IEEE浮点数的表示方法及规则
位单精度浮点数的IEEE表示法
32位单精度浮点数的IEEE表示法float 共计32位(4字节)31位是符号位，1表示该数为负，0反之30~23位，一共8位是指数位(-128~127)22~ 0位，一共23位是尾数位，尾数的编码一般是原码和补码IEEE标准从逻辑上用三元组{S,E,M}表示一个数N,如下图所示：n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。
其中，S(sign)表示N的符号位。
对应值s满足：n>0时，s=0; n<0时，s=1。
E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。
对应值e值也可正可负。
M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位于N末尾。
M也叫有效数字位（sinificand）、系数位（coefficient）, 甚至被称作“小数”。
IEEE标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。
前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。
限于篇幅，本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。
★单精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。
★双精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。
值得注意的是，M虽然是23位或者52位，但它们只是表示小数点之后的二进制位数，也就是说，假定 M为“010110011...”, 在二进制数值上其实是“.010110011...”。
而事实上，标准规定小数点左边还有一个隐含位，这个隐含位通常，哦不，应该说绝大多数情况下是1，那什么情况下是0呢？答案是N 对应的n非常小的时候，比如小于 2^(-126)(32位单精度浮点数)。
不要困惑怎么计算出来的，看到后面你就会明白。
总之，隐含位算是赚来了一位精度,于是M对应的m最后结果可能是"m=1.010110011...”或者“m=0.010110011...”计算e、m首先将提到令初学者头疼的“规格化(normalized)”、“非规格化(denormalized)”。
IEEE浮点数标准
IEEE浮点数标准
现在计算机中，浮点数⼀般采⽤ IEEE 制定的国际标准，这种标准形式如下：
数符S 阶码（含阶符） 尾数
|
⼩数点位置
按 IEEE 标准，常⽤的浮点数有三种：
符号位S 阶码尾数总位数
短实数（单精度） 1 8 23 32
长实数（双精度） 1 11 52 64
临时实数（扩展精度） 1 15 64 80
其中 S 为数符，它表⽰浮点数的正负，但与其有效位（尾数）是分开的。
阶码⽤移码表⽰，阶码的真值都被加上⼀个常数（偏移量），如短实数、长实数和临时实数的偏移量分别⽤⼗六进制表⽰为 7FH、3FFH 和 3FFFH。
尾数部分通常都是规格化表⽰，即⾮ 0 的有效位最⾼位总是 1，但在 IEEE 标准中，有效位呈如下形式：
1★ffff……fff
其中★表⽰假想的⼆进制⼩数点。
在实际表⽰中，对短实数和长实数，这个整数位的 1 省略，称隐藏位；对于临时实数不采⽤隐藏位⽅案。
参考：《计算机组成原理》，唐朔飞，233-234 页
关于浮点数的参考⽂章：
1. /developerworks/cn/java/j-jtp0114/index.html
2. /lanmuyd.asp?id=1986。
IEEE_754关于浮点数的规定
习题: 1.将下列十进制数用16进制IEEE 754 单精 度代码表示 (1) –35 (2) 3.75 (3) 5 2.将下列16进制IEEE 754 单精度代码转换成 十进制数 (1) 41F00000 (2) BF600000 (3) 3F800000
例1 把十进制数100.25转换成协处理器中的 浮点数 解：1、进制转换： (100.25)10＝(1100100.01)2 2、规格化： (1100100.01)2＝1.10010001×26 ＝1.10010001×2110 3、计算阶码： 110+01111111＝10000101 4、数值的符号位为：0， 阶码为：10000101， 尾数为： 1001 0001 0000 0000 0000 000
一、 IEEE754对阶码作如下规定
偏移阶码E 0 1 2 … 127 128 129 … 254 255 实际阶码值 保留做操作数 -126 -125 0 1 2 127 保留做操作数
二、对上溢和下溢的处理 当运算结果小于规格化浮点数所能表示的 最小值时，以前硬件处理策略，或者结果置0 或者产生一个下溢陷阱，这两种方案均不能 令人满意。 IEEE754 处理方法是使用非规格化数。 这时阶码为0（即移码-127），尾数没有隐含 位，最高位是0。 这样的结果是降低精度，扩大表示范围。 如原来规格化单精度最小值是 1.0x2-126, 而非 规格化单精度最小值是2-23 x2-126=2-149(只有1 位有效位) 。
255 255
任意
0 非0
规格化数
±无穷大 NaN
三、十进制数转换成浮点数的步骤 1、将十进制数转换成二进制数：整数部分用 2来除，小数部分用2来乘； 2、规格化二进制数：改变阶码，使小数点前 面仅有第一位有效数字； 3、计算阶码： 短型浮点数的阶码加上偏移量7FH 长型浮点数的阶码加上偏移量3FFH 扩展型浮点数的阶码加上偏移量3FFFH 4、以浮点数据格式存储。 把数值的符号位、阶码和尾数合在一起 就得到了该数的浮点存储形式。
ieee标准浮点数
ieee标准浮点数
IEEE标准浮点数是一种用于表示和执行浮点数运算的计算机标准。
IEEE标准浮点数采用了IEEE 754标准，该标准定义了浮点数
的表示形式、运算规则和异常处理等方面的规范。
IEEE 754标准定义了两种浮点数格式，单精度浮点数和双精度
浮点数。
单精度浮点数使用32位来表示一个浮点数，其中1位用于
表示符号位，8位用于表示指数部分，23位用于表示尾数部分。
双
精度浮点数使用64位来表示一个浮点数，其中1位用于表示符号位，11位用于表示指数部分，52位用于表示尾数部分。
IEEE标准浮点数的表示形式包括正负零、正无穷大、负无穷大
和NaN（非数值）。
正负零表示正数和负数的零，正无穷大表示一
个超过浮点数范围的正无穷大值，负无穷大表示一个超过浮点数范
围的负无穷大值，NaN表示一个无法表示的或者未定义的值。
IEEE标准浮点数的运算规则包括加法、减法、乘法和除法等基
本运算，以及取反、开方和取整等附加运算。
这些运算规则考虑了
浮点数的精度、溢出、舍入和异常处理等情况，以确保浮点数运算
的准确性和可靠性。
在使用IEEE标准浮点数时，需要注意浮点数的精度损失和舍入误差。
由于浮点数的表示形式是有限的，因此在进行浮点数运算时可能会出现精度损失。
此外，由于浮点数的运算结果需要舍入到最接近的可表示值，因此可能会出现舍入误差。
总结来说，IEEE标准浮点数是一种用于表示和执行浮点数运算的计算机标准，它定义了浮点数的表示形式、运算规则和异常处理等方面的规范。
使用IEEE标准浮点数时需要注意精度损失和舍入误差。
ieee 754-1985 浮点数表示方法
IEEE 754-1985 浮点数表示方法一、背景介绍IEEE 754-1985是一种用于计算机系统中浮点数表示的标准。
这一标准定义了浮点数的格式、表示范围、精度以及运算规则，是科学计算、工程计算和数据处理中广泛使用的一种标准。
它的出现改变了以往各种不同计算机系统之间浮点数表示的不一致性，促进了软件开发和数据交换的统一和规范化。
二、基本结构IEEE 754-1985标准定义了三种不同的浮点数格式：单精度、双精度和扩展双精度。
其中，单精度浮点数占用32位，双精度浮点数占用64位，扩展双精度浮点数占用80位。
这三种浮点数格式都包括三个部分：符号位(S)、指数位(E)和尾数位(M)。
具体的格式如下：1. 单精度浮点数符号位：1位指数位：8位尾数位：23位2. 双精度浮点数符号位：1位指数位：11位尾数位：52位3. 扩展双精度浮点数符号位：1位指数位：15位尾数位：64位三、浮点数表示范围根据IEEE 754-1985标准，不同格式的浮点数可以表示的范围也不同。
以双精度浮点数为例，它可以表示的范围大约是1.7 x 10^(-308)到1.7 x 10^308，而单精度和扩展双精度浮点数的表示范围也可以根据其格式类似地计算出来。
四、浮点数表示精度除了表示范围之外，IEEE 754-1985标准还规定了浮点数的表示精度。
双精度浮点数具有大约15位有效数字，这意味着它的表示精度可以达到小数点后15位。
单精度和扩展双精度浮点数的表示精度也可以通过类似的方式得出。
五、浮点数运算规则IEEE 754-1985标准还规定了浮点数的运算规则，包括加减乘除、开方、取模等一系列运算。
这些运算规则不仅规定了浮点数之间的运算规则，还规定了特殊值(如正无穷、负无穷、NaN)的处理方式，以及溢出、下溢等异常情况的处理方式。
六、浮点数表示的优缺点根据IEEE 754-1985标准，浮点数可以表示大范围的数值，并且具有较高的精度，这使得它在科学计算和工程计算中得到了广泛的应用。
ieee 754标准的浮点数表示方法
ieee 754标准的浮点数表示方法
IEEE 754标准定义了浮点数的表示方法，包括单精度和双精
度浮点数。
单精度浮点数（32位）的表示方法如下：
- 1位符号位（S），用来表示正负号，0表示正数，1表示负数。
- 8位指数位（E），用来表示指数部分，采用偏移表示法，即
真正的指数值等于E - 127，其中E的取值范围为1到254，保留了0和255两个特殊值。
- 23位尾数位（M），用来表示尾数部分，在计算机内部以二
进制表示的小数部分。
双精度浮点数（64位）的表示方法如下：
- 1位符号位（S），用来表示正负号，0表示正数，1表示负数。
- 11位指数位（E），用来表示指数部分，采用偏移表示法，
即真正的指数值等于E - 1023，其中E的取值范围为1到2046，保留了0和2047两个特殊值。
- 52位尾数位（M），用来表示尾数部分，在计算机内部以二
进制表示的小数部分。
根据上述规定，浮点数的数值表示为：(-1)^S * (1.M) * 2^(E-
偏移值)。
其中，(1.M)表示1加上尾数M的二进制表示值，偏移值为
127（对于单精度浮点数）或1023（对于双精度浮点数）。
例如，对于单精度浮点数0.15625，其二进制表示为：
- 符号位S为0表示正数。
- 指数位E为3，表示指数部分为3 - 127 = -124。
- 尾数位M为10000000000000000000000（二进制表示），表示尾数部分。
因此，浮点数0.15625的IEEE 754标准单精度表示为：0 01111100 10000000000000000000000。
ieee754浮点数的标准运算
IEEE 754标准是浮点数运算中广泛使用的一种标准，它定义了浮点数的表示和算术运算规则。
使用IEEE 754标准的浮点数在计算机科学和工程中扮演着重要的角色，因此对其标准运算进行深入的学习和理解具有重要意义。
1. IEEE 754浮点数的表示IEEE 754标准定义了浮点数的表示方式，它主要由三部分组成：符号位、指数位和尾数位。
具体而言，对于单精度浮点数，其总位数为32位，其中1位表示符号位，8位表示指数位，23位表示尾数位；对于双精度浮点数，其总位数为64位，其中1位表示符号位，11位表示指数位，52位表示尾数位。
通过这种表示方式，可以表示从非常小的数到非常大的数，以及在这些数之间的所有可能数值。
2. IEEE 754浮点数的算术运算IEEE 754标准定义了浮点数的算术运算规则，包括加法、减法、乘法和除法。
在这些算术运算中，需要考虑到浮点数的表示方式和精度限制，以及可能出现的溢出和舍入误差。
在进行浮点数的算术运算时，需要特别注意以下几点：a. 舍入误差由于浮点数的表示精度是有限的，因此在进行算术运算时往往会产生舍入误差。
这种误差可能会在多次运算后累积，导致最终结果的精度下降。
为了尽可能减小舍入误差，可以使用一些数值稳定的算法和技巧，例如Kahan算法和扩展精度算法等。
b. 溢出和下溢在进行加法、减法、乘法和除法运算时，需要考虑到可能出现的溢出和下溢情况。
当两个大数相加或相乘时，很可能会超出浮点数所能表示的范围，导致溢出；而当两个小数相减或相除时，很可能会得到一个接近于零的结果，导致下溢。
为了避免这些情况的发生，可以采用一些有效的方法，例如对数据进行归一化处理、使用大数运算库等。
3. IEEE 754浮点数的特殊值在IEEE 754标准中，还定义了一些特殊的浮点数值，例如正无穷大、负无穷大、NaN（Not a Number）等。
这些特殊值在实际计算中往往需要特别处理，以避免产生不确定的结果。
IEEE标准的位浮点数格式
试1将-（0.11）用IEEE短实数浮点格式表示。
2
31 30
23 22
0
S
数符
阶码
尾数
解：-（0.11) = -（1 + 0.1） 2 -1 ；隐含尾数最高位为1 2 数符：为1
阶码：阶码 = 阶码真值 + 127= -1+127=126=（01111110）2 尾数：为 0.100 0
该浮点代码为 1,01111110,100 0
符号位=0 阶码=10000101 尾数=10010001000000000000000 短浮点数代码为
0,100 0010 1,100 1000 1000 0000 0000 0000 表示为十六进制的代码：42C88000H短。浮点数格式
把浮点数C1C90000H转成十进制数。 ⑴ 十六进制→ 二进制形式，并分离出符号位、阶码和尾数。
IEEE754标准的32位浮点数格式
IEEE754标准的32位浮点数格式为：
31 30
S
23 22
0
数符
阶码
尾数
S：数符，0正1负。 阶码：8位以2为底，阶码 = 阶码真值 + 127 。 尾数：23位，采用隐含尾数最高位1的表示方法，
实际尾数24位，尾数真值 = 1 + 尾数 这种格式的非0浮点数真值为：（-1）S 2阶码-127（1 + 尾数）
(11001.001)2=(25.125)10 所以，该浮点数=-25.125
阶码8位
尾数23位
例3：将(100.25)10转换成短浮点数格式。 ⑴ 十进制数→二进制数 (100.25)10=(1100100.01)2 ⑵ 非规格化数→规格化数 1100100.01=1.10010001×26 ⑶ 计算移码表示的阶码（偏置值＋阶码真值）
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计算机组成原理课程作业报告
解决的问题： IEEE浮点数的表示方法及规则
班级： 10021101
学号： 2011302610
姓名：最天使
日期： 2013年10月29日
一、什么是IEEE754标准
1．两种基本浮点格式：单精度和双精度；
2．两种扩展浮点格式：单精度扩展和双精度扩展；
3．浮点数运算的准确度要求：加、减、乘、除、平方、余数，将浮点格式的数舍入为整数值；
4．在十进制字符串和两种基本浮点格式之一的二进制浮点数格式之间的转换的准确度、单一性和一致性要求；
5．五种异常：乘、除、平方根、余数、在不同浮点格；
6．四种舍入方向：
①向最接近的可表示的值：Round(0.5) = 0; Round(1.5) = 2; Round(2.5) = 2;
②当有两个最接近的可表示的值时首选“偶数”值；
③向负无穷大（向下）：floor(1.324) = 1 floor(-1.324) = -2
④向正无穷大（向上）以及向（截断）：C/C++ 函数ceil() ceil(1.324) = 2 Ceil(-1.324) = -1;
二、IEEE754表示浮点数的格式参数：
类型存储位数偏移值
数符S （位）阶码E
（位）
尾数M
（位）
总位数
（位）
十六进制十进制
短实数 1 8 23 32 0X7FH +127 长实数 1 11 52 64 0X3FFH +1023 临时实数 1 15 64 80 0X3FFFH +16383
特殊情况：
对于阶码为0或者255时，IEEE有特殊的规定:
1．如果E是0并且M是0，这个数+0（和符号位相关）；
2．如果E=2-1并且M是0，这个数是正负无穷大（和符号相关）；
3．如果E=2-1并且M不是0，这个数表示为不是一个数（NaN）。