新教材高新教材高考数学模拟题精编详解第六套试题
高三数学第六次模拟考试试题 文 试题
卜人入州八九几市潮王学校HY2021届高三数学第六次模拟考试试题文
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求的. 1. 集合BAxyyxBxyyxA则},),({},12),({2〔〕 A. B.}1{C.)}1,1{(D.)}1,1{( 2. 复数iiz2332，那么z〔〕 A.iB.iC.i1D.i1 3.10log,5.0,9log8.078cba，那么〔〕 A.bacB.cabC.acbD.abc
4.为实现国民经济新“三步走〞的开展HY目的，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在 2021年以前的年均脱贫率〔脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比〕为70%．2021年 开场全面施行“精准扶贫〞后，扶贫效果明显进步，其中2021年度施行的扶贫项 目，各工程参加户数占比〔参加该工程户数占2021年贫困户总数的比〕及该工程的脱 贫率见下表： 施行工程 种植业 养殖业 工厂就业 效劳业 参加户占比 40% 40% 10% 10%
脱贫率 95% 95% 90% 90%
那么2021年的年脱贫率是施行“精准扶贫〞前的年均脱贫率的〔〕倍 A.57B.3548C.3547D.28
37
5.角的终边经过点)1,3(P，那么2cos〔〕 A.53B.53C.54D.5
4
6.双曲线2222byax=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，那么双曲线的离心率是〔〕 A．10B．1010C．10103D．310 7.易经包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用， 易经的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深入的影响. 以下列图就是易经中记载的几何图形--八卦田，图中正八边形代表 八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代 10m，代表阴阳太极图的圆的 半径为4m，那么每块八卦田的面积约为〔〕〔4.12，3〕 A．114m2B.57m2C.54m2D.48m2 8.圆C：034222yxyx被直线01:ayaxl截得的弦长的最小值为〔〕 A.1B.2C.2D.3 9.函数||)121(sinxeyx的图象可能是〔〕 C．D． 10.锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,假设,0)cos(2)4sin(CBA13,6cb，那么角C的大小为〔〕
高三数学模拟试卷10套精编(理科)含答案及解析
A. 为奇函数B. 为偶函数C. 为奇函数D. 为偶函数
【答案】C
【解析】
【详解】x1=x2=0，则 ， ，
令x1=x，x2=-x，
则 ，
所以 ，
即 ， 为奇函数，故选C.
6.在 中，“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
【答案】C
【解析】
因为向量 ，且a∥b,
∴ .
本题选择C选项.
3.已知 ，且 ，那么
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用同角三角函数基本关系求出结果．
【详解】因为 ， >0，故
即 ，
又 ，
解得：
故选：B
【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
【详解】作函数 ， ， ， 的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为 、 、 ，所以 ．
故选A．
【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
8.设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知 在 有且仅有5个零点，下述四个结论：
10.已知函数 ，若将其图象向右平移 个单位长度后所得 图象关于原点对称，则 的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数 的解析式化简为 ，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出 的表达式，即可得出正数 的最小值.
【详解】 ，
将其图象向右平移 个单位长度后所得的图象的函数解析式为 ，
高考理科数学模拟竞优卷第六卷
2020届高考理科数学模拟竞优卷第六卷1、已知集合{}22|2A x x y =+=，集合{}2|B y y x x A ==∈，，则()R B A =⋂ð()A.⎡⎣B.[]02,C.0⎡⎣D.2⎤⎦2、若复数z 满足()512i 13z -=，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高．2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍．同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（）A ．该企业2018年设备支出金额是2017年设备支出金额的一半B ．该企业2018年支付工资金额与2017年支付工资金额相当C ．该企业2018年用于研发的费用是2017年用于研发的费用的五倍D ．该企业2018年原材料的费用是2017年原材料的费用的两倍4、已知椭圆22221()0x y a ba b +=＞＞的两顶点为((00,))A a B b ,,，且左焦点为F，FAB V 是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为（）A.12- B.12+ C.12D.12-5、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11539,44a S S ==+,则n S 的最大值为()A.225B.223C.221D.2196、在()()412x x -+的展开式中，含3x 项的系数为()A.16B.16-C.8D.8-7、函数e 1()sin e 1x xf x x -=⋅+的部分图象大致是()A. B.C. D.8、如图,已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点,则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为()A.4B.4C.4D.349、抛物线24x y =的焦点为F ,准线为l ,,A B 是抛物线上的两个动点,且满足AF BF ⊥,P 为线段AB 的中点,设P 在l 上的射影为Q ,则PQ AB的最大值是()A.23B.33C.22D.3210、已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为31812343y x x =-+-,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A.13万件 B.11万件 C.9万件D.7万件11、已知2sin 1αα=+，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A.34B.34-C.78-D.7812、《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为24π3R 时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为()A.4π3B.823C.32π3D.642π313、袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为__________.14、设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()1f x x =+，则3()2f =__________.15、如图,在同一平面内,向量,,OA OB OC的模分别是,OA 与OC 的夹角为α,且tan 7α=,OB 与OC 的夹角为45,若(),OC mOA nOB m n R =+∈ ,则m n +=__________.16、如图，边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=沿对角线BD 将其折起，使点A 与点A '重C 合，则当三棱锥A BCD '-的体积最大时，三棱锥A BCD '-外接球的体积为.17、在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且228sin cos sin cos 2cos 2sin 2cos 2cos 4cos 3A AB B A B A BC +=++(1)求角C 的大小(2)若点D 为AB 上一点,4,2622,434AC CD AD ==-=-,求BCD △的面积18、某高中随机选取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:min),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)其中上学路上所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).1.求直方图中x 的值；2.如果上学路上所需时间不少于1h 的学生可申请在学校住宿，若招收高一新生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；3.学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40min 的人数记为X,求X 的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）19、如图,在四棱锥B ACDE -中,已知,AB AC EA ⊥⊥平面ABC ,CD ⊥平面ABC ,3332AB AC EA CD===(1)试在BD 上确定点F 的位置,使得直线//EF 平面ABC (2)在(1)的条件下,求直线AF 与平面BED 所成角的正弦值.20、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(0,2)M ，离心率6e 3=.（1）求椭圆的方程；（2）设直线1y x =+与椭圆相交于,A B 两点，求AMB S △.21、设函数()323f x x x ax =-+，()22233322a a g x ax x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-++-，a ∈R .(1)求函数()f x 的单调区间.(2)若函数()()()[]230222()a x f x g x x x ϕ=--∈,在0x =处取得最大值，求a 的取值范围.22、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1233x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数，a R ∈)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos p θ=，射线(π03)p θ=≥与曲线C 交于O P ,两点，直线l 与曲线C 交于A B ,两点.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)当AB OP =时，求a 的值.23、已知关于x 的不等式24(R)x m x m +--≤∈的解集为[2,2]-.(1)求m 的值；(2)若实数,[2,2]a b ∈-,证明14a b ab m+≤+答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：因为222x y +=为半径的圆，所以{|A x x =≤≤，)(R A =-∞⋃-+∞,ð.而在函数2y x =中，当x A ∈时，[]0,2y ∈，即[]0,2B =，从而()A B ⎤⋂=⎦R ð.故选D.2答案及解析：答案：D 解析：()()()13512i 13512i 512i 512i z +==--+()13512i 512i 512i 169131313++===+，所以512i 1313z =-，所以z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限故选D.3答案及解析：答案：C解析：由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t ，则2018年全年的收入为2t ，对于选项A ，该企业2018年设备支出金额为02204t t ⨯.＝.，2017年设备支出金额为0404t t ⨯.＝.，故A 错误，对于选项B ，该企业2018年支付工资金额为02204t t ⨯.＝.，2017年支付工资金额为0202t t ⨯.＝.，故B 错误，对于选项C ，该企业2018年用于研发的费用是025205t t ⨯.＝.，2017年用于研发的费用是0101t t ⨯.＝.，故C 正确，对于选项D ，该企业2018年原材料的费用是03206t t ⨯.＝.，2017年原材料的费用是015015t t ⨯.＝.，故D 错误，故选：C ．4答案及解析：答案：B解析：由双曲线22221()0x y a b a b +=＞＞，得4a ＝.由双曲线的定义知12||28PF PF a －＝＝，19PF ＝，∴21PF ＝(舍去)或217PF ＝，故217PF ＝.故选B5答案及解析：答案：A解析：设等差数列{}n a 的公差为d,11539,44a S S ==+ 1451109,2744a d a a a d ∴+=+=+=得129,2a d ==-22(1)29(2)30(15)2252n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+所以15n =时,n S 取得最大值225.6答案及解析：答案：B解析：因为()()()()4441222x x x x x -+=+-+，所以()()412x x -+的展开式中含3x 项的系数为()42x +的展开式中含3x 项的系数减去()42x x +的展开式中含3x 项的系数，即为1122442216C C -=-，所以()()412x x -+的展开式中，含3x 项的系数为16-.故选B.7答案及解析：答案：A解析：由e 1e 1()sin()sin ()e 1e 1x x xx f x x x f x -----=⋅-=⋅=++,得函数()f x 是偶函数,所以其图象关于y 轴对称,排除D;当03x <<时,e 1,sin 0x x >>,所以()0f x >,排除C,又03x <<时,0e 1e 1xx<-<+,所以e 101e 1x x-<<+,且0sin 1x <≤,因此e 1sin 1e 1x x x -⋅<+,即()1f x <排除B,故选A.8答案及解析：答案：D解析：设BC 的中点为D,连接11A D AD A B ,,,易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角；并设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长为1,则11312,,222AD A D A B ===，由余弦定理,得11132cos 24θ+-==.9答案及解析：答案：C解析：设,AF a BF b ==，,A B 在l 上的射影分别为,M N ，则,AF AM BF BN ==，故2AM BNa bPQ ++==.又AF BF ⊥，所以AB =因为()()()()222222222a b a b a b a b ab a b +++=+-≥+-=)2a b +≥，当且仅当a b =时等号成立,故222PQ AB=≤=.故选C 10答案及解析：答案：C解析：2'81y x x =-+,令0y '=得9x =或9x =-(舍去).当()0,9x ∈时,0y '>,当()9,x ∈+∞时,0y '<,则当9x =时,y 有最大值.即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件,故选C.11答案及解析：答案：D解析：解法一由2sin 1αα=+，得14sin cos 122αα⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，即π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.令π3αθ-=,则1sin 4θ=，π3αθ=+，π2πππ2226362αθθ-=+-=+，所以2ππ17sin 2sin 2cos 212sin 16288αθθθ⎛⎫⎛⎫-=+==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选D.解法二由2sin 1αα=+得224sin 212cos 1ααα-+=，则()()21cos 2261cos 21ααα--++=，22cos 27αα-=，故317sin 2cos 2228αα-=，π7sin 268α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选D.12答案及解析：答案：B解析：由题意易得BC ⊥平面11ACC A ，1111·3B ACC A V AA AC BC -∴=⋅()222211333AC BC AC BC AB =⋅≤+=，当且仅当AC BC =时取等号.又阳马11B ACC A -体积的最大值为24π3R ，2AB ∴=，∴堑堵111ABC A B C -的外接球半径R =，∴外接球的体积2482ππ33V R ==.故选B.13答案及解析：答案：56解析：4只球分别记为白、红、黄1、黄2,则从中一次摸出2只球所有可能的情况有:白红、白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1黄2,共6种情况,其中2只球颜色不同的有5种,故56P =.14答案及解析：答案：32解析：∵函数()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，∴3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=-=-⎭+，又∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴1122f f -=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又∵当[]0,1x ∈时()1f x x =+，∴1131222f ⎛⎫ ⎪=+=⎝⎭，则3322f ⎛⎫⎪⎭= ⎝.15答案及解析：答案：3解析：由tan 7α=可得72sin 10α=,2cos 10α=,根据向量的分解,易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα︒+=︒-=⎧⎪⎨⎪⎩即222100210n m n ⎪⎪+=-=⎪⎪⎩,即510{570n m n m +=-=,即得57,44m n ==,所以3m n +=.16答案及解析：解析：过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H，则13A BCD BCD V S A H H '-''=⨯⨯=△，显然当平面A BD '⊥平面BCD 时，A H '取得最大值.设三棱锥A BCD '-的外接球球心为,O A BD '△和BCD △的外接圆圆心分别为12O O ，，连接1A O '并延长，交BD 于点M ，连接12,OO OO ，2O M A O '，，易得四边形21OO MO 为正方形，则111333OO O M A M '===.在1Rt OO A '△中，123O A A M ''==，所以OA '153=,所以外接球的半径R =，所以3344ππ33O V R ==⨯=⎝⎭球17答案及解析：答案：(1)由228sin cos sin cos 2cos 2sin 2cos 2cos 4cos 3A AB B A B A BC +=++得222sin 2sin 22coscos2(cos sin )4cos 3A B A B B C =-++2(cos 2cos 2sin 2sin 2)4cos 32cos(22)4cos 30A B A B C A B C ∴-++=+++=2cos(2π2)4cos 3C C ∴-++2cos 24cos 3C C =++24cos 4cos 10C C =++=即24cos 4cos 10C ++=解得1cos 2C =-又0πC <<2π3C ∴=(2)在ADC △中,4,4AC CD AD ===所以由余弦定理得222cos2CAD ∠=又0πCAD <∠<,π6CAD ∴∠=由(1)知2ππ,36ACB CBA ∠=∴∠=4AC BC ∴==在ABC △中,由余弦定理得222222π2cos 44244cos483AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=4AB BD AB AD ∴=∴=-=,1π44sin 426BCD S ∴=⨯⨯⨯=△解析：18答案及解析：答案：1.由频率分布直方图可得20(20.0050.01750.0225)1x ⨯+++=,∴0.0025x =2.新生上学所需时间不少于1h 的频率为20(0.0050.0025)0.15⨯+=.∵12000.15180⨯=∴估计这1200名新生中有180名学生可以申请住宿.3.由题意知X 的所有可能取值0,1,2,3,4.由频率分布直方图可知,一名学生上学所需时间少于40min 的概率为25,∴4381(0)()5625P X ===;13423216(1)(55625P X C ==⨯⨯=;222423216(2)((55625P X C ==⨯⨯=;3342396(3)()55625P X C ==⨯⨯=;4216(4)()5625P X ===.∴X 的分布列为X01234P 816252166252166259662516625∴X 的数学期望812162169616()01234625625625625625E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯85=.解析：19答案及解析：答案：(1)如图,过点F 作//FH CD 交BC 于点H,连接AH ,易知//AE CD ,所以//FH AE因为//EF 平面ABC ,平面AEFH ⋂平面ABC AH =,所以//EF AH所以四边形AEFH 是平行四边形,所以FH AE =,又32EA CD =,所以32FH CD=所以23BF FH BD CD ==,即点F 在线段BD 上靠近点D 的三等分点处.(2)连接AD ,令33326AB AC EA CD ====,则2,3AB AC EA CD ====所以12222ADE S =⨯⨯=△因为EA ⊥平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,所以EA AB⊥又,AB AC AC AE A ⊥⋂=,所以AB ⊥平面ACDE所以三棱锥B ADE -的体积11433ADE V S AB =⨯=△易知BE ED BC BD ====所以1cos 10BED ∠=-,所以sin BED ∠=所以132BDE S =⨯△设点A 到平面BED 的距离为h则三棱锥A BDE -的体积213BDE V S h h =⨯=△因为12V V =,所以43h =过点A 作AN BC ⊥于点N,则23AN NH ==所以3EF AH ==,所以3AF =设直线AF 与平面BED 所成的角为θ则4143sin 72143h AF θ===,即直线AF 与平面BED 所成角的正弦值为147解析：20答案及解析：答案：（1）由题意得代入点M可得：2,c b a ==结合222a b c =+，解得212a =所以，椭圆的方程为221124x y +=.（2）由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()223112x x ++=即24690x x +-=，经验证0∆>.设()()1122,,,A x y B x y .所以121239,24x x x x +=-⋅=-，AB =3102AB=因为点到直线的距离d==，所以1131023522224AMBS AB d∆=⨯⨯=⨯=.解析：21答案及解析：答案：(1)()()2236313f x x x a x a'=-+=-+-，当3a≥时，()0f x'≥，所以()f x的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a<时，令()0f x'>，得1x<或1x>+令()0f x'<，得11x<<即()f x的单调递增区间为,1⎛-∞-⎝和1⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭，()f x的单调递减区间为1⎛+⎝.综上，当3a≥时，()f x的单调递增区间为()-∞+∞,，无单调递减区间；当3a<时，()f x的单调递增区间为,1⎛-∞⎝和1⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为1⎛+⎝(2)由题意得()()32213313,02222x ax a x x a xϕ=+--+∈［,］，故()()2313x ax a xϕ'=+--，令()0xϕ'=，即()2331302ax a x+--=，2990a∆=+>，当0a>时，数形结合可知，若()xϕ在0x=处取得最大值，则()()02ϕϕ≥，所以65a<≤，当0a=时，()()322x x xϕ=-+，易知()xϕ在02［,］上单调递减，()xϕ在0x=处取得最大值，满足题意.当0a <时，数形结合可知()0x ϕ'<，()x ϕ在02［,］上单调递减，()x ϕ在0x =处取得最大值，满足题意.综上，a 的取值范围为6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.解析：22答案及解析：答案：(1)将直线l0y a +-=由4cos ρθ=，得24cos p ρθ=，所以224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+=(2)由4cos π3ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得π2,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2OP =.将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程2240x x y -+=，得()2220t t a +++=，由0∆>，得44a -<<+.设A B ,两点对应的参数分别为12,t t ，所以122t t +=-，212t t a =，则12AB t t =-=2==，解得0a=或a =.所以a 的值为0或43.解析：23答案及解析：答案：(1)2x m x ++-表示数轴上的点x 到点-m 与点2的距离的和,因为关于x 的不等式24(R)x m x m ++-≤∈的解集为[2,2]-,所以2m =(2)由(1)知2m =要证14a bab m +≤+只需证142a b ab +≤+只需证I 42()ab a b +≥+即证(2)(2)0a b --≥因为,[2,2]a b ∈-所以02,02a b ≤≤≤≤所以(2)(2)0a b --≥成立.所以14a bab m+≤+成立解析：。
2021年浙江省新高考测评卷数学(第六模拟)
2021年浙江省新高考测评卷数学（第六模拟）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，{}3C x x =<，则A B C ⋂⋂=（ ）A ．{}24x x -<< B ．{}24x x ≤<C ．{}23x x -<<D ．{}23x x ≤<2．复数z =）A ．1B ．79C ．59D ．133．若实数x ，y 满足约束条件1,31,1,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则2020z x y =-的最大值为（ ）A ．2020-B ．2020C ．4039D ．40404．5x ⎛ ⎝的展开式中2x 的系数是（ ）A ．60B ．80C ．90D ．1205．已知p ：2x a +<，q ：x a ≥，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞-C ．[)1,+∞D ．()1,+∞6．若12ln 2a =，b =，4log 3c =，则（ ） A ．c b a >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．a b c >>7．设1x ，2x ，{}31,0,1,2x ∈-，那么满足32212308x x x ≤++≤的所有有序数组()123,,x x x 的组数为（ ）A ．45B ．46C ．47D ．488．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 是坐标原点，12123F PF FOP π∠=∠=，则椭圆的离心率是（ ）A．32- BC．2D．29．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22b a bc -=，则sin sin 2A B +=（ ）A ．0B ．12C．2D ．13-10．已知函数()()()()22673,log 113,x x x f x x x ⎧-+-≥⎪=⎨+-<<⎪⎩若关于x 的方程()()220f x mf x m +++=⎡⎤⎣⎦有6个根，则m 的取值范围为（ ）A．(,2-∞- B．(2,2--C ．()2,-+∞D．2,2--⎡⎣二、填空题11．已知三倍角公式()()sin34sin sin 60sin 60αααα=+-°°，则sin 20sin60sin100sin140=°°°°______．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．13．已知向量a ，b 满足23a b a b +≥-，则ba在a 方向上的投影的最小值是______．三、双空题14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．若17102S =，1112a =，则d =______，20S =______．15．已知随机变量X 的分布列为()()()12aP X n n n ==++（1,2,3n =），其中a 为16．已知双曲线C 的右焦点为()2,0F ，且C 经过点(A ，则双曲线C 的标准方程为______；若直线AF 与y 轴交于点B ，点(),P x y 是C 右支上一动点，且(y ∈-，直线AP 与以AB 为直径的圆相交于另一点D ，则PA PD ⋅的最大值是______．17．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，13AA =，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 的平面记为α，则平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -所得截面的面积为______，平面α与平面11BB C C 所成角的余弦值为______．四、解答题18．已知函数()227cos 24cos 32πx f ωx ωx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象与x 轴的两个相邻交点间的最短距离为6π． （1）求()0f ；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，二面角P AD C --的余弦值为13，M 是棱PC 的中点，2PA PD AD ===，1BC =，CD =．（1）求证：AD PB ⊥；（2）求直线MA 与平面PAD 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 满足113a =，11113n n na a +++=． （1）证明：数列1134n na +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：1235n a a a ++⋅⋅⋅+<． 21．设O 为坐标原点，M 是x 轴上一点，过点M 的直线交抛物线C ：24y x =于点A ，B ，且4OA OB ⋅=-．（1）求点M 的坐标； （2）求232BM AM-的最大值．22．已知函数()e 1xx a f x =-+（a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，令()()ln g x f x =，若函数()g x 的图象与直线y kx m =+相交于不同的两点A ，B ，设1x ，2x （12x x <）分别为点A ，B 的横坐标，求证：21111k x x <+<．参考答案1．D 【分析】根据交集的概念运算可得结果. 【详解】{}24A B x x ⋂=≤<，{}23A B C x x ⋂⋂=≤<，故选：D ． 2．A 【分析】利用复数的四则运算以及复数的概念即可求解. 【详解】3i 11i3z +===，所以z 的虚部为13，实部为3-，故z 的虚部和实部的平方和是221133⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A 3．B 【分析】作出可行域，将目标函数进行变形，根据目标函数的几何意义并数形结合可得最优解，得到目标函数的最值． 【详解】根据题意作出可行域如图中阴影部分所示，由2020z x y =-得1120202020y x z =-，数形结合可知当直线2020z x y =-经过点()0,1-时，z 取得最大值，为2020．故选：B 4．C 【分析】 利用通项公式35215C 3r rr r T x-+=⋅，得2r，可得系数【详解】5x⎛+ ⎝的展开式的通项公式为3552155C C 3rr r r r r r T x x --+==⋅， 令3522r -=，得2r ，则2x 的系数为225C 390⨯=．故选：C 【点睛】求二项式展开式指定项的系数，利用通项公式1C r n r rr n T a b -+=和x 的幂指数相等可求．5．A 【分析】首先求出p ，记为A ，再求出q ，记为B ，依题意可得A B ，即可得到不等式，解得即可； 【详解】解：因为p ：2x a +<，所以:22p a x a --<<-+，记为{}|22A x a x a =--<<-+；:q x a ≥，记为{}|B x x a =≥．因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB所以2a a ≤--，解得1a ≤-． 故选：A 6．B 【分析】 由已知可得2log e 2a =，ln 22b =，2log 32c =，利用对数式的单调性可得答案. 【详解】2log e 12ln 22a ==，ln 22b ==，24log 3log 32c ==，由于22log 3log e 1>>，0ln 21<<，∴c a b >>．故选：B. 7．C 【分析】对1x 的取值进行分类讨论，结合已知分析2x 和3x 的取值情况，然后利用排列组合知识求解即可． 【详解】①当12x =时，22230x x +=，则230x x ==，共1组；②当11x =时，222317x x -≤+≤，则2x ，3x 不同时为2，共1124414115C C ⋅-=-=组； ③当10x =时，222308x x ≤+≤，则2x ，3x 为1,0,1,2中任一元素，共11244416C C ⋅==组；④当11x =-时，222319x x ≤+≤，则2x ，3x 不同时为0，共1124414115C C ⋅-=-=组．故满足题意的有序数组共有47组． 故选：C. 8．D 【分析】利用12123F PF FOP π∠=∠=，得到121PFO F F P ∽△△，利用11121PF F O F F PF =，求得1PF =，利用定义得到22PF a =，再利用余弦定理得解. 【详解】根据12123F PF FOP π∠=∠=以及121PF F OF P ∠=∠，得121PFO F F P ∽△△，于是11121PF F O F F PF =，所以1PF =，又122PF PF a +=，所以22PF a =．在21F F P △中，由余弦定理，得)()()22214222()2c a a =+-⨯-，即2220c a -=，所以220e -=，因为01e <<，所以椭圆的离心率e = 故选D 【点睛】本题以椭圆为载体，考查三角形相似、余弦定理以及椭圆的定义与性质．利用三角形相似、椭圆定义得到焦半径是解题关键. 9．A 【分析】由余弦定理得2cos b A b c =+，再由正弦定理得2sin cos B Asin sin cos sin cos B A B B A =++，化简可得()sin sin B B A =-，结合三角函数的性质得2B πA =+可得答案.【详解】由22b a bc -=得2222b c a bc c +-=+，由余弦定理得2cos b A b c =+， 再由正弦定理得()2sin cos sin sin sin sin B A B C B A B =+=++sin sin cos sin cos B A B B A =++，即sin cos sin sin cos B A B A B =+，得()sin sin B B A =-，由于()0,B π∈，(),B A ππ-∈-，所以B A B -=（舍去）或B A B π-+=，故2B πA =+，于是()sin 2sin sin B πA A =+=-，所以sin sin 20A B +=．故选：A. 10．B 【分析】作出函数()f x 的图象,令()t f x =，则原方程可化为220t mt m +++=在()0,2上有2个不相等的实根，再数形结合得解. 【详解】作出函数()f x 的图象如图所示．令()t f x =，则()()220f x mf x m +++=⎡⎤⎣⎦可化为220t mt m +++=，要使关于x 的方程()()220f x mf x m +++=⎡⎤⎣⎦有6个根，数形结合知需方程220t mt m +++=在()0,2上有2个不相等的实根1t ，2t ，不妨设1220t t <<<，()22t m t m g t =+++，则()()()2420,02,2020,24220m m m g m g m m ⎧-+>⎪⎪<-<⎪⎨⎪=+>⎪=+++>⎪⎩解得22m -<<-，故m 的取值范围为(2,2--， 故选B ． 【点睛】形如()y g f x =⎡⎤⎣⎦的函数的零点问题与函数图象结合较为紧密，处理问题的基础和关键是作出()f x ，()g x 的图象．若已知零点个数求参数的范围，通常的做法是令()t f x =，先估计关于t 的方程()0g t =的解的个数，再根据()f x 的图象特点，观察直线y t =与()y f x =图象的交点个数，进而确定参数的范围．11．316【分析】根据三倍角公式，诱导公式及40α=︒，代入求值即可． 【详解】因为sin 20sin100sin140sin 20sin100sin 40=°°°°°°()()sin 40sin 6040sin 6040+-=°°°°°1sin1204==°，所以3sin 20sin 60sin100sin14016==°°°°． 故答案为：31612．133【分析】根据三视图确定空间几何体的形状，运用体积公式进行求解即可. 【详解】由该几何体的三视图可知，该几何体为一个长方体与一个三棱锥的组合体，24=， 三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=，故该几何体的体积为113433+=．故答案为：13313．12【分析】对已知不等式两边平方并化简，利用平面向量数量积的定义和投影的概念，可得最小值． 【详解】由23a b a b +≥-得2223a b a b +≥-，得22224496a a b b a a b b +⋅+≥-⋅+，所以22a b a ⋅≥．设a ，b 的夹角为θ，则22cos a b θa ⋅≥，所以cos 12b θa≥，即b a 在a方向上的投影的最小值是12． 故答案为：1214．3 210 【分析】利用等差数列的通项公式与前n 项和公式求出1a ，d ，再利用等差数列的前n 项和公式求出20S . 【详解】由已知及等差数列的通项公式与求和公式可得1111012a a d =+=①，1711716171022S a d ⨯=+=②，由①②得118a =-，3d =， ∴()202019201832102S ⨯=⨯-+⨯=． 故答案为:3；210 15．103296【分析】利用分布列的性质求得103a =，进而求得()1P X =，()2P X =，()3P X =，得到()E X ，最后利用数学期望的相关公式求解即可． 【详解】()()()1212P X aa a n n n n n ==-+=+++， 由()()()1231P X P X P X =+=+==，即125a a -=，得103a =，则()519P X ==，()5218P X ==，()136P X ==，∴()55129123918618E X =⨯+⨯+⨯=，即()()2929338316E X E X =⨯==． 故答案为：103，296. 16．2213y x -=48【分析】设双曲线C 的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，利用待定系数法可求得双曲线C 的标准方程，利用平面向量数量积的运算法则可得出249PA PD PF ⋅=-，求出PF 的最小值，即可得解. 【详解】由题意可设双曲线C 的标准方程是()222210,0x y a b a b-=>>，则22222416451a b c a b⎧+==⎪⎨-=⎪⎩，解得2213a b ⎧=⎨=⎩，所以，双曲线C 的标准方程为2213y x -=.直线AF的斜率为422AF k ==-，直线AF的方程为)22y x =-，在直线AF 的方程中，令0x =，可得y =-，即点(0,B -， 因为2A B F x x x +=，2A BF y y y +=，所以，点F 为线段AB 的中点， 故以AB 为直径的圆的圆心为F ，且半径为7AF =， 如图，连接PB 、PF 、BD ，由于点D 是以AB 为直径的圆上异于A 、B 的一点，则BD AD ⊥， 由双曲线的几何性质可知min 1PF c a =-=，PA PF FA =+，PB PF FB PF FA =+=-，()PA PD PA PD PA PB BD PA PB BD PA PA PB ⋅=-⋅=-⋅+=-⋅-⋅=-⋅ ()()222224949148PF FA PF FA AF PF AF PF PF =-+⋅-=-=-=-≤-=.故答案为：2213y x -=；48.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是会转化，会根据向量数量积的几何意义把PA PD ⋅转化为PA PB -⋅，再根据平面向量的知识求解.173【分析】设直线EF 分别与DA ，DC 的延长线交于点P ，Q ，连接1D P ，交1AA 于点M ，连接1D Q ，交1CC 于点N ，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积；取FN 的中点G ，连接QG ，CG ，结合平面与平面所成角的定义得到QGC ∠为平面α与平面11BB C C 所成的角或其补角，最后利用余弦定理求解即可．【详解】设直线EF 分别与DA ，DC 的延长线交于点P ，Q ，连接1D P ，交1AA 于点M ，连接1D Q ，交1CC 于点N ，连接ME ，FN ，∴平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -的截面为五边形1D MEFN ．由平行线分线段成比例知：1AP BF ==，故13DP DD ==，故△1DD P 为等腰直角三角形，∴1AM AP ==，故12A M =，则11D M D N ==ME EF FN ==MN ，易知MN =∴五边形1D MEFN 可以分成等边三角形1D MN 和等腰梯形MEFN 两部分，等腰梯形MEFN 的高h ==MEFN 的面积为=．又(12D MNS ==∴五边形1D MEFN 的面积为=．易知1CF CQ CN ===，则由勾股定理得FN NQ FQ ===取FN 的中点G ，连接CG ，QG ，则CG FN ⊥，QG FN ⊥，且CG =，QG =，故QGC ∠为平面α与平面11BB C C 所成角或其补角．在△QGC中，由余弦定理得222131cos 23CG QG QC QGC CG QG +-+-∠===⋅，∴平面α与平面11BB C C，3. 【点睛】关键点点睛：根据直棱柱的性质，应用平面的延展性补全截面，得到面α截1111ABCD A B C D -的截面为五边形1D MEFN ，求各边长度，进而求面积；根据二面角定义，找到其对应的平面角并求其余弦值. 18．（1）0；（2）单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【分析】（1）将0x =代入函数()f x 的解析式，直接求值即可； （2）先由三角恒等变换得到()3232πx x f ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f x =，解出方程的根，结合()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点间的最短距离为6π，求出1ω=，即可得到()f x 的解析式，然后利用正弦函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）()22717cos 4cos 04003222f π⎛⎫=-+-=-+-= ⎪⎝⎭． （2）()11cos 272cos 24222ωx ωx ωx f x +=-+⨯-332cos 222ωx ωx =+- 3232πωx ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．令()0f x =，则sin 232πωx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以2233ππωx k π+=+或22233ππωx k π+=+，k ∈Z ， 故k x πω=或6πk πx ωω=+，k ∈Z ， 所以()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点间的最短距离为66ππω=，故1ω=，()3232πf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 当[]0,x π∈时，72,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当2,332πππx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即[0,]12x π∈或372,323πππx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即7[,]12x ππ∈时，()f x 单调递增，故()f x 的单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角恒等变换公式以及三角函数的图象和性质是解题关键.19．（1）证明见解析；（2）51． 【分析】（1）取AD 的中点Q ，连接PQ ，BQ ，可知AD ⊥平面PBQ ，从而可证明.（2）先证明平面PBQ ⊥平面ABCD ，过点P 作PG BQ ⊥于点G ，则PG ⊥平面ABCD ，故以G 为原点，以GB ，GP 所在直线分别为y ，z 轴，过点G 且与AD 平行的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【详解】（1）、证明：取AD 的中点Q ，连接PQ ，BQ ， 因为PA PD =，所以PQ AD ⊥． 由题意知//BC AD ，12BC AD =， 又12DQ AD =，所以//BC DQ ，BC DQ =， 所以四边形BCDQ 为平行四边形，所以//DC BQ ， 因为90ADC ∠=︒，所以DC AD ⊥，所以BQ AD ⊥． 又PQ ，BQ ⊂平面PBQ ，PQ BQ Q =，所以AD ⊥平面PBQ ，又PB ⊂平面PBQ ，所以AD PB ⊥．（2）由AD ⊥平面PBQ ，AD ⊂平面ABCD ，得平面PBQ ⊥平面ABCD ，过点P 作PG BQ ⊥于点G ，则PG ⊥平面ABCD ，故以G 为原点，以GB ，GP 所在直线分别为y ，z 轴，过点G 且与AD 平行的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．易知PQB ∠为二面角P AD C --的平面角，所以1cos 3PQB ∠=．在Rt PQG △中，PQ =1cos 3PQG ∠=，得QG =PG =，则13QG BQ =，1,,03A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,3D ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,3C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3P ⎛ ⎝⎭，1,,233M ⎛- ⎝⎭，所以1,,33PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,33PD ⎛=--- ⎝⎭，3,233AM ⎛=- ⎝⎭． 设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则0,0n PA n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩则0x =，令y =1z =-，故()0,22,1n =-为平面PAD 的一个法向量． 设直线MA 与平面PAD 所成的角为θ，则sin cos ,θn AM ===， 即直线MA 与平面PAD ． 【点睛】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.3、求：求出所需平面的法向量4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.20．（1）证明见解析；()14331nn n a -=⎡⎤+-⎣⎦；（2）证明见解析． 【分析】（1）由题得211131344n n n n a a +++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即得数列1134n na +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，再求数列{}n a 的通项公式；（2）对n 分类讨论利用放缩法求证. 【详解】 （1）因为11113n n na a +++=， 所以2211111313131334444n n n n n n n n n a a a a ++++++⎛⎫-=--=-+=-- ⎪⎝⎭， 又119933444a -=-=， 所以数列1134n na +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以34为首项，1-为公比的等比数列，所以()11133144n n n a +--=⋅-， 即()113314n n n a -⎡⎤=+-⎣⎦，故()14331nn n a -=⎡⎤+-⎣⎦． （2）由113a =，216a =，得121325a a +=<， 当4n ≥且n 为偶数时，11111141143341133131333231333n nn n n n n n n n n a a ------+⎛⎫⎛⎫+=+=⋅<+ ⎪⎪+-⋅+⋅-⎝⎭⎝⎭， 所以1234111411113633333n n n a a a -⎛⎫++⋅⋅⋅+<++⨯++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭114123132712322754513+⨯=+=<<-； 当3n ≥且n 为奇数时，1n +为偶数，则12135n n a a a a +++⋅⋅⋅++<， 由于0n a >，则1235n a a a ++⋅⋅⋅+<． 综上，1235n a a a ++⋅⋅⋅+<． 【点睛】 方法点睛：方法技巧若数列的通项公式中含有()1n-，则在求数列的前n 项和时，常需要对n 分奇偶分别求解．21．（1）()2,0；（2）2．【分析】（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0M m ，由4OA OB ⋅=-得到128y y =-，设直线:AB x ty m =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系得到2m =，即可得到点M 的坐标； （2）由题意及弦长公式得到AM ，BM ，利用根与系数的关系得到221114AM BM +=，进而得232BM AM-的表达式，然后构造函数，利用函数的单调性求函数的最大值，即可得到232BM AM -的最大值．【详解】（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0M m ， 则222212121212,,44416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得128y y =-，设直线:AB x ty m =+，联立方程，得2,4,x ty m y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty m --=， 由根与系数的关系知，1248m y y -==-，所以2m =，故点M 的坐标为()2,0．（2）由（1）知，124y y t +=，128y y =-．易知1AM y =，2M B =， 所以()()22222212111111t y t y AM BM +=+++()()222122222121616141641y y t t y y t ++===++， 则222321132||3284BM BM BM AM BM BM ⎛⎫-= -⎪-=-- ⎪⎝⎭． 令()2328u f u u =--，2u >，则()3641f u u='-， 所以()f u 在()2,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减，所以()()min 42f u f ==，即232BM AM -的最大值是2，当且仅当4BM =时取等号． 【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：一是几何方法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解． 22．（1）当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增，在()ln ,a -+∞上单调递减．；（2）证明见解析．【分析】（1）求导后，分类讨论a ，利用导数的符号可得函数()f x 的单调性；（2）求出()g x 的解析式，利用斜率公式求出2121ln ln 1x x k x x -+=-，将所证不等式化为11ln 1t t t-<<-（1t >），再构造两个函数，利用导数可证结论成立. 【详解】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，且()1e xf x a ='-． 当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增．当0a >时，若(),ln x a ∈-∞-，则()0f x '>，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增； 若()ln ,x a ∈-+∞，则()0f x '<，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增，在()ln ,a -+∞上单调递减．（2）当1a =时，()e 1xx x f =-+，所以()()ln ln 1g x f x x x =-+=， 所以()()21221121212121ln ln ln ln 1g x g x x x x x x x k x x x x x x ---+-===----， 所以2121ln ln 1x x k x x -+=-． 要证21111k x x <+<，即证212211ln 1ln 1x x x x x x -<<-． 因为210x x >>，所以210x x ->，即证21221211ln x x x x x x x x --<<． 令21x t x =，则1t >，即证11ln 1t t t-<<-（1t >）． 令()ln 1t t φt =-+（1t >），则()1110φt t t t-=='-<， 所以()t ϕ在()1,+∞上单调递减， 所以()0t ϕ<，即ln 10t t -+<，ln 1t t <-（1t >）．①令()1ln 1h t t t =+-（1t >），则()221110t h t t t t'-=-=>， 所以()h t 在()1,+∞上单调递增，则()0h t >，即1ln 1t t >-（1t >）．②综合①②得11ln 1t t t-<<-（1t >）， 所以21111k x x <+<. 【点睛】 关键点点睛：将所证不等式化为11ln 1t t t-<<-（1t >），再构造两个函数，利用导数证明不等式成立是解题关键.。
2021年高考数学 小题精做系列 06（含解析）理(1)
2021年高考数学 小题精做系列 06（含解析）理一、选择题（共6小题）1.【2021年一般高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】假设复数z 知足24iz i =+,那么在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2 2.【2021年一般高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )A ．3172B ．210C ．132D ．310 3.【2021年一般高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知点A （-1，0）；B （1，0），C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部份，那么b 的取值范围是（A ）（0，1） (B)（1-，12） ( C)（1-，1]3(D)【13,12） 题与解决问题的能力.4.【2021年一般高等学校统一考试天津卷理科】设变量x , y 知足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩那么目标函数z = y －2x 的最小值为（ ）(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 25.【2021年一般高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】设函数()f x 满足()()()()222,2,0,8x e e x f x xf x f x f x x '+==>则时，（ ） （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值（C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值6.【2021年一般高等学校统一考试试题大纲全国理科】椭圆C ：22143x y +=的左右极点别离为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．13[,]24B ．33[,]84C ．1[,1]2D ．3[,1]4二、填空题（共2小题）7.【2021年一般高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是 .8.【2021年一般高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】对区间I 上有概念的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知概念域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，假设方程()0f x x -=有解0x ，那么0_____x =。
2020年新高考数题型详解：第六章 数系的扩充与复数的引入章末测试(教师版)人教选修
高考数学选修系列题型详解 提升突破·战胜高考 第六章 数系的扩充与复数的引入章末测试 一、单选题(每题5分,共60分） 1．已知151izi,则复数z（ ） A．23i B．23i C．32i D．32i 【来源】湖南省郴州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】B
【解析】1511546231112iiiiziiii故选：B 2．复数1iiz+=在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【来源】河南省郑州市2019-2020学年高三上学期第一次质量预测数学（文)试题 【答案】D 【解析】21(1)=(1)1iiiziiii 所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,1),位于第四象限,故选：D 3．若复数z满足131izii（其中i为虚数单位）,则z（ ） A．2 B．3 C．10 D．4 【来源】新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2019-2020学年高三第一次诊断性测试数学理试题 【答案】A
【解析】131izii2132ii32iii所以22022z.故选：A. 4．若复数z满足12zii,其中i为虚数单位,则z（ ） A．1i B．1i C．1i D．1i 【来源】安徽省合肥市联考2018-2019学年高二下学期期中数学(理)试题(合肥一中、合肥六中) 【答案】B 【解析】Q复数z满足12zii,211izii,故本题选B. 5．复数4312izi的虚部为（ ） 高考数学选修系列题型详解 提升突破·战胜高考 A．i B．i C．1 D．-1 【来源】河南省濮阳市2018届高三第二次模拟考试数学（理)试题 【答案】D
【解析】 由43124310521212125iiiiziiii,所以复数的虚部为1,故选D． 6．已知复数2ziz,为z的共轭复数,则1. zz（ ） A．5i B．5i C．7i D．7i 【来源】安徽省阜阳市2019-2020学年高三教学质量统测数学（文科)试题 【答案】D 【解析】因为2zi,所以(1)327zziii．故选：D． 7．若aR,则“复数31aizi在复平面内对应的点在第三象限”是“3a”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【来源】江西省南昌市东湖区第二中学2019-2020学年高二上学期期末数学（理)试题 【答案】C
高考数学一轮复习 第六章《数列》精编配套试题(含解析)文 新人教A版
2014届高考数学（文）一轮复习单元测试第六章数列单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．（2013年高考安徽（文））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a =（ ） A ．6-B ．4-C ．2-D ．22．（2013安徽安庆三模）在正项等比数列{}n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则75a a ⋅的值是A ．10000B. 1000C. 100D. 103、【山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试1月数学文】设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 2a 、4a 是方程220x x --=的两个根，5S =A ．52B ．5C ．52- D ．-5 4、（2013年高考课标Ⅰ卷（文6））设首项为1,公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则 （ ）A ．21n n S a =-B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-5．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m 降低0.7 ℃，已知山顶的气温是14.1 ℃，山脚的气温是26 ℃.那么，此山相对于山脚的高度是( )A ．1500 mB ．1600 mC ．1700 mD ．1800 m 6、【云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学文】在等比数列{}n a 中，若37,a a 是方程2420x x ++=的两根，则 5a 的值是A ．2-B ．C ．D7 ．【山东青岛一中2013高三1月数学文】已知数列{n a }满足*331log 1log ()n n a a n ++=∈N ，且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是（ ）A.15- B.5- C.5 D.158、（2013广东揭阳二模）在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若129m a a a a =+++，则m 的值为A ．37B ．36C ．20D ．199．若m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，m ·n 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为( )A.12B.22C.32D.3310．数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 100b 100＝( )A ．1 B.23 C.199299 D.20030111．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是此数列中的( )A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项12 ．（2013年高考辽宁卷（文4））下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（） A ．12,p pB ．34,p pC ．23,p pD ．14,p p二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13、（2013年高考重庆卷（文12））若2、a 、b 、c 、9成等差数列,则c a -=____________. 14．（2013年高考北京卷（文11））若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=,则公比q =__________;前n 项n S =_____.15．（2013年高考广东卷（文））设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++=________16．（2013广州二模）数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) （2013年高考福建卷（文））已知等差数列{}n a 的公差1d =,前n项和为n S .(1)若131,,a a 成等比数列,求1a ; (2)若519S a a >,求1a 的取值范围.18．(本小题满分12分) （2013年高考湖南（文））设n S 为数列{n a }的前项和,已知01≠a ,2n n S S a a ∙=-11,∈n N *(Ⅰ)求1a ,2a ,并求数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)求数列{n na }的前n 项和.19．(本小题满分12分) 【云南省玉溪一中2013届高三第五次月考 文】（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足的前n 项和为n S ，且)(,1)31(*∈-+=N n n S nn .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 的通项公式满足)1(n n a n b -=，求数列}{n b 的前n 项和n T 。
高三数学第六次模拟考试试题文试题
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。 本卷贰O贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。 实验高级中学2021届高三数学第六次模拟考试试题 文
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。 时间是：120分钟 分值：150分
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求的.
1. 集合BAxyyxBxyyxA则},),({},12),({2〔 〕 A. B. }1{ C. )}1,1{( D.)}1,1{( 2. 复数iiz2332，那么z〔 〕 A.i B.i C.i1 D.i1 3. 10log,5.0,9log8.078cba，那么〔 〕 A.bac B.cab C.acb D.abc
4. 为实现国民经济新“三步走〞的开展HY目的，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在 2021 年以前的年均脱贫率〔脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比〕为70% ． 2021 年 开场全面施行“精准扶贫〞政策后，扶贫效果明显进步，其中2021 年度施行的扶贫项 目，各工程参加户数占比〔参加该工程户数占2021 年贫困户总数的比〕及该工程的脱 贫率见下表：
施行工程 种植业 养殖业 工厂就业 效劳业 参加户占比 40% 40% 10% 10%
脱贫率 95% 95% 90% 90%
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。 本卷贰O贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。 那么2021年的年脱贫率是施行“精准扶贫〞政策前的年均脱贫率的〔 〕倍
A.57 B.3548 C.3547 D.2837 5. 角的终边经过点)1,3(P，那么2cos〔 〕 A.53 B.53 C.54 D.54
2021高考数学 专题六 6-1解析几何名师指导历炼试题 理（含解析）新人教A版(1)
2021高考数学 专题六 6-1解析几何名师指导历炼试题 理（含解析）新人教A 版1．(背景新)将一颗骰子抛掷两次，第一次显现的点数记为a ，第二次显现的点数记为b ，设两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，那么复数P 1＋P 2i 所对应的点P 与直线l 2：x ＋2y ＝2的位置关系是( )A ．P 在直线l 2的右下方B ．P 在直线l 2的右上方C ．P 在直线l 2上D ．P 在直线l 2的左下方命题猜想解析：如下图，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线y ＝k(x ＋1)过定点C(－1,0)，依照抛物线的概念可知|AM|＝2|BN|，那么B 为AC 的中点，因此x 2＝x 1－12，y 2＝y 12，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫y 122＝4×x 1－12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝±22，因此直线斜率k ＝y 1x 1＋1＝±222＋1＝±223，应选A .答案：A [历 炼]1．解析：易知当且仅当a b ≠12时两条直线只有一个交点，而a b ＝12的情形有三种：a ＝1，b ＝2(现在两直线重合)；a ＝2，b ＝4(现在两直线平行)；a ＝3，b ＝6(现在两直线平行)．而抛掷两次的所有情形有6×6＝36种，因此两条直线相交的概率为P 2＝1－336＝1112；两条直线平行的概率为P 1＝236＝118，P 1＋P 2i 所对应的点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫118，1112，易判定P ⎝ ⎛⎭⎪⎫118，1112在l 2：x ＋2y ＝2的左下方，应选D . 答案：Dx2 4＋y22．(概念新)点P在曲线C：＝1上，假设存在过点P 的直线交曲线C 于点A ，交直线l ：x ＝4于点B ，知足|PA|＝|PB|，那么称点P 为“H 点”，那么以下结论正确的选项是( )A ．曲线C 上的所有点都是“H 点”B ．曲线C 上仅有有限个点是“H 点” C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点”D ．曲线C 上有无穷多个点(但不是所有的点)是“H 点”3．(交汇新)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的右极点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点别离为B ，C ，假设A ，B ，C 三点的横坐标成等比数列，那么双曲线的离心率为( )4．(交汇新)如下图，已知圆O ：x 2＋y 2＝2交x 轴于A ，B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为22的椭圆，其左核心为F.假设P 是圆O 上一点，连接PF ，过原点O 作直线PF 的垂线交直线x ＝－2于点Q.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)假设点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切；(3)试探讨：当点P 在圆O 上运动时(不与A ，B 重合)，直线PQ 与圆O 是不是维持相切的位置关系？假设是，请证明；假设不是，请说明理由．[历炼]2．解析：设点P(x ，y)，B(4，m)．当|PA|＝|PB|，即点P 是AB 的中点时，那么点A(2x－4,2y －m)，由于点A ，P 均在椭圆C 上，因此有⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，2x －424＋2y －m 2＝1，化简为⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x －22＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝1，结合图形不难看出(图略)，当m 取适当的值时，椭圆x 24＋y 2＝1与(x －2)2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝1(该方程表示中心在点⎝⎛⎭⎪⎫2，m 2的椭圆)始终会有交点，即在椭圆C 上知足|PA|＝|PB|的点P 有无数多个(但不是所有的点)，因此选D .答案：D3．解析：由题意可知，通过右极点A 的直线方程为y ＝－x ＋a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－x ＋a ，解得x ＝a 2a ＋b.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ba x ，y ＝－x ＋a ，解得x ＝a 2a －b .因为b ＞a ＞0，因此a 2a －b ＜0，且a 2a ＋b＞0，又点B 的横坐标为等比中项，因此点B 的横坐标为a 2a －b ，那么a·a 2a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2a －b 2，解得b ＝3a ，因此双曲线的离心率e ＝c a＝a 2＋b 2a＝10.答案：C4．解析：(1)因为a ＝2，e ＝22，因此c ＝1，那么b ＝1，即椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：因为P(1,1)，因此k PF ＝12，因此k OQ ＝－2，因此直线OQ 的方程为y ＝－2x. 又Q 在直线x ＝－2上，因此点Q(－2,4)， ∴k PQ ＝－1，又∵k OP ＝1，∴k OP ·k PQ ＝－1，即PQ ⊥OP ，故直线PQ 与圆O 相切．(3)当点P 在圆O 上运动时，直线PQ 与圆O 维持相切的位置关系．证明如下： 设P(x 0，y 0)(x 0≠±2)，那么y 20＝2－x 20，因此k PF ＝y 0x 0＋1，k OQ ＝－x 0＋1y 0，因此直线OQ 的方程为y ＝－x 0＋1y 0x ，因此点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，2x 0＋2y 0. 因此k PQ ＝y 0－2x 0＋2y 0x 0＋2＝y 20－2x 0＋2x 0＋2y 0＝－x 20－2x 0x 0＋2y 0＝－x 0y 0，又k OP ＝y 0x 0，因此k OP ·k PQ ＝－1，即OP ⊥PQ(P 不与A ，B 重合)，故直线PQ 始终与圆O 相切．。
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新教材高考数学模拟题精编详解第三套试题
题号 一 二 三 总分 1～12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
分数 说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知a＞b＞0，全集为R，集合}2|{baxbxE，}|{axabxF，}|{abxbxM，则有（ ） A．EM（FR） B．M（ER）F C．FEM D．FEM
2．已知实数a，b均不为零，tansincoscossinbaba，且6π，则ab等于（ ）
A．3 B．33 C．3 D．33 3．已知函数)(xfy的图像关于点（-1，0）对称，且当x（0，＋∞）时，xxf1)(，则当x（-∞，-2）时)(xf的解析式为（ ） A．x1 B．21x C．21x D．x21 4．已知是第三象限角，m|cos|，且02cos2sin，则2cos等于（ ）
A．21m B．21m C．21m D．21m 5．（理）已知抛物线xy42上两个动点B、C和点A（1，2）且∠BAC＝90°，则动直线BC必过定点（ ） A．（2，5） B．（-2，5） C．（5，-2） D．（5，2） （文）过抛物线)0(22ppxy的焦点作直线交抛物线于1(xP，)1y、2(xQ，)2y两点，若pxx321，第2页共9页
则||PQ等于（ ） A．4p B．5p C．6p D．8p 6．设a，b，c是空间三条直线，，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ）
A．当c⊥时，若c⊥，则∥ B．当b时，若b⊥，则 C．当b，且c是a在内的射影时，若b⊥c，则a⊥b D．当b，且c时，若c∥，则b∥c 7．两个非零向量a，b互相垂直，给出下列各式：
①a·b＝0； ②a＋b＝a-b； ③|a＋b|＝|a-b|； ④|a|2＋|b|2＝(a＋b2)； ⑤（a＋b）·（a-b）＝0． 其中正确的式子有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．已知数列}{na的前n项和为)15(21nnSn，Nn，现从前m项：1a，2a，„，ma中抽出一项
（不是1a，也不是ma），余下各项的算术平均数为37，则抽出的是（ ） A．第6项 B．第8项 C．第12项 D．第15项
9．已知双曲线12222byax（a＞0，b＞0）的两个焦点为1F、2F，点A在双曲线第一象限的图象上，若△21FAF的面积为1，且21tan21FAF，2tan12FAF，则双曲线方程为（ ） A．1351222yx B．1312522yx C．1512322yx D．1125322yx 10．在正三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE，且BC＝1，则正三棱锥A-BCD的体积等于（ ）
A．1212 B．242 C．123 D．243 11．（理）某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）
A．38C种 B．38A种 C．39C种 D．311C种 （文）某师范大学的2名男生和4名女生被分配到两所中学作实习教师，每所中学分配1名男生和2名女生，则不同的分配方法有（ ） A．6种 B．8种 C．12种 D．16种
12．已知)(xf是定义在R上的偶函数，且对任意Rx，都有)3()1(xfxf，当x[4，6]时，
12)(xxf，则函数)(xf在区间[-2，0]上的反函数)(1xf的值)19(1f为（ ） 第3页共9页
A．15log2 B．3log232 C．3log52 D．3log212 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答案
第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上
13．（理）已知复数iz31，122iz，则复数421zzi的虚部等于________． （文）从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样法选出100户调查社会购买力的某项指标，则三种家庭应分别抽取的户数依次为________．
14．若实数a，b均不为零，且)0(12xxxba，则9)2(baxx展开式中的常数项等于________． 15．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米／时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时________． 16．给出下列4个命题：
①函数maxxxxf||)(是奇函数的充要条件是m＝0：
②若函数)1lg()(axxf的定义域是}1|{xx，则1a；
③若2log2logba，则1limnnnnnbaba（其中Nn）； ④圆：0541022yxyx上任意点M关于直线25ayax的对称点，M也在该圆上． 填上所有正确命题的序号是________． 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知二次函数)(xf对任意Rx，都有)1()1(xfxf成立，设向量a（sinx，2），b
（2sinx，21），c（cos2x，1），d（1，2），当x[0，π]时，求不等式f（ba）＞f（dc）的解集．
18．（12分）（理）甲、乙队进行篮球总决赛，比赛规则为：七场四胜制，即甲或乙队，谁先累计获胜四场比赛时，该队就是总决赛的冠军，若在每场比赛中，甲队获胜的概率均为0.6，每场比赛必须分出胜负，且每场比赛的胜或负不影响下一场比赛的胜或负． （1）求甲队在第五场比赛后获得冠军的概率； 第4页共9页
（2）求甲队获得冠军的概率； （文）有甲、乙两只口袋，甲袋装有4个白球2个黑球，乙袋装有3个白球和4个黑球，若从甲、乙两袋中各任取出两球后并交换放入袋中． （1）求甲袋内恰好有2个白球的概率；
（2）求甲袋内恰好有4个白球的概率； 注意：考生在（19甲）、（19乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（19甲）计分． 19甲．（12分）如图，正三棱锥P-ABC，PA＝4，AB＝2，D为BC中点，点E在AP上，满足AE＝3EP．
（1）建立适当坐标系，写出A、B、D、E四点的坐标； （2）求异面直线AD与BE所成的角．
19乙．（12分）如图，长方体1111DCBAABCD中，aAAAB1，aBC2，M是AD中点，N是11CB
中点．
（1）求证：1A、M、C、N四点共面； （2）求证：11MCNABD； 第5页共9页
（3）求证：平面MCNA1⊥平面11BDA； （4）求BA1与平面MCNA1所成的角． 20．（12分）已知函数xaxxxf3)(3． （1）若)(xf在x[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x＝3是)(xf的极值点，求)(xf在x[1，a]上的最小值和最大值． 21．（12分）已知椭圆方程为1822yx，射线xy22（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）． （1）求证直线AB的斜率为定值；
（2）求△AMB面积的最大值．
22．（14分）已知等差数列}{na的首项为a，公差为b；等比数列}{nb的首项为b，公比为a，其中a，Nb，且32211ababa． （1）求a的值；
（2）若对于任意Nn，总存在Nm，使nmba3，求b的值；
（3）在（2）中，记}{nc是所有}{na中满足nmba3， Nm的项从小到大依次组成的数列，又记nS
为}{nc的前n项和，nT}{na的前n项和，求证：nS≥nT)(Nn． 第6页共9页
参考答案 1．A 2．B 3．B 4．D 5．（理）C （文）A 6．B 7．A 8．B 9．A
10．B 11．（理）A （文）C 12．B 13．（理）54 （文）25，60，15 14．-672 15．2.5小时 16．①，④ 17．解析：设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，1y）、B（1＋x，2y）因为12)1()1(xx，
)1()1(xfxf，所以21yy，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称，若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数． ∵ x(sinba，xsin2()2，11sin2)212x，x2(cosdc，1()1，)2 122cosx， ∴ 当0m时，)12(cos)1sin2()()(2xfxfffdcba1sin22x
02cos222cos12cos122cosxxxx02cosx2
ππ2k
23ππ22kx，Zk．
∵ π0x， ∴ 4π34πx． 当0m时，同理可得4π0x或π4π3x． 综上：)()(dcbaff的解集是当0m时，为}4π34π|{xx； 当0m时，为4π0|{xx，或}π4π3x． 18．解析：（理）（1）设甲队在第五场比赛后获得冠军为事件M，则第五场比赛甲队获胜，前四场比赛甲队获胜三场
依题意得20736.04.06.0)(434CMP． （2）设甲队获得冠军为事件E，则E包含第四、第五、第六、第七场获得冠军四种情况，且它们被彼此互斥．
∴ 710208.04.06.04.06.04.06.06.0)(343624354344CCCEP． （文）设甲袋内恰好有4个白球为事件B，则B包含三种情况． ①甲袋中取2个白球，且乙袋中取2个白球，②甲袋中取1个白球，1个黑球，且乙袋中取1个白球，1