2019年江苏高考数学复习§2.2 函数的基本性质
2019-2020年高考数学异构异模复习第二章函数的概念及其基本性质2.4.2幂函数课件文
2 3
>b＝51
2 3
，因为
y＝21x 是减函数，所以
a＝21
2 3
<c＝21
1 3
，所以
b<a<c.
【解题法】 幂函数的图象与性质问题的解题策略 (1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等． (2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数， 借助其单调性进行比较或应用．
2019/7/20
最新中小学教学课件
thank
you!
2019/7/20
最新中小学教学课件
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
A．f(a)<f(b)<fa1<fb1 B．f1a<fb1<f(b)<f(a) C．f(a)<f(b)<fb1<f1a D．fa1<f(a)<fb1<f(b)
(2019版)高一数学函数的基本性质2
(江苏专版)高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第五节指数与指数函数实用课件文
答案：－1967
第十页，共45页。
39
2. a 2 a－3÷ 3 a－73 a13＝________.
解析：原式＝(a
9 2
a
3 2
)
1 3
÷(a
7 3
a
13 3
)
1 2
＝(a3)
1 3
÷(a2)
1 2
＝a÷a＝1.
答案：1
4
1
3. 4b
a 3 －8a 3 b
2 3
＋23
ab＋a
2 3
÷a
2 3
3
1．指数函数的图象
函数
y＝ax(a＞0，且 a≠1)
0＜a＜1
a＞1
图象
在 x 轴_上__方_，过定点_(0_,_1_)
图象
特征 当 x 逐渐增大时，图象逐渐 当 x 逐渐增大时，图象
下___降_
逐渐_上__升_
第十五页，共45页。
2.指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键 点：(1，a)，(0,1)，－1，1a. 3．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图 象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c＞d＞1＞a＞b.
2
1
2
又因为 a＝2 3 ＝4 3 ，c＝25 3 ＝5 3 ，
2
由函数 y＝x 3 在(0，＋∞)上为增函数知，a＜c.
综上得 b＜a＜c. [答案] c＞a＞b
第二十九页，共45页。
[方法技巧] 比较指数式大小的方法
比较两个指数式大小时，尽量化同底或同指． (1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利 用指数函数性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图 象比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助 1,0 等中间量进行 比较．
函数的基本性质及常用结论
函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同，②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定；③3()()()F x f x g x =-为增函数。
2019届高考理科数学一轮复习专题演练：专题2.2 函数的基本性质(含解析)
专题2.2 函数的基本性质【三年高考】1. 【2019年高考北京理数】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ）A.110x y ->B.sin sin 0x y ->C.11()()022x y -<D.ln ln 0x y +> 【答案】C2．【2019高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x > 时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2 （B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.3．【2019高考天津理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足1(2)(2)a f f ->，则a 的取值范围是______.【答案】13(,)22【解析】由题意()f x 在(0,)+∞上递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(2)a f f ->或化为1(2)(2)a f f ->，则122a -<112a -<，解得1322a <<，即答案为13(,)22．4．【2019年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x=，则5 ()(1)2f f-+= .【答案】-25．【2019高考江苏卷】设()f x是定义在R上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a xf xx x+-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a∈R若59()()22f f-=，则(5)f a的值是 . 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a-=-==⇒-+=-⇒=，因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f===-=-+=-6. 【2019高考湖南，理5】设函数()ln(1)ln(1)f x x x=+--，则()f x是（）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数【答案】A.【解析】显然，)(xf定义域为)1,1(-，关于原点对称，又∵)()1ln()1ln()(xfxxxf-=+--=-，∴)(xf为奇函数，显然，)(xf在)1,0(上单调递增，故选A.7. 【2019高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（） A．．．．【答案】．【解析】记，则，，那么所以依题可知、、依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选．8. 【2019高考天津，理7】已知定义在R上的函数()21x mf x-=-（m为实数）为偶函数，记()()0.52(log3),log5,2a fb fc f m===，则,,a b c的大小关系为( )（A）a b c<<（B）a c b<<（C）c a b<<（D）c b a<<【答案】C9. 【2019高考湖北，理6】已知符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xx xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x是R上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a=->，则（）A．sgn[()]sgng x x=B．sgn[()]sgng x x=- C．sgn[()]sgn[()]g x f x=D．sgn[()]sgn[()]g x f x=-【答案】B【解析】因为()f x是R上的增函数，令xxf=)(，所以xaxg)1()(-=，因为1>a，所以)(xg是R上的减函数，由符号函数1,0sgn0,01,0xx xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn1,0xg x x xx->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.10. 【2019高考湖南卷第3题】已知)(),(xgxf分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-xxxgxf，则=+)1()1(gf( )A. 3- B. 1- C. 1 D. 3【答案】C【解析】分别令1x=和1x=-可得()()113f g-=和()()111f g---=,因为函数)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,所以()()()()11,11f f g g -=-=-,即()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=,故选C.11. 【2019高考江苏卷第13题】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 . 【答案】1(0,)212. 【2019高考湖南卷第10题】已知函数())0(212<-+=x e x x f x 与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A. )1,(e -∞ B. ),(e -∞ C. ),1(e e - D. )1,(ee - 【答案】B【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对函数性质的考查是高考命题的主线索，不管是何种函数，都要与函数性质联系起来，主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性以及几方面的综合，且常以复合函数或分段函数的形式出现，达到一题多考的目的.题型一般为选择题、填空题，属中低档题，或者结合导数研究函数性质的大题，也应为同学们必须得分的题目.【2019年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式, 对单调性（区间）问题的考查的热点有：（1）确定函数单调性（区间）；（2）应用函数单调性求函数值域（最值）、比较大小、求参数的取值范围、解（或证明）不等式；函数单调性，此部分知识在高考命题中以选择题和填空题的形式出现，或与导数结合出一个解答题，主要考查函数的单调性，求函数的单调区间，以及求函数值域（最值），确定参数范围，作为把关题存在.函数奇偶性与函数的周期性，此部分知识在高考命题中多以选择题和填空题的形式出现，一般难度不大，只要会判断简单函数的奇偶性，而函数的周期性，有时和数列结合出些周期数列问题，可用归纳推理得到.即对函数单调性的考察.在函数值的比较大小，求函数的值域，解相关的不等式方面有着重要的应用.对函数奇偶性的考察，一个是图形一个是方程的形式.对函数周期性的考察，周期性主要研究函数值有规律的出现，在解”对称，求出函数周期的决三角函数里面体现的更明显．而且“奇偶性”+“关于直线x k题型在高考中也时不时出现.2019年函数性质的复习，首先要在定义上下功夫，其次要从数形结合的角度认识函数的单性质，深化对函数性质几何特征的理解和运用，同时要注意以下方面：1.性质通过数学语言给出的这类问题一般没有解析式，也没有函数方程，有的是常见的函数性质语言比如：单调递增，奇函数等等，它通常和不等式联立在一起考查，处理方式主要是通过它所给的性质画出函数的草图然后解决就可以了. 2.性质通过方程和不等式给出的这类问题通常是考查的抽象函数有关问题，抽象函数因其没有解析式，其性质以方程（或不等式）给出而成为解题依据. 所以在解题时要搞清楚常见方程和不等式所告诉的含义是什么. 3. 性质通过解析式给出的这类问题有解析式，但考虑的方向不是代人求值问题，而是通过观察解析的特点，从而得到函数的性质，用性质去解决相关问题，考虑的性质一般是先看看函数的对称性，再看看单调性，进一步作出相关的草图就可以解决了.预测2019年高考可能以对数函数为背景的分段函数，以及以幂函数，指对函数为背景来考查函数的性质．【2019年高考考点定位】高考对函数性质的考查有三种主要形式：一是考察单调性，可以从函数图象、单调性定义、导数来理解；二是考察奇偶性，要从图象和定义入手，尤其要注意抽象函数奇偶性的判断；三是对称性和周期性结合，用以考察函数值重复出现的特征以及求解析式. 【考点1】函数的单调性 【备考知识梳理】1.单调性定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A . 区间A I ⊆.如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有12()(),f x f x ＜那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x ＝的单调增区间．如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有)()(21x f x f >，那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x ＝的单调减区间．2.利用图象判断函数单调性：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减． 【规律方法技巧】一．判断函数单调性的方法：1. 定义及变形：设,,21x x 是函数()y f x ＝定义域内某个区间内的任意两个不等的自变量，若1212(x )(x )0f f x x -<-，则函数在该区间内单调递减；若1212(x )(x )0f f x x ->-，则函数在该区间内单调递增.常见结论： （1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； （3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.二．单调区间的求法1.利用基本初等函数的单调区间；2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3.复合函数法：对于函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦，可设内层函数为()u g x =，外层函数为()y f u =，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相同，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递减.4.导数法：不等式()0f x '>的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递增区间，不等式()0f x '<的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递减区间. 【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接.三．对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意1x 、2x 在所给区间内比较()()12f x f x -与0的大小，或()()12f x f x 与1的大小（要求()1f x 与()2f x 同号）．有时根据需要，需作适当的变形：如1122x x x x =⋅或()1122x x x x =+-等.【考点针对训练】1. 【湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学2019届高三四校联考】若函数2)(2-+=x a x x f 在),0(+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.【答案】[4,0]-.【解析】∵2)(2-+=x a x x f ，∴⎩⎨⎧<+-≥-+=2,22,2)(22x a ax x x a ax x x f ，又∵)(x f 在),0(+∞上单调递增，∴040222≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-a a a，即实数a 的取值范围是]0,4[-，故填：[4,0]-. 2. 【2019年山西四市高三四模】下列函数中，既是奇函数,又在()+∞,0上为增函数的是（ ） A ．xx y 1+= B ．x y = C ．3x y -=D.xy 2lg = 【答案】D【考点2】函数的奇偶性 【备考知识梳理】 1．函数的奇偶性的定义：对于函数)(x f 定义域内定义域内任意一个x ，若有()()f x f x -=-，则函数)(x f 为奇函数；若有()()f x f x -=，那么函数)(x f 为偶函数 2.奇偶函数的性质：⑴ 定义域关于原点对称； ⑵ 偶函数的图象关于y 轴对称； ⑶ 奇函数的图象关于原点对称；⑷ 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇． ⑸ ()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．⑹ 若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． 【规律方法技巧】1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式()x (x)0f f ＋－＝ (奇函数)或()x (x)0f f -－＝ (偶函数))是否成立．3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于y 轴对称，则函数是偶函数． 4．抽象函数奇偶性的判断方法：(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现()()f x f x －，)； (2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑； (3)找出()f x -与()f x 的关系，得出结论． 5．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．6．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()f x f (x)0±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．7．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 【考点针对训练】1. 【2019届邯郸市一中高三十研】若函数(21)1()1a x f x x x++=++为奇函数，则a =________．【答案】1-2. 【湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第六次月考】已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，113()(|tan ||tan |tan )222f x x x ααα=++++(α为常数，且22ππα-<<)，若对实数x R ∈，都有(3)()f x f x -≤恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】42ππα-≤<【考点3】周期性和对称性 【备考知识梳理】1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3.关于函数周期性常用的结论(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (3)若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． （5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒． （6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒． 【规律方法技巧】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想． 【考点针对训练】1. 【2019年湖北八校第二次联考】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈ 时,2()log (1f x x =+）,则(31)f = . 【答案】1-2. 【2019届海南中学高三考前高考模拟十一】已知函数()f x 关于直线2x =-对称，且周期为2，当[3,2]x ∈--时，2()(2)f x x =+，则5()2f = （ ） A ．0 B ．14 C ．116D ．1 【答案】B【应试技巧点拨】 1.单调性的判断方法：a.利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；b.性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； （3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.c.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.d.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较. 2.单调区间的求法：a.利用已知函数的单调区间来求；b.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.c.复合函数法：对于函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦，可设内层函数为()u g x =，外层函数为()y f u =，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相同，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递减.d.导数法：不等式()0f x '>的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递增区间，不等式()0f x '<的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递减区间. 【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接. 3. 在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．4. 奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．5. 关于函数周期性常用的结论(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (3)若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． （5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒． （6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒． 二年模拟1. 【2019年石家庄市高中毕业班质检】下列函数中，既是偶函数又在区间()0+∞，上单调递增的是( )A.1yx= B. lgy x= C. 1y x=- D.ln12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B.【解析】A：偶函数与在(0,)+∞上单调递增均不满足，故A错误；B：均满足，B正确；C：不满足偶函数，故C错误；D：不满足在(0,)+∞上单调递增，故选B．2. 【河南八市2019年4月高三质检卷】已知函数()2f x x x x=-+，则下列结论正确的是（）A．()f x是偶函数，递增区间是(0,)+∞ B．()f x是偶函数，递减区间是(,1)-∞-C．()f x是奇函数，递增区间是(,1)-∞- D．()f x是奇函数，递增区间是(1,1)-【答案】D【解析】函数的定义域为R,()()()()222()f x x x x x x x x x x f x-=---+-=-=--+=-,即函数为奇函数.又222,0()22, x<0x x xf x x x xx x⎧-+≥⎪=-+=⎨+⎪⎩，画出图像，可知选D.3. 【湖北2019年9月三校联考】已知定义在R上的函数()12-=-mxxf(m R∈)为偶函数．记()()mfcfbfa2,log,log52431==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，则cba,,的大小关系为（）A．cba<< B．bac<< C．bca<< D．abc<<【答案】B4. 【2019年河南省六市高三联考】定义在R 上的偶函数()f x 满足：(4)(2)0f f =-=，在区间(,3)-∞-与[]3,0-上分别递增和递减，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．(,4)(4,)-∞-+∞U B ．(4,2)(2,4)--U C ．(,4)(2,0)-∞--U D ．(,4)(2,0)(2,4)-∞--U U 【答案】D.【解析】∵偶函数()f x ，∴(4)(4)(2)(2)0f f f f =-==-=，又∵()f x 在(,3)-∞-，[3,0]-上分别递增与递减，∴()0(,4)(2,0)(2,4)xf x x >⇒∈-∞--U U ，故选D ．5. 【2019年湖南师大附中高三月考】已知函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x ＋1)＝f (1－x )，且函数f (x )在[1，＋∞)上单调．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 6)＝f (a 20)，求{a n }的前25项之和.【解析】由已知函数关系可知2206=+a a ，又{}n a 是等差数列，所以=+=+=+224215206a a a a a a3232241257198189171016111512141322a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+=+=+=+=+=+=+=+==，所以数列的前25项和为251212=+⨯.6. 【湖南师范大学附属中学2019届高三月考（四）】已知函数2()ln(||1)1f x x x =+++，则使得()(21)f x f x >-的x 的范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UC ．()1,+∞D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A7. 【湖南师范大学附属中学2019届高三月考（三）】已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，且当[)0,2x ∈时，()31x f x =-，则(2015)f 的值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．8【答案】A【解析】由已知，(2)()f x f x +=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数．所以(2015)(3)(1)2f f f ==-=-，选A ．8. 【2019届湖北省八校高三二次联考】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2=log 1f x x -，则f ⎛ ⎝⎭= .【答案】32【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以23log 12f f ⎛⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 9. 【炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(四）】已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[3,5]x ∈时，()2|4|f x x =--，则（ ） A ．(sin)(cos )66f f ππ< B ．(sin1)(cos1)f f >C ．22(sin )(cos )33f f ππ< D ．(sin 2)(cos2)f f >【答案】C【解析】因为(2)()f x f x +=，所以函数的周期为2.设],[11-∈x ，则],[534∈+x ，所以x x f x f -=+=24)()(,可知该函数在],[11-∈x 上为偶函数且在],0[1∈x 上单调递减。
函数的基本性质-备战高考数学(理)一轮复习考点
函数的基本性质【命题趋势】函数的单调性与最值、奇偶性以及函数图象是历年高考考查的重点，具体要求为：（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.【重要考向】一、函数的单调性及其应用二、函数的奇偶性及其应用三、函数的周期性及其应用四、函数图像及其应用函数单调性及其应用1．函数单调性的定义自左向右看，图象是上升的自左向右看，图象是下降的设12,[,]x x a b ∈，12x x ≠.若有()()1212()0[]x x f x f x ->-或1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在闭区间[],a b 上是增函数；若有()()1212()0[]x x f x f x --<或1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在闭区间[],a b 上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式. 2．单调区间的定义若函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，则称函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做函数()f x 的单调区间． 3.函数的最值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.【巧学妙记】1．（2021·千阳县中学高三二模（理））下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A ．1()||f x x = B ．1()()3xf x =C ．2()1f x x =+D ．f (x )=lg|x |【答案】A 【分析】由奇偶性的定义判断各个选项函数的奇偶性，排除B ；结合反比例函数、二次函数、对数函数的单调性即可选出正确答案. 【详解】解：因为()133xx f x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭，所以B 不正确；A,C,D 中函数定义域均关于原点对称，()1()||f x f x x -==-，A 是偶函数；()()2()1f x x f x -=-+=，C 是偶函数； ()()lg f x x f x -=-=，所以D 也是偶函数；当(0,)x ∈+∞时，11()||f x x x==单调递减，故A 正确； 由二次函数的性质可得，此时2()1f x x =+递增，则C 不正确；()lg lg f x x x ==也单调递减，则D 不正确；故选:A.2．（2021·浙江高一期末）函数|1|45x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调减区间是_______．【答案】[)1,+∞ 【分析】令1u x =-，则45u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别判断函数45uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和1u x =-的单调性，然后利用复合函数单调性的判断方法即可求出原函数的单调区间. 【详解】令1u x =-，则45uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵4015<<，∵45uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上单调递减 作出1u x =-的图象由图象可以1u x =-在(],1-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增∵|1|45x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],1-∞上单调递增，在[)1,+∞上单调递减故答案为：[)1,+∞.3．（2021·上海市建平中学高三三模）函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上符号一致. 【详解】21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴2()f x x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，则122a-≤，即1a ≥-，同时 需满足1(2)()02f f -->，即1(4)(21)04a a +-<， 解得142a -<<， 综上可知11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意12,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，2()f x x ax a =--符号必须一致是解题的关键，属于中档题.4．（2021·上海高三三模）函数y =___________.【答案】(,1]-∞-(或(,1)-∞-都对) 【分析】利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案； 【详解】令21t x =-，则y=21t x =-在(,1)-∞-单调递减，y =在(0,)+∞单调递增，根据复合函数的单调性可得：y =(,1)-∞-单调递减，故答案为：(,1)-∞-.函数奇偶性及其应用1．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）．2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则()00f =． （4）若函数()f x 是偶函数，则()()()f x f x fx -==．（5）定义在(),-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数． 【巧学妙记】 5．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）函数2()21xxf x ax =+-是偶函数，则实数a =__________． 【答案】1 【分析】由已知奇偶性可得()()f x f x -=，结合已知解析式可求出22a =，即可求出a . 【详解】因为2()(0)21xxf x ax x =+≠-，且()f x 是偶函数，则()()f x f x -=， 2222222,,20212121212121xx x x x x x x x ax ax a a a --⨯--=+--=++-=------，即22a =，所以实数1a =． 故答案为: 1.6．（2021·浙江高一期末）已知偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(1)0f -=，则()0f x x<的解集__________ 【答案】(1,0)(1,)【分析】分0x >和0x <两种情况讨论x 的范围，根据函数的单调性可得到答案. 【详解】因为()f x 是偶函数，且(1)0f -=，所以(1)(1)0f f =-=， 又()f x 在(0,)+∞上是减函数，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数， ①当0x >时，由()0f x x<得()0f x <，又由于()f x 在(0,)+∞上为减函数，且(1)0f =，所以()(1)f x f <，得1x >； ②当0x <时，由()0f x x<得()>0f x ，又(1)0f -=，()f x 在(,0)-∞上是增函数，所以()>(1)f x f -，所以10x -<<.综上，原不等式的解集为：(1,0)(1,).故答案为：(1,0)(1,).【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且()() f x f x -=-.偶函数在对称区间上的单调性相反，且()()() f x f x f x =-=..7．（2021·江苏南通市·高三二模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-，当0x >时，()32x x f x =+，则不等式(2)13f x -<的解集为（ ）A ．(,0)(4,)-∞+∞B ．(0,4)C ．(0,2)D ．(,0)(2,)-∞+∞【答案】B 【分析】根据已知条件判定f (x )为偶函数，结合其单调性和特殊值，得到f (x )<13的解集，利用平移变换思想得到f (x -2)<13的解集. 【详解】依题意知()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，当0x ≥时，()f x 单调递增，且()213f =，所以()13f x <的解集为()2,2-.将()f x 的图象沿x 轴向右平移2个单位长度后可得()2f x -的图象，所以不等式()213f x -<的解集为()0,4.故选:B . 【点睛】本题考查应用函数的奇偶性与单调性解函数不等式问题，涉及指数函数的单调性，属基础题，为了求解关于f (x -a )的不等式常常可以先求相应的关于f (x )的不等式，然后利用平移变换的方法得到所求不等式的解集.8．（2021·全国高三月考（理））已知函数()2x x f x e e x -=--，若()2(3)0f t f t t++->成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．()1,3-C ．()1,1-D ．()0,3【答案】B 【分析】根据奇函数的定义、导数的性质，结合基本不等式、解一元二次不等式的方法进行求解即可. 【详解】 因为()2(2)()xx x x f x ee x e e xf x ---=-+=---=-，所以函数()f x 为奇函数，又因为()220x x f x e e -'=-≥=+， 所以函数()f x 为R 上的增函数． 若()2(3)0f t f t t++->，则()2(3)f t f tt +>-，即23t t t +>-，即2230t t --<，解得13t -<<，故选：B函数的周期性 函数的周期性 1．周期函数 对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期（若不特别说明，T 一般都是指最小正周期）. 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 3．函数周期性的常用结论 【巧学妙记】 设函数()y f x =，0x a ∈>R ，. ①若()()f x a f x a =+-，则函数的周期为2a ； ②若()()f x a f x +=-，则函数的周期为2a ； ③若1()()a x f x f =+，则函数的周期为2a ； ④若1()()f a x x f =-+，则函数的周期为2a ； ⑤函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的周期为2||b a - ； ⑥若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是2||b a -； ⑦若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是4||b a -； ⑧若函数()f x 是偶函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为2a ； ⑨若函数()f x 是奇函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为4a .【典例】9．（2021·湖北高三其他模拟）请写出一个函数()f x =___________，使之同时具有如下性质：①x ∀∈R ，()(4)f x f x =-，②x ∀∈R ，(4)()f x f x +=.【答案】cos2x π 【分析】根据①②可知函数是周期函数且关于2x =对称，即可求解.【详解】性质①②分别表示()f x 关于直线2x =对称和以4为周期，答案不唯一，写出一个即可，例如()cos 2f x x π=，故答案为：()cos 2f x x π=10．（2021·全国高三月考（理））定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()()23log 2f x x =+，则()2021f -=（ ） A ．1B ．lg 9C ．lg 3D ．0 【答案】A【分析】先利用()()1f x f x +=-求得周期为2T =，再利用奇偶性和周期性转化()()()202120211f f f -==，代入解析式即得结果.【详解】由()f x 满足()()1f x f x +=-，得()()2f x f x +=，所以函数()f x 的周期2T =，且当01x ≤≤时，()23(og 2,)l f x x =+()f x 为偶函数， 所以()()()3202120211log 31f f f -====.故选：A.11．（2021·全国高三月考（文））已知函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-且(4)()0f x f x -+=成立，若(0)0f =，则()2019(2020)(2021)f f f ++的值为（ ） A ．4B ．2C ．0D ．2- 【答案】C【分析】由(2)()f x f x +=-以及(4)()f x f x -=-可推导()y f x =是周期为4的周期函数，由此(2019)(3)f f =，(2021)(1)f f =，代入(4)()f x f x -=-可计算结果，又(2020)(0)0f f ==，代入计算即可.【详解】由(2)()f x f x +=-可知(2)()f x f x -=．又(4)()f x f x -=-，(4)(2)0f x f x ∴-+-=，(2)()f x f x ∴+=-，(4)[(2)2](2)()f x f x f x f x ∴+=++=-+=，∴函数()y f x =是周期为4的周期函数，(2019)(3)f f ∴=，(2020)(0)f f =，(2021)(1)f f =．由(4)()0f x f x -+=可得(41)(1)0f f -+=，即(3)(1)0f f +=，(2019)(2020)(2021)000f f f ∴++=+=.故选：C ．12．（2021·新疆布尔津县高级中学高三三模（文））已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()f x x =，设函数()()5log g x f x x =-，则()g x 的零点的个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】C【分析】由题设知()g x 的零点可转化为()f x 与5log x 的交点问题，而()[0,1]f x ∈且周期为2，关于y 轴对称的函数；5log x 且关于y 轴对称，当55x -≤≤时有5log (,1]x ∈-∞，画出(0,)+∞的草图即可确定交点个数，利用对称性确定总交点数.【详解】由题意知：()f x 关于1x =对称，而()g x 的零点即为()5=log f x x 的根，又∵()f x 在R 上的偶函数，知：()[0,1]f x ∈且周期为2，关于y 轴对称的函数，而55x -≤≤时5log (,1]x ∈-∞且关于y 轴对称∵()f x 与5log x 在(0,)+∞的图象如下，∵共有4个交点，由偶函数的对称性知：在(,0)-∞上也有4个交点，所以共8个交点. 故选：C.【点睛】关键点点睛：将函数零点转化为两个函数的交点问题，应用数形结合的方法，由函数的周期性、奇偶对称性判断交点的个数.函数图像及其应用1．函数图象的画法（1）描点法作图①研究函数特征()⎧⎪⎨⎪⎩确定定义域化简解析式讨论性质奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值②列表(注意特殊点：与坐标轴的交点、极值点、端点)；③描点(画出直角坐标系，准确画出表中的点)；④连线(用平滑的曲线连接所描的点)．（2）变换法作图①平移变换②对称变换a．y＝f(x) y＝−f(x)；b．y＝f(x) y＝f(−x)；c．y＝f(x) y＝−f(−x)；d．y＝a x(a>0且a≠1) y＝log a x(a>0且a≠1).③翻折变换④伸缩变换y ＝f (x )y ＝f (ax )．y ＝f (x )y ＝af (x )．【巧学妙记】 (1)识图的要点： 重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x 轴、y 轴的交点，最高、最低点等)． (2)识图的方法： ①定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决； ②定量计算法：通过定量的计算来分析解决； ③排除法：利用本身性质或特殊点进行排除验证．【典例】13．（2021·浙江高二期末）已知()sin f x x x =+，则()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由函数奇偶性排除两个选项，再取特值计算并判断得解.【详解】原函数定义域为R ，由()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-知()f x 是R 上奇函数，选项C ，D 不满足；在()f x 图象上取点(0,(0)),(,())22P f Q f ππ，(0)0,()122f f ππ==+，直线PQ ：2(1)y x π=+，而4x π=时，()()442f x f ππ==+，21(1)442y πππ=+⋅=+，显然14242ππ+>+， 即点,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在直线PQ 上方，选项B 不满足，选项A 符合要求. 故选：A14．（2021·全国高三月考）函数()x xe ef x ln x-+=的部分图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性，可排除A 、D ；根据()f e 的值，可排除B ，即可求解.【详解】由题意，函数()x xe ef x ln x-+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，可得定义域关于原点对称， 又由()() ln ln x x x xe e e ef x f x x x--++-===-，所以()f x 是偶函数，故排除选项A 、D ； 因为()()++ln e e e e e e e f e e e e e --==>，可排除B.故选：C .15．（2021·浙江高一期末）已知函数()()13f x x x =-⋅+．（1）将函数解析式写成分段函数的形式，然后在坐标系中画出()f x 的图象； （2）根据图象直接写出()f x 的单调增区间．（3）当k 为何值时，方程()f x k =恰有两个解？【答案】（1）()2223,123,1x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--+<⎩，图象见解析；（2）(),1-∞-和()1,+∞；（3）0k =或4k =.【分析】（1）将x 和1比较去绝对值可得解析式，由二次函数的图象可得结果；（2）直接根据图象即可得单调增区间；（3）计算出()1f -的值，结合图象即可得结果.【详解】（1）当1≥x 时，()223f x x x =+-，当1x <，()223f x x x =--+，所以()2223,123,1x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--+<⎩其图象如下所示：（2）观察图可得函数()f x 的单调增区间为(),1-∞-和()1,+∞.（3）方程()f x k =恰有两个解，即()y f x =和y k =的图象有两个交点， 由于()14f -=，故当0k =或4k =时，方程()f x k =恰有两个解.一、单选题1．已知函数()f x 满足()()f x f x =-，当0x >时，()32x x f x =+，则不等式(2)13f x -<的解集为（ ） A ．(,0)(4,)-∞+∞ B ．(0,4) C ．(0,2) D ．(,0)(2,)-∞+∞2．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()()23log 2f x x =+，则()2021f -=（ ）A ．1B ．lg 9C ．lg 3D ．03．设函数()sin cos f x x x x =+，则下列四个结论中正确的是（ ） ①函数()f x 是偶函数；②曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1y =； ③当,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递减； ④关于x 的方程sin cos x x x a +=在[]0,2x π∈只有两个实根，则实数a 的取值范围为3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. A ．①②B ．①②④C ．①③④D ．③④4．若函数()f x 的图象上任意一点(),M x y 的坐标满足条件x y ≥，则称函数()f x 具有性质P ．下列函数中具有性质P 的是（ ） A ．()1f x x =+ B ．()2f x x =C ．()1xf x e =-D ．()sin f x x =5．已知函数()21x f x x=+的定义域为[)2,+∞，则不等式()()22228f x f x x +>-+的解集为 （ ） A ．5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)2,3C ．(),3-∞D ．()3,+∞6．函数()ln ||sin f x x x =+在[,]-ππ上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．己知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则20152f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．528．函数||2()cos x x f x x⋅=，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数(21()log f x x x=+，则（ ） A ．()f x 在（0，+∞）上单调递增 B ．对任意m ∵R ，方程()f x +m =0必有解 C ．()f x 的图象关于y 轴对称 D ．()f x 是奇函数10．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(),0-∞单调递增，设0.33a =，0.413b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 0.3c =，则（ ）A ．()()()f c f a f b >>B ．()()()f a f c f b >>C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f a f b f c >>二、多选题11．关于函数()|ln |2||f x x =-，下列描述正确的有（ ） A ．函数()f x 在区间1,2上单调递增 B ．函数()y f x =的图象关于直线2x =对称 C ．若12x x ≠，但()()12f x f x =，则124x x += D ．函数()f x 有且仅有两个零点三、填空题12．函数2()21xxf x ax =+-是偶函数，则实数a =__________．13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()12f x f x +=-，且当()0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20192021f f -+的值为___________.四、解答题14．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-． （1）求函数()f x 在(,0)x ∈-∞的解析式； （2）当0m >时，若|()|1f m =，求实数m 的值．一、单选题1．（2014·陕西高考真题（理））下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是 A ．()12f x x= B ．()3f x x =C ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()3xf x =2．（2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．3．（2020·北京高考真题）已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）．A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞4．（2020·浙江高考真题）函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2019·浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．（2020·海南高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃7．（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减8．（2019·全国高考真题（理））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9．（2019·全国高考真题（理））函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．10．（2019·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题11．（2012·上海高考真题（理））已知函数||()x a f x e -=（a 为常数）.若在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是________.12．（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.13．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．14．（2019·浙江高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____.三、解答题15．（2011·上海高考真题（理））已知函数()23x xf x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠.（1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性；（2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围.一、单选题1．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三一模（理））函数52sin ()([π,0)(0,π])33x xx xf x x -+=∈--的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·山西运城市·高三其他模拟（理））下列函数中，图象关于原点对称且在定义域上单调递增的是（ ） A ．()sin 2f x x x =-B ．()ln(1)ln(1)f x x x =-++C ．()2x x e e f x -+=D ．1()1x x e f x e -=+3．（2021·全国高三其他模拟）已知11ln 224a =+，2b e =，1ln c ππ+=，则a ，b ，c 之间的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．（2021·北京北大附中高三其他模拟）下列函数中值域是R 且为偶函数的是（ ） A ．()21f x x =+B ．()2log f x x =C ．()3f x x x =-D ．()cos f x x =5．（2021·天津高三其他模拟）已知()f x 是定义在R 上的偶函数且在区间(,0]-∞上单调递增，则（ ）A ．()()221log log 23f f f ππ-⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．()()2212loglog 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ C ．()()221log 2log 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ D ．()()2212log log3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ 6．（2021·千阳县中学高三二模（理））下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A ．1()||f x x =B ．1()()3xf x =C ．2()1f x x =+D ．f (x )=lg|x |7．（2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟）函数1sin ln ||(0)||y x x x x ⎛⎫=⋅+≠ ⎪⎝⎭的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2021·广东深圳市·高三二模）函数()232sin log x y x x π=⋅⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2021·广东汕头市·高三三模）已知()f x 是定义在R 上的函数，满足x R ∀∈.都有()()f x f x =-，且在[0,)+∞上单调递增.若12a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，(sin1)b f =，(cos 2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >>D ．c a b >>10．（2021·广东广州市·高三三模）若()1x xf x e e-=+，则（ ） A ．()3231log 2ln24f f f -⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()3231log ln224f f f -⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()32312ln2log 4f f f -⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()3231ln22log 4-⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f二、多选题11．（2021·江苏连云港市·高三其他模拟）函数()f x 的定义域为R ，且()f x 与(1)f x +都为奇函数，则（ ） A ．(1)f x -为奇函数 B ．()f x 为周期函数 C ．(3)f x +为奇函数D ．(2)f x +为偶函数12．（2021·湖南雅礼中学高三二模）关于函数()|ln |2||f x x =-，下列描述正确的有（ ） A ．函数()f x 在区间1,2上单调递增B ．函数()y f x =的图象关于直线2x =对称C ．若12x x ≠，但()()12f x f x =，则124x x +=D ．函数()f x 有且仅有两个零点13．（2021·重庆南开中学高三其他模拟）已知函数()1y f x =-的图象关于直线1x =-对称，且对x ∀∈R 有()()4f x f x +-=.当(]0,2x ∈时，()2f x x =+.则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的周期8T =B ．()f x 的最大值为4C ．()20212f =D ．()2f x +为偶函数三、填空题14．（2021·广东佛山市·高三二模）已知函数()()22xxf x x -=-，则不等式()230f x -<的解集为____________.15．（2021·河北高三其他模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()12f x f x +=-，且当()0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20192021f f -+的值为___________.参考答案跟踪训练1．B 【分析】根据已知条件判定f (x )为偶函数，结合其单调性和特殊值，得到f (x )<13的解集，利用平移变换思想得到f (x -2)<13的解集. 【详解】依题意知()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，当0x ≥时，()f x 单调递增，且()213f =，所以()13f x <的解集为()2,2-.将()f x 的图象沿x 轴向右平移2个单位长度后可得()2f x -的图象，所以不等式()213f x -<的解集为()0,4.故选:B . 【点睛】本题考查应用函数的奇偶性与单调性解函数不等式问题，涉及指数函数的单调性，属基础题，为了求解关于f (x -a )的不等式常常可以先求相应的关于f (x )的不等式，然后利用平移变换的方法得到所求不等式的解集. 2．A 【分析】 先利用()()1f x f x +=-求得周期为2T =，再利用奇偶性和周期性转化()()()202120211f f f -==，代入解析式即得结果.【详解】 由()f x 满足()()1f x f x +=-，得()()2f x f x +=，所以函数()f x 的周期2T =，且当01x ≤≤时，()23(og 2,)l f x x =+()f x 为偶函数，所以()()()3202120211log 31f f f -====. 故选：A.3．A 【分析】利用奇偶性的定义可判断①，求出()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，然后可判断②③，求出()f x 在[]0,2π上的单调性和极值，画出其图象，然后可判断④. 【详解】对①，因为x ∈R ，()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，所以①正确； 对②，()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，()00f '=，()01f =， 故曲线()f x 在0x =处的切线方程为1y =，所以②正确； 对③，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，()f x 单调递减，所以③错误； 对④，由上表作出[]0,2x π∈时()f x 的图象如下：则3,11,22a ππ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，所以④错误. 故选：A 4．D【分析】根据题意，得到x y ≥所表示的区域，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由题意可得x y ≥表示的区域为下图阴影部分，因为()f x 具有性质P ，则()f x 的图象必须完全分布在阴影区域1和2内， 对于A ：()1f x x =+，过点（0,1）在区域3内，不符合题意；对于B ：()2f x x =，过点（2,4），在区域3内，不符合题意；对于C ：()1xf x e =-，过点（1，e -1），在区域3内，不符合题意；对于D ：()sin f x x =，()[1,1]f x ∈-，图象分布在阴影区域1和2内，满足题意， 故选：D 5．C 【分析】先判断函数()f x 的单调性，再根据单调性解不等式即可. 【详解】 因为()2111x f x x x x==++，可知()f x 在[)2,+∞上单调递减，所以不等式()()22228f x f x x +>-+成立，即2222222823228x x x x x x x ⎧+≥⎪-+≥⇒<⎨⎪+<-+⎩. 故选：C. 6．D 【分析】根据函数的奇偶性排除AB ，再比较两个零点所在区间可判断CD. 【详解】因为()ln ||sin f x x x -=-，既不满足()()f x f x -=，也不满足()()f x f x -=- 所以是非奇非偶函数，排除A 和B ，令()()120f x f x ==，且12[,0],[0,]x x ππ∈-∈，因为(1)sin10f =>，所以2[0,1]x ∈，又ln sin ln 1ln 022222f e πππππ⎛⎫⎛⎫-=+-=-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()ln sin ln 0f ππππ-=+=>，所以12x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，故选：D 7．A【分析】由(1)(1)()xf x x f x +=+，得(1)()1f x f x x x +=+，得函数()()f x g x x=的周期，得20151()2()22g f =，由(1)(1)()xf x x f x +=+及f (x )的奇偶性可得1()02f =，即可求解20152f ⎛⎫⎪⎝⎭． 【详解】当1x ≠-且0x ≠时，由(1)(1)()xf x x f x +=+，得(1)()1f x f x x x+=+，令()()f x g x x =，则()g x 是周期为1的函数， 所以201511()()2()222g g f ==， 当12x =-时，由(1)(1)()xf x x f x +=+得，1111()()2222f f -=-，又()f x 是偶函数，所以11()()22f f =-，所以1()02f =，所以201511()()2()0222g g f ===，所以2015201520150222f g ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A 【点睛】解决抽象函数问题的两个注意点：（1）对于抽象函数的求函数值的问题，可选择定义域内的恰当的值求解，即要善于用取特殊值的方法求解函数值．（2）由于抽象函数的解析式未知，故在解题时要合理运用条件中所给出的性质解题，有时在解题需要作出相应的变形． 8．A 【分析】由解析式知()f x 是奇函数且0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调增，即可判断函数图象． 【详解】由于()()()||||22()()cos cos x x x x f x f x x x-⋅-⋅--===-- 所以()f x 为奇函数，故排除B ，D ， 而cos y x =，2xy =，y x =在(0,)2π上分别为减函数､增函数､增函数， 且函数值均为正数，所以()f x 在(0,)2π上为增函数，故选：A 9．C 【分析】A 选项：对()f x 求导，进一步判断单调性；B 选项：判断函数的奇偶性，以及根据单调性判断函数()f x 的图像在x 轴上方，从而得出结论.CD 选项：根据B 选项可知结论. 【详解】A 选项：函数()f x 定义域为0x ≠，(221()log 1f x x x ⎛⎫'=-+=设(2()log g x x =()()()1122222211121122()ln 21x x xg x x x x --+⋅++⋅'=-+==在（0，+∞）上，所以()0g x '<，即()g x 单调递减，()(0)0g x g <=故()0f x '< ∵当0x >时，()0f x '<，即()f x 在（0，+∞）上单调递减，故A 错误；((222111()log log log =()f x x x f x xx x⎛⎫-=-+==+- ∵()f x 为偶函数，关于y 轴对称，在(,0)-∞，()f x 单调递增，在(0+)∞，，()f x 单调递减， 当0x>时1x>，(2log 0x >，(21()log 0f x x x=> ∵()f x 的图像在x 轴上方，∵当0m >时，()y f x =与 y m =-的图像无交点，说明方程()f x +m =0无解，故B 错误； C 选项：根据B 选项可知()f x 是关于y 轴对称C 正确； D 选项：根据B 选项可知()f x 是偶函数，故D 错误. 故选：C. 【点睛】求函数单调性的方法：1. 变化趋势法；2. 复合函数法；3. 定义证明方法；4. 等价形式法；5. 导数法， 注意：不管使用什么方法，首先都要确定定义域和求分界点； 10．A 【分析】先将,a b 化为同底数的幂，利用指数对数函数的性质比较a 、b 、||c 三个数的大小关系，再由函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性并结合偶函数的性质可得出()f a 、f b 、()f c 的大小关系.【详解】()444110log 0.3log log 0,1,0.33c ==-=∈，0.30.40.331,331a b =>=>>， 即1||0b a c >>>>，由于函数()y f x =是偶函数，在区间(),0-∞上单调递增，所以在()0,+∞上单调递减， 由于函数()y f x =为偶函数，则()()()|c|f f a f b >>，即()()()c f f a f b >>， 故选：A.本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查推理能力，属于中等题.关键是转化为()0,+∞上的单调性再比较. 11．ABD 【分析】画出函数的图像，根据图像分析判断即可 【详解】函数()ln 2||f x x =-的图像如图所示：由图可得：函数()f x 在区间1,2上单调递增，故A 正确； 函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，故B 正确；若12x x ≠，但()()12f x f x =，则当122,2x x >>时，124x x +>，故C 错误； 函数()f x 的图像与x 轴有且仅有两个交点，故D 正确. 故选ABD .【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数的性质的应用，解题的关键是画出函数图像，根据图像求解即可，考查数形结合的思想，属于中档题 12．1 【分析】由已知奇偶性可得()()f x f x -=，结合已知解析式可求出22a =，即可求出a . 【详解】因为2()(0)21xxf x ax x =+≠-，且()f x 是偶函数，则()()f x f x -=， 2222222,,20212121212121xx x x x x x x x ax ax a a a --⨯--=+--=++-=------，即22a =，所以实数1a =． 故答案为: 1. 13．0 【分析】推导出当0x ≥时，()()4f x f x +=，利用函数()f x 的周期性和奇偶性可求得结果. 【详解】当0x ≥时，()()()142f x f x f x +=-=+，又因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()12019201945043311f f f f f -==⨯+==-=-， ()()()20214505111f f f =⨯+==，因此，()()201920210f f -+=. 故答案为：0. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.14．（1）2()2f x x x =+；（2）1或1【分析】（1）根据偶函数的性质，令(,0)x ∈-∞，由()()f x f x =-即可得解； （2）0m >，有221m m -=，解方程即可得解. 【详解】（1）令(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞，由()()f x f x =-，此时2()2f x x x =+；（2）由0m >，2|()|21f m m m =-=， 所以221m m -=±，解得1m =或1m =1m =-.真题再现1．D 【详解】试题分析：由于x r x r a a a +⋅=，所以指数函数()xf x a =满足()()()f x y f x f y +=+，且当1a >时单调递增，01x <<时单调递减，所以()3xf x =满足题意，故选D ．考点：幂函数、指数函数的单调性． 2．A 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 3．D 【分析】作出函数2xy =和1y x =+的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.4．A 【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 5．D 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a=过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【点睛】。
新课标高考理科数学专题复习 2.2 函数的基本性质
2.2函数的基本性质探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.函数的单调性及最值理解函数单调性、最大值、最小值及其几何意义2019课标Ⅲ,11,5分函数的奇偶性、单调性指数函数、对数函数★★★2017课标Ⅰ,5,5分函数的单调性、奇偶性解不等式2.函数的奇偶性与周期性①结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;②了解函数周期性的含义2019课标Ⅱ,14,5分根据函数奇偶性求参数对数运算★★☆2018课标Ⅱ,11,5分利用周期性与奇偶性求值2015课标Ⅰ,13,5分已知奇偶性求参数对数运算分析解读 1.能够证明函数在给定区间上的单调性;求函数的单调区间;利用单调性求函数的最值(值域)、比较大小及求参数的取值范围.2.函数奇偶性的判断及应用是高考的热点,常与函数的单调性、周期性、对称性、最值综合考查.3.要强化函数性质的应用意识,熟练掌握利用性质求最值等相关问题.4.本节是高考的重点,常考查求函数的单调区间,判断函数的单调性,利用单调性比较大小、解不等式,有时也将单调性、奇偶性与函数图象、函数零点相结合进行考查,题型有选择题、填空题,也有解答题,难度中等.破考点练考向【考点集训】考点一函数的单调性及最值1.(2020届甘肃会宁第一中学第一次月考,2)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A.y=-√x+1B.y=e x+2C.y=|x-1|D.y=x+1x答案B2.(2018广东省际名校(茂名)联考(二),4)设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是()A.y=1f(x)在R 上为减函数B.y=|f(x)|在R 上为增函数C.y=-1f(x)在R 上为增函数 D.y=-f(x)在R 上为减函数 答案 D3.(2019福建三明模拟,7)已知函数f(x)={x 2+(4a -3)x +3a,x <0,log a (x +1)+1,x ≥0(a>0且a ≠1)在R 上单调递减,则a 的取值范围是( ) A.[34,1) B.(0,34]C.[13,34]D.(0,13]答案 C考点二 函数的奇偶性1.(2020届黑龙江开学考试,6)已知定义域为[a-4,2a-2]的奇函数f(x)=2 020x 3-sin x+b+2,则f(a)+f(b)的值为( ) A.0B.1C.2D.不能确定答案 A2.(2019广东湛江一模,3)已知函数g(x)=f(2x)-x 2为奇函数,且f(2)=1,则f(-2)=( ) A.-2B.-1C.1D.2答案 C3.(2020届贵阳摸底,14)若f(x)=a-22x +1是奇函数,则a= .答案 14.(命题标准样题,11)设f(x)=ln a -x 2+x为奇函数,则a= .答案 2考点三 函数的周期性1.(2020届河南洛阳期中,7)已知偶函数f(x)的图象关于(1,0)对称,且当x ∈(0,1)时, f(x)=x 2,则x ∈(9,10)时, f(x)=( ) A.x 2 B.-x 2 C.(x-8)2 D.-(10-x)2答案 D2.(2019湖南永州第三次模拟,7)已知f(x)满足∀x∈R,f(x+2)=f(x),且x∈[1,3)时,f(x)=log2x+1,则f(2019)的值为()A.-1B.0C.1D.2答案C3.(2019福建龙岩期末,9)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+1)=-f(x-1),若f(-1)>1,f(5)=a2-2a-4,则实数a 的取值范围是()A.(-1,3)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)答案A4.(2020届福建邵武第一中学开学考试,15)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.答案6炼技法提能力【方法集训】方法1函数单调性的判定及应用问题的解题方法1.(2019河南郑州一模,4)下列函数既是奇函数,又在[-1,1]上单调递增的是()A.f(x)=|sin x|B.f(x)=ln e-xe+xC.f(x)=12(e x-e-x) D.f(x)=ln(√x2+1-x)答案C2.(2018辽宁部分重点中学协作体模拟,10)函数f(x)=e x+e-xe x-e-x ,若a=f(-12),b=f(ln2),c=f(ln13),则有()A.c>b>aB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a答案D方法2函数奇偶性的判定及应用问题的解题方法1.(2020届江西临川第一中学10月月考,6)下列函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是()A.f(x)=x+sin2xB.f(x)=|ln x|cos2xC.f(x)=3x-13xD.f(x)=sin|x|+cos2x答案B2.(2019河南洛阳模拟,8)设f(x)=x3+log2(x+√x2+1),则对任意实数a、b,若a+b≥0,则()A.f(a)+f(b)≤0B.f(a)+f(b)≥0C.f(a)-f(b)≤0D.f(a)-f(b)≥0答案B3.(2019安徽马鞍山一模,13)若函数f(x)=e x-e-x,则不等式f(2x+1)+f(x-2)>0的解集为.答案(13,+∞)方法3函数值域的求解方法1.(2020届甘肃威武第一中学10月月考,5)已知函数f(x)=a-2e x+1(a∈R)是奇函数,则函数f(x)的值域为()A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-3,3)D.(-4,4)答案A2.(2019河南安阳高三月考,5)已知函数y=√2−x+√x+4的最大值为M,最小值为m,则m·M等于()A.8√2B.6√2C.4√2D.2√2答案B3.(2018河南郑州一模,11)若函数y=|√|x|-1x2|在{x|1≤|x|≤4,x∈R}上的最大值为M,最小值为m,则M-m=()A.3116B.2 C.94D.114答案A【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一函数的单调性及最值(2017课标Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案D考点二函数的奇偶性与周期性1.(2018课标Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( ) A.-50 B.0 C.2 D.50 答案 C2.(2015课标Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+√a +x 2)为偶函数,则a= . 答案 1B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 函数的单调性及最值1.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-(13)x ,则f(x)( )A.是奇函数,且在R 上是增函数B.是偶函数,且在R 上是增函数C.是奇函数,且在R 上是减函数D.是偶函数,且在R 上是减函数 答案 A2.(2019北京,13,5分)设函数f(x)=e x +ae -x (a 为常数).若f(x)为奇函数,则a= ;若f(x)是R 上的增函数,则a 的取值范围是 . 答案 -1;(-∞,0]3.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f(2|a-1|)>f(-√2),则a 的取值范围是 . 答案 (12,32)考点二 函数的奇偶性与周期性1.(2017天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R 上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log 25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a答案 C2.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x 3-1;当-1≤x ≤1时, f(-x)=-f(x);当x>12时, f (x +12)=f (x -12).则f(6)=( ) A.-2B.-1C.0D.2答案 D3.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x ,则f (-52)+ f(1)= . 答案 -2C 组 教师专用题组1.(2015广东,3,5分)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=√1+x 2 B.y=x+1xC.y=2x +12xD.y=x+e x答案 D2.(2015福建,2,5分)下列函数为奇函数的是( ) A.y=√x B.y=|sin x|C.y=cos xD.y=e x -e -x答案 D3.(2014课标Ⅰ,3,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案 C4.(2016江苏,11,5分)设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上, f(x)={x +a,-1≤x <0,|25-x|,0≤x <1,其中a ∈R.若f (-52)=f (92),则f(5a)的值是 . 答案 -255.(2014课标Ⅱ,15,5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x 的取值范围是 . 答案 (-1,3)【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共55分)1.(2020届黑龙江哈尔滨师范大学附中9月月考,10)已知函数f(x)=cos (π2+2x)+x x 2+1-1,若f(a)=-13,则f(-a)=( )A.13B.23C.-13D.-53答案 D2.(2020届安徽A10联盟上学期摸底考试,4)已知偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则f(2 019), f(π), f(-4)的大小关系是( ) A. f(2 019)<f(-4)<f(π) B. f(π)<f(-4)<f(2 019) C. f(-4)<f(π)<f(2 019) D. f(-4)<f(2 019)<f(π) 答案 C3.(2020届福建邵武第一中学开学考试,4)已知a>0且a ≠1,函数f(x)={a x ,x ≥1,ax +a -2,x <1在R 上单调递增,那么实数a的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(0,1)C.(1,2)D.(1,2]答案 D4.(2020届陕西第一学期摸底考试,9)若函数f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数、奇函数,且满足f(x)+2g(x)=e x ,则( )A.f(-2)<f(-3)<g(-1)B.g(-1)<f(-3)<f(-2)C.f(-2)<g(-1)<f(-3)D.g(-1)<f(-2)<f(-3)答案 D5.(2019湖南百所重点名校大联考,10)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足当x ≥0时, f(x)=log 2(x+2)+x+b,则|f(x)|>3的解集为( ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-2,2) D.(-4,4)答案 A6.(2019河南南阳模拟,7)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,并且满足f(x+2)=-1f(x),当2≤x ≤3时, f(x)=x,则f(105.5)=( )A.-2.5B.2.5C.5.5D.-5.5 答案 B7.(2019湖南岳阳一模,7)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(-1)=-1,则f(2 018)+f(2 019)=( ) A.-2B.-1C.0D.1答案 B8.(2019福建厦门模拟,7)已知函数f(x)=ln 1+x 1−x+x,且f(a)+f(a+1)>0,则a 的取值范围为( )A.(-1,-12)B.(-12,0)C.(-12,1)D.(-12,+∞)答案 B9.(2019湖南郴州第二次教学质量检测,9)已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,且在[2b,0]上为增函数,则f(x-1)≤f(2x)的解集为( ) A.[-1,23]B.[-1,13]C.[-1,1]D.[13,1]答案 B10.(2019江西吉安一模,8)已知定义在R 上的函数f(x)满足对任意实数x,y 都有f(x+y)=f(x)+f(y),设g(x)=f(x)+ sin x+x 2,若g(10)=2 019,则g(-10)的值为( ) A.-2 219 B.-2 019 C.-1 919 D.-1 819答案 D11.(2020届江西第一次大联考,9)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且当x 1>x 2>0时,都有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<0成立,设a=f (tan π4),b=f(lo g 123),c=f(π-0.2),则a,b,c 的大小关系为( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)12.(2020届四川五校联考,14)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),当x ∈(0,1]时, f(x)=2x +ln x,则 f(2 019)= . 答案 -213.(2020届山西大同学情调研,16)若函数f(x)=3e |x -1|-sin(x -1)e |x -1|在区间[-3,5]上的最大值、最小值分别为p,q,则p+q 的值为 .答案6。
2019高考数学异构异模复习 第二章 函数的概念及其基本性质 2.4.1 二次函数撬题 理
2019高考数学异构异模复习 第二章 函数的概念及其基本性质2.4.1 二次函数撬题 理1.如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812答案 B解析 由已知得f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8，又对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f ′(x )≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0f，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，n ≥0m ＋2n ≤182m ＋n ≤12，画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令mn ＝t ，则当n ＝0时，t ＝0，当n ≠0时，m ＝tn.由线性规划的相关知识知，只有当直线2m ＋n ＝12与曲线m ＝tn 相切时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧－t n 2＝－126－12n ＝tn，解得n ＝6，t ＝18，所以(mn )max ＝18，选B.2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，∴a >0，选A.3．两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b2a 与－a2b同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧，只有D 满足．故选D.4．若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]解析 f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是减函数，结合抛物线图象可知，a 4≤12，所以a ≤2.5.已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________． 答案 2或－1解析 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，在x ∈[0,1]时， 当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ； 当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1； 当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，1－a ＝2.解得a ＝2或a ＝－1.6．对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．答案 －2解析 设2a ＋b ＝t ，则2a ＝t －b ，由已知得关于b 的方程(t －b )2－b (t －b )＋4b 2－c ＝0有解，即6b 2－3tb ＋t 2－c ＝0有解．故Δ＝9t 2－24(t 2－c )≥0，所以t 2≤85c ，所以|t |max ＝210c 5，此时c ＝58t 2，b ＝14t ，2a ＝t －b ＝3t 4，所以a ＝3t8.故3a －4b ＋5c ＝8t －16t ＋8t2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－1t＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122－2≥－2. 7．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析 在同一坐标系中分别作出函数f (x )与y ＝a |x －1|的图象，由图知，当a ＝0时，两函数的图象只有2个交点，当a <0时，两图象没有交点，故必有a >0.若曲线y ＝－x 2－3x (－3≤x ≤0)与直线y ＝－a (x －1)(x ≤1)相切，联立方程得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则由Δ＝0得a ＝1(a ＝9舍去)，因此当0<a <1时，f (x )的图象与y ＝a |x －1|的图象有4个交点；若曲线y ＝x 2＋3x (x >0)与直线y ＝a (x －1)(x >1)相切，联立方程得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则由Δ＝0可得a ＝9(a ＝1舍去)，因此当a >9时，f (x )的图象与y ＝a |x －1|的图象有4个交点，故当方程有4个互异实数根时，实数a 的取值范围是(0,1)∪(9，＋∞)．。
(江苏专用)2018年高考数学一轮复习 第二章 函数 2.2 函数的基本性质课件
3
.
22
思路分析 利用函数的奇偶性将原不等式转化为f(2|a-1|)>f( 2),结合函数f(x)在(0,+∞)上单调递 减即可求得a的取值范围.
C组 教师专用题组
1.(2013四川理改编,10,5分)设函数f(x)= ex x a (a∈R,e为自然对数的底数).若曲线y=sin x上存
a,b,c的大小关系为
.(用“<”连接)
答案 b<a<c
解析 本题考查函数的奇偶性、单调性的应用,对数值大小的比较.
奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0时, f(x)>f(0)=0,当x1>x2>0时, f(x1)>f(x2)>0,∴x1 f(x1)>x2 f(x2),∴g(x) 在(0,+∞)上单调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,∴a=g(-log25.1)=g(log25.1).2<log25.1<3,1<20.8<2,由g(x)在 (0,+∞)上单调递增,得g(20.8)<g(log25.1)<g(3),∴b<a<c.
3.(2017江苏泰州中学第一学期第一次质量检测,10)已知函数f(x)=
x x
ln x 5,0 9 m, x
x 1
x
1
1,
的值域为R,
则实数m的取值范围为
.
答案 m≤1
解析 当0<x≤1时,f(x)=x+ln x+5∈(-∞,6],当x>1时,f(x)=x+ 9 +m=x+1+ 9 +m-1≥2
在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是
§2.2 函数的基本性质
§2.2函数的基本性质考纲解读分析解读 1.能够证明函数在给定区间上的单调性;求函数的单调区间;利用单调性求函数的最值(值域)、比较大小及求参数的取值范围.2.函数奇偶性的判断及应用是高考常考的知识点,常与函数的单调性、周期性、对称性、最值综合考查.3.要强化函数性质的应用意识,熟练掌握利用性质求最值等相关问题.4.本节在高考中多以选择题、填空题的形式考查函数的奇偶性与周期性,分值为5分左右,属中低档题,与不等式、方程等结合,以解答题的形式考查函数的单调性,分值为12分左右,属于中档题.五年高考考点一函数的单调性1.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-,则f(x)()A.是偶函数,且在R上是增函数B.是奇函数,且在R上是增函数C.是偶函数,且在R上是减函数D.是奇函数,且在R上是减函数答案B2.(2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A.y=B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)答案A3.(2014陕西,7,5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()A.f(x)=B.f(x)=x3C.f(x)=D.f(x)=3x答案D4.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-则a的取值范围是.答案教师用书专用(5—7)5.(2014山东,5,5分)已知实数x,y满足a x<a y(0<a<1),则下列关系式恒成立的是()A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sin x>sin yD.x3>y3答案D6.(2013安徽,4,5分)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C7.(2013福建,10,5分)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:(i)T={f(x)|x∈S};(ii)对任意x1,x2∈S,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是()A.A=N*,B=NB.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0<x≤10}C.A={x|0<x<1},B=RD.A=Z,B=Q答案D考点二函数的奇偶性与周期性1.(2017课标全国Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案D2.(2017天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a答案C3.(2015福建,2,5分)下列函数为奇函数的是()A.y=B.y=|sin x|C.y=cos xD.y=e x-e-x答案D4.(2014课标Ⅰ,3,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C5.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f-+f(1)=.答案-26.(2015课标Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=.答案1教师用书专用(7—12)7.(2015广东,3,5分)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=B.y=x+C.y=2x+D.y=x+e x答案D8.(2014安徽,6,5分)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时,f(x)=0,则f=()A. B. C.0 D.-答案A9.(2014湖南,3,5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()A.-3B.-1C.1D.3答案C10.(2013山东,3,5分)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)=()A.-2B.0C.1D.2答案A11.(2013广东,2,5分)定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是()A.4B.3C.2D.1答案C12.(2016江苏,11,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)=--其中a∈R.若f-=f,则f(5a)的值是.答案-三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一函数的单调性1.(2018江西莲塘一中、临川二中第一次联考,5)若实数a满足a>|y-1|-|y-2|(y∈R)恒成立,则函数f(x)=log a(x2-5x+6)的单调递减区间为()A. B.(3,+∞)C.- D.(-∞,2)答案D2.(2017河北唐山二模,7)函数y=-,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是()A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)答案B3.(2016河北石家庄质量检测(二),3)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=B.y=|x|-1C.y=lg xD.y=答案B考点二函数的奇偶性与周期性4.(2018福建莆田第九中学第二次月考,2)函数y=f(x)=x|x|+px,x∈R,则f(x)()A.是偶函数B.是奇函数C.不具有奇偶性D.奇偶性与p有关答案B5.(2017广东深圳一模,4)对于函数f(x)=atan x+bx3+cx(a、b、c∈R),选取a、b、c的一组值计算f(1)、f(-1),所得出的正确结果可能是()A.2和1B.2和0C.2和-1D.2和-2答案D6.(人教A必1,一,1-3,例5,变式)在函数y=xcos x,y=e x+x2,y=lg-,y=xsin x中,偶函数的个数是()A.3B.2C.1D.0答案B7.(2018湖南衡阳联考,13)已知函数f(x)的周期为4,当x∈[1,4)时,f(x)=2log3x,则f(15)=.答案28.(2017广东汕头潮阳黄图盛中学第三次质检,13)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=.答案0B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018河南洛阳第一次统考,3)若函数同时满足下列两个条件,则称该函数为“优美函数”:(1)∀x∈R,都有f(-x)+f(x)=0;<0.(2)∀x1,x2∈R,且x1≠x2,都有--①f(x)=sin x;②f(x)=-2x3;③f(x)=1-x;④f(x)=ln(+x),以上四个函数中,“优美函数”的个数是()A.0B.1C.2D.3答案B2.(2018河北保定涞水波峰中学第一次调研,9)已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0,则不等式--≥0的解集为()A.[-2,0)∪(0,2]B.[-2,0)∪[2,+∞)C.(-∞,-2]∪(0,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案A3.(2018河南南阳一中第一次考试,9)已知f(x)=1+2x-x2,那么g(x)=f[f(x)]()A.在(-2,1)上单调递增B.在(0,2)上单调递增C.在(-1,1)上单调递增D.在(1,2)上单调递增答案D4.(2017河南平顶山一模,12)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数.对任意两个不相等的正数x1,x2,都有->0,记-a=,b=,c=,则()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a答案B5.(2017安徽蚌埠二中等四校联考,11)已知函数f(x)=2016x+log2016(+x)-2016-x+2,则关于x的不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集为()A.--B.-C.(0,+∞)D.(-∞,0)答案B6.(2016山西忻州一中等四校第一次联考,10)对任意的实数x都有f(x+2)-f(x)=2f(1),若y=f(x-1)的图象关于x=1对称,且f(0)=2,则f(2 015)+f(2016)=()A.0B.2C.3D.4答案B二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2018江苏盐城期中,10)设函数f(x)是以4为周期的奇函数,当x∈[-1,0)时,f(x)=2x,则f(log220)=.答案-8.(2017广东惠州第三次调研,16)已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f=-f(x),且函数y=f-为奇函数,给出以下四个命题:①函数f(x)是周期函数;②函数f(x)的图象关于点-对称;③函数f(x)为R上的偶函数;④函数f(x)为R上的单调函数.其中真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)答案①②③C组2016—2018年模拟·方法题组方法1判断函数单调性的方法1.(2017湖南衡阳八中、长郡中学等十三校二模,3)下列函数既是奇函数又在(-1,1)上是减函数的是()A.y=tan xB.y=x-1C.y=loD.y=(3x-3-x)-答案C方法2判断函数奇偶性的一般方法2.(2017广东深圳一模,8)已知f(x)=-,g(x)=|x-2|,则下列结论正确的是()A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数B.h(x)=f(x)·g(x)是奇函数是偶函数C.h(x)=·-是奇函数D.h(x)=-答案D方法3函数周期的求法及应用3.(2017安徽安庆二模,10)定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1<x<0时,f(x)=2x-1,则f(log220)等于()A. B.-C.-D.答案D方法4函数性质的综合应用4.(2017安徽池州4月模拟,12)已知函数的定义域为R,且满足下列三个条件:①对任意的x1,x2∈[4,8],当x1<x2时,都有->0;-②f(x+4)=-f(x);③y=f(x+4)是偶函数.若a=f(6),b=f(11),c=f(2017),则a,b,c的大小关系正确的是()A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a答案B。