工程数值方法详解
数值方法文档
数值方法什么是数值方法数值方法是一种用于解决数学问题或近似计算的方法。
它主要是通过将问题转化为数值格式，然后使用计算机进行计算得出近似解。
数值方法主要应用于数学、物理、工程等领域，用于解决无法用解析方法求解的复杂问题。
数值方法的分类数值方法可以分为以下几类：1.插值方法：插值方法用于根据给定的数据点估计在这些数据点之间的未知函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值等。
2.数值积分方法：数值积分方法用于计算给定函数在给定区间上的积分值。
常用的数值积分方法有梯形规则和辛普森规则等。
3.数值微分方法：数值微分方法用于计算给定函数在给定点处的导数值。
常用的数值微分方法有前向差分和中心差分等。
4.数值求解方法：数值求解方法用于解决非线性方程、线性方程组和常微分方程等数学问题。
常用的数值求解方法有牛顿法、高斯消元法和龙格-库塔方法等。
数值方法的优缺点数值方法的优点包括：•可以解决复杂的数学问题，如高维积分、微分方程等，这些问题往往难以用解析方法求解。
•可以通过计算机进行计算，加快计算速度，提高计算精度。
•可以处理大规模的数据，适用于工程和科学计算等领域。
数值方法的缺点包括：•数值方法只能得到近似解，无法得到精确解。
因此，结果的准确性受到数值误差的影响。
•数值方法的计算复杂度较高，需要大量的计算和存储资源。
数值方法的应用领域数值方法广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1.物理学：数值方法在物理学中被用于计算粒子的运动轨迹、电磁场、流体力学等。
2.工程学：数值方法在工程学中被用于模拟和优化结构力学、流体力学、传热传质问题等。
3.经济学：数值方法在经济学中被用于计算经济模型、风险评估、投资决策等。
4.计算机科学：数值方法在计算机科学中被用于算法设计、图形学、模拟等。
结语数值方法是一种解决复杂数学问题的有效方法，它可以通过将问题转化为数值格式，并利用计算机进行计算得出近似解。
数值方法在各个领域都有广泛的应用，它在物理学、工程学、经济学和计算机科学等领域发挥着重要的作用。
有限单元法基本原理和数值方法
有限单元法基本原理和数值方法1. 引言有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场及热传导等领域中。
本文将介绍有限单元法的基本原理和数值方法，并阐述其在工程实践中的应用。
2. 基本原理有限单元法的基本原理是将复杂的连续体问题离散化为若干简单的子域，即有限单元。
每个有限单元由一个或多个节点组成，通过将子域内的导数方程或平衡方程转化为代数方程，再通过求解这些代数方程得到全局解。
有限单元法的基本步骤如下： - 确定问题的几何形状和边界条件； - 将几何形状分割为有限个单元，并为每个单元定义适当的数学模型； - 根据单元的数学模型建立刚度矩阵、质量矩阵等，并通过组装成全局矩阵； - 应用合适的边界条件，并求解线性或非线性代数方程组； - 根据代数方程组的解，计算各个单元内部的物理量。
3. 数值方法有限单元法中常用的数值方法包括： - 剖分方法：将连续域剖分为若干简单的有限单元，常用的有三角形剖分和四边形剖分。
- 元素类型：根据问题的特性选择合适的单元类型，如线性元、三角元、四边形元等。
- 积分方法：采用高斯积分等方法对每个单元内的积分方程进行数值求解。
- 方程求解：对线性方程组采用直接法（如高斯消元法）或迭代法（如共轭梯度法）进行求解。
- 后处理：根据问题的要求，进行应力、位移、应变等物理量的计算和显示。
4. 应用实例有限单元法广泛用于工程实践中，以下为其常见应用实例：- 结构力学：用于模拟建筑物、桥梁、飞机等结构的应力和变形。
- 流体力学：用于模拟流体在管道、水槽、风洞等中的流动。
- 电磁场：用于模拟电磁场在电路、电机、天线等中的分布。
- 热传导：用于模拟热传导在导热管、散热器、热交换器等中的传热情况。
5. 结论有限单元法作为一种数值计算方法，在工程实践中得到了广泛应用。
通过将连续问题离散化为有限单元，再通过数值方法求解代数方程组，可以获得连续问题的近似解。
土木工程中的数值方法-5-有限单元法-平面问题的有限单元法
3.平面三节点三角形单元 3.1 位移函数
如果把弹性体离散成为有限 个单元体，而且单元很小时，就 很容易利用其结点的位移，构造 出单元的位移插值函数，即位移 函数。
三角形单元
1
2
位移函数矩阵形式：
ux vx
y y
1 0
x 0
y 0
0 1
0 x
0 y
3 4
简写为： f M
5
6
土木工程中的数值方法 ——平面结构的有限单元法
主要内容
1.平面应力问题与平面应变问题 2. 平面问题的离散化 3. 平面三结点三角单元 4. 面积坐标
1.平面应力问题与平面应变问题
严格地说，任何弹性体都是处于三维受力状态，因而都 是空间问题，但是在一定条件下，许多空间问题都可以 简化成平面问题。 平面问题可以分为两类：平面应力问题和平面应变问题。
平面应力问题
平面应力问题的应力应变转换矩阵
即弹性矩阵为：
D
E
1
1
0 0
1 2
0
0
1
2
1.平面应力问题与平面应变问题 平面应变问题
图示为一圆形涵洞的横截面。其长度方向上 的尺寸远比其它两个方向上的尺寸大得多，同样， 载荷作用在xy坐标面内，且沿z轴方向均 匀分布。其力学特点是：
z 0, xz 0, yz 0
xj
ym
x m
y,
1 bi 1
yj ym
y j ym ,
1 ci 1
xj xm
xm x j
其中记号
表示将i、j、m进行轮换后，可得出另外两组带
脚标的a、b、c的公式。
单元位移函数为结点位移的插值函数，即
工程数值方法
一、解线性方程组的乔累斯基分解程序程序如下：clear;clc;A=[5 -4 1 0 ;-4 6 -4 1;1 -4 6 -4;0 1 -4 5]; %线性方程组的系数矩阵AB=[1 0;0 1 ; 0 0; 0 0]; %方程组的右端矩阵B[m,n]=size(A); %方程组的系数矩阵A的行数和列数if m~=nerror('A必须是个方阵');end%判断A是否是方阵flag=0;%定义一个标记for o=1:mif det(A(1:o,1:o))<0error('这不是一个正定的矩阵');flag=0;elseflag=1;end %根据矩阵的各阶主子式判定矩阵是否正定endif flag==1disp('A是一个正定的矩阵');endl=[1 0 0 0 ;0 1 0 0;0 0 1 0 ;0 0 0 1];d=[0 0 0 0 ;0 0 0 0;0 0 0 0 ;0 0 0 0]; %矩阵l和ds=0; %中间变量s,tt=0;for i=2:1:n(1) %乔列斯基分解d(1,1)=A(1,1);for j=1:1:i-1t=0;for k=1:1:j-1t=t+d(k,k)*l(i,k)*l(j,k);endl(i,j)=(A(i,j)-t)/d(j,j); %得到矩阵l ends=0;for k=1:1:i-1s=s+d(k,k)*(l(i,k))^2;endd(i,i)=A(i,i)-s; %得到矩阵d end%解方程，其中Y为中间结果：ldY=B;l'X=Ya=l*d;%Y等于B左乘ldY=pinv(a)*B;c=l';%X等于Y左乘l的转置X=pinv(c)*Y;%显示l d X Ydisp('下三角矩阵L为');disp(l);disp('对角阵D为');disp(d)disp('上三角矩阵L’为');disp(l');disp('方程AX=B的解X为');disp(X);disp('方程的中间解y为');disp(Y);运行结果：A是一个正定的矩阵下三角矩阵L为1.0000 0 0 0-0.8000 1.0000 0 00.2000 -1.1429 1.0000 00 0.3571 -1.3333 1.0000对角阵D为5.0000 0 0 00 2.8000 0 00 0 2.1429 00 0 0 0.8333上三角矩阵L’为1.0000 -0.8000 0.2000 00 1.0000 -1.1429 0.35710 0 1.0000 -1.33330 0 0 1.0000方程AX=B的解X为1.2000 1.60001.60002.60001.40002.40000.8000 1.4000方程的中间解y为0.2000 -0.00000.2857 0.35710.3333 0.53330.8000 1.4000二、利用插值法求解点的一、二阶导数和它们的截断误差程序如下：%利用五点四次插值公式求解clc;clear;%已知的插值结点和对应的函数值formaty=[0.4;0.5;0.6;0.7;0.8];f=[1.5836494;1.7974426;2.0442376;2.3275054;2.6510818];syms x l F g[n,m]=size(y);for i=1:nl(i)=1;for k=1:nif k~=il(i)=l(i)*(x-y(k))/(y(i)-y(k)); %求插值基函数endendendF=l*f; %插值函数F(x)f1=diff(F,1); %插值函数求一阶导数f2=diff(F,2); %插值函数求二阶导数a=subs(f1,x,0.6) %当x=0.6时，f1的值b=subs(f2,x,0.6) %当x=0.6时，f2的值g=2*exp(1)^x-x-1; %已知的原函数a1=subs(diff(g,1),x,0.6) %当x=0.6时，原函数一阶导数值b1=subs(diff(g,2),x,0.6) %当x=0.6时，原函数二阶导数值E1=abs(a1-a) %一阶导数的截断误差E2=abs(b1-b) %二阶导数的截断误差运行结果：a =2.644224999999417b =3.644239999998408a1 =2.644237600781018b1 =3.644237600781018E1 =1.260078160125744e-05E2 =2.399217390536279e-06三、辛普森求一重积分1、源代码：①Simpson.m文件（定义Simpson函数和）function [s] = Simpson(a,b,e,m4) %第一个function。
数值逼近方法在工程计算中的应用
数值逼近方法在工程计算中的应用数值逼近方法是数学中一种重要的方法，它在工程计算中也有广泛的应用。
本文将从数值逼近方法的概念、分类及应用三个方面进行探讨。
一、数值逼近方法的概念数值逼近方法是数值计算中一种利用数值计算机来求函数近似值的方法。
它利用多项式或分段多项式来逼近原始函数，以此达到一定的精度要求。
通常数值逼近方法分为插值法和最小二乘法两种类型。
插值法即将原始函数y=f(x)转化为插值函数y=P(x)，P(x)是一定次数的多项式。
而最小二乘法是指找到一条拟合曲线，使得拟合曲线与原始函数之间误差平方和最小。
二、数值逼近方法的分类插值法是数值逼近方法中的一种重要方法，它可分为拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值等几种。
拉格朗日插值是最基础的插值方法，其算法步骤简单，但随着数据点数量的增多，误差也会增大。
牛顿插值和拉格朗日插值不同之处在于，牛顿插值是利用差商的形式求解插值多项式。
而埃尔米特插值是一种利用原函数值及导数值确定多项式系数的方法，可以使插值函数逼近基函数的导数值。
另外，最小二乘法也是数值逼近的一种重要方法。
最小二乘法常用于数据拟合，可分为线性回归和非线性回归。
线性回归是利用最小二乘法求解一条直线拟合数据，而非线性回归则需要寻找一条曲线来拟合数据。
当数据点数量较多时，非线性回归的计算量也会大大增加。
三、数值逼近方法的应用数值逼近方法在工程计算中有广泛的应用，例如：（1）机械工程。
在机械工程中，数值逼近方法可用于机械件的设计及机械系统分析。
例如，在机械结构优化中，可以利用最小二乘法对不同材质的性能指标进行拟合，以寻找最优方案。
（2）电子工程。
在电子工程中，数值逼近方法用于电路分析及优化。
例如，在电路分析中，可以利用插值法求解未知信号的值，以分析电路的性能。
（3）土木工程。
在土木工程中，数值逼近方法用于土地测量及结构分析。
例如，在土地测量中，可以利用插值法及最小二乘法对地形数据进行拟合，以进行精确的地形分析。
数值分析解决实际问题
数值分析解决实际问题数值分析是一门研究利用计算机对数学问题进行数值计算的学科，它通过数值方法来解决实际问题，广泛应用于工程、科学、经济等领域。
数值分析的方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、线性代数方程组求解等，这些方法在解决实际问题时发挥着重要作用。
本文将介绍数值分析在实际问题中的应用，并探讨其在解决实际问题中的重要性和价值。
一、插值法插值法是数值分析中常用的方法之一，它通过已知数据点之间的插值多项式来估计未知数据点的值。
在实际问题中，插值法常用于数据的平滑处理、曲线拟合等方面。
例如，在气象学中，我们需要根据已知的气温数据点来预测未来某一时刻的气温变化，这时可以利用插值法来进行数据的预测和分析。
二、数值积分数值积分是数值分析中的另一个重要方法，它通过数值逼近来计算定积分的近似值。
在实际问题中，数值积分常用于计算曲线下面积、求解物理学中的力学问题等。
例如，在工程学中，我们需要计算某一形状的曲线或曲面的面积或体积，这时可以利用数值积分方法来进行计算。
三、常微分方程数值解常微分方程数值解是数值分析中的重要内容之一，它通过数值方法来求解常微分方程的数值解。
在实际问题中，常微分方程数值解常用于模拟物理系统、生态系统等的动态行为。
例如，在生态学中，我们需要研究种群数量随时间的变化规律，这时可以利用常微分方程数值解来模拟和预测种群数量的变化趋势。
四、线性代数方程组求解线性代数方程组求解是数值分析中的重要内容之一，它通过数值方法来求解线性代数方程组的解。
在实际问题中，线性代数方程组求解常用于工程、经济等领域的优化问题。
例如，在工程优化中，我们需要确定某一系统的最优参数配置，这时可以利用线性代数方程组求解来进行优化计算。
综上所述，数值分析在解决实际问题中发挥着重要作用，它通过插值法、数值积分、常微分方程数值解、线性代数方程组求解等方法来对实际问题进行数值计算和分析，为工程、科学、经济等领域的发展提供了重要支持。
数值分析在工程仿真与数学建模中应用
数值分析在工程仿真与数学建模中应用数值分析是一种在工程仿真和数学建模中广泛应用的数学方法。
它利用数值计算的技术和方法，通过数学模型和计算机模拟，对复杂的工程问题进行求解和优化。
本文将介绍数值分析在工程仿真和数学建模中的应用，并探讨其在实际工程问题中的重要性和挑战。
一、数值分析在工程仿真中的应用工程仿真是指使用计算机模型和数值方法对工程问题进行模拟和预测的过程。
数值分析在工程仿真中起到了至关重要的作用。
它可以通过对工程模型进行离散化和数学建模，利用数值计算方法对工程问题进行求解。
1. 有限元方法有限元方法是工程仿真中最常用的数值方法之一。
它将实际的连续物体分割成有限数量的子区域，每个子区域称为有限元。
通过对每个有限元进行数学建模和计算，可以得到整个系统的数值解。
有限元方法广泛应用于结构力学、流体力学、热传导等领域。
2. 边界元法边界元法是另一种常用的数值方法，它将问题的边界作为主要的数学建模区域。
通过对边界进行数学建模和求解，可以获得问题的数值解。
边界元法适用于流体力学、电磁学等问题，尤其在边界条件已知或边界上存在复杂几何形状的情况下更为有效。
3. 网格方法网格方法是一种基于网格的数值方法，它将问题的整个域划分成小的单元格，通过对每个单元格进行数学建模和计算，得到问题的数值解。
网格方法在流体力学、热传导、电磁学等领域有着广泛的应用。
二、数值分析在数学建模中的应用数学建模是将实际问题转化为数学模型，并利用数学方法对问题进行求解和优化的过程。
数值分析在数学建模中具有重要的作用，可以通过数值计算方法对复杂的数学模型进行求解和优化。
1. 最优化问题最优化问题是数学建模中常见的一类问题，通过对问题进行数学建模，可以将其转化为一个优化问题。
数值分析可以通过数值计算方法对最优化问题进行求解，找到最佳的解决方案。
2. 偏微分方程偏微分方程是描述自然现象和工程问题中的变化规律的数学方程。
数值分析可以通过离散化和数学近似的方法对偏微分方程进行数值求解。
岩土工程数值计算方法
岩土工程数值计算方法
岩土工程数值计算方法牛不牛？那绝对超厉害！咱先说说这步骤哈。
首先得收集岩土工程的各种数据，就像大厨准备食材一样，一点都不能马虎。
然后建立数学模型，这就好比给房子搭框架，得结实。
接着进行计算求解，这过程就像赛车冲刺，紧张又刺激。
注意事项可不少呢！数据得准确呀，要是数据错了，那不就像在沙漠里找大海，瞎忙活嘛！模型选择也得合适，不然就像穿小鞋走路，难受得很。
再说说安全性和稳定性。
这可太重要啦！要是不稳定，那不是像在摇摇欲坠的桥上走，提心吊胆嘛！所以在计算过程中一定要确保结果的可靠性，不然出了问题可不得了。
应用场景那可多了去了。
比如在建筑工程中，可以预测地基的沉降，这就像给大楼安了个保险。
在隧道工程中，能分析围岩的稳定性，就像给隧道穿上了铠甲。
优势也很明显啊，省时省力还精准，比起传统方法，那简直是鸟枪换炮。
举个实际案例，有个大型建筑项目，用了岩土工程数值计算方法，提前预测了各种问题，及时调整方案，最后顺利完工。
这效果，杠杠的！
岩土工程数值计算方法就是这么厉害，能解决实际问题，让工程更安全、更高效。
咱就该大胆地用起来，让它为我们的工程建设助力。
工程数学(19) 非线性方程的数值方法
lim
k
x * xk
' ( x*)
工程数学
工程数学
注：定理条件非必要条件，可将[a, b]缩小，定义局部收 敛性：若在 x* 的某 领域 B = { x | | x x* | } 有 φC1[a, b] 且 | φ’(x*) | < 1，则由x0B 开始的迭代 收敛。即调整初值可得到收敛的结果。
例2.2
求方程 x3-3.2x2+1.9x+0.8=0的隔根区间。
解：设方程的根为α ， μ= max { |-3.2| , |1.9| , |0.8| }=3.2
1 ν = max {1， |-3.2| ，|1.9| } 0.8
故 0.2 | | 4.2 ,即有根区间为(-4.2,-0.2)和(0.2,4.2)
工程数学
工程数学
二、简单迭代法
简单迭代法又称为不动点迭代法，基本思想是 首先构造不动点方程 x=φ(x)，即由方程 f(x)=0变换 为等价形式 x=φ(x), 式中φ(x)称为迭代函数。然后 建立迭代格式：xk+1 =φ(xk)称为不动点迭代格式。 当给定初值x0 后, 由迭代格式xk+1 =φ(xk)可求得 数列{xk}。如果{xk}收敛于α，且φ(x)在α连续，则α 就是不动点方程的根。因为：
L | x k x k 1 | ? 1 L
| xk 1 xk | | x * xk | | x * xk 1 | | x * xk | L | x * xk |
1 L | x * xk | | xk 1 xk | | x k x k 1 | 1 L 1 L Lk | x1 x0 | ? ⑤ | x * xk | 1 L
工程可靠性选讲-PDEM的数值方法
=
(1 -
l a(k ) )p(jk )
+
l
a p (k ) (k ) j- 1
其中，网格比 l = Dt
Dx
GDEE方程求解的有限差分法：单边差分近似
差分方程：
p(k + 1) j
=
(1 -
l
a(k ) )p(jk )
+
l
a p (k ) (k ) j- 1
p(k ) j
p(k ) j- 1
网格比
偏微分方程：
抖p(x, t ) 抖t
+
a
p(x, t ) = 0 x
F(p) = ap(x, t )
通量形式：
¶p 抖t
+
¶ F(p) x
=
0
数值通量
通量形式的差分
格式：
p(k + 1) j
=
p(k ) j
-
Dt Dx
(Fj(k )
-
F (k) j- 1
)
=
p(k ) j
-
l (Fj(k ) -
F (k) j- 1
l
a (k )
)p
(k j
)
+
l
a p (k ) (k ) j- 1
a < 0, - 1 ＃l a(k)
： 0
p(k+ 1) = (1 + l a(k) )p(k) - l a(k)p(k)
j
j
j- 1
统一表达格式：
( ) ( ) ( ) p(k+ 1) = 1 - l a p(k) + 1 l a - l a p(k) + 1 l a + l a p(k)
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工程数值方法学习内容：Chapter 1 线性代数方程组的数值解法Chapter 2 插值问题与数值微分Chapter 3 数值积分方法Chapter 4 常微分方程(组)初值问题的数值方法Chapter 5 常微分方程(组)边值问题的数值方法Chapter 6 椭圆型偏微分方程的数值方法Chapter 7 加权残值方法参考书目：[1]武汉大学、山东大学合编，计算方法，高教版，1979[2]林成森编，数值计算方法（上、下），科学出版社，2000[3]中科院研究生数学丛书，工程中的数值方法，科学出版社，2000[4]曾绍林编，工程数学基础（研究生数学丛书），科学出版社，2001[5]李庆扬编，数值分析基础教程，高等教育出版社，2002[6]李庆扬编，数值分析（第4版），清华版，2003[7]关治编，数值计算方法，清华版，2004[8]李岳生、黄有谦编，数值逼近，高教版，1978[9]李荣华编，微分方程数值解法，人教版，1980[10]邱吉宝编著，加权残值法的理论与应用，宇航版，1992Chapter 1 线性代数方程组的数值解法线性代数方程组的求解是工程实践中最常遇到的问题。
据不完全统计，在工程实践中提出的计算问题中，有近一半涉及到求解线性方程组。
例如：结构有限元分析问题，大地测量问题，气象预报问题，电力传输网分析问题，各种电路分析问题，数据拟合问题，以及非线性方程组与微分方程的数值求解问题等等。
因此，学习并掌握线性代数方程组求解的基本理论与方法无疑是十分必需的。
本章将介绍目前一些利用计算机求解线性代数方程组常用的、且简单有效的数值方法。
求解线性方程组的数值方法尽管很多，但归并起来可分为两大类：（1）直接法（精确法）凡经有限次的四则运算，若运算中没有舍入误差即可求得方程组精确解LDL 的方法。
如：克莱姆（Cramer）法则方法、消元法、LD分解法、T分解法等等。
（2）迭代法（近似法）将求解方程组的问题转化为构造一个无限迭代的序列，在实现该序列过程中的每一步计算结果，均是把前一步所得的结果施行相同的计算步骤进行修正而获得的，而这一无限序列的极限就是原方程组的精确解答。
如：简单迭代法、赛德尔迭代法、牛顿法、共轭斜量法等等。
需要指出的，在一般情况下，我们使用直接法和迭代法两类方法都不可能完全获得原方程组的精确解答。
原因很显然：（1）实际中在使用直接法时不可能没有数值计算的舍入误差，故此时所谓精确方法的解并不是绝对精确的；（2）实际中在使用迭代法时，不可能将极限过程无限进行到底，而只能进行有限次的迭代，故获得是满足精度要求的近似解答。
关于这两类方法求解的误差分析，我们将在每类方法的介绍之后进行简要讨论。
§1.1 直接法—Cramer 法则与求逆方法设n 元n 个非齐次线性代数方程组为：11112211211222221122............n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (1.1) 利用矩阵和向量符号，这个方程组可表为:Ax b = (1.2)其中,ij n nA a ⨯⎡⎤=⎣⎦——方程组（1.1）的系数矩阵（n n ⨯阶方阵）；12(,,...,)T n b b b b =——方程组（1.1）的右端已知向量（n 阶列阵）； 12(,,...,)T n x x x x =——方程组（1.1）待求的解向量（n 阶列阵）。
§1.1.1 Cramer 法则由线性代数中关于线性方程组解的定理可知：若A 的行列式det 0A A =≠，则方程组（1.1）有唯一解。
此时，根据Cramer 法则，其解的表达式为：det (1,2,...,)det jj A x j n A== (1.3)其中，111,111,11212,122,121,1,1,...,,,,...,,...,,,,...,det (1,2,...,)...,...,,,,...,j j nj j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a A j n a a b a a -+-+-+==即将det A 中的第j 列元素依次换为右端已知向量b 的元素所构成的n 阶方阵的行列式。
易见，利用Cramer 法则给出的（1.3）式求解n 阶线性方程组（1.2）式，需要计算(1)n +个n 阶行列式，而每个n 阶行列式将有!n 项，其中每一项又含有n 个因子，故展开每一个n 阶行列式仅乘法运算就需(1)!n n -次（忽略加法运算次数），而对(1)n +个n 阶行列式，其乘法运算的次数为：2(1)(1)!(1)!n n n n n +•-=-对式（1.3）其除法次数为：n故求解方程组（1.2）其乘法和除法总的运算次数为：2(1)!N n n n =-+次 例如，若20n =阶，则209.707310N =⨯次这是一个十分惊人的数字，即使利用超高速的电子计算机能够胜任此计算次数，仅由于多个数的连乘亦有可能造成溢出而无法继续运算。
因此，Cramer 法则这个在理论上完善且精确的求解方法，仅在理论上和一些特殊情况下可以发挥作用，而对高阶线性代数方程组的实际求解中几乎没有多少实用价值。
为此，人们不得不研究其它一些计算简单、且行之有效的求解方法。
§1.1.2 求逆方法若det 0A ≠，则A 非奇异，即1A -存在，则方程组（1.2）的解向量可表为：1x A b -= （1.4）常用的矩阵求逆方法有：（1）伴随矩阵法；（2）初等变换法；但当方阵A 的阶数n 较大时，求逆非常麻烦且计算量很大。
故对高阶线性代数方程组来说，求逆方法也是一种中看不中用的方法。
§1.2 直接法—Gauss （高斯）消去法尽管这是一种较为古老的方法，但至今仍不失为最常用和最有效的方法之一。
基本思想：通过逐次消元处理，将原方程组化为等价的三角形方程组进行求解。
§1.2.1 三角形方程组所谓三角形方程组无非是以下两种形式的方程组： (1)下三角形式(2.1)矩阵记为 Lx b = (2.1') 其中系数矩阵L 的元素满足关系：0()ij l i j =<——主对角线以上的元素均为零。
（2）上三角形式11112211222221,111,1.........n nn nn n n n n nn n n nu x u x u x d u x u x d ux u x d u x d -----+++=⎧⎪++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=⎩（2.2）矩阵记为 U x d = （2.2'） 其中系数矩阵U 中主对角线以下的元素均为零，即：0()ij u i j =>对三角形方程组的求解是十分简单的。
显然对于下三角方程组（2.1），其求解步骤如下：1。
从第一个方程中解得：1111b x l =；2。
将1x 代入第二个方程中，从中解得：1211222()b l x x l -=；3。
将12,x x 代入第三个方程中，从中解得：3311322333()b l x l x x l --=；······111121122221122 ... ...n n nn n nl x b l x l x b l x l x l x b =⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+++=⎩如此逐个方程求解的过程向前递推下去，直到第n 步。
n 。
将121,,...,n x x x -代入第n 个方程中，从中解得：1122,11(...)n n n n n n n nnb l x l x l x x l ------=。
对上述过程其完整的求解计算格式可归结为：111111()(2,3,...,)i i ij j j i ii b x l b l x x i n l -=⎧=⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩∑ （2.3）这一求解过程称为前推过程。
同理，对于上三角方程组（2.2），其求解步骤亦可如法泡制，即：1。
从第n 个方程中解得：nn nnd x u =；2。
将n x 代入第n-1个方程中，从中解得：11,11,1()n n n n n n n d u x x u ------=；3。
将n x 、1n x -代入第n-2个方程中，从中解得：22,2,1122,2()n n n n n n n n n n d u x u x x u ----------=；······n 。
将12,,...,n n x x x -代入第1个方程中，从中解得1x 。
对上述过程其完整的求解计算格式可归纳为：,11,22,(...)(1,2,...,2,1)nnnn i i i i i i i i n n i ii d x u d u x u x u x x i n n u ++++⎧=⎪⎪⎨----⎪==--⎪⎩（2.4）这一求解过程称为回代过程。
通常是将（2.4）式合并为一式表为：1()(,1,2,...2,1)ni ijjj i i iid u x x i n n n u =+-==--∑ （2.4a ）式中约定：当足标j 的取值大于其上界n 时，和式0njj ma==∑。
§1.2.2 Gauss 消去法高斯消去法的求解过程就是首先利用矩阵的初等行变换方法将原方程组逐次消元，使之化为等价的具有上三角形式的方程组，然后再按上三角方程求解的计算格式（2.4a ）式求出原方程组的解。
整个求解过程可分为消元和回代两个过程。
1. 简例为了便于说明高斯消去法的求解过程，以如下4阶方程组的求解为例：Ax b = (2.5)其展开式为：1111121314222122232431323334334142434444x b a a a a x b aa a a a a a a xb a a a a x b ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭（2.5） 其增广矩阵为： ,A b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2.5.0） （1） 消元过程利用若干轮的初等行变换处理，设法将,A b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的A 部分化为上三角形式。
若主元素．．．110a ≠，则可保留方程组中的第一个方程，并利用11a 将其余三个方程中的第一个未知量1x 消去，具体做法是取数：312141213141111111,,a a a l l l a a a ===再对增广矩阵（2.5.0）中的第i 行进行如下初等变换：11()(1) i i r i l r -⨯第行第行（i=2,3,4） （其中r 表示行或排row ）这样原方程的增广矩阵（2.5.0）被变换为如下形式：111213141(1)(1)(1)12223242(1)(1)(1)13233343(1)(1)114243444:0 :0 :0 :a a a a b a a a b a a a b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（）（）（）（）（2.5.1） 其中被改变的元素为：(1)11(1)11(2,3,4)(2,3,4)ij ij i j i i i a a l a j i b b l b ⎫=-=⎪=⎬⎪=-⎭至此，完成了第1轮初等行变换处理。