第五章 刚体的定轴转动 (2)
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第5章 刚体的定轴转动
（1） 式中n表示转动方向，ω表示角速度的大小。 2、角加速度矢量
角加速度矢量定义为
（2） 显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图 （a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见 下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速 度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手 指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方 向。
(4) 其中
为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出
现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有 相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向 相反，其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩 二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理 量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来讨论这个问 题。 刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面 我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的 情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m， 对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动 量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为
第5章 刚体的定轴转动 ◆ 本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守
恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量
守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆ 本章教学内容
1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆ 本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆ 本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
角加速度矢量定义为
（2） 显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图 （a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见 下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速 度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手 指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方 向。
(4) 其中
为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出
现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有 相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向 相反，其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩 二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理 量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来讨论这个问 题。 刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面 我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的 情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m， 对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动 量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为
第5章 刚体的定轴转动 ◆ 本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守
恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量
守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆ 本章教学内容
1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆ 本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆ 本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
第五章刚体定轴转动典型题型
• 例3一质量为ｍ，半径为Ｒ的均匀圆盘，求 通过中心ｏ并与盘面垂直的轴的转动惯量
• 例4一半径为Ｒ的光滑置于竖直平面内，一 质量为ｍ的小球穿在圆环上，并可在圆环 上滑动，小球开始 时静止于圆环上的电 Ａ（该点在通过环心ｏ的水平面上），然 后从Ａ点开始下滑，设小球与圆环间的摩 擦略去不计。求小球滑到点Ｂ时对环心ｏ 的角动量和角速度。
Ｏ
Ａ
质点运动与钢体定轴转动对照表
质点运动
速度
v dr / dt
加速度 a dv / dt
力
Ｆ
钢体定轴转动
角速度 d / dt
角加速度 d / dt
力矩
Ｍ
质量 ｍ
转动惯量 Ｊ
动量 p mv
角动量 L J
牛二律 F m a
F dp / dt
转动定律 M J
M dL / dt
第五章 刚体定轴转动
• 例1一飞轮半径为0.2m，转速为150r/min， 因受到制动二均匀减速，经30s停止转动， 试求：
1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数
2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度
3） t=6s时飞轮边缘上一点的线速度，切线 加速度和法线加速度。
• 例2一质量为ｍ，长为的均匀细长棒，求 1）通过其中心并于棒垂直的转动惯量 2）通过棒端点并与棒垂直的轴的转动惯量
角加速度（ ）
• 例8 质量为Ｍ，半径为Ｒ的转台，可绕过 中心的竖直轴无摩擦的转动。质量为ｍ的 一个人，站在距离中心ｒ处（ｒ<R），开 始时，人和台处于静止状态。如果这个人 沿着半径为ｒ的圆周匀速走一圈，设它相 对于转台的运动速度为ｕ，求转台的旋转 角速度和相对地面的转过的角度。
ｒ
Ｒ
• 5）角动量守恒定律和机械能守恒定律的综 合应用
第五章 角动量守恒与刚体的定轴转动
茹 科 夫 斯 基 转 椅
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大学物理学（第二版）电子教案
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
例 一质量为M ,长度为l的均匀细棒,可绕过其顶端的水平 轴O自由转动, 质量为m的子弹以水平速度 v0射入静止的细 棒下端, 穿出后速度损失3/4, 求子弹穿出后棒所获得的角速 o 度. 解法一：用动量定理和角动量定理求解. 设棒对子弹的阻力为f , 则由动量定理,
刚体定轴转动角动量定理的积分形式
t
J J0
2. 角动量守恒定律
M 0 , L 恒矢量
J J0
刚体所受合外力矩为零时, 其角动量守恒.
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大学物理学（第二版）电子教案 角动量守恒实例
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
sin
m 2 v0 k (m M )(l l0 ) 2
2
mv0l0 l m 2 v0 k (m M )(l l0 ) 2
2
试问:是否可以对全过程用机械能守恒定律计算,为什么?
o
v0
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大学物理学（第二版）电子教案
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
5－2 刚体的定轴转动
质点所受合外力对任一参考点的力矩等 于质点对该点角动量随时间的变化率. 质点角动量定理的积分形式
dL M dt
t2
t1
M dt L2 L1
冲量矩
t1
t2
M dt
质点所受外力的冲量矩等于质点角动量的增量. 牛顿定律
导出 适用
惯性系
质点角动量定理
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大学物理学（第二版）电子教案
大学物理教学课件：力5第五章 刚体的定轴转动
M外z
dLz dt
Jz
d
dt
W 12
1 2
J
2 2
1 J 2
2
1
类比一维情形： F mdv dt
J --> m d --> v ds
dt
dt
令
Ek
1 2
J
2 —转动动能
（可证：
1 2J 2ຫໍສະໝຸດ 1 2mivi2 ）
则
W
Ek
2
Ek1
应用：▲飞轮储能， ▲惯性电车。
Ek 2 Ek
……
三. 定轴转动的功原理 质点系功能原理对刚体仍成立：
分析： 1. 单位对；
2. h、 m一定， J t ，合理；
3. 若 J 0 ，得 h 1 gt 2，正确。 2
§5.5 定轴转动中的功能关系
一. 力矩的功
F
r d ω z·轴 x
二. 定轴转动动能定理
W F sin ( r ) F r sin M
W Fs
W
i
Mii
—力矩的空间积累效应
r 2
at
dv dt
r
定轴
const.
(
0 t 0) t
1 2
t2
2
2 0
2 (
0)
§5.2 刚体的定轴转动定律
z ω,α
vi Fi
θi
ri •Δmi
刚体
ri
O×
类似于多质点系
则
M外
dL dt
(对o点)
M 外z
dLz dt
(对z轴)
Lz Liz mi vi ri
i
i
( mi ri2 )
第五章刚体的定轴转动共60页
刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
二. 刚体的运动
1、平动
当刚体中所有点的运动轨迹都 保持完全相同时，或者说刚体内任 意两点间的连线总是平行于它们的 初始位置间的连线时，刚体的运动
叫作平动。
特点：刚体内所有的点具有相同的位移、 速度和加速度。
－－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
Fn
z
O rj
Fej
m
j
Fij
M ej M ij m jrj2 α
j
j
M ijM ji M ij0
j
Mej ( mjrj2)α
j
z
O rj
Fej
m j
Fij
定义转动惯量 J mjrj2
2
J r dm
j
转动定律
MJ
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
本章主要内容
1、刚体描述 2、刚体转动定律 3、转动惯量计算 4、刚体的角动量和角动量守恒 5、转动中的功和能
§5.2 转动定律( 牛顿第二定律）
一 力矩
用来描述力对刚体
的转动作用．
z
F
FM M 对 转F r 轴sF Z ri的n 力矩FdO dM rP*
d: 力臂
F
F
F i 0 , M i 0
轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的
张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 离 y 时，其速率是多少？
解 (1) 用隔离法物 体分别对各物作受力分 析，取坐标如图．
A
mA
FN
m A FT1
二. 刚体的运动
1、平动
当刚体中所有点的运动轨迹都 保持完全相同时，或者说刚体内任 意两点间的连线总是平行于它们的 初始位置间的连线时，刚体的运动
叫作平动。
特点：刚体内所有的点具有相同的位移、 速度和加速度。
－－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
Fn
z
O rj
Fej
m
j
Fij
M ej M ij m jrj2 α
j
j
M ijM ji M ij0
j
Mej ( mjrj2)α
j
z
O rj
Fej
m j
Fij
定义转动惯量 J mjrj2
2
J r dm
j
转动定律
MJ
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
本章主要内容
1、刚体描述 2、刚体转动定律 3、转动惯量计算 4、刚体的角动量和角动量守恒 5、转动中的功和能
§5.2 转动定律( 牛顿第二定律）
一 力矩
用来描述力对刚体
的转动作用．
z
F
FM M 对 转F r 轴sF Z ri的n 力矩FdO dM rP*
d: 力臂
F
F
F i 0 , M i 0
轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的
张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 离 y 时，其速率是多少？
解 (1) 用隔离法物 体分别对各物作受力分 析，取坐标如图．
A
mA
FN
m A FT1
大学物理第5章 刚体的定轴转动
用机械能守恒重解：
转轴光滑，初态静止，求下摆到θ角 时的角加速度，角速度。
解：杆机械能守恒
势能零点
l d 3 g cos 比用转动定律简单！ dt 2l
l 1 2 0 mg sin J 2 2 绕固定轴 1 J ml 2 转动动能 3
Nt 转动：关于质心轴列转动定理 （ 2）
MC JC ,
C O
为什么？
l 1 2 MC Nt , J ml 2 C 12
Nt 1 mg cos 4
【例】一长为L，质量为m的均匀细棒，水平放 置静止不动，受垂直向上的冲力 F 作用，冲量 为 Ft （ t 很短），冲力的作用点距棒的质心 l 远，求冲力作用后棒的运动状态。 解 （1）质心的运动
角时的角加速度，角速度，转轴受力。
解：刚体定轴转动
1、受力分析 2、关于O轴列 转动定理
MO JO Mo l cos mg 2 2 1 JO ml 3
3 g cos 2l
【思考】为什么不关于过质心轴列转动定理？
由 求 ：
3 g cos d , d dt , dt 2l
解：
M k
M I
k(
2
k 9I
2 0
9
0
3
)2
I
d M k I dt d 2 k I dt2 I 0
d
t
2I t k 0
10
与一维质点动力学方法一致
【例】转轴光滑，初态静止，求下摆到
( F mg) t mvC 0
l C F
vC 0
F mg t m
质心以vC0的初速做上抛运动。
运用刚体定轴转动定律解题（2）
运⽤刚体定轴转动定律解题（2）运⽤刚体定轴转动定律解题转动定律描述刚体定轴转动中的瞬时关系，常常⽤来求解⾓加速度，⼀般步骤为：1) 隔离物体：即明确研究对象。
2) 具体分析：分析所选定的定轴刚体的受⼒情况和运动情况，画出受⼒图。
3) 选定坐标：在惯性系中建⽴⼀维坐标，即在转轴上选择正⽅向。
4) 建⽴⽅程：⽤转动定律列出定轴刚体的运动微分⽅程。
5) 要特别注意⽅程中的⼒矩、转动惯量必须对同⼀轴⽽⾔。
还要注意此⽅程是标量式，式中各量均为代数量，与所选正⽅向同向的⼒矩和⾓速度为正，反之为负。
6) 求解讨论：求解⽅程，理解和讨论结果的物理意义。
请注意常常与转动定律相联系的综合性问题：与刚体定轴转动或质点圆周运动的运动学问题相联系。
刚体定轴转动与质点平动相联系（例如滑轮两边悬挂物体）。
处理⽅法仍然是隔离法，对定轴刚体⽤转动定律列⽅程，对平动质点⽤⽜顿第⼆定律列⽅程，⼆者之间⽤⾓量与线量的关系联系起来，求解⽅程组。
运⽤⾓动量定理或⾓动量守恒定律解题因为对定轴转动的刚体，其总动量往往并⽆实际意义（例如定轴转动滑轮的总动量为零），所以只能⽤⾓动量对其整体机械运动量进⾏量度。
在⼒矩持续作⽤⼀段时间的问题中，则⽤⾓动量定理取代平动问题中的动量定理。
对于平动质点和定轴刚体组成的系统，既可以对于系统整体运⽤⾓动量定理，也可以分别对平动质点运⽤动量定理，对定轴刚体运⽤⾓动量定理，再⽤⼒矩表达式将⼆者联系起来。
运⽤⾓动量定理或⾓动量守恒定律解题的⼀般步骤与运⽤动量定理或动量守恒定律求解平动问题类似，只不过⽤⾓量取代相应的线量：1. 选系统：即确定研究对象。
2. 建坐标:选取惯性系，确定参考点或转轴。
3. 选过程：即选取⼀定的时间间隔，确定系统的初、末态。
对于综合性问题，可以划分为⼏个互相衔接的阶段处理。
4. 算⼒矩：画出对所选定的参考点或转轴⼒矩不为零的外⼒，⽆须分析系统内⼒和对参考点或转轴⼒矩为零的外⼒。
5. 列⽅程：如果不满⾜⾓动量守恒条件，运⽤⾓动量定理列⽅程：对固定点：对定轴：如果满⾜⾓动量守恒条件，运⽤⾓动量守恒定律列⽅程：对固定点：对定轴：6. 求解并讨论：求解⽅程，理解和讨论结果的物理意义。
第五章 刚体的转动
0 t 30π rad/s
（3）t = 10s 时，飞轮边缘上一点的线速度为 v r 4.71 m/s 相应的切向加速度及法向加速度为
at r 4.71 m/s an ω2 r 4 .44 103 m/s2
2
§52 力矩
转动定律
转动惯量
一、力对转轴的力矩 使物体转动的作用不仅与力的大小有关而且还 与力的方向以及作用线和转轴的距离有关 力臂
FT2 FT2
m2 m1 m2
FN
α
, FT2 FT2 FT1 FT1
假设 滑轮沿顺时针方向转动
a2
FT1 FT1
m1
a1
m1 g
m2 g
受力分析
选取物体运动方向为坐标轴正向
根据牛顿第二定律和转动定律可得
m1 g FT1 m1a1 FT2 m2 g m2a2
1800 0 2πn 2π rad/s 60π rad/s 60 0, t 20 s
飞轮均匀减速，为匀变速转动，角加速度为
0 60π rad/s 3π rad/s2 t 20
从开始制动到停止转动飞轮的角位移 及转数N 分 1 2 别为 0 t at 600 π rad 2 600π N 300 2π 2π （2）t = 10s 时飞轮的角速度为
二、转动定律 刚体可看成由无数质点组成
每个质点绕定轴作半径不同的圆周运动
质点Pi的切向运动为
Fit Fi t mi ait mi ri
两边乘以 ri
2 Fit ri Fi r m r t i i i
转轴
ri
Fit
大学物理力学第五章1刚体、转动定律
3. 同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
第五章 刚体定轴转动
dm
2
可见，转动惯量与 l 无关。
几个常见的转动惯量：
*圆环、圆筒（通过中心轴）………… J = mR2
*圆盘、圆柱（通过中心轴）………… J 1 mR
2
2
*细棒（端点垂直轴）………………… J 1 mL2 A
3
*细棒（质心垂直轴）………………… J 1 mL 2 c
12
四、刚体定轴转动的转动定律 刚体 → 质点系（连续体） 刚体定轴转动的角动量定理
如图正方形的边长为l它的四个顶点各有一个质量为m的质点求系统对z1z2z3轴的转动惯量具有相加性dldmdsdmdvdm质量为线分布质量为面分布质量为体分布为刚体线密度线分布面分布体分布质量均匀分布刚体的转动惯量若质量连续分布取质元dm它到转轴的距离为r则质元对轴的转动惯量为为刚体面密度例题1的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量
v
dx
x 角动量守恒：
碰撞后的角动量(杆转动)：
mvl 1 2 3v ml 2l 2 3
[例题2] 如图所示，一匀质圆盘半径为R，质量为m1， 以角速度ω 0绕盘心转动，一质量为m2的子弹以速度 v 角击入圆盘边缘，求击入后盘的角速度 沿θ
解：碰撞前后角动量守恒 碰撞前的角动量： m1
[例题1] 如图所示，一长度为l，质量为m的细杆在光 滑水平面内沿杆的垂向以速度v平动，杆的一端与定 轴z碰撞后杆将绕z轴转动，求杆转动的角速度。
解：碰撞前后角动量守恒 O x z 刚好碰撞前的角动量（杆平动）：
m dL x dm v x dx v l
mv l L dL xdx l 0 mvl 2 1 2 L J ml 3
M
z
o d