7σσ===− 主平面方位：()020tan 20.8500

2

2

x

x y

τασσ−=−

=−

=−−

所以，019.33α=

主应力：157MPa σ=，20σ=，37MPa σ=−

13

max 32MPa 2

σστ−

=

=

3、锅炉直径D =1m, 壁厚δ=10mm, 内受蒸汽压力p =3 MPa 。试求：（1）壁内主应力 σ1、σ2及最大切应力τmax ；（2）斜截面ab 上的正应力及切应力。

解：（1）沿纵向截开锅炉，由平衡，环向应力1150MPa 2pD

σδ

=

= 沿横向截开锅炉，由平衡，得轴向应力275MPa 4pD

σδ

=

= 壁内主应力1

150MPa σ=，275MPa σ=。另30p σ=−≈，故可视为二向应力状态。

13

max 75MPa 2

σστ−=

=

（2）斜截面ab 上的正应力及切应力

275MPa x σσ==，1150MPa y σσ==，0x τ=，60α=

()()cos 2sin 2227515075150 cos 1200sin 12022 131MPa x y

x y

x ασσσσσατα+−=

+

−+−=+°−×°= sin 2cos 22

75150

sin(260)02

32.5MPa

x y

x ασστατα

−=

+−=×°+=−

4．炮筒横截面如图所示。在危险点处，σt =550 MPa, σr =-350 MPa, 第三个主应力垂直于图面是拉应力，且其大小为420 MPa 。 试按第三和第四强度理论，计算其相当应力。

解：1t 550MPa σσ==，2z 420MPa σσ==，

3r 350MPa σσ==− r313900MPa σσσ=−=

4 842.56MPa

r σ=

=

（三）附加题：

1、列车通过钢桥时，在钢桥横梁的A 点用变形仪量得εx =0.0004, εy =-0.00012。试求A 点在x—x 及y—y 方向的正应力。设E =200 GPa, μ=0.3。并问这样能否求出A 点的主应力？

解：因为0

z σ=，根据广义胡克定律