浮点数表示方法总结

1.关于浮点数的问题 浮点数的一般格式：

格式（1） 格式（2）

注意：（1）一般浮点数尾数采用纯小数（隐含位为0）来表示，即尾数M 与定点小数表示方法相同，由于

尾数的符号位决定整个浮点数的符号，故有时采用格式（2）的形式；

（2）当尾数真值为0（不论阶码何值），或阶码的值比能在机器中表示的最小值还小，计算机把该浮

点数看成零值，称为机器零，即浮点数表示不了真值绝对值很接近0的数，只能看成0处理； （3）尾数通常用原码或补码表示，阶码一般用移码或补码表示，如无特别说明，采用课本44页移

码表示方法。

浮点数表示范围：

⨯最大阶码

最大正数=最大正尾数2

⨯最小阶码最小正数=最小正尾数2

⨯最小阶码

最大负数=最大负尾数2

⨯最大阶码最小负数=最小负尾数2

那么给定一浮点数的表示形式，包括符号、阶码、尾数各占位数及其采用哪种机器码表示，如求其能表示最大负数，转化为求这种表示形式的能表示的最大负尾数，最小阶码。 浮点数规格化表示：

为了提高数据的表示精度，当浮点数尾数的真值不为 0 时，满足条件112≤≤尾数真值，称为一般

浮点数的规格化表示。如没特别说明，指的是一般的非规格化浮点数。注意规格化浮点数与一般浮点数一样，隐含位也是0，仅仅对尾数真值加上这一约束条件而已。对于不同码制，特征如下： （1）尾数原码表示： （采用形式（1），按照尾数数值位为n 位）

①尾数>0时，其尾数部分形式尾数符号

1位

尾数数值n 位

01XXXXXXXXXXXXXXXXXX

称为规格化

最大：尾数部分0111…11，真值为12n

--；

最小：尾数部分0100…00，真值为

12

； ②尾数<0时，其尾数部分形式尾数符号1位

尾数数值n 位

1

1XXXXXXXXXXXXXXXXXX

称为规格化

最大：尾数部分1100…00，真值为12

-

； 最小：尾数部分1111…11，真值为(12)n

---；

阶码符号尾数符号

数值

阶码符号

尾数符号0

（2）尾数补码表示：（采用形式（1），按照尾数数值位为n位）

①尾数>0时，其尾数部分形式尾数符号

1位

尾数数值n位

01XXXXXXXXXXXXXXXXXX称为规格化

最大：尾数部分0111…11，真值为12n-

-；

最小：尾数部分0100…00，真值为1 2

；

②尾数<0时，其尾数部分形式尾数符号

1位

尾数数值n位

10XXXXXXXXXXXXXXXXXX称为规格化

（注意：某些书上对此含糊其辞，参考清华（郑纬民：计算机系统结构）与上交大的书，以此为准！）

最大：尾数部分1011…11，真值为

1

(2) 2

n

-

-+；

最小：尾数部分1000…00，真值为-1；关于IEEE745浮点数：

表示形式

数值1位

（1）IEEE754浮点数短浮点数和长浮点数尾数隐含位为1，临时浮点数没有隐含位，注意阶码的偏置值与

一般浮点数不同，对于单精度和双精度数

(1) 1.2

s

m E

m-

=-⨯⨯偏置值表示真值

；

短浮点数和长浮点数尾数采用隐含位为1称之为规格化的IEEE短浮点数与长浮点数（注意区别一般的规格化浮点数）。IEEE标准中也引入了非规格化浮点数，规定当浮点数的指数为允许的最小指数值时，尾数不必是规格化（Normalized）的。有了非规格浮点数，去掉了隐含的尾数位的制约，可以保存绝对值更小的浮点数。

（2）机器零表示为全0；

（3）无限大数阶码全1，尾数全0，符号位指示正无穷或者负无穷。若阶码全1，尾数不全0，表示NaN （非数字）。

（4）由于（2）（3）原因，单精度数阶码部分不能使用和00000000，双精度阶码不能使用和00000000000。

2.课本习题3-4解答

以下解答采用浮点数表示形式（1），注意本题目不是IEEE754的格式！！！！！指的是一般浮点数。

（1）根据浮点数的表示范围，实质上是找到最大正尾数、最大阶码的表示及其真值（没有特别指出指的是一般格式浮点数，不用考虑规格化）

阶码：移码（课本44-45页），故全1时最大；尾数：补码

二进制表示为：

011111111111111111111111

11111111

真值：23127

(12)2

-

-

（2）实质上是找到最小负尾数、最大阶码（没有特别指出指的是一般格式浮点数，不用考虑规格化）

二进制表示为：

100000000000000000000000

11111111

真值：127

2-

（3）规格化需要特别注意其尾数的形式！！！尾数为补码，注意其正、负的表示形式

最大正数形式：

01111111111111111111111111111111真值：23127(12)2-- 最小正数形式：

01000000000000000000000000000000真值：128122

-

最大负数形式：

10111111111111111111111100000000真值：231281(2)22

---+

最小负数形式：

10000000000000000000000011111111真值：1272-

3.关于IEEE754标准表示范围的讨论（以短浮点数为例）

IEEE754标准的短浮点数采用偏置值为127的移码作为阶码，尾数采用原码表示，规格化的IEEE 短浮点数有隐含位为1。（注意区别于一般的浮点数的特点）故规格化的IEEE 短浮点数表示范围讨论如下： 最大正数，考虑到阶码的取值限制，只能取00000，故形式为

11111111111111111111111011111110真值：23127(22)2-- 最小正数：00000000000000000000000000000001真值：1262- 最大负数：

00000000000000000000000100000001真值：1262--

最小负数：

11111111111111111111111111111110真值：23127(22)2---

另，当全0时，用来表示浮点0

关于规格化的IEEE 长浮点数的范围，请大家自行推理研究。

上次考试原题：IEEE754标准规定32位浮点数格式中，符号位1位，阶码为8位，尾数为23位，则能表示的最大规格化正数为： A.23

127(22)2-++-⨯ B.23127(12)2-++-⨯ C.23255(22)2-++-⨯ D.1272322+-

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（1）数据表示这部分机器码中补码作为重点及难点，对于数据的表示，着重从其设计思想上理解，如果实在是不能够理解和推导出这几种机器码的表示方式及范围，只能记住了；对于求数值的机器数，比如负数的补码，可以采用公式，也可采用符号位为1，数值位取反末位加1去得到，反过来求机器数的真值道理亦然；

（2）浮点数这部分是难点，请大家仔细阅读本文，应该能区别开一般的作为理论研究的浮点数，一般的规格化浮点数以及在IEEE754标准下的浮点数之不同；

（3）关于数据表示的内容，课堂上只学到了最基本的，其实还有很多，比如按照某种要求设计一种浮点数，某种浮点数的表示方法的评价标准包括表数精度、表数效率、基值选择、格式设计等等，计算机系统结构学科关于这部分的内容很多很多，有兴趣同学可参考清华大学教授郑纬民编写的《计算机系统结构》一书。