常微分方程的基本概念

故C也可以等于零
于是得到方程
dy 2 xy dx
x2
通解
y Ce
(C R)
(2) [解]
分离变量
两端积分, 得 通解
2
dy 1 y 3x y dx
2 2
dx 2 2 3x 1 y
y dy
1 1 2 2 1 y C 2 3x
1 1 y C 3x
2
注意： y 1 ,即y 1也是方程的解 ! 奇异解
dy y y [例1] tan dx x x
dy x y [例2] dx x y
这两个方程的共同特点是什麽 ?
可化为
dy y g( ) dx x
y 1 dy x dx 1 y x
齐次型方程
dy du y u x 即 y xu 求解方法 令 u dx dx x 可分离变 这是什麽方 代入得到 du g ( u) u 程？ 量方程！ dx x
例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系.
dv 解: 根据牛顿第二定律列方程 m mg k v dt 初始条件为 v t 0 0
对方程分离变量, 然后积分 : 得


( 此处 mg k v 0 )
2 2
标准形式： dy p( x) y q( x) dx dy p( x) y 0 dx
5. 3 一阶线性微分方程
(1)
非齐次 齐次
(2)
(1) 如何解齐次方程？
dy p( x ) y 0 dx dy p( x )dx 分离变量 y
解得
y ce
p ( x ) dx
这类方程的解法，通常是先将变量分离，再两边积分即可 .
[例1] 解方程
dy (1) 2 xy dx
这两个方程的共同特点 是变量可分离型
2
( 2)
dy 1 y 3x y dx
2
分离变量 dy f ( x )( y ) dx
g( y) dy f ( x ) dx
两边积分 g ( y ) dy f ( x ) dx C 通解
问题的提出： A.求曲线方程
例 1 一曲 线通过 点 (1,2), 且在 该 曲线 上任一 点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为2 x ,求这曲线的方程.
解
设所求曲线为 y y( x ) dy 2x y 2 xdx 即 y x 2 C , dx
其中 x 1时, y 2
1.微分方程的基本概念
2.一阶常微分方程
3.二阶线性微分方程
学科背景 十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。
求得C 1,
所求曲线方程为 y x 2 1 .
B.质点自由下落
一质点在重力作用下自由下落（不计空气阻力），试求 质点下落距离S与时间t的函数关系。 解：将质点的初始位置取为原点，沿质点运动方向 取正向。已知自由落体的加速度为g,即：
d2S g, 2 dt
dS dS 将上式改写成d( ) gdt , 两边积分得： gt C1 , dt dt 1 2 再积一次分得： S gt C1t C2 , 其中C1，C2为任意常数 . 2
1 2u u2 即 xu' 两端积分 1 u 1 2 1 u 1 d ( u 2u 1) 1 du dx 凑微分 2 dx 1 2u u2 x 2 1 2u u x 1 2 ln( u 2u 1) ln x ln C1 得 2
C u 2u 1 2 x
[例1] 的解 :
分离变量 两端积分
y 则 dy u x du , 代入得到 令u dx dx x
dx cot u du x ln | sinu | ln | x | C 1
du u x u tan u dx
sinu eC1x Cx
(C 0)
由此又得到
y x arcsin( Cx )
说明:
y2 2C ( x C ) 2
A
y
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
顶到底的距离为 h , 则将
2
o h
d
x
( C , 0)
d2 代入通解表达式得 C 8h 这时旋转曲面方程为
2 2 d d y2 z2 x 4h 16h
补充题： dy 1 1.求微分方程 1的通解. dx x y 2.求微分方程(y x )dx xydy 0
定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高 阶数称为微分方程的阶.
例如
一阶
dy 4x2, dx
d 2 d g 0 2 dt m dt l
二阶
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
定义3: ( 微分方程的解)
如果把函数y y( x) 代入微分方程后使方程 成 为恒等式, 则称函数 y y( x) 是微分方程的一个解 . 微分方程的通解： n 阶常微分方程 的包含n 个独立的任意常数， 且常数个数与微分方程 的阶数相同的解
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v k t mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
5.2.2 可化为可分离变量的方程
y 形如 y ' f ( )的微分方程称为 齐次微分方程 . x y 解齐次方程时,通常用变量替换法,即 设u , x
或 f ( x ) dx g( y) dy
2. 可化为可分离变量
3. 一阶线性方程
dy p( x ) y q( x ) dx
5.2.1可分离变量的微分方程
如果一阶微分方程
dy f ( x, y ) dx
右端的f ( x, y )可以表示为x的函数g ( x )和y的函数h( y )的乘积， dy 即f ( x, y ) g ( x )h( y ),则形如 g ( x )h( y )的方程，称为 dx 可分离变变量的微分方 程.
2
通解 y2 2 xy x 2 C
[例3] 求 y' cos(x y ) 的通解。
[解]
令 x y u,
1 y' u'
du dx 1 cos u
则 u' 1 cosu
du 1 cos u dx

du u 2 sin 2
2
dx
将这个解代入(1) , 经计算得到
C( x) y1 ( x) C ( x) y1 ' ( x ) p( x )C ( x ) y1 ( x ) q( x )
y1 ( x ) 是 （ 2 ）的解，
C ( x) y1 ' ( x) p( x)C ( x) y1 ( x) 0
y f ( x , C1 , , Cn )
称为微分方程的通解. 通解中各任意常数取特定值时所得到的解称为特 解.
定义5: ( 积分曲线 与积分曲线族)
积分曲线族
通解y f ( x, C )对应于 xy平面上的一族曲线， 称为积分曲线族 .
例.验证函数y C1 coskx C2 sin kx(k是非零常数) d y 2 是微分方程 2 k y 0的通解.并求满足初始条件 dx dy y x 0 A, x 0 0特解. dx
(C 0 )
注意 : y 0 也是原方程的一个解 , 所以可以有C 0
通解
y x arcsin( Cx ) (C R )
dy x y [例2] dx x y [解] 令 u y , y ux , x
1 u 则 u xu' 1 u
y' u xu'
通解
x y cot xC 2
dy dy xy 满足初始条件 例3 求方程 y x dx dx y(1) 1 的特解.
2 2
dy y2 ( y / x )2 解 原方程变形为 , 2 dx xy x y x 1 dy du y u x , 作变量代换 u , y xu , dx dx x
(齐次方程)
dv y 1 v 2 dy
x 令v , y
dx dv v y dy dy
积分得 ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C
y 2 2y v y 2 2 1 故有 ( v ) 1 v C C C2 C 2 得 y 2 C ( x ) (抛物线) 2 故反射镜面为旋转抛物面.
du u2 代入原方程得 u x , dxwenku.baidu.comu 1
du u2 u u 即 x , dx u 1 u1
du u u 即 x u , dx u 1 u1
2
1 dx 分离变量得 (1 ) du , u x 积分得： u ln | u | ln | x | C ,
或写成
u ln | xu | C ,
y y ln | y | C ； 再将 u 代入,得通解为 x x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
y 于是得所求特解为 ln | y | 1 . x
例 在制造探照灯反射镜面时要求点光源的光线反 , 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 解: 设光源在坐标原点, 取x 轴平行于光线反射方向, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,
2
1.微分方程的通解和特解有何区别和联系? 2.判断下列函数是否是微分方程 y 2 y 0 的解，是通解还是特解?
(1) (3)
y Ce
y 2e
2x
(2) (4)
y Ce
y 2e
2 x
2 x
2x
§5.2 一阶常微分方程
主要类型 1. 变量可分离型
dy f ( x ) g ( y) dx
y

由光的反射定律: 入射角 = 反射角
可得 OMA = OAM =
M
T
y
从而 AO = OM y 而 AO AP OP y cot x x y
A o P
x
OM x 2 y 2
于是得微分方程 :
y x x2 y2 y
利用曲线的对称性, 不妨设 y > 0, 于是方程化为
(1) [解]
ln y x C1
2
分离变量
两边积分
1 y dy 2 x dx
1 dy 2 x dx y
即
C1 x2
y e
x 2 C1
e e
x 2 C1
当y 0时,
ye e
C1
当 y 0时,
x2
y e e
(C 0)
C1 x 2
记 C e , 则有 y Ce 注意：y 0 也是方程的解 !
齐次通解
(2)用常数变易法解非齐次方程
dy p( x ) y q( x ) dx dy p( x ) y 0 dx (1) ( 2)
p ( x ) dx
对应于(1)的 齐次方程
( 2) 的通解为 y Ce
Cy1 ( x )
假定(1)的解具有形式
y C ( x ) y1 ( x )
将齐次方程化为可变量分离的方程.
dy du du 由y ux, u x , 代入原方程, 得u x f (u ) dx dx dx du dx du 分离变量得: , 两边积分得 ln x C , f (u ) u x f (u ) u y 求出积分后 , 再用 代替u,即得原方程的通解 . x
5.1 微分方程的基本概念
定义1: 含有未知函数的导数的方程称为微 分方程.
未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微 分方程称为常微分方程. 2 dy d S 2 x ， 例如 g, 2 dx dt 注意 : 微分方程中，未知函数及自变量可以不出现，
但未知函数的导数必须出现.
未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程.